復數(shù)項級數(shù)和冪級數(shù)

1第四章復級數(shù)§4-1復數(shù)項級數(shù)和冪級數(shù)§4-2Taylor級數(shù)§4-3

Laurent級數(shù)2§4-1復數(shù)項級數(shù)和冪級數(shù)一、復數(shù)列的收斂性及其判別法二、復數(shù)項級數(shù)的收斂性及其判別法三、冪級數(shù)及其收斂半徑四Δ、冪級數(shù)的運算性質3一、復數(shù)項級數(shù)復數(shù)列即有序的復數(shù)集稱收斂于，若記作1.

復數(shù)列4復數(shù)列收斂與實數(shù)列收斂的關系定理此定理說明:

可將復數(shù)列的收斂性轉化為判別兩個實數(shù)列的收斂性.

復數(shù)列的充要條件是收斂于a51.復數(shù)項級數(shù)表達式稱為復數(shù)項級數(shù).前n

項的和稱為級數(shù)的前n

項部分和.2.

復數(shù)項級數(shù)的收斂性及其判別法設為一復數(shù)列，62.級數(shù)收斂與發(fā)散的概念說明：與實數(shù)項級數(shù)相同,判別復數(shù)項級數(shù)斂散性的基本方法是:73.復數(shù)項級數(shù)與實數(shù)項級數(shù)收斂的關系證因定理2說明復數(shù)項級數(shù)的收斂問題兩個實數(shù)項級數(shù)的收斂問題8級數(shù)收斂的必要條件（定理3）

9非絕對收斂的收斂級數(shù)稱為條件收斂級數(shù).如果

收斂,那末稱級數(shù)

為絕對收斂.類似于實數(shù)級數(shù)，引入絕對收斂概念10絕對收斂級數(shù)的性質(定理4)

且有不等式成立.11而解

是否收斂？例1數(shù)列12例2故原級數(shù)收斂,且為絕對收斂.因為所以由正項級數(shù)的比值判別法知:解13故原級數(shù)收斂.所以原級數(shù)非絕對收斂.例3解141.冪級數(shù)的概念稱為復變函數(shù)項級數(shù)。

稱為該級數(shù)前n項的部分和.級數(shù)前n項的和三.冪級數(shù)及其收斂半徑15稱為該級數(shù)在區(qū)域D上的和函數(shù).如果級數(shù)在D內處處收斂,那末它的和一定16例求冪級數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).17函數(shù)項級數(shù)的特殊情形或這種級數(shù)稱為冪級數(shù).182.冪級數(shù)的斂散性Abel(阿貝爾)定理如果級數(shù)在收斂,那末對的級數(shù)必絕對收斂,如果在級數(shù)發(fā)散,那末對滿足的級數(shù)必發(fā)散.滿足19收斂半徑的計算方法方法1（比值法）那末收斂半徑即即20方法2（根值法）那末收斂半徑即即21解例試求冪級數(shù)的收斂半徑.224.冪級數(shù)的運算性質23定理4

設冪級數(shù)的收斂半徑為則在收斂圓內解析.(1)它的和函數(shù)(2)(3)24例把函數(shù)表成形如的冪級數(shù),其中是不相等的復常數(shù).解把函數(shù)寫成如下的形式:代數(shù)變形,使其分母中出現(xiàn)湊出25級數(shù)收斂,且其和為26N.Abel簡介1802.8.5生于挪威；1829.4.6在挪威去世。1821秋進入大學；1822發(fā)表了函數(shù)方程和積分方程兩篇論文；1823考慮五次方程求通解；1824將小冊子自費出版；1825