復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和冪級(jí)數(shù)

1第四章復(fù)級(jí)數(shù)§4-1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和冪級(jí)數(shù)§4-2Taylor級(jí)數(shù)§4-3

Laurent級(jí)數(shù)2§4-1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和冪級(jí)數(shù)一、復(fù)數(shù)列的收斂性及其判別法二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性及其判別法三、冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑四Δ、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)3一、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)列即有序的復(fù)數(shù)集稱收斂于，若記作1.

復(fù)數(shù)列4復(fù)數(shù)列收斂與實(shí)數(shù)列收斂的關(guān)系定理此定理說(shuō)明:

可將復(fù)數(shù)列的收斂性轉(zhuǎn)化為判別兩個(gè)實(shí)數(shù)列的收斂性.

復(fù)數(shù)列的充要條件是收斂于a51.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)表達(dá)式稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).前n

項(xiàng)的和稱為級(jí)數(shù)的前n

項(xiàng)部分和.2.

復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性及其判別法設(shè)為一復(fù)數(shù)列，62.級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的概念說(shuō)明：與實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相同,判別復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的基本方法是:73.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的關(guān)系證因定理2說(shuō)明復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題8級(jí)數(shù)收斂的必要條件（定理3）

9非絕對(duì)收斂的收斂級(jí)數(shù)稱為條件收斂級(jí)數(shù).如果

收斂,那末稱級(jí)數(shù)

為絕對(duì)收斂.類似于實(shí)數(shù)級(jí)數(shù)，引入絕對(duì)收斂概念10絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)(定理4)

且有不等式成立.11而解

是否收斂？例1數(shù)列12例2故原級(jí)數(shù)收斂,且為絕對(duì)收斂.因?yàn)樗杂烧?xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知:解13故原級(jí)數(shù)收斂.所以原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂.例3解141.冪級(jí)數(shù)的概念稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。

稱為該級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的部分和.級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的和三.冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑15稱為該級(jí)數(shù)在區(qū)域D上的和函數(shù).如果級(jí)數(shù)在D內(nèi)處處收斂,那末它的和一定16例求冪級(jí)數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).17函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的特殊情形或這種級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù).182.冪級(jí)數(shù)的斂散性Abel(阿貝爾)定理如果級(jí)數(shù)在收斂,那末對(duì)的級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂,如果在級(jí)數(shù)發(fā)散,那末對(duì)滿足的級(jí)數(shù)必發(fā)散.滿足19收斂半徑的計(jì)算方法方法1（比值法）那末收斂半徑即即20方法2（根值法）那末收斂半徑即即21解例試求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.224.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)23定理4

設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為則在收斂圓內(nèi)解析.(1)它的和函數(shù)(2)(3)24例把函數(shù)表成形如的冪級(jí)數(shù),其中是不相等的復(fù)常數(shù).解把函數(shù)寫成如下的形式:代數(shù)變形,使其分母中出現(xiàn)湊出25級(jí)數(shù)收斂,且其和為26N.Abel簡(jiǎn)介1802.8.5生于挪威；1829.4.6在挪威去世。1821秋進(jìn)入大學(xué)；1822發(fā)表了函數(shù)方程和積分方程兩篇論文；1823考慮五次方程求通解；1824將小冊(cè)子自費(fèi)出版；1825