1.1.1正弦定理(約2課時)

主備人：羅瑜唐強審核人：牟必繼1.1.1

善于奮飛的人天上有路，敢于攀登的人山中有路，勇于遠航的人海里有路，勤于學(xué)習(xí)的人腳下有路!

.(1)在我國古代就有嫦娥奔月的神話故事.明月高懸,我們仰望夜空,會有無限遐想,不禁會問,月亮離我們地球有多遠呢?科學(xué)家們是怎樣測出來的呢？問題的引入：(2)設(shè)A,B兩點在河的兩岸,只給你米尺和量角設(shè)備,不過河你可以測出它們之間的距離嗎?AB我們這一節(jié)所學(xué)習(xí)的內(nèi)容就是解決這些問題的有力工具.ABC3C2C1CBC的長度與角A的大小有關(guān)嗎?三角形中角A與它的對邊BC的長度是否存在定量關(guān)系?1.1.1正弦定理在Rt△ABC中,各角與其對邊的關(guān)系:不難得到:CBAabc在非直角三角形ABC中有這樣的關(guān)系嗎?AcbaCB一、正弦定理:在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等.即(1)若直角三角形,已證得結(jié)論成立.所以AD=csinB=bsinC,即同理可得DAcbCB圖1過點A作AD⊥BC于D,此時有證明:(2)若三角形是銳角三角形,如圖1,由(1)(2)(3)知，結(jié)論成立．且仿(2)可得D(3)若三角形是鈍角三角形,且角C是鈍角如圖2,此時也有交BC延長線于D,過點A作AD⊥BC，CAcbB圖2YX正弦定理的向量證明BAC想一想：如何用向量法證明正弦定理？BA在Y軸上的投影為CA在Y軸上的投影為|BA|cos(90o-B)=|BA|sinB|CA|cos(90o-C)=|CA|sinC

＝＝（2R為△ABC外接圓直徑）＝2R思考？求證:證明：OC/cbaCBA作外接圓O,過B作直徑BC/,連AC/,證明：∵BACDabc而∴同理∴ha求證:二、剖析定理、加深理解正弦定理可以解決三角形中哪類問題：①已知兩角和一邊，求其他角和邊.

②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進而可求其他的邊和角.已知兩邊和其中一邊的對角,求其他邊和角時,三角形什么情況下有一解,二解,無解?思考?已知a,b和A,用正弦定理求B時的各種情況:⑴若A為銳角時:ABabCABabCABabCa<b

無解a=b

無解a>b

一解⑵若A為直角或鈍角時:公式變形式：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCa:b:c=sinA:sinB:sinC利用正弦定理可以實現(xiàn)邊角互化，可以解決以下兩類問題：1、已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角。2、已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角。(從而進一步求出其他的邊和角，包括解的個數(shù)的討論問題)小結(jié):三、定理的應(yīng)用例1在△ABC中，已知c=10,A=45。,C=30。求a,b(精確到0.01）.解：且∵∴b=19.32=已知兩角和任意邊，求其他兩邊和一角∵∴a=14.14=BACbca練習(xí)1：C（2）在中，若，則是()A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等邊三角形（1）在中，一定成立的等式是（

）

分析：由正弦定理式子可以寫成由二倍角公式sinθ＝2sincos有sin=sin＝sin從而得到A=B=C,三角形是等邊三角形1.在△ABC中，已知A=75°，B=45°，c=求a

，b.2.在△ABC中，已知A=30°，B=120°，b=12求a

，c.[a=,c=][]練習(xí)1例2

已知a=16，b=，A=30°，求角B，C和邊c已知兩邊和其中一邊的對角,求其他邊和角解：由正弦定理得所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°當(dāng)時Ｂ＝60°C=90°C=30°當(dāng)Ｂ＝120°時B16300ABC16316例3:在中，已知，求.解：由

得

∵在中

∴A為銳角

分析：這是屬于已知兩邊和其中一邊的對角問題練習(xí)2B=300無解(3)解：，例4.

(08.四川文)

△ABC的三內(nèi)角A、B、C的對邊邊長分別為a、b、c．若則cosB=

解析：由題意得選B．例5

在中，，求的面積S．

hABC三角形面積公式解：∴由正弦定理得

隨堂練習(xí)1、正弦定理適用的范圍是A、直角三角形B、銳角三角形C、鈍角三角形D、任意三角形DCA3或64、5、6