內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市紅山區(qū)2022-2023學年高一上學期期末數(shù)學試題解析版

紅山區(qū)2022-2023學年第一學期期末質(zhì)量檢測試卷

d?-必JJ”.

高一數(shù)學

注意事項：

1.本試卷分為第I卷(選擇題)和第∏卷(非選擇題)兩部分.考生作答時，請將第I卷選擇

題的答案用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動用橡皮擦干凈后重新填

涂；請將第∏卷的答案用黑色中性筆答在答題卡指定答題區(qū)域內(nèi)，在本試卷上答題無效.考試

結(jié)束后，將答題卡交回，試卷自行保留.

2.所有同學們答卷時請注意：

(1)題號后標注學校的，相應學校的學生解答；

(2)沒有標注學校的題所有學生均需解答.

3.本試卷共150分，考試時間120分鐘.

第I卷(選擇題共60分)

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

已知集合則尸)

1.P={x"<x<4},Q={x?2<x<3}ιQ=(

A.{Λ∣1<x≤2}B.{Λ∣2<x<3}

C.{x∣3≤x<4)D.{Λ∣1<X<4}

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)集合交集定義求解.

【詳解】Plβ=(1,4)I(2,3)=(2,3)

故選：B

【點睛】本題考查交集概念，考查基本分析求解能力，屬基礎題.

2.下面圖象中，不能表示函數(shù)的是()

A.

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的概念結(jié)合條件分析即得.

【詳解】因為由函數(shù)概念可知，一個自變量對應唯一的一個函數(shù)值，故ABD正確;

選項C中，當戶O時有兩個函數(shù)值與之對應，所以C錯誤.

故選：C.

3.有一個扇形的弧長為面積為則該弧所對圓心角為()

24

兀兀兀TI

A.—B.-C.-D.一

2436

【答案】A

【解析】

【分析】由扇形的面積和弧長公式代入求解即可.

π

【詳解】設扇形的半徑為R,由扇形的面積S=—,

4

兀1兀

得S=_=_X二R,得R=I,

422

π

則扇形的圓心角I2π■

a=——=4=一

R12

故選：A.

4.集合論是德國數(shù)學家康托爾(G.Cantor)于19世紀末創(chuàng)立的.在他的集合理論中，用Card(A)表示有

限集合A中元素的個數(shù)，例如：A={a,b,c},則Card(A)=3.對于任意兩個有限集合A,B,有

Card(ADB)=Card(A)+card(8)-Card(AC3).某校舉辦運動會，高一(1)班參加田賽的學生有15

人，參加徑賽的學生有13人，兩項都參加的有5人，那么高一(1)班參加本次運動會的人數(shù)共有

康托爾(1845—1918)

A.28B.23C.18D.16

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)所給公式Card(AUB)=Card(A)+card(8)-card(AcB)即可代入求解.

【詳解】設參加田賽的學生組成集合A,則Card(A)=15,參加徑賽的學生組成集合B,則

Card(B)=13,由題意得Card(A8)=5,所以,

card(AB)=Card(A)+card(8)—Card(Al8)=15+13—5=23,

所以高一(1)班參加本次運動會的人數(shù)共有23.

故選：B

12

5.當x>0時，y=-+4x的最小值為()

X

A.4B.8C.8√3D.16

【答案】C

【解析】

【分析】利用基本不等式求解即可.

12

［詳國基］*/%>0,/.一>0,4x>0?

X

當且僅當竺=即時取最小值

：.??-+4X≥2Λ—×4Λ=8√3,4x,X=G86?

XVΛX

故選：c.

【點睛】本題考查利用基本不等式求和的最值，屬于基礎題.

6.命題“存在實數(shù)X,,使χ>r'的否定是()

A.對任意實數(shù)X,都有X>1B.不存在實數(shù)X,使x≤1

C.對任意實數(shù)X,都有x≤1D.存在實數(shù)X,使x≤1

【答案】C

【解析】

【詳解】解：特稱命題的否定是全稱命題，否定結(jié)論的同時需要改變量詞.

?.?命題“存在實數(shù)X,使X>1”的否定是

“對任意實數(shù)X,都有

故選C.

7.已知α=log2O.21=2°?2,c=0.2°3,則

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

【答案】B

【解析】

【分析】運用中間量0比較α,c,運用中間量1比較0，c

【詳解】α=log2O?2<bg2l=O,b=2°2>2°=1,0<0.2°3<0.2°=1,則0<c<l,α<c<∕?.故選B.

【點睛】本題考查指數(shù)和對數(shù)大小的比較，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng).采取中間變量法，利用轉(zhuǎn)化與

化歸思想解題.

(四中)

8.將函數(shù)〃x)=sin@x?>0)的圖象向右平移合個單位長度得到函數(shù)y=g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)

71

在區(qū)間o,?上是單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)①可能的取值為()

35

A.—B.3C.—D.2

26

【答案】C

【解析】

【分析】首先可得g(x)=sin,x-詈)，然后當Xe0,y時，S-得∈一詈,然后建立

?JL4y41乙?4JL4

不等式求解即可.

【詳解】因為將函數(shù)/(x)=sin3x(G>0)的圖象向右平移2個單位長度得到函數(shù)y=g(x)的圖象，

所以g(x)=sin<υX-S=Sinωx-^-

1212

因為函數(shù)g（χ）在區(qū)間θ?上是單調(diào)增函數(shù)，所以—婦工

_2_122122

解得0<<y≤s

故選：C

（實驗）

9.下列函數(shù)中,既為偶函數(shù)又在（0,萬）上單調(diào)遞增的是

X

A.y=cosIXIB.y=CosI-XlDC.y=-si?n—

2

【答案】C

【解析】

【分析】

對每一個選項逐一分析判斷得解.

【詳解】A.y=cos∣x∣,是偶函數(shù)，在（0,萬）上單調(diào)遞減，所以該選項錯誤;

B.y=cos∣-x∣=cos∣x∣,在（0,%）上單調(diào)遞減，所以該選項錯誤;

C.?=sinL-∣j=-cos%,是偶函數(shù)，在在（0,4）上單調(diào)遞增，所以該選項正確；

D.y=-sin∣,是奇函數(shù)，所以該選項錯誤.

故選：C

【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

10.（多選）下列函數(shù)不存在零點的是（）

?y-χ----B.y=yj2χ2-X+↑

x+l,x≤0fx+l,x≥O

C.yD.y=<

x-l,%>0x-l,%<0

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)零點的定義，令y=o解方程即可.

【詳解】A選項中，令y=0,解得x=±l,故-1和1是函數(shù)y=x-L的零點；

X

B選項中，令y=0,則2/_1+1=0，因為A=(—I)?—4x2x1=—7<0,所以該方程無解，所以函數(shù)

y=y∣2x2-x÷l無零點；

x+l,x≤0,

C選項中，令y=0,解得χ=±l,故-1和1是函數(shù)y=<C的零點；

Λ-1,X>O

x+l,x≥0,

D選項中，令y=0,方程無解，故函數(shù)y={八無零點.

X—1,%<0

故選：BD.

11.下列結(jié)論成立的是()

A.若ac>be,則“>b

B.若α>6,c<d,則α+c>b+4

C.若a>b,c>d,則α-d>8—C

D.若α<匕<0,則/>b?

【答案】CD

【解析】

【分析】對于A,運用舉反例的方法，可判斷；

對于B,由只有不等式同向才有可加性可判斷；

對于C,由c>d,得一d〉-c,根據(jù)不等式的同向可加性可判斷；

對于D,由α<6<0,得一。>—人>0,根據(jù)不等式的正數(shù)同向可乘性可判斷.

【詳解】對于A,取α=l,h=2,c=-l,1??ac>be,但α<b,故A不成立；.

對于B,a>b,c<d,■-a-c>h-d,得不出α+c>b+d,故B不成立；

對于C,c>d,-J>—c.又a>b，a—d>b-c>故C成立：

對于D,a<b<O>'-a>-b>O,■--a?-d)>-b[-b^,即故D成立.

故選:CD.

【點睛】本題考查運用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立，關鍵在運用不等式的性質(zhì)時，需嚴格滿足所需

的條件，屬于基礎題.

12.已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域都為R,且/(X)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是

()

A.7(x)Ig(X)I是奇函數(shù)B.∣∕(x)∣g(x)是奇函數(shù)

C.7(x)g(x)是偶函數(shù)D?∣∕(x)g(x)∣是偶函數(shù)

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義可得/(r)=?√(x),g(%)=g(-X)，則分別判別四個選項，可得答案.

【詳解】因為/(X)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，所以/(τ)=-√(x),g(x)=g(-x).易得

〃-x)Ig(T)I=-〃x)Ig(X)I，故/(x)Ig(X)I是奇函數(shù)，A正確；

∣∕(T)Ig(T)=卜〃X)Ig(X)Tf(X)Ig(%),故∣∕(χ)Ig(X)是偶函數(shù),B錯誤；

/(-x)g(-x)=-∕(x)g(x),故/(x)g(x)是奇函數(shù),C錯誤；

∣∕(τ)g(-χ)∣=H'(χ)g(χ)∣T∕(χ)g(χ)∣,故∣∕(χ)g(χ)∣是偶函數(shù),D正確.

故選：AD.

(四中)

13.對于實數(shù)X,符號印表示不超過X的最大整數(shù)，例如[R=3,[-1.5]=-2,定義函數(shù)/(x)=x-[x],

則下列命題中正確的是()

A./(-3.9)=/(4.1)B.函數(shù)f(χ)的最大值為1

C.函數(shù)Ax)的最小值為OD.方程/(x)—；=O有無數(shù)個根

【答案】ACD

【解析】

【分析】對A選項直接計算進行判斷，B、C、D選項根據(jù)新的定義，研究函數(shù)/(x)的性質(zhì)，逐項分析即可.

【詳解】/(-3.9)=(-3.9)-[-3.9]=-3.9-(-4)=0.1,/(4.1)=4.1-[4.1]=4.1-4=0.1,故A正確;

顯然x-l<[x]≤x,因此0≤x-[x]<l,.?.∕(χ)無最大值，但有最小值且最小值為0,故B錯，C正確；

方程/。)一；=0的解為X=A+g(Z∈Z),故D正確.

故選：ACD.

(實驗)

14.已知函數(shù)/(x)=I則下列X的范圍滿足不等式/(V+x+3)>∕(3χ2-3)的是

A.(-2,1)

【答案】BCD

【解析】

【分析】畫出函數(shù)/(X)的圖象，由圖象可知函數(shù)/(X)在(-8,+8)上為增函數(shù)，再利用函數(shù)/(X)的單調(diào)性

簡化不等式，即可得到結(jié)果.

2x-l,x<1

【詳解】因為函數(shù)/(X)=<2,，畫出函數(shù)圖象如圖所示:

X,x>1

所以函數(shù)/O)在(-∞,+8)上為增函數(shù)，

由/(d+χ+3)>∕(3χ2-3”號χ2+χ+3>3χ2-3,

即2d一χ-6<0

3

解得一—<x<2,

2

故選：BCD.

第∏卷(非選擇題，共90分)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

15.tan24()°=.

【答案】√3

【解析】

【詳解】tan240o=tan(180o+60o)=tan60o=√3.故答案為：√3.

、

16.己知己函數(shù)於)的圖象過點(4,2),則

k8√

【答案】昱

4

【解析】

【分析】根據(jù)圖象過點的坐標，求得幕函數(shù)解析式，再代值求得函數(shù)值即可.

【詳解】設累函數(shù)為),=χβ(α為常數(shù)).

1

?.?函數(shù)∕x)的圖象過點(4,2),...2=4%.?a=z—

2

T_T2

?\/U)=JL?

Λ,88^V

故答案為：立

4

【點睛】本題考查幕函數(shù)解析式的求解,以及基函數(shù)函數(shù)值的求解，屬綜合簡單題.

X2+1,X≤1

17.設函數(shù)f(x)=<2，則/(/(3))=

X>1

IX

13

【答案】—

9

【解析】

【分析】

直接根據(jù)分段函數(shù)解析式代入求值即可;

Λ+1,Λ≤122213

[詳解]因為/(X)=2，所以/(3)=彳，所以∕?(∕(3)=∕(Q=g)2+]=3

—,x>13339

13

故答案為：—

9

22；,3有〃χj≤g(χz),

18.已知函數(shù)/(x)=l0g3(x-l),g(x)=x-2x+a,3xl∈[2,+∞),?x2∈

則實數(shù)a的取值范圍是

【答案】a≥2

【解析】

【分析】由題意可得Iyn)LI≤?(χ2)]min,分別求Iya)L,[g(w)h即可求得答案?

【詳解】3xl∈[2,-κ>o),?x2∈?,?有/(χl)≤g(χ2)等價于當Xle[2,+∞),x2∈|,3時，

"(XJLlw[g(/)kr

：xe[2,+00)時，則％2_123，且yT0g3X在定義域內(nèi)為增函數(shù)，

則Iog3(χ2-l)≥log33=l,

所以函數(shù)/(x)=Iog3任一1)在[2,+∞)上的最小值/(x)mjιι=/(2)=1,

又?.?g(x)=Y-2χ+α的圖象開口向上且對稱軸為x=l∈|,3,

則g(x)在：，3上最小值g(x)mhι=g(l)=α-l,

1≤rz-l,解得a≥2.

故答案為：a≥2.

【點睛】結(jié)論點睛：

?%eA,YxlWB,/(xj≤g(x2),等價于[/(xj]maxw[g(%)k；

?x∣eA,3x2∈B."xj≤g(w),等價于[/(x∣)]max<卜(％2)]皿；

叫∈A,Vx2∈β,_(xj≤g(Λ2),等價于[∕α)]min≤[g(/)L1;

電∈A,3x2eB,/(x,)≤g(x2),等價于[/(X)Ln≤[g(/)]max.

四、解答題：寫出必要的計算步驟，只寫最后結(jié)果不得分，共70分.

2

19.已知命題“關于X的方程x+mχ+2m+5^0有兩個不相等的實數(shù)根''是假命題.

(1)求實數(shù)機的取值集合A；

(2)設集合5={x∣l-24<x<α-l},若XeA是XeiB的充分不必要條件，求實數(shù)”的取值范圍.

【答案】(1)A={x∣-2≤∕n≤10};(2)fl≥ll.

【解析】

【分析】

(1)先令A=∕√一4(2〃/+5)>0求出方程V+如+2m+5=0有兩個不相等的實數(shù)根”是真命題時加

的范圍，再求補集即可;

1—2Q≤—2

（2）由題意可知AB,可得〈ι,八，解出11,再檢驗端點值即可.

【詳解】（1）若關于X的方程M+g+2m+5=0有兩個不相等的實數(shù)根''是真命題,

貝IJA=z√-4（2m+5）＞0,即加2一8加一20＞0，

解得：m＜一2或機＞10,

所以方程/+mx+2m+5=O有兩個不相等的實數(shù)根''是假命題則{xI-2≤加≤10},

所以A={x∣-2≤zn≤10},

（2）XeA是XeB的充分不必要條件，則AB,

1—2,a≤—2

則＜.,C，解得α≥U,

tz-l≥10

經(jīng)檢驗α=ll時，B={%∣-21＜x≤10},滿足AB,所以α=ll成立，

所以實數(shù)α的取值范圍是4211.

【點睛】結(jié)論點睛：本題考查充分不必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：

（1）若，是4的必要不充分條件，則夕對應集合是P對應集合的真子集；

（2）夕是夕的充分不必要條件，則。對應集合是4對應集合的真子集；

（3）P是夕的充分必要條件，則，對應集合與夕對應集合相等；

（4）〃是夕的既不充分又不必要條件，夕對的集合與。對應集合互不包含.

20.已知/（X）=」一，x∈[2,6].

X-l

2

（1）解不等式/（x）＞y;

（2）判斷并證明函數(shù)/（X）的單調(diào)性.

【答案】（1）2,g）

（2）減函數(shù)，證明見解析

【解析】

【分析】（1）先去分母，把分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式進行求解；

（2）利用單調(diào)性的定義進行證明.

【小問1詳解】

]22277?

由——>—，x∈[2,61,得1>—X-一，解得2≤x<-,即不等式解集為2,-.

x-15lj552|_2)

【小問2詳解】

在XG[2,6]減函數(shù).證明如下：

設2?內(nèi)/?6,則/(XJ一八々)=專一《二ɑ5)1；二])，

因為M-I>0,x2-1>0,x2-xl>0,

所以Fa)-/(/)>0,

即/(%)>/(％).

所以/(x)是[2,6]上的減函數(shù).

21.已知f(x)的定義域為(0,十8),且滿足f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),又當x2>x1>O時，f

(x2)>f(x∣).

(1)求f(1)、f(4)、f(8)的值；

(2)若有f(X)+f(χ-2)≤3成立，求X的取值范圍.

【答案】(I)0,2,3(2)(2,4J

【解析】

【詳解】試題分析：(1)令x=y=l可求得/⑴，令X=y=2可求得“4),令X=y=4可求得〃8)；

(2)借助于(1)的結(jié)論將不等式轉(zhuǎn)化為f[x(χ-2)]<f(8),借助于函數(shù)單調(diào)性和定義域可得到關于X的

不等式，從而得到X的取值范圍

試題解析：(1)f(1)=f(1)+f(1),Λf(1)=0,f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2,

f(8)=f(2)+f(4)=2+1=3.

(2)Vf(x)+f(χ-2)<3,Λf[x(x-2)]<f(8),又；對于函數(shù)f(x)有x2>x∣>0時f(x2)>f

(xl),Λf(X)在(0,+∞)上為增函數(shù).

%>0

{x-2>0=>2<x<4.

x(x-2)≤8

.?.x取值范圍為(2,4]?

考點：1.賦值法求值；2.函數(shù)單調(diào)性解不等式

22.甲廠以X千克/小時的速度運輸生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求l<x≤l()),每小時可獲得利潤是

100(5x+l--)元.

x

(D要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于3000元，求X的取值范圍：

(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：甲廠應該選取何種生產(chǎn)速度？并求最大利潤.

【答案】(1)3<X≤10(2)χ=6時，?K-j玨,=￠里？軸則元

【解析】

【詳解】⑴根據(jù)題意，200(5升1一［，3000,即5x—14-3對.又IWXWI0,可解得gxRO.

(2)設利潤為y元，則y=型SlOOl5x+l—2]=9X104-3∣?-?j+^?

XIx)?xGJ12

故x=6時，ymaχ=457500元.

(四中)

23.已知函數(shù)/(x)=sin(2x+?)+Sin2x-y")+2cos2x-l?

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;

JT?jr

(2)求函數(shù)/(X)在區(qū)間-i，］上的最大值和最小值.

?jrjr

【答案】⑴函數(shù)/(x)的最小正周期為乃，單調(diào)遞增區(qū)間為一/+而，7+丘，Λ∈Z.(2)最大值

OO

為0,最小值為-1.

【解析】

【分析】(I)先利用兩角和與差的正弦公式，二倍角公式，輔助角公式化簡)(X),可得

/(Λ)=√2sin∣2x+?j,即可根據(jù)周期公式求出最小正周期,

'Ji)7'Ji

由一生+2∕r%≤2x+生≤'+2左乃即可求出單調(diào)遞增區(qū)間;

242

“八Cπ兀3)π)1)1)13)4

(2)令6=2XH"—∈,——由y=sin8在一/萬上遞增，在?,-上遞減，即可求出函數(shù)

444

/(x)在區(qū)間一(上的最大值和最小值.

【詳解】(1)/(X)=Sin2xH—I+sin2x----

?jI3+2COs~1一1

=2sin2xcos?+cos2x=sin2x+cos2x=V∑sin12元+?

所以，函數(shù)/(χ)的最小正周期為T=手=》.

'11')Ij")L7/

令---F2kτι≤2xH—≤—I-2kτι，解得-----Fkτι≤x≤—Fkτr，?∈Z.

24288

3乃Tt

所以，函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為---+kπ,-+kπ,Z∈Z.

OO

,八C九冗3πTTTTTT\冗

(2)令6=2x+-∈----,——y=sin8在一］，,上遞增，在,，一“上遞減，

444

所以，當O=J即X=?時，Λιax=f(^\=y∕2,

Zo\o√

當即x=q時，篇=/

【點睛】本題主要考查三角恒等變換，三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小正周期的求法，以及正弦型函數(shù)在閉區(qū)

間上的最值求法，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學運算能力，屬于中檔題.

(實驗)

24.己知函數(shù)/(x)=2Sinl2x+￡[XGR).

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)求/(x)在區(qū)間θ?上的最大值和最小值.

Tiπ

【答案】(1)最小正周期為兀，單調(diào)遞增區(qū)間為kπ--,kπ+-,ZeZ

_36

(2)最大值為2,最小值為一1

【解析】

【分析】(1)利用周期的公式求解，利用整體代入求解單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)利用X的范圍求出2%+弓的范圍，結(jié)合Sin(2x+言］的范圍可得區(qū)間最值.

【小問1詳解】

由/(x)=2Sin2x+?^J.

???函數(shù)/(x)的最小正周期T=亍=π.

rJi7LrJi

由2E—'≤2x+'≤2E+C,左∈Z得

262

,π,π,,

KTt----≤X≤KH4----,K∈Zr.

36

JTJT

.?./(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ--,kπ+-,kwz.

【小問2詳解】

八兀C兀π7π

∈一∈.兀1∈

?φ*X0,,.?.2xH—,,Λsin2x+-5」，

L2」66^6^I6)

：,∕ω∈[-1,2].

.?.函數(shù)/(X)在區(qū)間0,|上的最大值為2,最小值為-1.

(四中)

25.記S(α])=α”,其中α∈(0,l).(l,+w),例如S(2,3)=23=8.

(1)若S(W求X的取值集合；

(2)解關于X的不等式S(α,χ2-χ)>s(a,∣R);

(3)己知對任意正整數(shù)上,實數(shù)4滿足S伏+l,αj=攵+2,記T=勺，其中〃為正整數(shù)，若

T∈Z且〃≤100,求W的取值集合.

【答案】(1)0

(2)答案見解析(3){2,6,14,30,62)

【解析】

12

【分析】(1)由已知可得∏=x,解此方程即可得解；

X

(2)由題意可得出相J*>qW,分]>l兩種情況結(jié)合二次不等式的解法解原不等式即可得解;

In(Z+2)

(3)求得4=,可求得T=IOg2(〃+2),求出〃+2的取值范圍，可得出T的取值集合，即可

ln(?+l)

求得〃的取值集合?

【小問1詳解】

解：由題意可知S（W,