2021年高考數(shù)學(xué)真題匯編含答案

目錄

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試...........................................................2

數(shù)學(xué)（新高考I卷）.............................................................................2

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試...........................................................6

數(shù)學(xué)（新高考II卷）.............................................................................6

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試..........................................................11

理科數(shù)學(xué)（全國(guó)甲卷）..........................................................................11

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試..........................................................17

理科數(shù)學(xué)（全國(guó)乙卷）..........................................................................17

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試..........................................................22

文科數(shù)學(xué)（全國(guó)甲卷）..........................................................................22

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試..........................................................28

文科數(shù)學(xué)（全國(guó)乙卷）..........................................................................28

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試..........................................................33

數(shù)學(xué)（浙江卷）................................................................................33

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試..........................................................38

數(shù)學(xué)（上海卷）................................................................................38

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試..........................................................41

數(shù)學(xué)（北京卷）................................................................................41

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試..........................................................45

數(shù)學(xué)（天津卷）................................................................................45

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試..........................................................50

數(shù)學(xué)（新高考I卷）試題參考答案...............................................................50

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試..........................................................56

數(shù)學(xué)（新高考II卷）試題參考答案...............................................................56

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試..........................................................62

理科數(shù)學(xué)（全國(guó)甲卷）試題參考答案.............................................................62

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試..........................................................68

理科數(shù)學(xué)（全國(guó)乙卷）試題參考答案.............................................................68

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試..........................................................74

文科數(shù)學(xué)（全國(guó)甲卷）試題參考答案.............................................................74

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試..........................................................80

文科數(shù)學(xué)（全國(guó)乙卷）試題參考答案.............................................................80

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試..........................................................86

數(shù)學(xué)（浙江卷）試題參考答案...................................................................86

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試..........................................................92

數(shù)學(xué)（上海卷）試題參考答案...................................................................92

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試..........................................................97

數(shù)學(xué)（北京卷）試題參考答案...................................................................97

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試.........................................................104

數(shù)學(xué)（天津卷）試題參考答案..................................................................104

絕密★啟用前

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)（新高考I卷）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)集合A=3|一2<x<4},8={2,3,4,5},則AQB=

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

2.已知z=2-i,則z（5+i）=

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

3.已知圓錐的底面半徑為J5,其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓,則該圓錐的母線長(zhǎng)為

A.2B.2X/2C.4D.472

4.下列區(qū)間中，函數(shù)/（x）=7sin單調(diào)遞增的區(qū)間是

兒陷

22

5.已知冗，B是橢圓C：三+寧=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)〃在。上，則I叫周的最大值為

A.13B.12C.9D.6

?八八口,sin8（1+sin2。）

6.若tan8=—2,則——------L=

sin8+cos，

62

A.---B.---

55

7.若過(guò)點(diǎn)（。力）可以作曲線），=e”的兩條切線，則

huh

A.e<aB.e<bC.0<a<eD.

0<b<ea

8.有6個(gè)相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次,每次取1個(gè)球,甲表示

事件”第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩

次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.有一組樣本數(shù)據(jù)西，々，…，%,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)力,必，…,紇，其中

%=玉+c(i=1,2,…,〃),c為非零常數(shù)，則

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)樣本中位數(shù)相同

C,兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同

10.已知。為坐標(biāo)原

點(diǎn),6(cosa,sina),￡(cos#,-sin尸)，P：(cos(?+/^),sin(?+/7)),

A(l,0),則

A.|閉=|?；谺.=|阿

C.0Aop3=ORD.OAOP^OP.OP,

11.已知點(diǎn)/＞在圓(》—5『+(丁—5)2=16上,點(diǎn)4(4,0)、B(0,2),則

A.點(diǎn)P到直線AB的距離小于10

B.點(diǎn)P到直線AB的距離大于2

C.當(dāng)NPBA最小時(shí),|P3|=3五

D.當(dāng)NPBA最大時(shí),歸卻=30

12.正三棱柱ABC—A,4cl中,A3=A4,=1，點(diǎn)尸滿(mǎn)足BP=4BC+,曲,其中

2G[0』],4€[0』],則

A.當(dāng)4=1時(shí),△A87的周長(zhǎng)為定值

B.當(dāng)〃=1時(shí)，三棱錐尸一A3。的體積為定值

C.當(dāng)2=3時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得4尸，BP

D.當(dāng)〃=1時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得ABJ.平面ABF

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)/(x)=/(a.2*-2-*)是偶函數(shù)，則。=.

14.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,P為C上一點(diǎn),PF與x軸

垂直，。為x軸上一點(diǎn)，且PQLOP,若|同=6,則C的準(zhǔn)線方程為.

15.函數(shù)“X)=|2x-l|-21nx的最小值為.

16.某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱(chēng)軸把紙對(duì)折，規(guī)格為

20dmxl2dm的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到lOdmxl2dm,20dmx6dm兩種規(guī)格的圖

形，它們的面積之和5,=24()dm2,對(duì)折2次共可以得到

5dmxl2dm,10dmx6dm,2()dmx3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2=ISOdm?,以

此類(lèi)推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對(duì)折〃次，那么

ES*=---------dm2?

k=l

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

z、優(yōu),+1,〃為奇數(shù)，

17■已知數(shù)列的｝滿(mǎn)足％=S｛+2,〃為偶數(shù).

⑴記a=a2n，寫(xiě)出伉也，并求數(shù)列｛b,,｝的通項(xiàng)公式；

(2)求｛4｝的前20項(xiàng)和.

18.某學(xué)校組織“一帶一路''知識(shí)競(jìng)賽，有A,B兩類(lèi)問(wèn)題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類(lèi)問(wèn)題中

選擇一類(lèi)并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另

一類(lèi)問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束4類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)

問(wèn)題回答正確得20分,否則得0分；8類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分,否則得0分,己

知小明能正確回答A類(lèi)問(wèn)題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題的概率為0.6,且能正確回答問(wèn)

題的概率與回答次序無(wú)關(guān).

(1)若小明先回答A類(lèi)問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類(lèi)問(wèn)題？并說(shuō)明理由.

193HAABC是內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。,c,已知加=ac，點(diǎn)D在邊AC

上,BDsinZABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若45=2。。,求85乙鉆。

20.如圖，在三棱錐A-3CD中，平面AB。，平面BCD45=AD,。為3。的中點(diǎn).

(1)證明：OA1CD；

(2)若△OCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AO匕。石=2￡4,且二面角

E-BC-D的大小為45°,求三棱錐A-BCD的體積.

21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,己知點(diǎn)片(—J萬(wàn),0)、鳥(niǎo)(J萬(wàn),0),|“用一眼用=2,點(diǎn)M

的軌跡為C.

(1)求。的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)T在直線x=」上，過(guò)T的兩條直線分別交C于A、3兩點(diǎn)和P,Q兩點(diǎn)，且

2

|力4卜|7^|=|77*/。|,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

22.已知函數(shù)/(x)=x(l-lnx).

(1)討論〃力的單調(diào)性;

(2)設(shè)。，力為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且。lnq-aln6=a-。，證明：2<L+,<e.

ab

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2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)（新高考n卷）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

2-i

1.復(fù)數(shù)——在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為

1-31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.設(shè)集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},8={2,3,4},則An(C濟(jì))=

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}

3.拋物線y2=2px(0>0)的焦點(diǎn)到直線y=x+l的距離為0,則。=

A.1B.2C.2V2D.4

4.北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止

同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36（XX）km（軌道高度是指衛(wèi)星到地球

表面的距離）.將地球看作是一個(gè)球心為O,半徑『為6400km的球，其上點(diǎn)A的緯度是指

OA與赤道平面所成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測(cè)到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯

度最大值為a,記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為S=2%/（i—cosa）（單位：km2））

則S占地球表面積的百分比約為

A26%B.34%C.42%D.50%

5.正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2,4,側(cè)棱長(zhǎng)為2,則其體積為

A.20+1273B.280C.當(dāng)D.”也

33

6.某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N（10,b2）,下列結(jié)論中不正確的是

A.a越小，該物理量在一次測(cè)量中在（9.9,10.1）概率越大

B.b越小，該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5

C.b越小，該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等

D.b越小，該物理量在一次測(cè)量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等

7.已知"logs2,b=log83,c=；,則下列判斷正確的是

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<h<c

8.己知函數(shù)的定義域?yàn)镽,/(x+2)為偶函數(shù)，/(2x+l)為奇函數(shù)，則

A./臼=0B./(-1)=0C./(2)=0D."4)=0

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本玉,馬，，毛的離散程度的是

A.樣本內(nèi),々，，七的標(biāo)準(zhǔn)差B.樣本玉,々，，蒼，的中位數(shù)

C.樣本西,X2，,毛的極差D.樣本，x”的平均數(shù)

10.如圖，在正方體中，。為底面的中心，尸為所在棱的中點(diǎn)，M,N為正方體的頂點(diǎn).則

滿(mǎn)足MNLQP的是

11.已知直線/：依+分——=o與圓c：x2+y2=/，點(diǎn)&a,〃)，則下列說(shuō)法正確的是

A.若點(diǎn)A在圓C上，則直線/與圓C相切

B.若點(diǎn)4在圓C內(nèi)，則直線/與圓C相離

C.若點(diǎn)A在圓C外，則直線/與圓C相離

D.若點(diǎn)4在直線/上，則直線/與圓C相切

-|k

12.設(shè)正整數(shù)〃=4?2°+9?2++-2*+ak-2,其中生e｛0,1｝,記

CD^n）-an+Oy++%.則

A.=co（n）B,0）（2〃+3）=。（〃）+1

C.6y（8〃+5）=<z>（4〃+3）D.<y（2"-l）=〃

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

22

13.己知雙曲線3?-/=1（4〉0，力>0）的離心率為2,則該雙曲線的漸近線方程為

14.寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)/（X）：.

①/（X]W）=/（X]）/（X2）；②當(dāng)xw（0,+oo）時(shí)，f'（x）>0；③y'（x）是奇函數(shù).

15.已知向量a+/?+c=0，卜|=1，1卜卜|=2,a-b+b-c+c-a=?

16.已知函數(shù)/（x）=H-,X<0,々>0，函數(shù)/（X）的圖象在點(diǎn)A（再，〃%））和點(diǎn)

8（七，/（%））的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，則黑^取值范圍是

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程活演算步驟。

17.記S“是公差不為0的等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若a3=S5,44=S4.

（1）求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式4；

（2）求使S.>a”成立的n的最小值.

18.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為“、b、c,。=“+1,c=a+2..

（1）若2sinC=3sinA,求△ABC的面積；

（2）是否存在正整數(shù)。，使得△ABC為鈍角三角形?若存在，求出。的值；若不存在，說(shuō)明

理由.

19.在四棱錐Q—ABC。中，底面A8CD是正方形，若AD=2,QD=QA=亞,QC=3.

(1)證明：平面"。上平面ABCD；

(2)求二面角B—Q。-A的平面角的余弦值.

20.已知橢圓。的方程為1+4=1(4>6>0),右焦點(diǎn)為F(0,0),且離心率為如.

a~b~3

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)M,N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線MN與曲線龍？+y2=e(％>0)相切.證明：加，

N,尸三點(diǎn)共線的充要條件是|MN|=百.

21.一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過(guò)一

次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立

的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，

P(X=z)=p,.(/=(),1,2,3).

(1)已知Po=().4，P]=().3,〃2=0.2,〃3=()/，求E(X)；

(2)設(shè)2表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：

/?0+1/+22爐+。3%3=%的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)E(X)<1時(shí)，p=l,當(dāng)E(X)>1

時(shí)，〃<1;

(3)根據(jù)你的理解說(shuō)明(2)問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義.

22.已知函數(shù),f(x)=(%-l)e*-ax?+/?.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：f(x)有一個(gè)零點(diǎn)

]1

?—<a<—,b>2a；?0<a<—,b<2a.

「222

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2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)（全國(guó)甲卷）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。

寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)集合M={x|0<x<4},N={x集WxW5},則MCN=

A.{x|0<x<3}B.{x|3<x<4）C.{x[4Wx<5}D.{x|0<x<5}

2.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶(hù)家庭年收入的

調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

第2題圖

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是

A.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶(hù)，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間

3.已知(l—i)2z=3+2i,則2=

33

--33

2氏2

A.1+C.-2+iD.—2—i

4.青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量.通常用五分記錄法和

小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿(mǎn)足L=5+lgV.已

知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為（1幅F.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

5.已知Fi,F2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且NFIPF2=60。，|PFI|=3|PF2|,則

C的離心率為

A.日逅

B.2C.市D.

V13

6.在一個(gè)正方體中，過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E,F,G該正方體截去三棱錐A-EFG

后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是

正視圖

第6題圖

7.等比數(shù)列｛a。｝的公比為q,前n項(xiàng)和為S”.設(shè)甲：q>0,乙：｛SJ是遞增數(shù)列，則

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

8.2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m）,三

角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一.如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A,B,

C三點(diǎn)，且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'滿(mǎn)足/A'CB'=45°,Z

A'B'C=60°.由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為15°,BB'與CC'的差為100：由B點(diǎn)測(cè)得

A點(diǎn)的仰角為45。，則A,C兩點(diǎn)到水平面A'B'C'的高度差A(yù)A'-CC約為（小X

1.732)

B

C，」---------J9

第8題圖

A.346B.373C.446D.473

兀cos。

9.若a￡(0,2),tan2a=2—sina，則tana=

V15A/5V5

A.15B.5C.3D.

Vl5

3

10.將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為

1224

-B-C--

A.3535

11.已知A,B,C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC_LBC,AC=BC=1,則三

棱錐O—ABC的體積為

也近啦

A.12B.12C.4D.

近

4

12.設(shè)函數(shù)人劃的定義域?yàn)镽,y(x+1)為奇函數(shù)，4x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)2]時(shí)，於)

八9

=加+兒若八0)+/(3)=6,則15)=

9375

-B-CD-

A.-4-24-2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2工--1

13.曲線y=w在點(diǎn)(一1,一3)處的切線方程為?

14.己知向量。=(3,1),b=(L0),c=a+kb.若aJLc,則仁.

22

15.已知F2為橢圓C：x京+v；=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P,。為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩

點(diǎn)，且|尸。|=尸出|,則四邊形PFiQB的面積為.

一，7n

16.己知函數(shù)Xx)=2cos(GX+P)的部分圖象如圖所小，則滿(mǎn)足條件伏幻一/(一丁)][/U)一

4JI

J(—)]>0的最小正整數(shù)x為.

第16題圖

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(-)必考題：共60分。

17.(12分)甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)

機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：

一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)

甲機(jī)床15050200

乙機(jī)床12080200

合計(jì)270130400

(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？

(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？

n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K22k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.(12分)已知數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為｛an｝的前n項(xiàng)和，從下面①0③中選取兩

個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.

①數(shù)列｛a“是等差數(shù)列；②數(shù)列｛病｝是等差數(shù)列；③a2=3ai.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

19.(12分)已知直三棱柱ABC—AiBCi中，側(cè)面AAiBiB為正方形，AB=BC=2,E,F

分別為AC和CCi的中點(diǎn)，D為棱A小?上的點(diǎn)，BF±AiBi.

I)

B、

第19題圖

(1)證明：BF1DE；

(2)當(dāng)BQ為何值時(shí)，平面BBCiC與平面DFE所成的二面角的正弦值最?。?/p>

20.(12分)拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)0,焦點(diǎn)在x軸上，直線/：x=l交C于P,Q兩點(diǎn)，

且OP_LOQ.已知點(diǎn)M(2,0),且。M與/相切.

(1)求C,(DM的方程：

(2)設(shè)Ai,A2,A3是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線A1A2,A1A3均與。M相切.判斷直線A2A3

與OM的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

a

21.(12分)已知〃>0且,函數(shù)/(x)=x二(》>0)

ax

(1)當(dāng)。=2時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若曲線y=f(x)與直線y=l有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求。的取值范圍.

(-)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第

一題計(jì)分。

22.［選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

在直角坐標(biāo)系X。)，中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C

的極坐標(biāo)方程為P=2/cos0.

(1)將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(1,0),歷為C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸滿(mǎn)足Q=^2而，寫(xiě)出P的

軌跡Ci的參數(shù)方程，并判斷C與Ci是否有公共點(diǎn).

23.［選修4一5：不等式選講］(10分)

已知函數(shù)f(x)=|x—2|,g(x)=|2x+3|—|2x—11.

(1)畫(huà)出y=f(x)和y=g(x)的圖象；

(2)若f(x+a)2g(x),求a的取值范圍.

第23題圖

我選擇的題號(hào)是：2223-

絕密★啟用前

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)(全國(guó)乙卷)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。

寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)2(2+力+3(%—2)=4+61則2=

A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i

2.已知集合5={小=2〃+1,z?ez},7={/|/=4〃+1,〃￡Z},貝i」SG7=

A.0B.SC.TD.Z

3.已知命題p：3A^R,sinx<l；命題夕：VxER,e*-v,1,則卜列命題中為真命題的是

A.p/\qB.-'p/XqC.pZqD.TpYq)

1—x

4.設(shè)函數(shù)犬的=不，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是

A.Xx-1)-1B.1x-l)+lC.八x+l)—lD.X%+1)+1

5.在正方體A8C￡>—AiBCQi中，尸為Bid的中點(diǎn)，則直線PB與A。所成的角為

nnnn

A-TBTC-TD.E

6.將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，

每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有

A.60種B.120種C.240種D.480種

7.把函數(shù)y=/(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向

JIJI

右平移9個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)產(chǎn)sina-彳)的圖象，則段)=

x7nx717五n

A.sin(彳~~\5~)B.sin弓I)C.sin(2x~~^~)D.sin(2x+~^)

7

8.在區(qū)間(0,1)與(1,2)中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于:的概率為

9.魏晉時(shí)期劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)量海島的高.如

圖，點(diǎn)E,H,G在水平線AC上，和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的

高度，稱(chēng)為“表高”，EG稱(chēng)為“表距”，GC和EH都稱(chēng)為“表目距”，GC與EH的

差稱(chēng)為“表目距的差”，則海島的高A8=

第9題圖

表高X表距表高X表距

A.表目距的差+表高B-表目距的差一表高

表高X表距表高X表距

C,表目距的差+表距D,表目距的差—表距

10.設(shè)。W0,若x=a為函數(shù)Z(x)=a(x—4)2(尤一6)的極大值點(diǎn)，則

A.a<bB.a>bC.ah<a2D.ab>a2

+方=1(〃>方>0)的上頂點(diǎn)，若C上的任意一點(diǎn)P都滿(mǎn)足|P8|W26,

11.設(shè)3為橢圓Ci：~~2

則C的離心率的取值范圍是

A.［乎，1)B.,1)C.(0,坐］D.(0,1

12.設(shè)a=21nl.01,b=ln1.02,c=y［lM-1,貝ij

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知雙曲線C：^一9=1(機(jī)>0)的一條漸近線為小x+〃?y=0,則C的焦距為

14.已知向量。=(1,3),b=(3,4),若(a—入b)上b,則7=.

15.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,h,c,面積為小，B=60。，a2+c2=3ac,

則b=________

16.以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的

三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為(寫(xiě)出符合要求的一組答案即可).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(-)必考題：共60分。

17.(12分)

某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高，用

一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為x和》樣本方差分別記為

5,和.

(1)<Rx,y,S],52；

(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果

,則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高,

否則不認(rèn)為有顯著提高).

18.(12分)

如圖，四棱錐P—ABC。的底面是矩形，底面A8C￡>,PD=DC=1,M為BC的中

點(diǎn)，KPBVAM.

R

第18題圖

⑴求BC；

(2)求二面角A-PM-B的正弦值.

19.(12分)

21

記S"為數(shù)列｛“"｝的前”項(xiàng)和，仇為數(shù)列｛SJ的前"項(xiàng)積，已知至+元=2.

(1)證明：數(shù)列｛仇｝是等差數(shù)列；

(2)求｛詼｝的通項(xiàng)公式.

20.(12分)設(shè)函數(shù)兀r)=ln(.—x),已知x=0是函數(shù)>=對(duì)5)的極值點(diǎn).

⑴求a；

-+/(X)

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=0?(x),證明：g(x)Vl.

21.(12分)

已知拋物線C：『=20)。>0)的焦點(diǎn)為尸，且F與圓M：f+。+4>=1上點(diǎn)的距離的

最小值為4.

⑴求P；

(2)若點(diǎn)P在M上，PA,PB是C的兩條切線，A,B是切點(diǎn)，求面積的最大值.

(-)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第

一題計(jì)分。

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

在直角坐標(biāo)系xOy中，。。的圓心為C(2,1),半徑為1.

(1)寫(xiě)出。C的一個(gè)參數(shù)方程；

(2)過(guò)點(diǎn)/(4,1)作。C的兩條切線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)

系，求這兩條切線的極坐標(biāo)方程.

23.［選修4-5：不等式選講］(10分)

已知函數(shù)於)=|x-a|+|x+3|.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求不等式兀t)》6的解集;

(2)若於)＞一〃，求〃的取值范圍.

絕密★啟用前

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

文科數(shù)學(xué)（全國(guó)甲卷）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)集合M={1,3,5,7,9},N={x|2x>7},則MiN=

A.{7,9}B.{5,7,9}

C.{3,5,7,9}D.{1,3,5,7,9}

2.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶(hù)家庭年收入的

調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是

A.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶(hù)，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間

3.己知（l-i）2z=3+2i,貝ijz

4.下列函數(shù)中是增函數(shù)的為

A./(x)=-xB.y(%)=_

I"

C./(x)=x2D.f(x)=㈠

22

5.點(diǎn)(3,0)到雙曲線土-乙=1的一條漸近線的距離為

169

9864

A.—B.-C.—D.一

5