2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章第5講：橢圓（附答案解析）

2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章第5講：橢圓學(xué)生版

【考試要求】1.理解橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程2掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（范圍、對(duì)

稱性、頂點(diǎn)、離心率）.3.掌握橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

■落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.橢圓的定義

把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)用的距離的和等于賞數(shù)（大于甲尸2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定

點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.

2.橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

丸

圖形

^+^=l（a>6>0）介記l（Ab>0）

標(biāo)準(zhǔn)方程

范圍-且一-b〈xWb且一

41（—久0）,。2（圓0）,4（0,—a）,>2（0,〃），

頂點(diǎn)

Bi（0,一b）,&（0,。8i（—AO）,&伉0）

軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)為四，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為鎮(zhèn)

焦點(diǎn)小】（一c0）,&（gO）a（o,—c）,尸2（0,c）

焦距四尸2尸鉱

對(duì)稱性對(duì)稱軸：X軸和V軸,對(duì)稱中心：原點(diǎn)

離心率e=-（O<e<l）

a

a,b,c的關(guān)系層=/+02

【常用結(jié)論】

橢圓的焦點(diǎn)三角形

橢圓上的點(diǎn)尸（xo,次）與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PQB叫做焦點(diǎn)三角形.如圖所示，設(shè)NFiPB=e.

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(1)當(dāng)尸為短軸端點(diǎn)時(shí)，。最大，s△甲叫最大.

1n

Q)S&FPF,=-|PFi||PF2|sin0=/72tan-=c[yo].

1-22

(3)1尸F(xiàn)l|max=a+c，|PB|min=。—c.

[>Fi]+|P可|

(4)|PR|?|PF2|WI2j=/.

(5)4c2=|PF||2+|尸尸2|2—2|尸尸山尸尸21cos6.

(6)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(“+c).

工思考辨析A

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,尸2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.(X)

(2)橢圓是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形.(V)

(3)三+W=1(,”W〃)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.(X)

(4)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.(X)

工教材改編題：！

1.橢圓看+(=1上點(diǎn)尸到上焦點(diǎn)的距離為4,則點(diǎn)尸到下焦點(diǎn)的距離為()

A.6B.3C.4D.2

答案A

解析由橢圓方程三+二=1,得標(biāo)=25,即。=5,設(shè)下焦點(diǎn)為Q,上焦點(diǎn)為則『冃|

+\PF2\=2a=\0,因?yàn)閨尸后|=4,所以|PFi|=6,即點(diǎn)尸到下焦點(diǎn)的距離為6.

2.已知橢圓C：5+?=1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2，°)，則C的離心率為()

A11「也門(mén)2yli

A.-oR.-C.---D.---

3223

答案C

解析由已知可得歩=4,c=2,則/=62+C，2=8,所以。=2/，

則離心率=—.

a2

3.若橢圓C：t+q=l，則該橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為()

43

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A.3B.2+S

C.2D.3+1

答案A

解析由題意知。=2,b=3,所以c=l,則橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為a+c=3.

■探究核心題型

題型一橢圓的定義及其應(yīng)用

例1(1)(2022?麗江模擬)一動(dòng)圓尸與圓4：(x+l)2+V=l外切，而與圓8：(X-1)2+爐=64

內(nèi)切，那么動(dòng)圓的圓心P的軌跡是()

A.橢圓B.雙曲線

C.拋物線D.雙曲線的一支

答案A

解析設(shè)動(dòng)圓尸的半徑為廠，

又圓/：(x+l)2+V=l的半徑為1,圓8：(x-iy+V=64的半徑為8,

則|B4|=r+l,|Pfi|=8-r,

可得|別+|P8|=9,又9>2=網(wǎng)

則動(dòng)圓的圓心P的軌跡是以/,8為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為9的橢圓.

(2)設(shè)點(diǎn)P為橢圓C：，+(=1(G>2)上一點(diǎn)，R,尸2分別為C的左、右焦點(diǎn)，且/￡尸乃=60。,

則△Pg的面積為.

答案平

3

解析方法一由題意知，0=山2—4.

又/Q尸尸2=60。，\PF[\+\PF2\=2a,

|尸/2|=2W2—4,

22

A|FIF2|=(\PFtI+\PF2\)~2\PFy||PF2|-2IPF)||PF2|COS60°

=4層一3|PF|||PF2|=4出一16,

二|尸冋|P尸2|=g,

???S^PFR=，尸~||尸尸2畫(huà)1160。

_1乂16乂3

——x—x—

232

=撞

3

方法二由題意得〃=4,ZFIPF2=60°,A=4Xtan30°=^.

八廠"23

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延伸探究若將本例(2)中“/FiPB=60°”改成“PFi丄PF2”，求尸2的面積.

解:PR丄PB,

I尸Q|2+尸尸2|2=|尸周2=4(，-4)

—4a2—16,

又|PQ\+\PF2\=2a,\PF{F+|尸尸2卩=(|PQ|+|PB|)2一2|PQ||尸F(xiàn)2I,

.,.|PFI|-|PF2|=8,

5A「風(fēng)厶=，PB||PF2|=4.

思維升華橢圓定義的應(yīng)用技巧

(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)、面積及求弦長(zhǎng)、最值

和離心率等.

(2)通常將定義和余弦定理結(jié)合使用求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)和面積問(wèn)題.

跟蹤訓(xùn)練1(1)已知△/BC的周長(zhǎng)為12,8(0,-2),C(0,2),則頂點(diǎn)Z的軌跡方程為()

A.J-MxWO)

1216

B.—+-^=l(y^O)

1216V

C.—+-^=1(x^0)

1612

D.—+^=l(y^O)

1612

答案A

解析:△/Be的周長(zhǎng)為12,頂點(diǎn)8(0,—2),C(0,2),

/.|5q=4,，陰+0C|=12-4=8,

二點(diǎn)/到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，

又8>4,

二點(diǎn)4的軌跡是橢圓，且a=4,c—2,

：.b2=\2,

橢圓的方程為^—l~L=l(xWO).

1216

(2)(2023?鄭州模擬)若F為橢圓C：丘+圧=1的右焦點(diǎn)，A,8為C上兩動(dòng)點(diǎn),則△羽尸周

2516

長(zhǎng)的最大值為()

A.4B.8C.10D.20

答案D

解析如圖，設(shè)a為橢圓c的左焦點(diǎn)，

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則由橢圓的定義可得尸的周長(zhǎng)為|/尸|+醫(yī)用+=2a—I+2〃一|8尸11+幀身=4a+/現(xiàn)

-\AFy\-\BF\|=20+|Z8|一|4Fi|一|,

當(dāng)4B,Fi共線時(shí)，幀8|一/冋一|5尸i|=0,

當(dāng)Z,B,E不共線時(shí)，以8|一|/尸1|一|5周＜0,

所以△/8F周長(zhǎng)的最大值為20.

題型二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

命題點(diǎn)1定義法

例2(2023?南京模擬)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為凡(0,2),22(0,-2),尸為橢圓上任意一點(diǎn),

若回尸2|是「尸i|,|「3|的等差中項(xiàng)，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A番+FB導(dǎo)導(dǎo)?

C.J史=1

1612

答案D

解析由題意伊冃|+|尸尸2|=2/出|=8=2”，故。=4,又c=2,貝!|6=23,

焦點(diǎn)在y軸上，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+$1.

命題點(diǎn)2待定系數(shù)法

例3己知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P(#,1),巳(一3,一3),

則該橢圓的方程為.

答案

93

解析設(shè)橢圓的方程為陽(yáng)N+犯？2=1(加＞0,/7＞0,且加#〃).

將尸2代入方程，

r6加+"=1,

3加+2〃=1,

解得’1

n——.

3

所以橢圓的方程為止+迷=1.

93

思維升華根據(jù)條件求橢圓方程的主要方法

(1)定義法：根據(jù)題目所給條件確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足橢圓的定義.

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(2)待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的〃，6.當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，

一般可設(shè)所求橢圓的方程為加?+"=i(m>o,心°,〃層哂不必考慮焦點(diǎn)位置，用待定系

數(shù)法求出加，〃的值即可.

22

跟蹤訓(xùn)練2(1)“14<5”是方程“三r+士v=1表示橢圓”的()

k15k

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析當(dāng)方程上+上=1表示橢圓時(shí)，必有.5—A0,所以1<上5且％W3,

k—15—k

k-1于5—k,

當(dāng)lv%<5時(shí)，該方程不一定表示橢圓，例如當(dāng)左=3時(shí)，方程變?yōu)?+產(chǎn)=2,它表示一個(gè)圓,

即“1VK5”是“方程上+上=1表示橢圓”的必要不充分條件.

k~\5-k

(2)(2022-南京師大附中模擬)已知過(guò)橢圓三+鳥(niǎo)=1(>6>0)的左焦點(diǎn)萬(wàn)(-1,0)的直線與橢圓交

aLb~

于不同的兩點(diǎn)4B,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)C,Q是線段48的三等分點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程是()

6554

cf+JD*=l

3243

答案B

解析如圖，不妨設(shè)/(xo,泗)在第一象限，由橢圓的左焦點(diǎn)尸式一1,0),點(diǎn)C,E是線段48

的三等分點(diǎn),

得C為工為的中點(diǎn)，乃為8C的中點(diǎn),

所以xo=l,

所以！+豐=1,

解得州=囲，即

a為,12,-3,

所以

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將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入橢圓方程得之+超=1,

ab2

即吃+空=1,

aL4a~

結(jié)合〃2—62=巒=],解得。2=5,〃=4,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是廿±L

題型三橢圓的幾何性質(zhì)

命題點(diǎn)1離心率

例4（1）（2022?太原模擬）設(shè)人，B是橢圓￡：，+'=1（心6>0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)石且斜

率為目的直線交橢圓于點(diǎn)尸，若2NPFIF2=NPF2FI,則橢圓E的離心率為（）

A.45+1BA/5—1

n也

C.—D.—

32

答案B

解析因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)Q且斜率為火的直線交橢圓于點(diǎn)P,且冃，則有/尸吊尸2

3

=30°,NP尸2尸1=60。，

因此，在△PQ尸2中，NQPF2=90。，令橢圓半焦距為c,于是得|PB|=|￡B|cos30o=Sc,

|尸尸2|=|尸I尸2|?sin30。=0,

c2

由橢圓定義得2Q=|PK|+|PB|=(S+1)C,則e=-=~F--=-電一1,

a^3+1

所以橢圓￡的離心率為3—1.

（2）（2022?全國(guó)甲卷）橢圓C：=1伍乂>0）的左頂點(diǎn)為4點(diǎn)尸，0均在C上，且關(guān)于y軸

對(duì)稱.若直線ZP,/。的斜率之積為丄，則C的離心率為（）

4

厶3R也11

A.—B.—Cr.-Dn-

2223

答案A

解析設(shè)尸（相，"）（〃W0）,

則。（一"?，n）,易知/（—a,0）,

所以自p?自°=—----2〃2=:（*）

加十Q—m-raa-加/4

因?yàn)辄c(diǎn)尸在橢圓C上，

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所以勺+3=1，得〃2=/（Q2—加2）,

n-厶//7-

思維升華求橢圓離心率或其范圍的方法

⑴直接求出a,c,利用離心率公式e=￡求解.

a

(2)由a與b的關(guān)系求離心率，利用變形公式e=\/l—々求解.

(3)構(gòu)造a,c的方程,可以不求出a,c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，從而求得e.

命題點(diǎn)2與橢圓有關(guān)的范圍(最值)問(wèn)題

例5(1)(2023?長(zhǎng)沙模擬)已知B，B為橢圓三+二=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)，橢圓的離心

率為；，M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為(

?！?兀

答案

解析如圖所示，當(dāng)點(diǎn)Af為橢圓的短軸頂點(diǎn)時(shí)，NFiMF?最大,

：.\MO\^b,\MF^a,|0乃|=以

NOMFz=4,

故/FIMF2=匹,

3

所以NFig的最大值為三.

3

(2)如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓^十m=1(6>0)的離心率e=L尸，/分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右

4bz2

頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則兩?日的最大值為.

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答案4

解析由題意知a=2,因?yàn)閑=*=丄，

a2

所以C=l,所以加=/—巒=3,

故橢圓的方程為W+式=1.

43

設(shè)尸點(diǎn)的坐標(biāo)為(xo,次)，一2WxoW2,一3

代入三+￡=1,得或=3一3成

434

因?yàn)镕(—1,0),A(2,0),

所以PF=(一1—xo,—yo)9PA=(2—XQ,—yo),

-*,-*-ii

所以戶產(chǎn)—xo—2+京=一斎一xo+1=—(xo—2)2,

所以當(dāng)祀=一2時(shí)，際■?日取得最大值4.

思維升華與橢圓有關(guān)的最值或范圍問(wèn)題的求解方法

(1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì).

(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù).

(3)利用不等式，尤其是基本不等式.

5+,=13>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Q,

跟蹤訓(xùn)練3(1)(2023?鎮(zhèn)江模擬)已知橢圓E：F2,

上頂點(diǎn)為/，射線NFI交橢圓E于點(diǎn)8,以48為直徑的圓過(guò)尸2,則橢圓E的離心率是()

答案D

解析由題意

設(shè)則|B產(chǎn)2|=2l,

又以為直徑的圓過(guò)尸2,

所以/尸2丄

所以“2+(2”一f)2=(a+/)2,

解得-fa,

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所以|83|=*,

在△NFiB和△SAB中，由余弦定理得

COSAAF\F2=~9

a

4c2+-a2——a22?

/cll993c2—a2

cosNBFR=------------------=---------,

__22ac

2,2c-〃

3

因?yàn)閆AFiF2+Z5FIF2=180°,

所以cosNZEB+cosNBE尸2=0,

即色+我工0,

alac

整理得標(biāo)=502,

所以e=￡=立.

a5

(2)已知橢圓5+E=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)為尸(c,0),上頂點(diǎn)為4(0,b),直線工=必上存在一點(diǎn)

a1b1c

P滿足（即+法）?萬(wàn)=0,則橢圓的離心率的取值范圍為（)

ria號(hào)〕

A.2JB._2J

亞匚，1]（0,闿

C.L2JDL2」

答案C

解析取N尸的中點(diǎn)0,則麗=；（而+法），

所以（而+法）?萬(wàn)=2匝?崩=0,

所以F0丄4P,所以為等腰三角形,

^?\FA\=\FP\,且|砌=並2+廿=%

因?yàn)辄c(diǎn)尸在直線x=Q上，

C

所以|EP|2Q—c,即a》且一c,

CC

所以02《一1,所以e2+e—\20,

ccL

解得心jw年

3一1

又0<e<l,故We<l.

2

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課時(shí)精練

E基礎(chǔ)保分練

1.（2023?昆明模擬）已知橢圓以=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為尸”Fi，過(guò)尸2的直線交橢圓于“，N兩

43

點(diǎn)，則△FiMN的周長(zhǎng)為（）

A.2B.4C.6D.8

2.（2022?全國(guó)甲卷）已知橢圓C：，+，=l（a>6>0）的離心率為，小，在分別為C的左、右

頂點(diǎn)，8為C的上頂點(diǎn).若麗?互石=-1,則C的方程為（）

A.史+式=1B.M迷=1

181698

C.-+^=1D.-+y2=l

322'

3.（2022?貴陽(yáng)模擬）已知K,正2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且/￡尸F(xiàn)2=30。，『人|

=3|尸乃|，則橢圓C的離心率為（）

A1RICI口3+1

A.-3---—--D.-S---—--C.-電---+--U.-----

4243

4.（2023?濮陽(yáng)模擬）已知橢圓C：，+1=1（。汕>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Fi，F(xiàn)2,直線夕=似公>0）

與C交于M,N兩點(diǎn)（其中M在第一象限），若“，R,N,出四點(diǎn)共圓，則C的離心率e的

取值范圍是（）

A12JB.l2J

cHID[°當(dāng)

5.（多選）（2022?重慶模擬）如圖所示，用一個(gè)與圓柱底面成角的平面截圓柱，截面是

一個(gè)橢圓.若圓柱的底面圓半徑為2,6=；,則下列結(jié)論正確的是（）

A.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4

B.橢圓的離心率為十

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C.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是2+q=1

164

D.橢圓上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最小值為4-23

6.（多選）（2022?白山模擬）橢圓C：q+產(chǎn)=1的左、右焦點(diǎn)分別為Q,尸2,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以

4

下四個(gè)命題中正確的是（）

A.若過(guò)點(diǎn)尸2的直線與橢圓C交于N,8兩點(diǎn)，則△/8R的周長(zhǎng)為8

B.橢圓C上存在點(diǎn)P,使得A戸?示=0

c.橢圓c的離心率為:

D.若P為橢圓/+產(chǎn)=1上一點(diǎn)，。為圓x2+f=i上一點(diǎn)，則點(diǎn)p,。的最大距離為3

4

7.（2022?天津模擬）已知8（一3，0）是圓N：（》一3）2+產(chǎn)=16內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)C是圓“上任意一

點(diǎn)，線段BC的垂直平分線與AC相交于點(diǎn)D則動(dòng)點(diǎn)D的軌跡方程為.

8.（2023?平頂山模擬）已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為尸（0,1）,橢圓C上的點(diǎn)到廠的距離的最小值

為1,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，M（3,3）,則FM一/目

的最小值為.

9.已知橢圓C：，+，=1（心6>0），焦點(diǎn)a（—c,0），尸2（c,0）,左頂點(diǎn)為“，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,

c）,A到直線EF2的距離為

（1）求橢圓C的離心率；

（2）若尸為橢圓C上的一點(diǎn)，/FIPF2=60。，△PF1F2的面積為3，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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10.已知Q,B是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸為橢圓上一點(diǎn)，NFiPB=60。.

(1)求橢圓的離心率的取值范圍；

(2)求證：△QPB的面積只與橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān).

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文綜合提升練

11.（多選）（2023?長(zhǎng)沙模擬）人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行遵循開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律：衛(wèi)星在以地

球?yàn)榻裹c(diǎn)的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時(shí)，其運(yùn)行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒定律,

即衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等.設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、焦距

分別為2”,2c,下列結(jié)論正確的是（）

A.衛(wèi)星向徑的取值范圍是[a—c,a+c]

B.衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最小，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最大

C.衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越圓

D.衛(wèi)星在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間

12.（2022?邯鄲模擬）已知橢圓a+（=1的左、右焦點(diǎn)分別為R,B，點(diǎn)尸在橢圓上，設(shè)線

段PFi的中點(diǎn)為M,且|。尸2|=|。M|，則△尸尸1尸2的面積為.

巳拓展沖刺練

13.（多選）（2023?青島模擬）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別是a,

橢圓c上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.△河人尸2的周長(zhǎng)為6

B.△MQB的面積為W

2

C.ZWF2的內(nèi)切圓的半徑為千

D.的外接圓的直徑為稔

14.甲、乙兩名探險(xiǎn)家在某山中探險(xiǎn)，他們來(lái)到一個(gè)山洞，洞內(nèi)是一個(gè)橢球形，截面是一個(gè)

橢圓，甲、乙兩人分別站在洞內(nèi)如圖所示的4,8兩點(diǎn)處，甲站在4處唱歌時(shí)，乙在與/處

有一定距離的8處聽(tīng)得很清晰，原因在于甲、乙兩人所站的位置恰好是洞內(nèi)截面橢圓的兩個(gè)

焦點(diǎn)，符合橢圓的光學(xué)性質(zhì)，即從一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)岀光經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn).現(xiàn)己知橢

第14頁(yè)共34頁(yè)

圓c：丄一+厶1上一點(diǎn)加，過(guò)點(diǎn)〃作切線/,A,8分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，C0SN4WB

10036

=一；，由光的反射性質(zhì)：光的入射角等于反射角，則橢圓中心。到切線/的距離為

第15頁(yè)共34頁(yè)

2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章第5講：橢圓教師版

【考試要求】1.理解橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（范圍、對(duì)

稱性、頂點(diǎn)、離心率）.3.掌握橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

■落實(shí)主干知識(shí)

佚口識(shí)梳理】

1.橢圓的定義

把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Q,尸2的距離的和等于賞數(shù)（大于|四尺|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定

點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.

2.橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

JL

圖形一

X

/臥伍）,+'=1(“*0)

標(biāo)準(zhǔn)方程*0

范圍-a〈x<a且一—bWxWb且一

41(—4,0),。2(40)，Zi（O,—4）,力2（0，〃），

頂點(diǎn)

向(0,—b),&(0,b)囪（一帥，星d0）

軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)為四，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為明

焦點(diǎn)用(一c、0),BGO)尸1（0,一C）,尸2（0,C）

焦距

\FXF2\=2C

對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸和y軸,對(duì)稱中心：原點(diǎn)

離心率e=￡(O<e<l)

a

b,c的關(guān)系標(biāo)二按+一

【常用結(jié)論】

橢圓的焦點(diǎn)三角形

橢圓上的點(diǎn)P（XO,/）與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△尸尸尸2叫做焦點(diǎn)三角形.如圖所示，設(shè)/尸|尸危=。

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⑴當(dāng)戶為短軸端點(diǎn)時(shí)，価大,5品叫最大.

⑵=^|PFi||PF2|sin9-b2iang=c|yo|.

(3)|PF||max—a+c,|PFl|min=?！狢.

.Bi+i/y2rl

(4)|PF||-|PF2|^l2>=/.

222

(5)4c=\PF]\+\PF2\-21P尸山尸尸21cos0.

(6)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(a+c).

I思考辨析：！

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Q,尸2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.(X)

(2)橢圓是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形.(V)

(3)個(gè)+*=l(“?Wn)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.(X)

(4)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.(X)

【教材改編題〉

1.橢圓吟+三=1上點(diǎn)P到上焦點(diǎn)的距離為4,則點(diǎn)尸到下焦點(diǎn)的距離為()

1625

A.6B.3C.4D.2

答案A

解析由橢圓方程著+，=1,得425,即。=5,設(shè)下焦點(diǎn)為Q,上焦點(diǎn)為反，則嗎

+|尸園=2a=10,因?yàn)閨P尸2|=4,所以|PB|=6,即點(diǎn)尸到下焦點(diǎn)的距離為6.

2.已知橢圓C：宗+?=1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0),則C的離心率為()

11門(mén)2s

AA.-RB-C.—D.-----

3223

答案C

解析由已知可得62=4,C—2,則，=62+°2=8,所以。=23，

則離心率￡=-=—.

a2

3.若橢圓C：?+?=1，則該橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為()

A.3B.2+3

C.2D.S+1

答案A

解析由題意知。=2,b=?所以c=l,則橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為a+c=3.

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■探究核心題型

題型一橢圓的定義及其應(yīng)用

例1（1）（2022?麗江模擬）一動(dòng)圓尸與圓/：（》+1）2+產(chǎn)=1外切,而與圓8：（》-1）2+產(chǎn)=64

內(nèi)切，那么動(dòng)圓的圓心尸的軌跡是（）

A.橢圓B.雙曲線

C.拋物線D.雙曲線的一支

答案A

解析設(shè)動(dòng)圓尸的半徑為r,

又圓4：（x+1）2+戶=1的半徑為1,圓8：（x—1>+"=64的半徑為8,

則以尸r+1,|P5|=8-r,

可得囲|+|尸用=9,又9>2=|明,

則動(dòng)圓的圓心P的軌跡是以48為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為9的橢圓.

（2）設(shè)點(diǎn)尸為橢圓C：，+?=1（心2）上一點(diǎn)，F(xiàn)i,用分別為C的左、右焦點(diǎn)，且NFIPF2=6。。,

則△PHB的面積為.

答案4帀

口3

解析方法一由題意知，c—~\la2-4.

又NQPB=60°,|PQ|+『g|=2a,

2

\FiF2\=2yja-4,

二|人尸2|2=（田外|+干尸2|）2一2|PQ||PB|-2|PQ||PB|cos60°

22

=4a-3\PF{\\PF2\=4a-16,

：.\PFt\\PF2\^,

???SamF2=，PP||PF2|sin600

232

=43

-3

方法二由題意得〃=4,ZF|PF2=60°,A=4Xtan30°=^.

AAT］廣23

延伸探究若將本例（2）中“NFiPFz=60?！备某伞癙Fi丄尸尸2"，求△PFE的面積.

解；PFi丄PF2,

2222

/.|PFi|+|PF2|=|FiF2|=4（a-4）

=4層一16,

第18頁(yè)共34頁(yè)

又|P為\+\PF^2a,\PFXF+|「外卩=(|尸為|+\PF^-2\PF\||PF2|,

二|尸尸1卜|尸7因=8,

???S^PFM=，PFI||PF2|=4.

思維升華橢圓定義的應(yīng)用技巧

(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、求焦點(diǎn)三南形的周長(zhǎng)、面積及求弦長(zhǎng)、最值

和離心率等.

(2)通常將定義和余弦定理結(jié)合使用求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)和面積問(wèn)題.

跟蹤訓(xùn)練1(1)已知3c的周長(zhǎng)為12,B(0,-2),C(0,2),則頂點(diǎn)4的軌跡方程為()

A.---F匕=l(xWO)

1216v

B止+史=l(yWO)

1216

cf+且=l(x#O)

1612

D.J記=l(y#O)

1612'

答案A

解析?.,△48C的周長(zhǎng)為12,頂點(diǎn)5(0,-2),C(0,2),

二|旳=4,,B|+0C|=12-4=8,

...點(diǎn)/到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，

又8>4,

二點(diǎn)力的軌跡是橢圓，且〃=4,c=2,

2

：.b=\29

：.橢圓的方程為式+與=l(x#0).

1216

2,2

(2)(2023?鄭州模擬)若尸為橢圓C：2r+±=1的右焦點(diǎn)，/,8為C上兩動(dòng)點(diǎn)，則/周

2516

長(zhǎng)的最大值為()

A.4B.8C.10D.20

答案D

解析如圖，設(shè)Q為橢圓C的左焦點(diǎn)，

則由橢圓的定義可得△N8E的周長(zhǎng)為|4F|++1/8|=2a—|4為|+2a—|8冋+=4a+

第19頁(yè)共34頁(yè)

-\AF\\-\BF\|=20+\AB\-\AF\\~\BF\\,

當(dāng)/,B,后共線時(shí),\AB\-\AFy\-\BFy\=0,

當(dāng)4,B,Fl不共線時(shí)，P45|-P4F,|-|5F1|<O,

所以尸周長(zhǎng)的最大值為20.

題型二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

命題點(diǎn)1定義法

例2（2023?南京模擬）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為B（0,2）,/2（0,-2）,P為橢圓上任意一點(diǎn),

若用凡是|「后|的等差中項(xiàng)，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

B.J日=1

64606460

—D.^+^=l

16121612

答案D

解析由題意|PQ|+|P尸2|=2|F汨|=8=2m故。=4,又c=2,則6=2仍,

焦點(diǎn)在y軸上，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程蠅+汁L

命題點(diǎn)2待定系數(shù)法

例3已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)R（#,1）,2（一S，一曲,

則該橢圓的方程為.

2,2

答案3r+T=l

93

解析設(shè)橢圓的方程為m/+爐=1（加>0,〃>o,且加

將外，P2代入方程,

6根+〃=1,

得.

3m+2〃=1,

解得’1

〃=一.

3

所以橢圓的方程為《+送=1.

93

思維升華根據(jù)條件求橢圓方程的主要方法

（1）定義法：根據(jù)題目所給條件確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足橢圓的定義.

（2）待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的a,b.當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，

一般可設(shè)所求橢圓的方程為機(jī)x2+,沙2=1（機(jī)>0,〃>0,加W”），不必考慮焦點(diǎn)位置，用待定系

數(shù)法求出m,n的值即可.

第20頁(yè)共34頁(yè)

跟蹤訓(xùn)練2⑴“1<收5”是方程“上+上=1表示橢圓”的()

k~15~k

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

,,卜一1>0,

解析當(dāng)方程上+上=1表示橢圓時(shí)，必有所以1<上5且％W3,

左一15~k

左一1W5—A,

當(dāng)1<%<5時(shí)，該方程不一定表示橢圓，例如當(dāng)％=3時(shí)，方程變?yōu)楣?+產(chǎn)=2,它表示一個(gè)圓,

即“1<七5”是“方程上+上=1表示橢圓”的必要不充分條件.

k—15—k

(2)Q022?南京師大附中模擬)已知過(guò)橢圓三十g=l(a>6>0)的左焦點(diǎn)萬(wàn)(-1,0)的直線與橢圓交

于不同的兩點(diǎn)4B,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)C,Q是線段N8的三等分點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程是（）

A“=[B“=l

6554

C.孕=1D.M迷=1

3243

答案B

解析如圖，不妨設(shè)4(X0,/)在第一象限，由橢圓的左焦點(diǎn)尸i(一1,0),點(diǎn)C,Fi是線段

的三等分點(diǎn)，

得C為/Q的中點(diǎn)，Q為8c的中點(diǎn),

所以xo=l,

所以4+普=1,

a1b]

解得州=厶，即41b3

a

所以d”￡),h，-3,

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入橢圓方程得之+叱=1,

eb2

即々+空=1,

a14a-

第21頁(yè)共34頁(yè)

結(jié)合*—62=。2=1,解得Q2=5,b2=4,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程卷++L

題型三橢圓的幾何性質(zhì)

命題點(diǎn)1離心率

例4（1）（2022?太原模擬）設(shè)3是橢圓氏，+|=15>6>0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E且斜

率為?的直線交橢圓于點(diǎn)P,若2NPFF2=NPFIFI,則橢圓E的離心率為（）

A.3+1B.y/3-l

門(mén)也

C.—D.—

32

答案B

解析因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)Q且斜率為券的直線交橢圓于點(diǎn)P,且2/尸尸|尸2=/尸尸2尸1,則有NPQB

=30°,/PE2FI=60°,

因此，在△PFiB中，NBPF2=90°,令橢圓半焦距為c,于是得|PE|=|aB|cos3()o=3c,

|PF2|=|FiF2|-sin30°=c,

由橢圓定義得2a=|PB|+|P尸2|=（3+1）c,則c2=3一1,

a3+1

所以橢圓E的離心率為3—1.

（2）（2022?全國(guó)甲卷）橢圓C：，+，=1伍>6>0）的左頂點(diǎn)為4點(diǎn)尸，。均在C上，且關(guān)于y軸

對(duì)稱.若直線《尸，力。的斜率之積為丄，則C的離心率為（）

答案A

解析設(shè)P（加，〃）（〃#0）,

則0(—〃7,?),易知/(一。,0),

所以匕P?自0=一；；—

m-va-m-vaa—m

因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C±,

所以笠+&=1,得〃2=勺（層一加2）,

a~b‘a(chǎn)-

代入（*）式，得

所以e=￡=t/l-J=g

aMa22

第22頁(yè)共34頁(yè)

思維升華求橢圓離心率或其范圍的方法

(1)直接求出a,c,利用離心率公式e=￡求解.

a

(2)由a與b的關(guān)系求離心率，利用變形公式求解.

(3)構(gòu)造a,c的方程.可以不求出a,c的具體值，而是得出。與。的關(guān)系，從而求得e.

命題點(diǎn)2與橢圓有關(guān)的范圍(最值)問(wèn)題

例5(1)(2023?長(zhǎng)沙模擬)已知Q,A為橢圓\+，=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)，橢圓的離心

率為:，M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則尸2的最大值為()

A.-B.-C.—D,—

3234

答案A

解析如圖所示，當(dāng)點(diǎn)M為橢圓的短軸頂點(diǎn)時(shí)，NQM尸2最大，

卩

\M

：.\MO\^b,\MF2\^a,|OF2|=c,

...sin/OME=J^=2=L

\MF2\a2

:.ZOMF=-,

26

故/尸

所以NF1W2的最大值為*

(2)如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓V+蕓=13>0)的離心率e=/R/分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右

4b2

頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則兩?法的最大值為_(kāi)______

小

LF0JAX

答案4

解析由題意知。=2,因?yàn)閑=￡=L

a2

所以C=l,所以〃=a2—,2=3,

第23頁(yè)共34頁(yè)

故橢圓的方程為上=1.

43

設(shè)尸點(diǎn)的坐標(biāo)為(覺(jué)，/)，-2Wxo<2,f《yod,

代入￡■+￡=1,得yS=3—

434

因?yàn)镕(—1,0),4(2,0),

所以7^=(—1—xo,一次)，P4=(2—xo,—/),

-*,—?11

所以尸尸P4=x8—xo—2+歷=-x8-xo+1=-(xo—2月

44

所以當(dāng)xo=—2時(shí)，動(dòng)?日取得最大值4.

思維升華與橢圓有關(guān)的最值或范圍問(wèn)題的求解方法

(1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì).

(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù).

(3)利用不等式，尤其是基本不等式.

跟蹤訓(xùn)練3(1)(2023?鎮(zhèn)江模擬)已知橢圓氏3+，=l(a>Z?0)的左、右焦點(diǎn)分別為B，F(xiàn)2,

上頂點(diǎn)為/，射線/代交橢圓E于點(diǎn)8,以48為直徑的圓過(guò)尸2,則橢圓E的離心率是()

厶也小「1口亜

A.-^—a.-3-C.-D.-3-

2325

答案D

解析由題意MBj=|W2|=a,

設(shè)則尸2|=2a—t,

又以4B為直徑的圓過(guò)后，

所以丄

所以a2+(2a—1)2=(a+1)2,

解得t=~a,

3

4

所以|83|=*，

在△NFiB和中，由余弦定理得

COSZ^F,F=-,

2a

4c2+-a2——a2

7272

/。廠廠—99_3c~a

CO