絕對值表達式的幾何意義

關于絕對值表達式的幾何意義學習目標1.掌握并理解數(shù)軸上的點與數(shù)的對應關系2.掌握絕對值的概念及絕對值的幾何意義3.通過數(shù)軸與絕對值的學習，體驗數(shù)形結合的思想第2頁,共47頁，2024年2月25日，星期天絕對值的概念:（1）絕對值的幾何定義：點A到原點的距離是︱a︱,點C到原點的距離是︱c︱;一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離；2、∣a∣是什么數(shù)？最小是多少？∣a∣是非負數(shù)，即∣a∣≥0，最小值是0第3頁,共47頁，2024年2月25日，星期天︱︱︱︱︱︱ABC01abc點A與點B的距離：AB=︱a-b︱(或︱b-a︱)點B到點C的距離：BC=︱b-c︱(或︱c-b︱)(2)數(shù)軸上兩點間的距離：第4頁,共47頁，2024年2月25日，星期天例1.已知數(shù)軸上有A、B兩點，A、B之間的距離為1，點A與原點之間的距離為3，那么點B

對應的數(shù)是

.解法一點A到原點的距離是3得A表示的數(shù)是±３由圖可得：當A表示3時，B對應的數(shù)是2或4當A表示－３時，B對應的數(shù)的－２或－４∴點B對應的數(shù)是±2或±4思想方法：數(shù)形結合第5頁,共47頁，2024年2月25日，星期天例1.已知數(shù)軸上有A、B兩點，A、B之間的距離為1，點A與原點之間的距離為3，那么點B

對應的數(shù)是

.解法二：∴點B對應的數(shù)是±2或±4設點B表示的數(shù)是，則根據(jù)題意得或解得或思想方法：方程思想第6頁,共47頁，2024年2月25日，星期天變式訓練1.數(shù)軸上有A、B兩點，若點A對應的數(shù)是－２，且A、B兩點間的距離為3，則點B對應的數(shù)是

.2.點A到原點的距離為3，點B到原點的距離為4，則A、B之間的距離是

.3.如圖，若，則數(shù)軸上的原點在

.小結：數(shù)形結合的優(yōu)點：直觀簡便－５或１１或７點Ｃ或點Ｄ第7頁,共47頁，2024年2月25日，星期天例3.若，則下列關系正確的是（）.B.C.D.解：∵且∴表示數(shù)的點到原點的距離比表示數(shù)的點到原點的距離大在數(shù)軸上如圖所示：∴選D.小結：已知數(shù)的正負，則可表示在數(shù)軸相應位置上0ba－ｂ－ａ第8頁,共47頁，2024年2月25日，星期天變式訓練1.若，則

=（）.

A.B.

C.D.2.已知在數(shù)軸上的位置如下圖所示，化簡式子的值為

.C－１第9頁,共47頁，2024年2月25日，星期天變式訓練3.已知，在數(shù)軸上給出關于的四種情況如圖所示，則成立的是

（寫出所有正確的序號）②③④①、③第10頁,共47頁，2024年2月25日，星期天當堂檢測1.數(shù)軸上一動點A向左移動兩個單位長度到達點B，再向右移動5個單位長度到達點C.若點

C表示的數(shù)是1，則點A表示的數(shù)為

.2.數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：.3.數(shù)軸上點A到原點的距離為3，點B到原點的距離為5，則點A和點B的距離是

.4.已知數(shù)軸上的三點A、B、C所對應的數(shù)a、b、

c滿足a<b<c，abc<0且a+b+c=0，那么線段AB

與BC的大小關系是

.第11頁,共47頁，2024年2月25日，星期天當堂檢測答案1.數(shù)軸上一動點A向左移動兩個單位長度到達點B，再向右移動5個單位長度到達點C.若點

C表示的數(shù)是1，則點A表示的數(shù)為

.2.數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：.－2－2a提示：提示：且第12頁,共47頁，2024年2月25日，星期天當堂檢測答案3.數(shù)軸上點A到原點的距離為3，點B到原點的距離為5，則點A和點B的距離是

.4.已知數(shù)軸上的三點A、B、C所對應的數(shù)a、b、

c滿足a<b<c，abc<0且a+b+c=0，那么線段AB

與BC的大小關系是

.提示：提示：A表示的數(shù)是±3，B點表示的數(shù)是±5數(shù)形結合，有4種情況2或8AB>BC

∵

abc<0∴a、b、c中有奇數(shù)個負數(shù)∵a+b+c=0,a<b<c∴a<0且數(shù)形結合：第13頁,共47頁，2024年2月25日，星期天例2.當

，有最

值，是

.

分析：∵∴即有最小值0，此時，.（絕對值的非負性）含一個絕對值，求最值第14頁,共47頁，2024年2月25日，星期天例2.當

時，有最

值，是

.分析：∵∴即有最大值0，此時，.變式1當

時，有最

值，是

.∴2小0含一個絕對值，求最值第15頁,共47頁，2024年2月25日，星期天例2.當

時，有最

值，是

.

變式2當

時，有最

值，是

.分析：∵∴即有最小值1，此時，.2小0含一個絕對值，求最值第16頁,共47頁，2024年2月25日，星期天例3.當

時，有最

值，是

.

變式3當

時，有最

值是

.分析：∵∴即有最大值1，此時.2小0含一個絕對值，求最值第17頁,共47頁，2024年2月25日，星期天例3.當

時，有最

值，是

.

變式1當

時，有最

值，是

.變式2當

時，有最

值，是

.變式3當

時，有最

值是

.2小02大02小12大1歸納：對于代數(shù)式，當時若，則它有最小值，是.若，則它有最大值，是.含一個絕對值，求最值第18頁,共47頁，2024年2月25日，星期天問題：當x=

時，∣x－2∣－3有最小值，最小值是多少？解：∵∣x－2∣≥0∴∣x－2∣－3≥－3∵當x=2時，∣x－2∣=0∴當x=2時，∣x－2∣－3=－3因此，當x=2時，∣x－2∣－3有最小值，最小值是－3含一個絕對值，求最值第19頁,共47頁，2024年2月25日，星期天基礎訓練題：（1）當x取何值時，|x﹣3|有最小值？這個最小值是多少？（2）當x取何值時，5﹣|x+2|有最大值？這個最大值是多少？（3）當x取何值時，16+∣x-7∣有最小值？這個最小值是多少？答：⑴x=3時值最小，⑵x=-2時值最大，⑶x=7時值最小，最小值是0；最大值是5；最小值是16。第20頁,共47頁，2024年2月25日，星期天從實際問題入手：一個生產(chǎn)流水線上依次排著三個工作臺A,B,C,三個工人分別在工作臺上工作，問只有一個檢修工具箱放在何處，才能使工作臺上操縱機器的三個工人每人取一次工具所走的路程之和最短？∣∣∣ABC放在點B的位置上，他們所走的路程之和最短。如果有五工作臺呢？有七個工作臺呢？∣∣∣∣∣ABCDE點c的位置;∣∣∣∣∣∣∣ABCDEFG點D的位置;第21頁,共47頁，2024年2月25日，星期天探究二當x=

時，∣x－1∣+∣x－2∣有最小值，最小值是多少？思維點撥：1、∣x－1∣表示的意義是什么？2、∣x－2∣表示的意義是什么？3、∣x－1∣+∣x－2∣表示的意義又是什么？第22頁,共47頁，2024年2月25日，星期天問題解決解:設A：1，B：2，M：x則AM=∣x－1∣，BM=∣x－2∣ＡＭ＋ＢＭ＝∣x－1∣+∣x－2∣如圖，易知當點M在AB上時，ＡＭ＋ＢＭ有最小值因此，當１≤ｘ≤２時，∣x－1∣+∣x－2∣有最小值，最小值是１（AB=1）注：也可用分類討論的方法求∣x－1∣+∣x－2∣的最小值第23頁,共47頁，2024年2月25日，星期天探究三

問題：當x=

時，

∣x－1∣+

∣x－2∣+∣x－3∣有最小值，最小值是多少？1、那么怎樣求∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣的最小值呢？能否分為兩組呢？怎么分組呢？可分為∣x－1∣+∣x－3∣和∣x－2∣兩組.有探究一和探究二可知當1≤x≤3時，∣x－1∣+∣x－3∣有最小值為2.當x=2時，∣x－2∣有最小值是0因此，當x=2時，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣有最小值，最小值是22、X為多少時，可以滿足兩組同時取最小值呢？X=2分組標準：存在x取值同時滿足各組.有最小值第24頁,共47頁，2024年2月25日，星期天探究四

問題：當x=

時，

∣x－1∣+

∣x－2∣+∣x－3∣+∣x－4∣有最小值，最小值是多少？同樣，我們可以分為∣x－1∣+∣x－4∣和∣x－2∣+∣x－3∣兩組當1≤x≤4時，∣x－1∣+∣x－4∣有最小值為3.當2≤x≤3時，∣x－2∣+∣x－3∣有最小值為1.二者同時取最小值的條件是2≤x≤3因此，當2≤x≤3時，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣+∣x－4∣有最小值，最小值是4第25頁,共47頁，2024年2月25日，星期天探索五

問題：當x=

時，

∣x－1∣+

∣x－2∣+∣x－3∣+∣x－4∣+∣x－5∣有最小值，最小值是多少？同樣，我們可以分為∣x－1∣+

∣x－5∣、∣x－2∣+

∣x－4∣和∣x－3∣三組當1≤x≤5時，∣x－1∣+∣x－5∣有最小值為4.當2≤x≤4時，∣x－2∣+∣x－4∣有最小值為2.當x=3時，∣x－3∣有最小值為0.三者同時取最小值的條件是x=3因此，當x=3時，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣+∣x－4∣+

∣x－5∣有最小值，最小值是6第26頁,共47頁，2024年2月25日，星期天探索六

問題：當x=

時，

∣x－1∣+

∣x－2∣+∣x－3∣+∣x－4∣+∣x－5∣+

∣x－6∣有最小值，最小值是多少？同樣，我們可以分為∣x－1∣+∣x－6∣、∣x－2∣+∣x－5∣和∣x－3∣+∣x－4∣三組當1≤x≤6時，∣x－1∣+∣x－6∣有最小值為5.當2≤x≤5時，∣x－2∣+∣x－5∣有最小值為3.三者同時取最小值的條件是3≤x≤4因此，當3≤x≤4時，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣+∣x－4∣+

∣x－5∣+

∣x－6∣有最小值，最小值是8當3≤x≤4時，∣x－3∣+∣x－4∣有最小值為1.第27頁,共47頁，2024年2月25日，星期天由上述幾個探究你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?每個探索的規(guī)律一樣嗎？探索與發(fā)現(xiàn)第28頁,共47頁，2024年2月25日，星期天規(guī)律

問題：當x=

時，

∣x－a1∣+

∣x－a2∣+∣x－a3∣+...+∣x－an-1∣+

∣x－an∣有最小值？已知a1≤a2≤a3≤a4≤...≤an-1≤an猜想：當x=時，原式有最小值.⑴當n為奇數(shù)時⑵當n為偶數(shù)時當時，原式有最小值.第29頁,共47頁，2024年2月25日，星期天拓展延伸一

問題：當x=

時，

∣x－1∣+

∣x－2∣+∣x－3∣+...+

∣x－2012∣有最小值，最小值是多少？當1006≤x≤1007時，原式有最小值.（1007-1006）+（1008-1005）+（1009-1004）+...+（2012-1）它的最小值=1+3+5+7+...+2011=10062第30頁,共47頁，2024年2月25日，星期天拓展延伸二

問題：當x=

時，

∣x－1∣+

∣x－2∣+∣x－3∣+...+

∣x－2012∣+

∣x－2013∣有最小值，最小值是多少？當x=1007時，原式有最小值.它的最小值（1007-1007）+（1008-1006）+1009-1005）+...+（2013-1）=0+2+4+6+8+...+2012=1006×1007第31頁,共47頁，2024年2月25日，星期天思考題：

1、求式子：

︱x-1︱+︱x-2︱+︱x-3︱+…+︱x-2013︱

的最小值。解：x=1007時有最小值；最小值是：第32頁,共47頁，2024年2月25日，星期天（1）當x取何值時，式子|x﹣7|+|x﹣8|+|x﹣9|有最小值？最小值是多少？（2）當x取何值時，式子：∣x+3∣+∣x+4∣+∣x+5︱+∣x+6∣+|x+7∣有最小值？最小值是多少？解答前面問題：解：x=8時有最小值是2。解：x=-5時有最小值是6︱︱︱︱O789︱︱︱︱︱︱︱-7-6-5-4-301=2(1+2)第33頁,共47頁，2024年2月25日，星期天⑶求式子：∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+.…+︱x-99︱

的最小值;解：x=50時有最小值，最小值是：2(1+2+3+…+49)=2×—————(1+49)×492=2450第34頁,共47頁，2024年2月25日，星期天

2、求式子：的最小值，并求此時x的取值范圍；答：⑴、當5≤x≤7時，最小值是18；⑵、當50≤x≤51時，最小值是2500.第35頁,共47頁，2024年2月25日，星期天例4.化簡：.分析：根據(jù)絕對值的代數(shù)意義第36頁,共47頁，2024年2月25日，星期天變式1：化簡：.分析：根據(jù)絕對值的代數(shù)意義∴需要考慮和的正負而第37頁,共47頁，2024年2月25日，星期天解：當原式當原式當原式∴綜上所述，原式零點分段法變式1：化簡：.第38頁,共47頁，2024年2月25日，星期天變式2：求法一：∴綜上所述，的最小值為1.5的最小值當，原式當，原式當，原式零點分段法第39頁,共47頁，2024年2月25日，星期天變式2：求法二：的最小值表示數(shù)對應的點到2對應點的距離表示數(shù)對應的點到0.5對應點的距離∴原式即表示數(shù)的點到2的距離與到0.5距離之和于是，當時，原式有最小值為1.5第40頁,共47頁，2024年2月25日，星期天變式訓練1.解方程.2.討論關于的方程的解的情況.答案：0.75或5.5答案:當a<3時，原方