高中數(shù)學(xué)必修2單元素養(yǎng)評價(jià)（第13章）

單元素養(yǎng)評價(jià)(三)(第13章)(120分鐘150分)一、單選題(每小題5分,共40分)1.過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是 ()A.矩形 B.正方形C.梯形 D.平行四邊形【解析】選D.棱柱的側(cè)棱平行且相等,故截面為平行四邊形.2.用斜二測畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個(gè)正方形,則原來的圖形是 ()【解析】選A.由直觀圖可知,在直觀圖中多邊形為正方形,對角線長為QUOTE,所以原圖形為平行四邊形,位于y軸上的對角線長為2QUOTE.3.若平面α∥平面β,直線a?平面α,點(diǎn)B∈平面β,則在平面β內(nèi)過點(diǎn)B的所有直線中 ()A.不一定存在與a平行的直線B.一定不存在與a平行的直線C.存在無數(shù)條與a平行的直線D.存在唯一一條與a平行的直線【解析】選D.因?yàn)槠矫姒痢纹矫姒?直線a?平面α,點(diǎn)B∈平面β,所以B?a,過直線a與點(diǎn)B作平面γ,則平面γ與平面β的交線即為與a平行的唯一直線.4.在如圖所示的四個(gè)正方體中,能得出AB⊥CD的是 ()【解析】選A.A中因?yàn)镃D⊥平面AMB,所以CD⊥AB;B中,AB與CD成60°角;C中,AB與CD成45°角;D中,AB與CD夾角的正切值為QUOTE.5.正六棱臺的兩底邊長分別為1cm,2cm,高是1cm,則它的側(cè)面積為________cm2 ()

A.QUOTE B.9QUOTE C.QUOTE D.3QUOTE【解析】選A.棱臺的斜高為QUOTEcm,所以S側(cè)=6×QUOTE×(1+2)×QUOTE=QUOTE(cm2).6.如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D為A1B1的中點(diǎn),AB=BC=BB1=2,AC=2QUOTE,則異面直線BD與AC所成的角為 ()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選C.如圖,取B1C1的中點(diǎn)E,連接BE,DE,則AC∥A1C1∥DE,則∠BDE即為異面直線BD與AC所成的角.由條件可知BD=DE=EB=QUOTE,所以∠BDE=60°.7.若空間中四條兩兩不同的直線l1,l2,l3,l4,滿足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,則下列結(jié)論一定正確的是 ()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1與l4既不垂直也不平行D.l1與l4的位置關(guān)系不確定【解析】選D.如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,記l1=DD1,l2=DC,l3=DA,若l4=AA1,滿足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,此時(shí)l1∥l4,可以排除選項(xiàng)A和C.若l4=DC18.(2020·全國Ⅱ卷)已知△ABC是面積為QUOTE的等邊三角形,且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16π,則O到平面ABC的距離為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.QUOTE【解題指南】本題考查球的相關(guān)問題,意在考查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算求解能力.【解析】選C.設(shè)△ABC的外接圓圓心為O1,記OO1=d,圓O1的半徑為r,球O的半徑為R,△ABC的邊長為a,則S△ABC=QUOTEa2=QUOTE,可得a=3,于是r=QUOTE,由題知,球O的表面積為16π,則R=2,由R2=r2+d2易得d=1,即O到平面ABC的距離為1.【方法技巧】解答球的有關(guān)問題時(shí),通常要用到截面圓.如圖所示,設(shè)球O的半徑為R,截面圓O′的半徑為r,M為截面圓上任意一點(diǎn),球心O到截面圓O′的距離為d,則在Rt△OO′M中,OM2=OO′2+O′M2,即R2=d2+r2.二、多選題(每小題5分,共20分,全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)9.下列說法正確的是 ()A.垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行B.若兩個(gè)平面垂直,則其中一個(gè)平面內(nèi)垂直于這兩個(gè)平面交線的直線與另一個(gè)平面垂直C.一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線均與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行D.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,則這條直線和這個(gè)平面垂直【解析】選ABC.D項(xiàng)中一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任一直線垂直,則這條直線和這個(gè)平面垂直;或者是一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,則這條直線和這個(gè)平面垂直,所以D錯(cuò)誤.10.已知m,n是兩條不重合的直線,α,β,γ是三個(gè)兩兩不重合的平面,下列選項(xiàng)說法正確的為 ()A.若m⊥α,m⊥β,則α∥βB.若m?α,n?β,m∥n,則α∥βC.若α⊥γ,β⊥γ,則α∥βD.若m,n是異面直線,m?α,m∥β,n?β,n∥α,則α∥β【解析】選AD.對于A,垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行,正確;對于B,不滿足平面與平面平行的判定定理,錯(cuò)誤;對于C,平面α,β可能相交,錯(cuò)誤;對于D,滿足平面α與平面β平行,正確.11.在三棱錐DABC中,AB=BC=CD=DA=1且AB⊥BC,CD⊥DA,M,N分別是棱BC,CD的中點(diǎn),下面結(jié)論正確的是 ()A.AC⊥BDB.MN∥平面ABDC.三棱錐ACMN的體積的最大值為QUOTED.AD與BC一定不垂直【解析】選ABD.設(shè)AC的中點(diǎn)為O,連接OB,OD,則AC⊥OB,AC⊥OD,又OB∩OD=O,所以AC⊥平面OBD,所以AC⊥BD,故A正確;因?yàn)镸N∥BD,所以MN∥平面ABD,故B正確;當(dāng)平面DAC⊥平面ABC時(shí),VACMN最大,最大值為VACMN=VNACM=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,故C錯(cuò)誤;若AD與BC垂直,又因?yàn)锳B⊥BC,所以BC⊥平面ABD,所以BC⊥BD,又BD⊥AC,所以BD⊥平面ABC,所以BD⊥OB,因?yàn)镺B=OD,所以顯然BD與OB不垂直,故D正確.12.如圖,在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)P是對角線AC1上的動點(diǎn),點(diǎn)P與A,C1A.存在點(diǎn)P,使得平面A1DP∥平面B1CD1B.存在點(diǎn)P,使得AC1⊥平面A1DPC.S1,S2分別是△A1DP在平面A1B1C1D1,平面BB1C1CD.△A1DP面積的最小值是QUOTE【解析】選ABD.考查A,連接AD1交A1D于M,連接BC1交B1C于N,再連接PM,D1N,見圖(1),則平面AD1C1B∩平面A1DP=PM,平面AD1C1B∩平面B1CD1=D1N.由于A1D∥B1C,只要PM∥D1N能成立,平面A1DP∥平面B1CD1就成立.易知AP=QUOTEAC1時(shí),PM∥D1N,A正確.對B,由于AC1⊥平面B1CD1,當(dāng)平面A1DP∥平面B1CD1時(shí),AC1⊥平面A1DP成立,所以B正確.對C,如圖(2),△A1DP在平面A1B1C1D1的投影是△P1A1D1,P1在對角線A1C1上,在平面BB1C1C的投影是△P2B1C,P2在對角線BC1上,當(dāng)動點(diǎn)位于AC1中點(diǎn)時(shí),P1,P2同時(shí)是A1C1和B1C的中點(diǎn).此時(shí)B1,P2,C三點(diǎn)共線,P由此向點(diǎn)A移動時(shí),S1逐漸變小,S2逐漸變大.一定有P點(diǎn)使S1=S2,故C錯(cuò).對D,見圖(1),由于A1D⊥平面AD1C1,則A1D⊥PM,△A1DP的面積為:QUOTE·A1D·PM=QUOTE·PM,在Rt△AD1C1中,MP⊥AC1時(shí)PM最小,此時(shí)PM=QUOTE,所以△A1DP面積的最小值為:QUOTE×QUOTE=QUOTE,D正確.三、填空題(每小題5分,共20分)13.如圖甲,在正方形SG1G2G3中,E,F分別是邊G1G2,G2G3的中點(diǎn),D是EF的中點(diǎn),現(xiàn)沿SE,SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)幾何體(圖乙),使G1,G2①SG⊥平面EFG;②SD⊥平面EFG;③GF⊥平面SEF;④GD⊥平面SEF.【解析】在題圖甲中,SG1⊥G1E,SG3⊥G3F在題圖乙中,SG⊥GE,SG⊥GF,GE∩GF=G,所以SG⊥平面EFG,故①正確,顯然②錯(cuò)誤;若GF⊥平面SEF,則GF⊥EF,而GF與EF不垂直,故③錯(cuò)誤;因?yàn)镾G⊥平面GEF,所以SG⊥GD,所以GD與SD不垂直,即GD與平面SEF不垂直,故④錯(cuò)誤.答案:①14.在空間四邊形ABCD中,AD=BC=2,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),EF=QUOTE,則異面直線AD與BC所成角的大小為________.

【解析】取AC中點(diǎn)M,連接EM,FM,F為DC中點(diǎn),M為AC中點(diǎn),所以FM∥AD,且FM=QUOTEAD=1,同理EM∥BC,且EM=QUOTEBC=1.在△EMF中作MN⊥EF于N.在Rt△MNE中,EM=1,EN=QUOTE,所以sin∠EMN=QUOTE,∠EMN=60°,所以∠EMF=120°,所以AD與BC所成角為60°.答案:60°15.棱長為1的正四面體內(nèi)有一點(diǎn)P,由點(diǎn)P向各個(gè)面引垂線,垂線段的長分別為d1,d2,d3,d4,則d1+d2+d3+d4的值為________.

【解析】設(shè)四面體的高為h則h=QUOTE=QUOTE,QUOTESh=QUOTES(d1+d2+d3+d4),所以d1+d2+d3+d4=h=QUOTE.答案:QUOTE16.降水量是指水平地面上單位面積降雨的深度,用上口直徑為38cm,底面直徑為24cm,深度為35cm的圓臺形水桶(軸截面如圖所示)來測量降水量,如果在一次降雨過程中,此桶盛得的雨水正好是桶深的QUOTE,則水面半徑是________,本次降雨的降水量是________(精確到1mm).

【解析】桶內(nèi)水的深度為QUOTE×35=5(cm),設(shè)水面半徑為xcm,則有QUOTE=QUOTE,解得x=13,V水=QUOTEπ·5(122+12×13+132)=QUOTEπ.設(shè)單位面積雨水深度為h,則V水=π·192·h,所以π·192·h=QUOTEπ,所以h≈2.2cm=22mm.答案:13cm22mm四、解答題(共70分)17.(10分)直三棱柱的高為6cm,底面三角形的邊長分別為3cm,4cm,5cm,將棱柱削成圓柱,求削去部分體積的最小值.【解析】如圖所示,只有當(dāng)圓柱的底面圓為直三棱柱的底面三角形的內(nèi)切圓時(shí),圓柱的體積最大,削去部分體積才能最小,設(shè)此時(shí)圓柱的底面半徑為R,圓柱的高即為直三棱柱的高6cm.因?yàn)樵凇鰽BC中,AB=3cm,BC=4cm,AC=5cm,所以△ABC為直角三角形.根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得72R=5,所以R=1cm,所以V圓柱=πR2·h=6π(cm3).而三棱柱的體積為V三棱柱=QUOTE×3×4×6=36(cm3),所以削去部分的體積為366π=6(6π)(cm3).18.(12分)如圖,正方體ABCDA1B1C1D1(1)求證:AC⊥B1D;(2)求三棱錐CBDB1的體積.【解析】(1)因?yàn)锳BCDA1B1C1D1所以BB1⊥平面ABCD.因?yàn)锳C?平面ABCD,所以BB1⊥AC.又因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形,所以AC⊥BD.因?yàn)锽B1∩BD=B,所以AC⊥平面BB1D.因?yàn)锽1D?平面BDB1,所以AC⊥B1D.(2)連接B1C,QUOTE=QUOTE.因?yàn)锽1B⊥平面ABCD,所以B1B是三棱錐B1BDC的高.因?yàn)镼UOTE=QUOTES△BDC·BB1=QUOTE×QUOTE×2×2×2=QUOTE.所以三棱錐CBDB1的體積為QUOTE.19.(12分)如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PA=1,PA⊥平面ABCD,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),F是AB的中點(diǎn).(1)求證:BE∥平面PDF;(2)求直線BE與平面PAD所成角的正弦值.【解析】(1)取PD中點(diǎn)為M,連接ME,MF.因?yàn)镋是PC的中點(diǎn),所以ME是△PCD的中位線,所以MEQUOTECD.因?yàn)镕是AB的中點(diǎn)且四邊形ABCD是菱形,ABCD,所以MEQUOTEAB.所以MEFB.所以四邊形MEBF是平行四邊形.從而BE∥MF,因?yàn)锽E?平面PDF,MF?平面PDF,所以BE∥平面PDF.(2)由(1)得BE∥MF,所以直線BE與平面PAD所成角就是直線MF與平面PAD所成角.取AD的中點(diǎn)G,連接BD,BG.因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,∠BAD=60°,所以△ABD是正三角形,所以BG⊥AD,因?yàn)镻A⊥平面ABCD,PA?平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,BG⊥AD,所以BG⊥平面PAD,過F作FH∥BG,交AD于H,則FH⊥平面PAD,連接MH,則∠FMH就是MF與平面PAD所成的角.又F是AB的中點(diǎn),所以H是AG的中點(diǎn).連接MG,又M是PD的中點(diǎn),所以MGQUOTEPA.在Rt△MGH中,MG=QUOTEPA=QUOTE,GH=QUOTEAD=QUOTE,所以MH=QUOTE.在正三角形ABD中,BG=QUOTE,所以FH=QUOTEBG=QUOTE.在Rt△MHF中,MF=QUOTE=QUOTE,所以sin∠FMH=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以直線BE與平面PAD所成角的正弦值為QUOTE.20.(12分)已知在三棱錐PABC中,∠ACB=90°,BC=4,AB=20.D為AB的中點(diǎn),且△PDB為等邊三角形,PA⊥PC.(1)求證:平面PAC⊥平面ABC;(2)求二面角DAPC的正弦值.【解析】(1)在Rt△ACB中,D是斜邊AB的中點(diǎn),所以BD=DA.因?yàn)椤鱌DB是等邊三角形,所以BD=DP=BP,則BD=DA=DP,因此△APB為直角三角形,即PA⊥BP.又PA⊥PC,PC∩BP=P,所以PA⊥平面PCB.因?yàn)锽C?平面PCB,所以PA⊥BC.又AC⊥BC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.因?yàn)锽C?平面ABC,所以平面PAC⊥平面ABC.(2)由(1)知PA⊥PB及已知PA⊥PC,故∠BPC即為二面角DAPC的平面角.由(1)知BC⊥平面PAC,則BC⊥PC.在Rt△BPC中,BC=4,BP=BD=10,所以sin∠BPC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,即二面角DAPC的正弦值為QUOTE.21.(12分)如圖,在平行四邊形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC為折痕將△ACM折起,使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置,且AB⊥DA.(1)證明:平面ACD⊥平面ABC;(2)Q為線段AD上一點(diǎn),P為線段BC上一點(diǎn),且BP=DQ=QUOTEDA,求三棱錐QABP的體積.【解析】(1)由已知可得,∠BAC=90°,即BA⊥AC.又因?yàn)锽A⊥AD,AC∩AD=A,所以AB⊥平面ACD.因?yàn)锳B?平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3QUOTE.又BP=DQ=QUOTEDA,所以BP=2QUOTE.如圖,過點(diǎn)Q作QE⊥AC,垂足為E,則QEQUOTEDC.由已知及(1)可得,DC⊥平面ABC,所以QE⊥平面ABC,QE=