重組卷03（文科）-2023年高考數(shù)學(xué)真題重組（解析版）

絕密★啟用前

沖刺2023年高考數(shù)學(xué)真題重組卷03

課標(biāo)全國卷地區(qū)專用（解析版）

注意事項(xiàng)：

?.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的。

1.（2020?全國?統(tǒng)考高考真題）已知集合A={x∣?=3,x∈Z},B={x∣W>l,x∈Z},則AnB=（）

A.0B.{-3,-2,2,3）

C.{-2,0,2}D.{-2,2}

【答案】D

【分析】解絕對值不等式化簡集合4B的表示，再根據(jù)集合交集的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)?={x∣∣x∣<3,xeZ}={-2,-l,0,l,2},

B={x∣∣x∣>l,x∈Z}=[x?x>!,或X<-1,x∈Z],

所以4CB={2,-2}.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式的解法，考查集合交集的定義，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果，隨

機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座

前和講座后問卷答題的正確率如下圖：

100%

95%

90%

拗85%

?80%*講座前

田75%?講座后

70%-

65%-

60%l

OW

12345678910

居民編號

則()

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

【答案】B

【分析】由圖表信息，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的概念，逐項(xiàng)判斷即可得解.

【詳解】講座前中位數(shù)為"黃i>70%,所以A錯(cuò)；

講座后問卷答題的正確率只有一個(gè)是80%,4個(gè)85%,剩下全部大于等于90%,所以講座后問卷答題的正確率

的平均數(shù)大于85%,所以B對；

講座前問卷答題的正確率更加分散,所以講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差,所

以C錯(cuò)；

講座后問卷答題的正確率的極差為100%-80%=20%,

講座前問卷答題的正確率的極差為95%-60%=35%>20%,所以D錯(cuò).

故選:B.

3.(2021?全國?高考真題)已知(l-i)2z=3+2i,則Z=()

A.-1--iB.-1+-1C.--+iD.---i

2222

【答案】B

【分析】由已知得Z=學(xué)，根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則，即可求解.

【詳解】（1—?）2z=-2iz=3+2i,

3+2i（3+2i）?i-2+3i.,3.

Z=-r=i~~?TT-=------=-1+T.

-2i-2iι22

故選：B.

rχ+y≥4,

4.（2021.全國?統(tǒng)考高考真題）若x,y滿足約束條件卜一y≤2,則z=3x+y的最小值為（）

（y≤3,

A.18B.10C.6D.4

【答案】C

【分析】由題意作出可行域，變換目標(biāo)函數(shù)為y=-3x+z,數(shù)形結(jié)合即可得解.

【詳解】由題意，作出可行域，如圖陰影部分所示，

轉(zhuǎn)換目標(biāo)函數(shù)Z=3x+y為y=-3x+z,

上下平移直線y=-3X+z,數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)直線過點(diǎn)4時(shí),z取最小值，

此時(shí)Zmin=3×l+3=6.

故選：C.

5.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,

則該多面體的體積為（）

C.16D.20

【答案】B

【分析】由三視圖還原幾何體,再由棱柱的體積公式即可得解.

【詳解】由三視圖還原幾何體,如圖,

×2×2=12.

故選：B.

6.（2021.全國.高考真題）點(diǎn)（3,0）到雙曲線11的一條漸近線的距離為（）

169

?-1B?IC.ID.g

【答案】A

【分析】首先確定漸近線方程，然后利用點(diǎn)到直線距離公式求得點(diǎn)到一條漸近線的距離即可.

【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為：?-?=0,即3x±4y=0,

結(jié)合對稱性，不妨考慮點(diǎn)（3,0）到直線3x+4y=O的距離：d=?=1

故選：A.

7.（2021?全國?高考真題）青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記

錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足L=5+IgV.已知某

同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）（'VlU=I.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【答案】C

【分析】根據(jù)LW關(guān)系，當(dāng)L=4.9時(shí)，求出IgV,再用指數(shù)表示叭即可求解.

【詳解】由L=5+lgU,當(dāng)L=4.9時(shí)?，IglZ=-0.1,

則V=10-°1=10-?=?=≈7?≈0.8.

故選：C.

8.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）下列函數(shù)中最小值為4的是（）

A.y=%2÷2%+4B.y=∣sin%∣+

C.y=2x÷22~XD.y=Inx÷?

/JInx

【答案】C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷4選項(xiàng)不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等“，即可得出B,D

不符合題意，C符合題意.

【詳解】對于A,y=x2+2x+4=（x+l）2+3>3,當(dāng)且僅當(dāng)久=一1時(shí)取等號，所以其最小值為3,A

不符合題意；

對于B,因?yàn)镺ClSinXI≤1,y-∣sinx∣+j?j≥2√4=4,當(dāng)且僅當(dāng)ISinXl=2時(shí)取等號，等號取不到，所

以其最小值不為4,B不符合題意；

對于C,因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)镽,而2》>0,y=2x+22-x=2x+^≥2√4=4,當(dāng)且僅當(dāng)2工=2,即X=1時(shí)

2Λ

取等號，所以其最小值為4,C符合題意；

對于D,y=Inx+?,函數(shù)定義域?yàn)椋?,1）U（I,+8）,而InXeR且ln%≠0,如當(dāng)InX=-I,y=-5,D不

符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結(jié)合有關(guān)函數(shù)的性

質(zhì)即可解出.

9.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致圖像,則該函數(shù)是（）

A-X3+3XCx3-x_2xcosxC2sinx

A?y=FΓB.y=κC?y=kθ.y=-

【答案】A

【分析】由函數(shù)圖像的特征結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.

【詳解】設(shè)f(x)=舒則八1)=0,故排除B;

設(shè)h(x)=?：：：,當(dāng)X∈(0,；)時(shí)，0<Cosx<1,

所以∕ι(x)=筆中<等≤1,故排除C;

x2+lx2+7l

設(shè)g(χ)=鬻，則g(3)=等>0,故排除D.

故選：A.

10.(2020?全國?統(tǒng)考高考真題)設(shè)α=bg32,b=log53,c=|,則()

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

3

【分析】分別將α,b改寫為α=∕og323,h=∣log53,再利用單調(diào)性比較即可.

【詳解】因?yàn)棣?[log323<∕og39=彳=c,b=扣g$33>；logs25=彳=c,

所以a<c<b.

故選：A.

【點(diǎn)晴】本題考查對數(shù)式大小的比較，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.

11.(2020?全國?統(tǒng)考高考真題)在AABC中，CoSC=|,AC=4,BC=3,則tan8=()

A.√5B.2√5C.4√5D.8√5

【答案】C

【分析】先根據(jù)余弦定理求c,再根據(jù)余弦定理求COSB,最后根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求tanb

【詳解】設(shè)AB=clBC=a,CA=b

2

c2=α2+e2—2abcosC=9+16—2×3×4×-=9?,?c=3

a2+c2-b211~4√5L

cosB=----------------=-：，SinB=1—（-）2=——二tanβ=4√5

2ac9、U9

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理以及同角三角函數(shù)關(guān)系，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

12.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）己知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為。，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球。的球

面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）

A.-B.-C.—D.—

3232

【答案】C

【分析】方法一：先證明當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為

2r2,進(jìn)而得到四棱錐體積表達(dá)式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而得到當(dāng)該四棱錐的體積

最大時(shí)其高的值.

【詳解】［方法一］：【最優(yōu)解】基本不等式

設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD,四邊形ABCD所在小圓半徑為r,

設(shè)四邊形ABCD對角線夾角為α,

則SABCD=l-ACBD-Sina≤^-AC-BD≤^-2r-2r=2r2

（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)等號成立）

即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為2Z

又設(shè)四棱錐的高為九，則N+F=1,

γ2r2?h=^√r2?r2?2ft2≤?r2+r2+2h2?i4√3

^O-ABCD,?):節(jié)

當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)=2公即八=三時(shí)等號成立.

故選：C

［方法二］：統(tǒng)一變量+基本不等式

由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長為α,底面所在圓的半徑為r,則r=9a,

所以該四棱錐的高/l=Jl-y,

(當(dāng)且僅當(dāng)?=1一?，即α2=g時(shí)，等號成立)

所以該四棱錐的體積最大時(shí)，其高Zi=Jl-,=JR=1

故選：C.

［方法三］：利用導(dǎo)數(shù)求最值

由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長為α,底面所在圓的半徑為r,則r=當(dāng)α,

2

所以該四棱錐的高∕l=Jl-?l∕=iαJl-y,令α2=t(0<t<2),V=Jt2_指,設(shè)

q*-2

則4(t)=2t一手

0<t<∣,∕,(t)>0,單調(diào)遞增，l<t<2,f'(t)<O,單調(diào)遞減，

所以當(dāng)t=(時(shí)，U最大，此時(shí)Zi=Jl-y=γ?

故選：C.

【整體點(diǎn)評】方法一：思維嚴(yán)謹(jǐn)，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優(yōu)解；

方法二：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，再利用基本不等式求最值；

方法三：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，利用導(dǎo)數(shù)求最值，是最值問題的常用解法，操作簡便，是通性通法.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(2021?全國?統(tǒng)考高考真題)記AABC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為α",c,面積為B=60o,a2+C2=

3ac,則b=.

【答案】2√2

【分析】由三角形面積公式可得αc=4,再結(jié)合余弦定理即可得解.

【詳解】由題意，SAABC=TaCSinB=fαc=百，

所以αc=4,α2+C2=12,

所以/>2=a2+c2-2accosB=12-2×4×i=8,解得b=2√2(負(fù)值舍去).

故答案為：2√Σ

14.(2021?全國?統(tǒng)考高考真題)已知向量日=(2,5),b=(2,4),若沙∕b,則;I=.

【答案】I

【分析】利用向量平行的充分必要條件得到關(guān)于4的方程，解方程即可求得實(shí)數(shù)；I的值.

【詳解】由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：2x4-∕lx5=0,

解方程可得：λ=∣.

故答案為：

15.(2020.全國.統(tǒng)考高考真題)曲線y=Inx+Y+1的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為

【答案】y=2x

【分析】設(shè)切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為(XO,%)，對函數(shù)求導(dǎo)，利用y'∣χ0=2,求出X。，代入曲線方程求出％,得到

切線的點(diǎn)斜式方程，化簡即可.

【詳解】設(shè)切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為(XO,j?),y=InX+X+l,y'=；+1,

/∣x=x0=?+1=2,x0=l,y0=2,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),

所求的切線方程為y-2=2(X-1),即y=2x.

故答案為：y=2x.

【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

16.(2021?全國?高考真題)已知打,尸2為橢圓C：3+t=l的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸，。為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的

164

兩點(diǎn)，且IPQl=IFIF2∣,則四邊形P&QF2的面積為.

【答案】8

【分析】根據(jù)已知可得PFllPF2，設(shè)IP尸i|=m,∣PF2∣=n,利用勾股定理結(jié)合τn+n=8,求出nm,四邊

形PFlQF2面積等于nm,即可求解.

【詳解】因?yàn)镽Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，

且IPQl=∣F1F21,所以四邊形PFlQ&為矩形，

22

設(shè)IPFll=mlIPF21=n,則m+n=8,m+n=48,

所以64=(Zn+n)2=m2+2mn+n2=48+2mn,

Tnn=8,即四邊形P&QF2面積等于8.

故答案為：8.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考

生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

（-）必考題：共60分。

17.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)

有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10.110.410.110.010.110310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為元和區(qū)樣本方差分別記為“和福.

（1）求元，y,sl，52；

（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果?-云≥2禺I則認(rèn)為新設(shè)

備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）.

【答案】（1）X=IOJ=10.3,sf=0.036,sf=0.04；（2）新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯

著提高.

【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算方法，計(jì)算出平均數(shù)和方差.

（2）根據(jù)題目所給判斷依據(jù)，結(jié)合（1）的結(jié)論進(jìn)行判斷.

.、斗皿、/,、-9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7YC

［詳解］（］）%=-------------------------------=10,

—10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5YCr

yj=-------------------------------1-0--------------------------------=10,3,

?0.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+0.32八八”

S1f=----------------------------1-0----------------------------=0.036,

222222Z22

70.2+0.1+0.2+0.3+0.2+0+0.3+0.2+0.1+0.2??

szi=----------------------1-0----------------------=0.04.

2

（2）依題意，y-x=0.3=2×0.15=2√0.15=2√0.0225,2「崢+。8=2√0,0076,

y∣10

y-x≥2所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.

18.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：

底面4BCD是邊長為8（單位：cm）的正方形，△EABAFBCAGCDQH∕λ4均為正三角形，且它們所在的平

面都與平面ABCO垂直.

⑴證明：EF//nABCD；

（2）求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）.

【答案】（1）證明見解析：

（2臂√1

【分析】（1）分別取4B,BC的中點(diǎn)M,N,連接MN,由平面知識可知EM_LAB,FNIBC,EM=FN,依題

從而可證EM_L平面力BCD,FNI平面4BCD,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知EM〃FN,即可知四邊形EMNF

為平行四邊形，于是E/7/MN,最后根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；

（2）再分別取4。,DC中點(diǎn)K,L,由（1）知，該幾何體的體積等于長方體KMNL-EFGH的體積加上四棱錐

B-MNFE體積的4倍，即可解出.

【詳解】（1）如圖所示：

分別取4B,BC的中點(diǎn)MN,連接MN,因?yàn)椤鱁AB,ZkFBC為全等的正三角形，所以EM_LAB,FNlBC,EM=

FN,乂平面E481平面ABCD,平面E4BC平面48CD=48,EMU平面EAB,所以EMl平面ABCD,同理

可得FNL平面ABCD,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知EM〃FM而EM=FN,所以四邊形EMNF為平行四邊

形，所以EF〃MN,又E尸￠:平面ABCD,AfNU平面ABCD,所以EF〃平面4BCC.

(2)［方法一］：分割法一

如圖所示：

分別取AD,。C中點(diǎn)K,3由(1)知，EFllMN旦EF=MN,同理有，HE//KM,HE=KM,HG//KL,HG=KL,

GF//LN1GF=LN,由平面知識可知，BD1MN,MN1MK,KM=MN=NL=LK,所以該幾何體的體

積等于長方體KMNL-EFGH的體積加上四棱錐8-MNFE體積的4倍.

因?yàn)镸N=NL=LK=KM=4√2,EM=8sin60o=4舊，點(diǎn)B到平面MNFE的距離即為點(diǎn)B到直線MN的距

離d,d=2√2,所以該幾何體的體積

V=(4√2)2×4√3+4×I×4√2×4√3×2√2=128√3+^√3=≤^√3.

［方法二］：分割法二

如圖所示：

連接AC,BD,交于O,連接OEQFQGQH.則該幾何體的體積等于四棱錐O-EFGH的體積加上三棱錐A-OEH

的4倍,再加上三棱錐E-OAB的四倍.容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH的中點(diǎn)P,連接AP,OP廁EH垂

直平面APO.由圖可知，三角形APe),四棱錐O-EFGH與三棱錐E-OAB的高均為EM的長.所以該幾何體的

體積

1r-fL?21LIr-L1LIr-/—64θV3

Vr=?4v3?(4v2J+4?-?4v2?—?4v2?4v3+4?—??4v3?—,4v2?4v2=———.

??w?X*?

19.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）設(shè)｛αn｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列,數(shù)列｛bn｝滿足國=等.已知%,3α2,9%成

等差數(shù)列.

（1）求｛an｝和｛bn｝的通項(xiàng)公式;

（2）記方和7；分別為｛%1｝和｛%｝的前〃項(xiàng)和.證明：Tn<^.

n1

【答案】⑴an=φ-,bn=~（2）證明見解析.

【分析】（I）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及為得到9q2一6q+1=0,解方程即可;

（2）利用公式法、錯(cuò)位相減法分別求出土,7n,再作差比較即可.

【詳解】（1）因?yàn)椋鸻j是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列且%,3?2,9的成等差數(shù)列，

2

所以6&=Ql.+9a3?所以6ct1q=a1+9a1qt

即9q2-6q+l=0,解得q=%所以aτι=（1嚴(yán)一兀

所以a=等=親

（2）［方法一］：作差后利用錯(cuò)位相減法求和

?+-+??+?-

?1=X嘉+3+9+…+?τ)

,l+?+?+?→2L

Γn-?=+++n

F3n~1?3,

則沁=■+9+[+???+手⑨

由⑧-⑨得J=-∣+(?+?+???+?)-M一??

π3

n1=

所以『71=^4×3-2^2×3^--2X3^7?

因此〃一蓑----------T-------------VU

2×3n^12×3n

故Tn<莖

［方法二］【最優(yōu)解】：公式法和錯(cuò)位相減求和法

證明：由⑴可得Sn=岑冥=|(1一/

%=]+套+?''+??+親①

lτn=^+?+???+?r+^π'②

①一②得那=抖2+專+???+專一提=?^一提="1-表)一券'

所以"=久1_劫_短，

所以"一-=∣(i-?)-?-^(i-?=-??0'

所以Tn<?1?

[方法三]:構(gòu)造裂項(xiàng)法

由(I)知％=n0"，令Cn=(an+0)Q)"，且幻=Cn-Cn+1，即n(∣)n=(an+°)C)"一[a(n+1)+

唬r，

通過等式左右兩邊系數(shù)比對易得a=l,β=γ所以Cn=(∣n+∣)?(∣)n.

則〃=b1+b2+■■■+bn=c1-cn+1=;-ɑ+7)(I),下同方法二.

[方法四]：導(dǎo)函數(shù)法

設(shè)/(x)=尤+χ2+χ3+—FXn=，(；：：),

nnnn+1n

.2pΓx(l-x)l,_[x(l-x)]∕(l-x)-[x(l-x)]×(l-x)/_l+nx-(π+l)x

田于[Ir]=(I-%)2=(I-X)2，

則尸(X)=1+2x+3x2+???+nxn-1=1+0二-(：+1)”.

又“=?=扣G)",

所以〃=瓦++壇+…+垢=,I+2X：+3XG)+…+n'G)=9.'G)=gx

1+ngp.(n+1)mM.(|+Dg；,下同方法二.

【整體點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)

學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時(shí)采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結(jié)構(gòu)類型靈活選擇，

關(guān)鍵是要看如何消項(xiàng)化簡的更為簡潔.

(2)的方法一直接作差后利用錯(cuò)位相減法求其部分和，進(jìn)而證得結(jié)論；

方法二根據(jù)數(shù)列的不同特點(diǎn)，分別利用公式法和錯(cuò)位相減法求得右,然后證得結(jié)論,為最優(yōu)解；

方法三采用構(gòu)造數(shù)列裂項(xiàng)求和的方法，關(guān)鍵是構(gòu)造Cn=(an+A)Gy,使匕=CTi-Cn+1，求得7；的表達(dá)式，

這是錯(cuò)位相減法的一種替代方法，

方法四利用導(dǎo)數(shù)方法求和，也是代替錯(cuò)位相減求和法的一種方法.

20.(2021?全國?統(tǒng)考高考真題)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2.

(1)求C的方程；

(2)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)尸在C上，點(diǎn)Q滿足而=9而，求直線OQ斜率的最大值.

【答案】(1)y2=4x；(2)最大值為

【分析】(1)由拋物線焦點(diǎn)與淮線的距離即可得解：

(2)設(shè)Q(XO,y°),由平面向量的知識可得P(IOXo-9,10y°),進(jìn)而可得XO=空等，再由斜率公式及基本不

等式即可得解.

【詳解】(1)拋物線C"=2px(p>0)的焦點(diǎn)F?,0),準(zhǔn)線方程為X=-導(dǎo)

由題意，該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為々一(-9=p=2,

所以該拋物線的方程為y2=4x；

(2)［方法一］：軌跡方程+基本不等式法

設(shè)Q(Xo,%)，則所=9>=(9-9xo,-9%)，

所以P(IoXO-9,IOytl),

由P在拋物線上可得(IOyO)2=4(1OXo-9),即劭=W比，

據(jù)此整理可得點(diǎn)Q的軌跡方程為y2=|*一*

所以直線OQ的斜率5=吃=金=繇，

10

當(dāng)y0—0時(shí),kgQ=0；

當(dāng)y°≠。時(shí)?kQ=+2，

0y°yi

當(dāng)y0>0時(shí)，因?yàn)?5y0+~≥2J25yo?^=30,

此時(shí)OVkoQ≤5當(dāng)且僅當(dāng)25y°=/,即y()=|時(shí)，等號成立；

當(dāng)Yo<。時(shí)，k0Q<0；

綜上，直線OQ的斜率的最大值為，

［方法二］：【最優(yōu)解】軌跡方程+數(shù)形結(jié)合法

同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程為必=IX-費(fèi).

設(shè)直線OQ的方程為y=kx,則當(dāng)直線。Q與拋物線y2=∣χ—高相切時(shí)，其斜率k取到最值.聯(lián)立

f2得1/一|尤+郎=0,其判別式A=(-∣)2-4∕c2χ^=o,解得k=±5所以直線OQ斜率

U~5X-25'

的最大值為，

［方法三］:軌跡方程+換元求最值法

同方法一得點(diǎn)Q的軌跡方程為y2=IX-親

設(shè)直線OQ的斜率為k,則/=田=白一言.

令2=t(θ<t≤岑)，則H=—口2+白的對稱軸為t=j,所以0≤∕2≤I,-≤k≤"故直線OQ斜率的

??T7?￡aO?Xc???

最大值為土

［方法四］:參數(shù)+基本不等式法

由題可設(shè)P(4f2,4t)(t>0),Q(X,y).

因?yàn)镕(1,0),而=9QF,所以(X-4Hy-4t)=9(1-x,-y).

(x-4t2=9(1—x)ClOx=4t2+9

于是,所以

[y-4t=-9y(IOy=4t

則直線OQ的斜率為?=舟

當(dāng)且僅當(dāng)4t=g,即t=|時(shí)等號成立，所以直線OQ斜率的最大值為土

【整體點(diǎn)評】方法一根據(jù)向量關(guān)系，利用代點(diǎn)法求得Q的軌跡方程，得到宜線OQ的斜率關(guān)于y的表達(dá)式,

然后利用分類討論，結(jié)合基本不等式求得最大值；

方法二同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程，然后利用數(shù)形結(jié)合法，利用判別式求得直線OQ的斜率的最大值,

為最優(yōu)解：

方法三同方法一求得Q的軌跡方程，得到直線OQ的斜率k的平方關(guān)于X的表達(dá)式，利用換元方法轉(zhuǎn)化為二

次函數(shù)求得最大值，進(jìn)而得到直線OQ斜率的最大值；

方法四利用參數(shù)法，由題可設(shè)P(4t2,4t)(t>0),Q(x,y),求得x,y關(guān)于t的參數(shù)表達(dá)式，得到直線OQ的斜率

關(guān)于t的表達(dá)式，結(jié)合使用基本不等式，求得直線。Q斜率的最大值.

21.(2020?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/全)=21nx+l.

(1)若/(x)≤2x+c,求C的取值范圍；

(2)設(shè)”>0時(shí)，討論函數(shù)g(X)=號等的單調(diào)性.

【答案】(1)［-l,+∞);(2)g(x)在區(qū)間(0,α)和(α,+8)上單調(diào)遞減,沒有遞增區(qū)間

【分析】⑴⑵法三］不等式f(x)≤2x+c轉(zhuǎn)化為/⑶-2x-c≤0,構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出新函數(shù)的

最大值，進(jìn)而進(jìn)行求解即可；

(2)對函數(shù)g(x)求導(dǎo)，把導(dǎo)函數(shù)g'(x)的分子構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)m(x),再求導(dǎo)得到m'(x),根據(jù)m'(x)的正負(fù)，

判斷m(x)的單調(diào)性，進(jìn)而確定g'(x)的正負(fù)性，最后求出函數(shù)g(x)的單調(diào)性.

【詳解】(1)

［方法一］【最優(yōu)解】：

/(x)≤2x+C等價(jià)于21nx-2x≤c-l.

設(shè)八(X)=21nx-2x,則h'(x)=|-2=生產(chǎn).

當(dāng)0<X<1時(shí)，∕ι,(x)>0,所以∕ι(x)在區(qū)間((U)內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)%>1時(shí)，∕ι,(x)<0,所以九(%)在區(qū)間(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞減.

故Pl(κ)］max=九(I)=一2,所以c-l≥一2,即c≥-l,所以C的取值范圍是［-1,+8).

［方法二］:切線放縮

若/(%)≤2x+c,即21nx+1≤2x+c,∏Plnx<x+U當(dāng)Xe(°，+8)時(shí)恒成立，

而y=InX在點(diǎn)(Lo)處的切線為y=x-1,從而有InX≤x-1,

當(dāng)Xe(O,+8)時(shí)恒成立，即學(xué)2一1,則c≥-ι.所以C的取值范圍為［-1,+8).

［方法三］：利用最值求取值范圍

函數(shù)f(X)的定義域?yàn)椋?0,+8)

/(x)≤2%+c=/(%)-2%-c≤0=>21nx+1-2x-c≤0(*),

設(shè)八(X)=2lnx+l-2x-c(x>0),則有∕ι,(x)=∣-2=

當(dāng)%>1時(shí)，∕√(x)<0,/I(X)單調(diào)遞減，

當(dāng)0VxVl時(shí)，∕√(x)>0,∕ι(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)％=1時(shí)，函數(shù)九(X)有最大值，

即九(%)max=Λ(l)=21nl+1—2x1—C=-1—c,

要想不等式(*)在(0,÷∞)上恒成立,

只需∕l(x)max≤O=>-1-C≤O=>C>-1;

所以C的取值范圍為［―I,+8).

2E%+1-⑵nα+l)、C口,

(-Z-(I-n-x-I-n-a)(,X>。且X≠a)?

2)g(x)=x-a

2(Xlna)

因此g'(x)=」一：(；*：,設(shè)Zn(X)=2(X-α-XInX+xlnα),

則有m'(x)=2(lnα—Inx),

當(dāng)x>α?xí)r，Inx>lnα,所以n√(x)<0,Tn(X)單調(diào)遞減，因此有m(x)<zn(a)=0,即

g'(χ)<0,所以g〈)單調(diào)遞減;

當(dāng)0<X<a時(shí)，Inx<Ina,所以τn'(x)>0,m(x)單調(diào)遞增，因此有m(x)<τn(a)=0,即g'(x)<0,

所以g(x)單調(diào)遞減，

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,a)和(a,+8)上單調(diào)遞減，沒有遞增區(qū)間.

【整體點(diǎn)評】(1)方法一：分類參數(shù)之后構(gòu)造函數(shù)是處理恒成立問題的最常用方法，它體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)

學(xué)思想，同時(shí)是的導(dǎo)數(shù)的工具也得到了充分利用;

方法二：切線放縮體現(xiàn)了解題的靈活性，將數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用到了解題過程之中，掌握常用的不等式是

使用切線放縮的基礎(chǔ).

方法二：利用最值確定參數(shù)取值范圍也是一種常用的方法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。

［選修4d：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

22?(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)在直角坐標(biāo)系XOy中，曲線C的參數(shù)方程為儼=7fc°s2t,(/為參數(shù))，以

Iy=2sιnt

坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線/的極坐標(biāo)方程為PSine+3+m=0.

(1)寫出/的直角坐標(biāo)方程；

(2)若/與C有公共點(diǎn)，求m的取值范圍.

【答案】(1)8%+y+2m=0

【分析】(1)根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式處理即可；

(2)方法一：聯(lián)立1與C的方程，采用換元法處理，根據(jù)新設(shè)a的取值范圍求解m的范圍即可.

【詳解】(1)因?yàn)?：psin(j+§+τn=0,所以gp?sin。+中p?cos。+m=0,

又因?yàn)镻?sin。—y,p`cosθ=x,所以化簡為Ty+yx+m=O,

整理得1的直角坐標(biāo)方程：√3x+y÷2m=O

(2)[方法一]：【最優(yōu)解】參數(shù)方程

聯(lián)立1與C的方程，即將X=V3cos2t,y=2sint代入V5%+y+2m=0中，

可得3cos2t+2sint+2m=On3(1—2sin2t)+2sint+2m=0,

化簡為-6si∏21+2sint+3+2m=0,

要使1與C有公共點(diǎn)，則2m=6sin2t-2sint-3有解,

令Sint=a,則Q∈[—1,1],令f(α)=6a2—2a—3,(―1≤a<1),

對稱軸為Q=g開口向上，

λ/(ɑ)mɑz=/(-1)=6+2-3=5,

/(a)min=∕?)=?-∣-3=-^

.?.-^≤2m≤5,即m的取值范圍為I-S|].

[方法二]：直角坐標(biāo)方程

由曲線C的參數(shù)方程為儼=vfc°s2t,土為參數(shù)，消去參數(shù)t,可得曠2=一當(dāng)》+2,

(y=2smt?

√3x+y+2m=O/1λ2Ig

聯(lián)立√3,得3y2-2y—4τn-6=0(一2≤y≤2),即4m=3y2-2y-6=3(y--)一一,

V2=---2---X+2\3/3

j3

即有一g≤4m≤10,即一∣∣≤m≤∣,???τn的取值范圍是∣-*∣]?

【整體點(diǎn)評】方法一：利用參數(shù)方程以及換元，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，是該題的最優(yōu)解；

方法二：通過消參轉(zhuǎn)化為直線與拋物線的位置關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域，與方法一本質(zhì)

上差不多，但容易忽視y的范圍限制而出錯(cuò).

[選修4-5：不等式選講](10分)

23.(2021?全國,統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)=∣x-α∣+∣x+3∣.

(1)當(dāng)α=l時(shí)，求不等式f(x)≥6的解集；

(2)若/(x)>-α,求Q的取值范圍.

【答案】(1)(-∞,-4]U[2,+∞).(2)(-∣,+∞).

【分析】(I)利用絕對值的幾何意義求得不等式的解集.

(2)利用絕對值不等式化簡/(x)>-α,由此求得ɑ的取值范圍.

【詳解】(1)［方法一］：絕對值的兒何意義法

當(dāng)α=l時(shí),/(x)