2023年湖南常德中考數(shù)學(xué)試卷真題及答案

2023年常德市初中學(xué)業(yè)水平考試

數(shù)學(xué)試題卷

考生注意：

1.請考生在試題卷首填寫好準(zhǔn)考證號及姓名.

2.請將答案填寫在答題卡上，填寫在試題卷上的無效。

3.本學(xué)科試題卷共4頁，七道大題，滿分120分，考試時(shí)量120分鐘.

一、選擇題（本大題8個(gè)小題，每小題3分，滿分24分）

1.3的相反數(shù)是（）

A.3B.—3C.—■D.—

33

2.下面算法正確的是（）

A.（-5）+9=-（9-5）B.7-（-10）=7-10C.（-5）+0--5

D.（-8）+（-4）=8+4

3.不等式組的解集是（）

px+1>2x

A.x<5B.l<x<5C.-l<x<5D.x<-l

4.我市“神十五”航天員張陸和他的兩位戰(zhàn)友已于2023年6月4日回到地球家園，“神

十六”的三位航天員已在中國空間站開始值守，空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問

天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙，假設(shè)“神十六”甲、乙、丙三名航天員從核心艙進(jìn)入問天實(shí)驗(yàn)艙

和夢天實(shí)驗(yàn)艙開展實(shí)驗(yàn)的機(jī)會均等，現(xiàn)在要從這三名航天員中選2人各進(jìn)入一個(gè)實(shí)驗(yàn)艙

開展科學(xué)實(shí)驗(yàn)，則甲、乙兩人同時(shí)被選中的概率為（）

5.若a。+3〃-4=0,則2a2+6a-3=()

A.5B.1C.-1D.0

試卷第1頁，共6頁

6.下列命題正確的是（）

A.正方形的對角線相等且互相平分B.對角互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形

C.矩形的對角線互相垂直D.一組鄰邊相等的四邊形是菱形

7.如圖1,在正方形/8CD中，對角線/C、8。相交于點(diǎn)0,E,尸分別為ZO,QO上

的一點(diǎn)，且EF連接4尸,。E.若乙或1C=15。，則//ED的度數(shù)為（）

C.105°D.115°

8.觀察下邊的數(shù)表（橫排為行，豎排為列），按數(shù)表中的規(guī)律，分?jǐn)?shù)矗若排在第a

行b列，則a-分的值為（）

\

\

_1_2

3T

j_23

32?

2234

4327

A.2003B.2004C.2022D.2023

二、填空題（本大題8個(gè)小題，每小題3分，滿分24分）

9.計(jì)算：（*/＞）3=_.

10.分解因式：c^+l^b+ab1=.

11.要使二次根式&7有意義，則x應(yīng)滿足的條件是.

12.聯(lián)合國2022年11月15日宣布，全世界人口已達(dá)80億.將8000000000用科學(xué)記

數(shù)法表示為.

13.若關(guān)于x的一元二次方程一一2*+左=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是

14.我市體育中考有必考和選考項(xiàng)目，擲實(shí)心球是必考項(xiàng)目之一，在一次訓(xùn)練中，張華

同學(xué)擲實(shí)心球10次的成績依次是（單位：米）7.6,8.5,8.6,8.5,9.1,8.5,8.4,8.6,

9.2,73.則張華同學(xué)撰實(shí)心球成績的眾數(shù)是.

試卷第2頁，共6頁

15.如圖1,在RtZ\45C中，ZJBC=90°,Z8=8,8c=6,。是48上一點(diǎn)，且=2,

過點(diǎn)D作DE〃BC交4C于E,將V4OE繞/點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置.則圖2中無

的值為.

AB

圓術(shù)”，如圖.前是以。為圓心，。/為半徑的圓弧，C是弦的中點(diǎn)，。在初上,

COJ./18.“會圓術(shù)”給出筋長/的近似值s計(jì)算公式：s=AB+釜,當(dāng)04=2,

//。8=90。時(shí)，|/-s|=.（結(jié)果保留一位小數(shù)）

三、（本大題2個(gè)小題，每小題5分，滿分10分）

17.計(jì)算：1-（；）.sin60。+,°-正|

18.解方程組：『一?二%

[3x+4y=23@

四、（本大題2個(gè)小題，每小題6分，滿分12分）

x+3（x+l）

19.先化簡，再求值：^-7-2---,其中x=5.

x-4Ix+2j

20.如圖所示，一次函數(shù)乂=—+加與反比例函數(shù)為=￡相交于點(diǎn)力和點(diǎn)8（3,-1）.

試卷第3頁，共6頁

(1)求〃?的值和反比例函數(shù)解析式；

⑵當(dāng)%＞為時(shí)，求尤的取值范圍.

五、(本大題2個(gè)小題，每小題7分，滿分14分)

21.黨的二十大報(bào)告指出：“我們要全方位夯實(shí)糧食安全根基，牢牢守住十八億畝耕地

紅線.確保中國人的飯碗牢牢端在自己手中”.為了了解糧食生產(chǎn)情況，某校數(shù)學(xué)興趣

小組調(diào)查了某種糧大戶2018年至2022年糧食總產(chǎn)量及2022年糧食分季節(jié)占比情況如

下：

2018—2022年該種糧大戶糧食

總產(chǎn)量分季節(jié)占比統(tǒng)計(jì)圖

請根據(jù)圖中信息回答下列問題：

(1)該種糧大戶2022年早稻產(chǎn)量是噸：

(2)2018年至2022年該種糧大戶糧食總產(chǎn)量的中位數(shù)是，平均數(shù)是

(3)該糧食大戶估計(jì)2023年的糧食總產(chǎn)量年增長率與2022年的相同，那么2023年該糧

食大戶的糧食總產(chǎn)量是多少噸？

22.“六一”兒童節(jié)將至，張老板計(jì)劃購買N型玩具和B型玩具進(jìn)行銷售，若用1200元

購買N型玩具的數(shù)量比用1500元購買8型玩具的數(shù)量多20個(gè)，且一個(gè)8型玩具的進(jìn)

價(jià)是一個(gè)/型玩具進(jìn)價(jià)的1.5倍.

(1)求4型玩具和8型玩具的進(jìn)價(jià)分別是多少？

(2)若4型玩具的售價(jià)為12元/個(gè)，8型玩具的售價(jià)為20元/個(gè)，張老板購進(jìn)4,8型玩

具共75個(gè)，要使總利潤不低于300元，則A型玩具最多購進(jìn)多少個(gè)？

試卷第4頁，共6頁

六、（本大題2個(gè)小題，每小題8分，滿分16分）

23.今年“五一”長假期間，小陳、小余同學(xué)和家長去沙灘公園游玩，坐在如圖的椅子上

休息時(shí)，小陳感覺很舒服，激發(fā)了她對這把椅子的好奇心，就想出個(gè)問題考考同學(xué)小余,

小陳同學(xué)先測量,根據(jù)測量結(jié)果畫出了圖1的示意圖（圖2）.在圖2中，已知四邊形為8。

是平行四邊形，座板CD與地面平行，是等腰三角形且=

NFB/=114.2°,靠背FC=57cm,支架4N=43cm,扶手的一部分8E=16.4cm.這時(shí)

她問小余同學(xué)，你能算出靠背頂端尸點(diǎn)距地面（MV）的高度是多少嗎？請你幫小余同

學(xué)算出結(jié)果（最后結(jié)果保留一位小數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：sin65.8°=0.91,cos65.8°=0.41,

tan65.8°=2.23)

圖1圖2

24.如圖，四邊形/8CO是。。的內(nèi)接四邊形，是直徑，C是訪的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作

CELAD交AD的延長線于點(diǎn)E.

⑴求證：CE是。。的切線；

（2）若BC=6,ZC=8,求的長.

七、（本大題2個(gè)小題，每小題10分，滿分20分）

25.如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于/（TO）,8（5,0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)

試卷第5頁，共6頁

為D.。為坐標(biāo)原點(diǎn)，tan/NCO=g.

DD

備用圖

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求四邊形N88的面積；

(3)尸是拋物線上的一點(diǎn)，且在第--象限內(nèi)，若乙4co=NPBC,求尸點(diǎn)的坐標(biāo).

26.如圖，在中，AB=AC,。是8c的中點(diǎn)，延長。/至E,連接E&EC.

圖1圖2

(1)求證：ABAEACAE；

(2)在如圖1中，若AE=AD,其它條件不變得到圖2,在圖2中過點(diǎn)。作。尸于

F,設(shè)”是EC的中點(diǎn)，過點(diǎn)〃作"GII/8交￡0于G,交DE于M.

求證：

①AF-MH=AM-AE；

@GF=GD.

試卷第6頁，共6頁

1.B

【分析】根據(jù)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的符號相反即可解答.

【詳解】解：；3的相反數(shù)是-3,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的定義，理解相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

2.C

【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減法則計(jì)算即可.

【詳解】A、(-5)+9=9-5,故A不符合題意；

B、7-(-10)=7+10,故B不符合題意；

C.(-5)+0=-5,故C符合題意；

D、(一8)+(-4)=-(8+4),故D不符合題意;

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的加減法，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握.

3.C

【分析】分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可.

,[x-3<2①

【詳解】、，、令

[3x+l*2x②

解不等式①，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得，x<5；

解不等式②，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得，%>-1

故不等式組的解集為：-l<x<5.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取?。捍笮⌒〈笾虚g找:

大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

4.B

【分析】用列表法表示出所有等可能得結(jié)果，然后利用概率公式求解即可.

【詳解】

甲乙丙

答案第1頁，共17頁

甲（乙，甲）（丙,甲）

乙（甲，乙）（丙，乙）

丙（甲，丙）（乙，丙）

有表格可得，一共有6種等可能得結(jié)果，其中甲、乙兩人同時(shí)被選中的結(jié)果有2種，

???甲、乙兩人同時(shí)被選中的概率為不2=：1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺

漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完

成的事件.用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

5.A

【分析】把/+3°-4=0變形后整體代入求值即可.

【詳解】a?+3。-4=0,

a2+3a=4

/.2a2+6a-3=2（a2+3a）-3=2x4-3=5,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，利用整體思想是解題的關(guān)鍵.

6.A

【分析】根據(jù)正方形、平行四邊形、矩形、菱形的各自性質(zhì)和構(gòu)成條件進(jìn)行判斷即可.

【詳解】A、正方形的對角線相等且互相垂直平分，描述正確：

B、對角互補(bǔ)的四邊形不一定是平行四邊形，只是內(nèi)接于圓，描述錯誤；

C、矩形的對角線不一定垂直，但相等，描述錯誤；

D、一組鄰邊相等的平行四邊形才構(gòu)成菱形，描述錯誤.

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟悉掌握

各類特殊四邊形的判定和性質(zhì).

7.C

【分析】首先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到NO4O=NOD4=45。，AO=DO,然后結(jié)合跖〃

得至|JOE=。尸，然后證明出△/OFgZV）OE（SAS）,最后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可.

答案第2頁，共17頁

【詳解】；四邊形45。是正方形

ZOAD=NODA=45°,AO=DO

'：EF//AD

：.ZOEF=ZOAD=45°,ZOFE=NODA=45°

，ZOEF=NOFE

：.OE=OF

又NAOF=ZDOE=90°,AO=DO

△力OF且△OOE(SAS)

/.ZODE=ZFAC=\5°

：.ZADE=NODA-NODE=30°

ZAED=180°-NOAD-NADE=105°

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形三角形的性

質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn).

8.C

【分析】觀察表中的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)的分子是幾，則必在第幾列；只有第一列的分?jǐn)?shù)，分母

與其所在行數(shù)一致.

【詳解】觀察表中的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)的分子是幾，則必在第幾列；只有第一列的分?jǐn)?shù)，分母

與其所在行數(shù)一致，故癥在第20歹IJ,即6=20；向前遞推到第1歹U時(shí)，分?jǐn)?shù)為

201

20-191'故分?jǐn)?shù)施與分?jǐn)?shù)息■在同一行.即在第2042行’則“=2042.

2023+19-2042

/.a-6=2042-20=2022.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索的知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵善于發(fā)現(xiàn)數(shù)字遞變的周期性和趨

向性.

9.a6b3

【詳解】試題分析：根據(jù)積的乘方運(yùn)算法則可得(a2b)3=a6b3.

考點(diǎn)：積的乘方運(yùn)算法則.

10.a^a+/>)'

答案第3頁，共17頁

【分析】首先提公因式，原式可化為研/+2岫+/),再利用公式法進(jìn)行因式分解可得結(jié)果.

【詳解】解：a3+2a2b+b3=a{a2+2ab+b2)=a(a+b)',

故答案為:a(a+b)2.

【點(diǎn)晴】本題主要考查的是因式分解的運(yùn)算，掌握因式分解運(yùn)算的順序“一提，二套，三分

組，十字相乘做輔助“，利用合適方法進(jìn)行因式分解，注意分解要徹底.

11.x>4

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件求解即可.

【詳解】根據(jù)題意得：%-4>0,

解得：x>4,

故答案為：x>4.

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義需被開方數(shù)大于等于0

是解題的關(guān)鍵.

12.8x109

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中〃為整數(shù).確定〃的值時(shí)，

要看把原數(shù)變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同.

【詳解】8000000000=8x10%

故答案為：8x109.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，

其中〃為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定。的值以及"的值.

13.k<l

【分析】若一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則根的判別式建立關(guān)于

%的不等式，解不等式即可得出答案.

【詳解】解：???關(guān)于x的方程/-2x+4=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

.?.△=從-4a=(-2)2-4%>0,

解得上<1.

故答案為：k<l.

【點(diǎn)睛】此題考查了根的判別式.一元二次方程以2+瓜+。=0(〃力0)的根與4=/-4"有

如下關(guān)系：(1)△>()0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)△=()=方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根:

答案第4頁，共17頁

（3）A<0=方程沒有實(shí)數(shù)根.

14.8.5

【分析】由眾數(shù)的概念即可得到答案.

【詳解】張華同學(xué)擲實(shí)心球10次的成績出現(xiàn)頻次最高的是8.5米，共3次，故張華同學(xué)擲

實(shí)心球成績的眾數(shù)是8.5.

故苔案為：8.5.

【點(diǎn)睛】本題考查的眾數(shù)的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握眾數(shù)的概念.

4

15.1##0.8

【分析】首先根據(jù)勾股定理得到/C=Jn82+8灰=10,然后證明出△/OEs/X/BC,得

ADApADAR

到第=嚷，進(jìn)而得到第二喂，然后證明出△430?△4CE，利用相似三角形的性質(zhì)求

ABACAEAC

解即可.

【詳解】???在中，乙48C=90。，AB=8,BC=6,

???AC=>]AB2+BC2=10

9：DE//BC

：.ZADE=ZABC=90°f/AED=/ACB

：.^ADE^AABC

.AD_AE

??布一就

.AD_AB

"~AE~~AC

??ZBAC=NDAE

：.ABAC+ACAD=/DAE+/CAD

：./BAD=ZCAE

/.AABDS^ACE

?BDAB_84

CD~AC"W~5'

4

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和

判定定理.

16.0.1

答案第5頁，共17頁

【分析】由已知求得N8與CO的值，代入s=ZB+X得弧長的近似值，利用弧長公式可

0A

求弧長的值，進(jìn)而即可得解.

【詳解】：CM=08=2,408=90。，

?*.AB=26，

是弦48的中點(diǎn)，。在標(biāo)上，CDVAB,

...延長。C可得。在。C上，OC=-AB=42

2

:.CD=0D-0C=2-五，

2

.CDr(2-M

■'s=AB+--=20+^-----L=3,

OA2

.90x2x2產(chǎn)

I=---------=71,

360

二忱_31ao.1.

故答案為：0.1.

【點(diǎn)睛】本題考查扇形的弧長，掌握垂徑定理。弧長公式是關(guān)鍵.

17.0

【分析】首先計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，特殊角的三角函數(shù)，零指數(shù)累和絕對值，然后計(jì)算加減.

【詳解】原式=1一2-3+1-百|(zhì)

=1—y/3+y]3—1

=0.

【點(diǎn)睛】此題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)塞，特殊角的三角函數(shù)，零指數(shù)基和絕對值，解題的關(guān)鍵是

熟練掌握以上運(yùn)算法則.

答案第6頁，共17頁

x=5

18.

)=2

【分析】方程組利用加減消元法求解即可.

【詳解】解：將①x2得：2x-4y=2@

②+③得：x=5

將x=5代入①得：y=2

[x=5

所以.是原方程組的解.

。=2

【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，解題的關(guān)鍵是利用代入消元法

或加減消元法消去一個(gè)未知數(shù).

【分析】先計(jì)算括號內(nèi)的減法運(yùn)算，再計(jì)算除法，得到化簡結(jié)果，再把字母的值代入計(jì)算即

可.

x+32,x+4—x—1

【詳解】解：原式=(X+2)(X_2「x+2

x+3

______________xx__+__2_

(x4-2)(x—2)x+3

1

當(dāng)x=5時(shí)，原式=7^二：

5—23

【點(diǎn)睛】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式運(yùn)算法則和混合運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵.

3

20.⑴加=2,y=——

x

或0<x<3

【分析】(1)根據(jù)一次函數(shù)％=-x+〃?的圖象與反比例函數(shù)為=：的圖象交于4(3,-1)、B

兩點(diǎn)可得加的值，進(jìn)而可求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)觀察函數(shù)圖象，寫出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可.

【詳解】(1)將點(diǎn)8(3,-1)代入乂=-x+〃，得：-3+加=-1

解得：團(tuán)=2

答案第7頁，共17頁

將8(3,-1)代入乂=上得：4=3x(-1)=-3

X

：?y=--

2X

(2)由乂=%得：-x+2=三，解得再=-1,々=3

X

所以45的坐標(biāo)分別為4-1,3),8(3,-1)

由圖形可得：當(dāng)x<-l或0<x<3時(shí)，yt>y2

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)

與一次函數(shù)的性質(zhì).

21.(1)9.2

(2)160噸；172噸

(3)264.5噸

【分析】(1)用2022年總量乘以早稻所占的百分比求解即可；

(2)根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的概念求解即可；

(3)首先求出年增長率，進(jìn)而求解即可.

【詳解】(1)230X(1-75%-21%)=9.2(噸)

故答案為：9.2.

(2)2018年至2022年該種糧大戶糧食總產(chǎn)量從小到大排列如下：

120,150,160,200,230

.?.2018年至2022年該種糧大戶糧食總產(chǎn)量的中位數(shù)是160噸；

(120+150+160+200+230)^-5=172(噸)

A2018年至2022年該種糧大戶糧食總產(chǎn)量的平均數(shù)是172噸；

故答案為：160噸,172噸；

(3)(230-200)+200x100%=15%

230x(1+15%)=264.5(噸)

A2023年該糧食大戶的糧食總產(chǎn)量是264.5噸.

【點(diǎn)睛】此題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖，求中位數(shù)和平均數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是熟

練掌握以上知識點(diǎn).

答案第8頁，共17頁

22.（1）4型，8型玩具的單價(jià)分別是10元/個(gè)，15元/個(gè)

（2）最多可購進(jìn)N型玩具25個(gè)

【分析】（1）設(shè)A型玩具的單價(jià)為x元/件.依題意列出分式方程，進(jìn)行求解;

（2）根據(jù)題意列出不等式進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）設(shè)A型玩具的單價(jià)為X元/件.

12001500

由題意得:20,

x1.5x

解得：x=10

經(jīng)檢驗(yàn)，x=10是原方程的解

B型玩具的單價(jià)為10x1.5=15元/個(gè)

：.A型，B型玩具的單價(jià)分別是10元/個(gè)，15元/個(gè).

（2）設(shè)購進(jìn)/型玩具機(jī)個(gè).

（12-10）m+（20-15）（75-w）>300

解得：mW25

最多可購進(jìn)/型玩具25個(gè).

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出相

應(yīng)的方程或不等式.

23.72.8cm

【分析】方法一：過點(diǎn)尸作尸0，。。交。C的延長線于點(diǎn)。，由平行四邊形的性質(zhì)可得

ZFCQ=ZC5/7=180°-114.2°=65.8°,進(jìn)而求得尸。，過點(diǎn)A作NPIA/N于點(diǎn)P,根據(jù)平

行線的性質(zhì)可得4NP=/FCQ=65.8。，進(jìn)而求得/尸，過C作于點(diǎn)”，根據(jù)等腰

三角形三線合一可得84=8.2,進(jìn)而求得Cb,利用m7=尸。+加>-"。求解即可；

方法二：過點(diǎn)尸作尸交。C的延長線于點(diǎn)。，過點(diǎn)C作C”,48于點(diǎn)”，延長48交

FQ于點(diǎn)S,根據(jù)等腰三角形三線合一可得84=8.2,進(jìn)而求得8C,FS,過A作ZPLMN

于P,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得4松=/5。。=65.8。，進(jìn)而求得/尸，根據(jù)MN=FS+/P求

解即可.

【詳解】解：方法一：

過點(diǎn)尸作尸。_LOC交DC的延長線于點(diǎn)Q,

答案第9頁，共17頁

F

HEA

QqD

Ayl------Cl—\N

P

???四邊形N8CD是平行四邊形，NFB4=114.2。,

??.ZFCQ=ZCBH=180°-114.2°=65.8°,

vFC=57

??.FQ=FC-sinZFCQ=57-sin65.8°,

過點(diǎn)A作4PLMN于點(diǎn)尸，

由題意知48〃C力〃MN,FC//AN,

ZANP=NFCQ=65.8。,

又二AN=43,

??.AP=AN?sinZANP=43-sin65.8°,

過。作CHJ.48于點(diǎn)H,

vBC=CEfEB=164,

BH=8.2,

CH=BH?tanZCBH=8.2xtan65.8°=8.2x2.23n\8.29,

???靠背頂端F點(diǎn)距地面(MN)高度為

FQ+AP-HC=57sin65.80+43sin65.8°-l8.29=100x0,91-18.29=72.71?72.7cm:

方法二：

如圖，過點(diǎn)F作尸。，DC交DC的延長線于點(diǎn)。，過點(diǎn)C作CH1AB于點(diǎn)H,延長交FQ

于點(diǎn)S,

答案第10頁，共17頁

F

L隹HEA

S

QqD

L-----C—\N

P

BC=CE,￡5=16.4,

BH=32,

又?；ABHCD,

??.NFCQ=NHBC=180°-ll4.2°=65.8°,

BC=———=8.2+0.41=20cm,

cos/.CBH

FS=FB-sinZFBS=FB-sinZHBC=^7-20)sin65.8°=37sin65.8°,

過A作力P_LMV于尸，

由題意知48〃CO〃MN,FC//AN,

ZANP=NFC。=65.8。,

又二NN=43,

??.AP=AN-sinAANP=43sin65.8°,

.-.靠背頂端F點(diǎn)距地面(MN)高度為FS+ZP=37sin65.80+43sin658=80x0.91=72.8cm.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，正確作出

輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

24.(1)證明見解析;

⑵灰哼'DE=1T

【分析】(1)根據(jù)“連半徑，證垂直”即可，

(2)先由“直徑所對的圓周角是直角”，證是直角三角形，用勾股定理求出N5長，再

通過三角形相似即可求解.

【詳解】(1)連接0c

答案第11頁，共17頁

E

???

CD=BC，

：.Z1=Z2,

又???Q4=OC,

.??/2=/3,

???Z1=Z3,

???AE//OCf

又〈CE14E,

：.CELOC,OC為半徑，

???CE為。。的切線，

(2),?,4B為OO直徑,

：.ZACB=90°,

VBC=6,AC=S9

：.46=10,

又Z1=Z2,/AEC=/ACB=90°,

AAECS^ACB,

.EC_AC日n￡￡__l

CBAB610

-“_24

5

,:無=逸,

:?CD=BC=6,

答案第12頁，共17頁

在Rt^OEC中，由勾股定理得:

DE=yJCD2-CE2=18

T

【點(diǎn)睛】此題考查切線的判定，圓周角定理，勾股定理定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性

質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

25.(l)y=_(x+l)(x-5)

(2)30

(3)尸腎)

【分析】(1)用兩點(diǎn)式設(shè)出二次函數(shù)的解析式，然后求得C點(diǎn)的坐標(biāo)，并將其代入二次函

數(shù)的解析式，求得a的值，再將°代入解析式中即可.

(2)先將二次函數(shù)變形為頂點(diǎn)式，求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用矩形、三角形的面積公式即可

求得答案.

(3)根據(jù)各點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系及同角三角函數(shù)相等的結(jié)論可以求得相關(guān)聯(lián)的函數(shù)解析式，最

后聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，求得點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【詳解】(1)?.?二次函數(shù)的圖象與x軸交于4(7,0),3(5,0)兩點(diǎn).

.?.設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x+D(x-5)

AO=1,tanZ.ACO=",

：.OC=5,即C的坐標(biāo)為(0,5)

則5=40+1)(0-5),得“=-1

二次函數(shù)的表達(dá)式為y=—(x+l)(x-5)：

(2)^=-(x+l)(x-5)=-(x-2)2+9

頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,9)

過。作ZWJ.48于N,作。MJ.OC于"，

四邊形/CDB的面積=?S'AJOC+S定彩0MDN~S&CDM+S4DNB

答案第13頁，共17頁

=gxlx5+2x9-gx2x(9-5升卜§-2卜9=30；

NP8C時(shí),

?：OC=OB=5,則AOCB為等腰直角三角形，Z(?C5=45°.

由勾股定理得：CB=50，

'：ZACO=NPBC,

/.tan/ACO=tan/PBC，

1CECE

即Hn《=赤=777，

〉CDJyjZ

,CE=y12

由C"_L8C,得NBCE=90°,

：.ZECF=180°-NBCE-NOCB=180o-90°-45o=45°.

是等腰直角三角形

FC=FE=\

答案第14頁，共17頁

.?.E的坐標(biāo)為(1,6)

所以過3、E的直線的解析式為y=-13x+，15

315

y=——XH-----

令，2