2023-2024學(xué)年寧夏吳忠市高二年級上冊期末考試數(shù)學(xué)（理）試題（含解析）

2023-2024學(xué)年寧夏吳忠市高二上冊期末考試數(shù)學(xué)(理)

試題

一、單選題

1.已知集合Z={x|lgx41},8={x|x<l},則/C低8)=()

A.(x|l<x<10}B,{x|l<x<10}

C.{x|0<x<l}D.{x|l<x<10}

【正確答案】B

【分析】解對數(shù)不等式化筒集合A,再根據(jù)補集和交集的概念可求出結(jié)果.

【詳解】由IgxVl,得0<x410,4={x［0<xWI0},又8={x|x<l},

所以Q8={x|x21},^n(^S)={x|l<x<10}.

故選：B.

2.已知向量1=(1,2),6=(3,-1),c=(l,2).若己〃(1+9，則兒=()

11

A.——B.-C.—D.—

6544

【正確答案】D

【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.

【詳解】?.2+6=(4,1),cll(a+b\.-.4/1=1,解得.兀=；

故選：D.

3.某市要對全市出租車司機的年齡(單位：歲)進(jìn)行調(diào)查，現(xiàn)從中隨機抽出100名司機，

已知抽到的司機年齡都在區(qū)間［20,45］內(nèi)，根據(jù)調(diào)查結(jié)果得出司機年齡情況的殘缺的頻率分

布直方圖如圖所示，利用這個殘缺的頻率分布直方圖估計該市出租車司機年齡的中位數(shù)是

)

A.31.6歲B.32.6歲C.33.6歲D.36.6歲

【正確答案】C

【分析】先求出（25,30］的頻率，然后求中位數(shù).

【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖中的頻率和為1,設(shè)（25,30］的頻率為x,

可歹IJ式得：（0.01+0.07+0.06+0.02）x5+x=\:.x=0.2

又因為［20,30］的頻率為0.01x5+0.2=0.25<0.5,［20,35］的頻率為0.25+0.07x5=0.6>0,5,

所以中位數(shù)位于（30,35］之間，設(shè)為丁可列示為0.25+（尸30*0.07=0.5，”33,6歲

故選：C

4.已知a,P，7是三個不同的平面，〃?，〃是兩條不同的直線，下列判斷正確的是（）

A.若。Ly,則a//〃B.若"?_Ly,,則而/〃

C.若aJ?夕，mua,nu0,則加_L〃D.若a//〃，加ua,nu。，則加〃“

【正確答案】B

【分析】由空間中直線與直線、直線與平面以及平面與平面位置關(guān)系的判定逐一核對四個選

項得答案.

【詳解】解：對于A,由a_L7,八y,得a〃6或口與尸相交，故A錯誤；

對于8,由機_L7,nl/,利用線面垂直的性質(zhì)可得〃?〃"，故8正確；

對于C,由a_L￡,mua,nu。,得“_L〃或加〃〃或加與“相交或加與〃異面，故C錯

誤；

對于。，由a〃夕，mua,nu/3,得用〃〃或加與〃異面.

???判斷正確的是B.

故選：8.

本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查空間中直線與直線、直線與平面以及平面與平面位置

關(guān)系的判定，考查空間想象能力與思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.維生素C又叫抗壞血酸，是一種水溶性維生素，是高等靈長類動物與其他少數(shù)生物的必

需營養(yǎng)素.維生素C雖不直接構(gòu)成腦組織，也不向腦提供活動能源，但維生素C有多種健腦

強身的功效，它是腦功能極為重要的營養(yǎng)物.維生素C的毒性很小，但食用過多仍可產(chǎn)生一

些不良反應(yīng).根據(jù)食物中維C的含量可大致分為：含量很豐富：鮮棗、沙棘、物猴桃、柚子,

每100克中的維生素C含量超過100毫克；比較豐富：青椒、桂圓、番茄、草莓、甘藍(lán)、

黃瓜、柑橘、菜花，每100克中維生素C含量超過50毫克；相對豐富：白菜、油菜、香菜、

菠菜、芹菜、覽菜、菜苔、豌豆、史豆、蘿卜，每100克中維生素C含量超過30?50毫克.

現(xiàn)從狒猴桃、柚子兩種食物中測得每100克所含維生素C的量（單位：mg）得到莖葉圖如

圖所示，則下列說法中不正確的是（）

褲猴桃柚子

4210

31134

211211

41312

A.穗猴桃的平均數(shù)小于柚子的平均數(shù)

B.狒猴桃的方差小于柚子的方差

C.賽猴桃的極差為32

D.柚子的中位數(shù)為121

【正確答案】B

【分析】A.根據(jù)莖葉圖分別算出舞猴桃的平均數(shù)和柚子的平均數(shù)比較即可.B.根據(jù)莖葉圖

中的數(shù)據(jù)的波動情況判斷C.根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)計算即可.D.根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)計算即

可.

【詳解】由莖葉圖知，舜猴桃的平均數(shù)為°?*"122.+121-13J=1]6,柚子的平均

6

數(shù)為114+113+121：121+131+132=122,則舜猴桃的平均數(shù)小于柚子的平均數(shù)，故A正確;

6

物猴桃的數(shù)據(jù)波動比袖子的數(shù)據(jù)波動大，所以穗猴桃的方差大于柚子的方差，故B錯誤；

獅猴桃的極差為134-102=32,故C正確；

柚子的中位數(shù)為曳產(chǎn)=121,故D正確.

故選：B

本題主要考查樣本估計總體中的數(shù)字特征，還考查了理解辨析，運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)

題.

6.不等式（。-3），+2（。-3）*-6<0對一切xeR恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）.

A.（-3,3）B.[-3,3]C.（-3,3]D.[-3,3）

【正確答案】C

【分析】討論”=3和a*3兩種情況，列式求實數(shù)a的取值范圍.

【詳解】當(dāng)a=3時,-6<0恒成立,

a-3<0

當(dāng)a*3時，..八八，解得：一3<”3,

△=4（a-3）2+24（a-3）<0

綜上可知，-3<aW3.

故選：C

7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的數(shù)5=3,那么判斷框內(nèi)可以填寫的是（）

A.A>6?B.k<6?C.A>7?D.左47?

【正確答案】C

由程序框圖，寫出運行結(jié)果，根據(jù)程序輸出結(jié)果是S=3,可得判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件.

【詳解】初始S=0,m=2,k=l,第一次運行S=2,,"=1,左=2不輸出，

2

第二次運行S=：,，〃=-l,/=3不輸出，

2

3

第三次運行$=:,，〃=2/=4不輸出，

2

71

第四次運行5=：,旭=：,4=5不輸出，

第五次運行5=4,加=-1,%=6不輸出，

第六次運行S=3,機=2,4=7,停止運行輸出5=3,

所以判斷框要填％27?.

故選：C.

本題考查補全循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖，模擬程序運行是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

8.某校有5名大學(xué)生觀看冰球，速滑，花滑三場比賽，每場比賽至少有1名大學(xué)生且至多

2名大學(xué)生觀看，則這5人觀看比賽的方案種數(shù)為（）

A.150B.90C.60D.15

【正確答案】B

【分析】通過排列組合，先分組，再分配即可求出.

c；c；c；

【詳解】將5名大學(xué)生分為1,2,2三組，共有=15種方法,

A；

則將這三組分配給觀看冰球，速滑，花滑三場比賽，共有15xA；=90種方法,

則這5人觀看比賽的方案種數(shù)為90種，

故選：B

9.已知。，beR,且2"6-2=0,則9"+"的最小值為（）

A.2B.4C.6D.8

【正確答案】C

【分析】利用均值不等式結(jié)合指數(shù)塞的運算即可求得答案

【詳解】解：因為2a-b-2=0,所以2“-6=2

因為3?">0,3">0,

所以9"+"=32n+3"2232a力R=2爐氣2后=6,

32,1=3~h\a=-

當(dāng)且僅當(dāng)cLc即2時，取等號，

〔2"b=2b=_]

故9"+攝的最小值為6,

故選：C

10.+的展開式中的常數(shù)項為（）

A.240B.-240C.400D.80

【正確答案】D

【分析】根據(jù)二項式定理求解的展開式中的常數(shù)項和含的項的系數(shù)，進(jìn)而求解

卜3+1）（2為-5］的展開式中的常數(shù)項.

【詳解】（2x-的展開式的通項為“黑（2x『［-5J=（_］）,晨.26,x6-3,，

令6-3廠=0,得r=2,

則（2x-J）的展開式中的常數(shù)項為（-1）2C126-2=15x16=240,

令6—3r=一3,得尸=3,

則的展開式中含一的項的系數(shù)為㈠丫仁.26-3=_20x8=—160,

所以（x3+l）.（2x-5j的展開式中的常數(shù)項為240x1+（-160）x1=80.

故選：D.

11.過點尸（2,1）作圓Q/+丁=1的切線人則切線/的方程為（）

A.3x-4y-5=0B.4x-3y-5=0

C.歹=1或4工一3歹-5=0D.y=1或31-4歹-5=0

【正確答案】c

【分析】設(shè)切線/為y-l=k（x—2）,即履-y+1-2&=0,由/與圓0：丫2+_/=［相切，得

學(xué)=1，即可解決?

止+1

【詳解】由題知，圓。：x2+y2=\,圓心為(0,0),半徑為I,

因為P(2,l)在圓外，

所以設(shè)切線/為y-I=4(x-2),BPAx-y+l-2A=0,

因為/與圓O：d+y2=i相切，

11-2^14

所以d=\=L=l,解得左=o或k=；,

VA-2+l3

所以切線/的方程為y=l,或4x-3y-5=(),

故選：C

12.在N8C中，內(nèi)角48,C的對邊分別為％c,若(a+3(sin4-sinC)=b(siii4-sin8),

且c=JL則的取值范圍為()

A.(-1,2)B.y,2C.一母，b)D.(-1,73)

【正確答案】C

【分析】由正弦定理和余弦定理求出cosC=：i,從而得至116=J=I,4+8=2?7c,由正弦定理化

233

邊為角，〃-4=瓜卻/-耳，結(jié)合()</<?,利用正弦函數(shù)圖象，求出-3〈百，

216)322

得到答案.

【詳解】因為一sinC)=b(sirt4-sinS),

所以(〃+。)(。一°)=6(4-6),整理得c，2=ab,

又Ce(0,7t),所以C=W，N+8=年，

又c=8,所以，G=2R,解得R=l,

sinC

由I、Ib(?sinSA.(2TIy3.6

所以"]=27?Isirv4——--1=2sin4-smI--A1=￡sirw-COSL4

=5/3sinf

又0＜4＜名，則一二＜力一色〈巴，

3662

所以

22

即a-5的取值范圍為1

2I2

故選：C.

二、填空題

13.某保險公司抽取了1000輛投保車輛，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計如下:

賠付金額/元01000200030004000

車輛數(shù)500130100160110

若每輛車的投保金額均為2700元，則這1000輛車中賠付金額大于投保金額的概率為.

27

【正確答案】0.27##—

【分析】根據(jù)統(tǒng)計表分別求得賠付金額為3000元和4000元的概率，再利用互斥事件的概

率求解.

【詳解】設(shè)A表示事件“賠付金額為3000元”，8表示事件“賠付金額為4000元”，且事件A,

8互斥，

則尸(Z)=^-=0.16,P(5)=^-=0.11,

由于投保金額為2700元，賠付金額大于投保金額對應(yīng)的情形是賠付金額為3000元和4000

元，

所以所求概率為/(1)+/①)=0.16+011=0.27.

故027

x-y+2>0

14.已知實數(shù)x,N滿足約束條件2x+y-5W0,則2=二、的最大值為

,x+3

3

【正確答案】-##0.75

4

【分析】z==代表著過點(-3,0)且經(jīng)過可行域的直線的斜率，根據(jù)約束條件畫出可行域

x+3

即可找到斜率最大值.

x-y+2>0

【詳解】根據(jù)約束條件,2x+y-5W0,畫出可行域，圖中陰影部分為可行域.

.”1

目標(biāo)函數(shù)z=*中z表示過點(-3,0)的直線的斜率，由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過點(1,3)時斜率最

33

大，故z的最大值為z1rax=土=:

故］

4

15.每逢春節(jié)，家家戶戶都要貼“福''字，“?！弊郑砀?、福運和幸福，某同學(xué)想給圖中

的“福'’字鑲邊，為了測算“福”字的面積，在半徑為30cm的圓形區(qū)域內(nèi)隨機投擲1000個點,

其中落在“?！弊稚系狞c有410個，據(jù)此可估計“福”字的面積為_cm“結(jié)果保留兀).

【正確答案】369兀

【分析】根據(jù)與面積有關(guān)的幾何概型列式計算即可.

【詳解】設(shè)“?！弊值拿娣e為xcm2,則由題可知：一x定=4怒10，解得x=369兀.

TI-30-1000

故3697t.

16.定義"個正數(shù)，…,P”的"均倒數(shù)”為.+口+…+R,若各項均為正數(shù)的數(shù)列｛q｝的

前n項的“均倒數(shù)”為八，則的供的值為

2〃+1

【正確答案】8091

【分析】利用“均倒數(shù)”的概念求出S“=(2〃+l)〃，再利用遞推關(guān)系求出勺=4〃-1,再代入

值即可.

【詳解】由已知可得數(shù)列｛對｝的前〃項的“均倒數(shù)''為

nn1

Q]+。2+…+〃〃S〃2〃+1'

可得5“=(2〃+1)〃,則加時，

S.I=[2(〃-1)+1](?-1)=2/+1

—S“T=劭-1,

當(dāng)〃=1時,q=E=3,滿足a“=4/7-1,

:.an=4/7-1,^=4x2023-1=8091.

故答案為:8091.

三、解答題

17.已知N8C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且asin2C=csiM.

（1）求角C;

⑵若2。+6=12,且N8C的面積為4石，求邊長c

【正確答案】（1）。

（2）c=4或°=2-\/13.

【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合二倍角的正弦公式可求得cosC的值，結(jié)合角。的取值范圍

可求得角。的值；

（2）根據(jù)面積公式“通=：。加由。代入整理得帥=16,結(jié)合題意可得'/或t。，分

情況討論處理.

【詳解】（1）???asin2C=csin4,由正弦定理可得51必5汨2。=511145出（7,即

2siih4sinCcosC=sin4sinC,

因為4Ce（0,兀），則sin/f>0,sinC>0,所以，cosC=g,因止匕C=1；

（2）???/BC的面積為6,貝jbsinC=40

fah=\6\a=4\a=2

???根據(jù)題意得'A10,則八/或八Q

\2a+b=\2[b=4[b=S

[a=4

若人.則“BC為等邊三角形，c=4；

[6=4

[a=2,-

若L。，則C?="2+b2-2abcosC=52，BPc=2V13

=8

?，?c=4或c=2y/l3.

18.如圖，在直四棱柱48co中，底面/8CD是菱形，且/8=：四=1,E是四

的中點，￡C=A/3.

(1)求證：面瓦?平面EOC；

(2)求三棱錐R-OEC的體積.

【正確答案】(1)證明見解析；(2)

(1)用勾股定理逆定理證明EOLOC,然后直四棱柱的垂直證得平面的A,從而得

面面垂直：

(2)即求三棱錐C-QE。的體積，高是C。，底是△￡￡?〃，由體積公式計算.

【詳解】解：(1)因為點E是44的中點，所以NE=1,又4D=l,

故在RfE4D中，DE=6.

由題可知，EC=JJ，DC=\,

則。C%。爐=E。2,所以DE上CD.

因為四棱柱力是直四棱柱，故。

因為。A、￡）Eu平面皮巴，且。AncE=。，

所以CD_L平面EDD,

又CDu平面EDC,

所以平面EDC，平面皮

（2）由（1）可知I,CD1平面EDR,

又因為。遂=&,ED=C，DR=2,

所以。1爐+DE2=DD；,即￡>E_L,

所以/，如。=@￡皿=；xSA￡oqxl=1x-xV2xV2xl=1.

本題考查證明面面垂直，考查求棱錐的體積.掌握線線垂直、線面垂直與面面垂直之間的轉(zhuǎn)

化是證垂直的關(guān)鍵.

19.第24屆冬奧會于2022年2月4日在北京市和張家口市聯(lián)合舉行，此項賽事激發(fā)了國人

冰雪運動的熱情，某滑雪場在冬奧會期間開業(yè)，下表統(tǒng)計了該滑雪場開業(yè)第x天的滑雪人數(shù)

V（單位：百人）的數(shù)據(jù)

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；

（2）經(jīng)過測算，若一天中滑雪人數(shù)超過3500人時，當(dāng)天滑雪場可實現(xiàn)盈利，請根據(jù)y關(guān)于X的

線性回歸方程，預(yù)測該滑雪場開業(yè)的第幾天開始盈利.

天數(shù)代碼X12345

滑雪人數(shù)?。ò偃耍?11142620

參考公式：線性回歸方程$=以+5的斜率和截距的最小二乘法估計分別為:

八寸士/(匕-y)〉必—nxy

b=----------=邑--------u=y-r>x

S(x.-x)2Xx'2~nx'

r=l/=1

【正確答案】⑴尸3.7x+4.9

（2）滑雪場開業(yè)的第9天開始盈利

【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合最小二乘法的計算公式，即可求解.

（2）由回歸直線方程，列不等式即可求解.

_1+2+3+4+59+11+14+26+20

【詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)可得,x----------------------------------=16,

y=5

所以2芍%一55-7=9+22+42+104+100-5x3x16=37,

r=l

5_2

Zx,2-5x~=1+4+9+16+25-5x9=10,

八5H37

所以6=鳥--------=￡=3.7,

S^,2-5x2

f=l

》=亍_菽=16-3.7x3=49,

故回歸直線方程為y=3.7x+4.9.

（2）因為一天中滑雪人數(shù)超過3500人時，當(dāng)天滑場雪可實現(xiàn)盈利,

301

即3.7x+4.9＞35時,可實現(xiàn)盈利，解得

故根據(jù)回歸方程預(yù)測，該滑雪場開業(yè)的第9天開始盈利.

20.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛《,｝滿足的=3,%-2%=9.

（1）求數(shù)列｛*｝的通項公式；

⑵設(shè)”=（2〃-1＞晦*2（〃€*），數(shù)列61的前〃項和為小證明.看＜；

【正確答案】（1）%=3"T（2）見證明

【分析】（1）列方程解出公比與首項，再代入等比數(shù)列通項公式得結(jié)果，（2）先化簡5,

再利用裂項相消法求和，即證得結(jié)果.

【詳解】解：（1）設(shè)等比數(shù)列｛對｝的公比為9,

由卜一2〃=9得卜（小%）=9,

解得q=3或q=-l.

因為數(shù)列｛對｝為正項數(shù)列，所以4=3,

所以，首項4=2=1,

故其通項公式為a“=3"T.

(2)由⑴得6“=(2"-l>log3a2“+2=(2”-。(2〃+1)

一、J__1l_f]1_]

所以E_一(2M-1)(2M+1)-4212〃+1)'

….11111111)

⑶〃及h2bn2(3352n-\2w+lJ

111

=-------------<—.

24〃+22

本題考查等比數(shù)列通項公式以及裂項相消法求和，考查基本分析求解能力，屬中檔題.

21.已知圓G：x?+_/-2機才-4叩+5m2-4=0,圓。2：/+夕2=1

(1)若圓￡、G相切，求實數(shù)加的值；

(2)若圓G與直線/:x+2y-4=0相交于/、N兩點，且|MN|=半，求加的值.

【正確答案】⑴士亞或土還

55

-8

(2)機=0或加=不

【分析】(1)根據(jù)圓的方程求出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系計算即可求

解；

(2)根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，利用點到直線的距離公式，結(jié)合幾何法求弦長計算即可求解.

【詳解】(1)已知圓G：父+/一2加、一4〃9+5m2-4=0,圓。2：/+/=1,

圓G的圓心為G(m,2掰),半徑4=2,

圓G的圓心。2(0,0)，半徑為4=1，圓心距(￡|=，"/+(2"?)2,

當(dāng)兩圓外切時，有Icchk+M，

即tjm2+(2w)2=3,解得加=±3*,

當(dāng)兩圓內(nèi)切時，有CGITA-2I，

即+(2〃?f=1,解得m=±-^-,

故機的取值為土正或土氈.

55

(2)因為圓￡與直線/：x+2y-4=0相交于A/、N兩點，且|A/N|=竽，

而圓心0(〃?,2〃?)到直線/:x+2y-4=0的距離d=包霜，