2020-2021學年北京海淀區(qū)初三第一學期數(shù)學期中試卷及答案

2020-2021學年北京海淀區(qū)初三第一學期數(shù)學期中試卷及答

案

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第『8題均有四個選項，符合題意的選項只有一

個.

1.拼圖是一種廣受歡迎的智力游戲，需要將形態(tài)各異的組件拼接在一起，下列拼圖組件是

中心對稱圖形的為（）

D

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義和圖形的特點即可求解.

【詳解】A、是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

B、不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

C、不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

D、不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

故選：A.

【點睛】本題考查了中心對稱圖形的概念：如果一個圖形繞某一點旋轉180°后能夠與自身

重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心.

2.一元二次方程2f+3x—4=0的一次項系數(shù)是（）

A.-4B.-3C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)ax2+bx+c=0中，ax,叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項.其中a,b,c

分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項解答即可.

【詳解】一元二次方程2/+3x-4=0的一次項系數(shù)是3

故選:D.

【點睛】本題考查的是一元二次方程的一般形式，ax2+bx+c=0（a,b,c是常數(shù)且aWO）

特別要注意aWO的條件，在一般形式中ax,叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項.其中a,

b,c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項.

3.點A(l,2)關于原點對稱的點的坐標是()

A.(1,-2)B.(-1,2)C.(-1,-2)D.(2,1)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)關于原點對稱點的坐標特點：橫、縱坐標均取相反數(shù)可直接得到答案.

【詳解】解：點A(1,2)關于原點對稱的點的坐標是(-1,-2),

故選：C.

【點睛】此題主要考查了關于原點對稱點的坐標特點，關鍵是掌握點的坐標的變化規(guī)律.

4.將y=Y向上平移2個單位后所得的拋物線的解析式為()

A.y=x2+2B.y=X2—2C.y=(x+2)2D.

y=(x-2)2

【答案】A

【解析】

【詳解】試題分析：拋物線y=f的頂點坐標為(0,0),把點(0,0)向上平移2個單位

得到的點的坐標為(0,2),所以平移后的拋物線的解析式為y=f+2.故選A.

考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換.

5.用配方法解方程d+4x+l=0,下列變形正確的是()

A.(x+2)2=-5B.(X+2)2=5C.(x+2『=-3D.

(X+2)2=3

【答案】D

【解析】

【分析】在本題中，把常數(shù)項1移項后，應該在左右兩邊同時加上一次項系數(shù)4的一半的平

方.

【詳解】把方程V+4x+l=0的常數(shù)項移到等號的右邊，得到：f+4x=_1，

2

方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，得到：X+4%+4=-1+4.

配方得：0+2)2=3,

故選D.

【點睛】本題考查了解一元二次方程-配方法.配方法的一般步驟：

(1)把常數(shù)項移到等號的右邊；

（2）把二次項的系數(shù)化為1；

（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；

選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1,一次項的系數(shù)是2的倍

數(shù).

6.如圖，不等邊，A3C內接于O。，下列結論不成立的是（）

A.Z1=Z2B.Z1=Z4

C.ZAOB=2ZACBD.ZACB=Z2+Z3

【答案】B

【解析】

【分析】利用OB=OC可對A選項的結論進行判斷；由于ABWBC,則/BOCWNAOB,而

ZB0C=180°-2Z1,ZA0B=180°-2Z4,則于是可對B選項的結論進行判斷；根

據(jù)圓周角定理可對C選項的結論進行判斷；利用/0CA=N3,/1=/2可對D選項的結論進

行判斷.

【詳解】解：；OB=OC,

.-.Z1=Z2,所以A選項的結論成立；

：OA=OB,

,Z4=Z0BA,

AZA0B=180°-Z4-Z0BA=180°-2/4,

:△ABC為不等邊三角形，

；.AB/BC,

ZBOC^ZAOB,

ffiZB0C=180°-Zl-Z2=180°-2/1,

.?.N1WN4,所以B選項的結論不成立；

ZAOB與ZACB都對弧AB,

AZA0B=2ZACB,所以C選項的結論成立；

VOA=OC,

，Z0CA=Z3,

ZACB=Z1+ZOCA=Z2+Z3,所以D選項的結論成立.

故選：B.

【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分

線的交點，叫做三角形的外心.也考查了圓周角定理和等腰三角形的性質.

7.如圖，菱形488對角線AC,80相交于點。，點P，。分別在線段80，A0上,

且PQ//A5.以PQ為邊作一個菱形，使得它的兩條對角線分別在線段AC,8。上，設

BP=X,新作菱形的面積為y,則反映y與x之間函數(shù)關系的圖象大致是()

【答案】c

【解析】

【分析】y=4SAPOG=4xx(a-x)(a-x)tanZ.QPO-2tanZQPO(?-x)",即可求解.

【詳解】解：設0B=a,則0P=a-x,

則0Q=0PtanZQP0=(a-x)tanZQPO,

1,

故y=4sAp0。-4x—x(a-x)(a—x)tanZQPO=2tanNQPO(a-x)'

；2tanNQP0為大于0的常數(shù)，

故上述函數(shù)為開口向上的拋物線，且x=a時，y取得最大值0,

故選：C.

【點睛】本題考查的是動點圖象問題，此類問題關鍵是：弄清楚不同時間段，圖象和圖形的

對應關系，進而求解.

8.計算機處理任務時，經(jīng)常會以圓形進度條的形式顯示任務完成的百分比.下面是同一個

任務進行到不同階段時進度條的示意圖:

若圓半徑為1,當任務完成的百分比為X時，線段的長度記為d(x).下列描述正確的

是()

A.[(25%)=1B.當x>50%時，</(%)>1

C.當內>工2時，。(％)>"(尤2)D.當X1+%2=100%時，

d(不)="(々)

【答案】D

【解析】

【分析】利用圖象判斷即可.

【詳解】解：A、d(25%)=無>1,本選項不符合題意.

B、當x>50斷寸，OWd(x)<2,本選項不符合題意.

C、當Xi>X2時，d(X1)與d(x2)可能相等，可能不等，本選項不符合題意.

D、當Xi+x2=100%時，d(Xi)=d(x2),本選項符合題意.

故選：D.

【點睛】本題考查求弦長，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題.

二、填空題(本題共16分，每小題2分)

9.已知二次函數(shù)y=-f,請判斷點A(l,—1)是否在該二次函數(shù)的圖象上.你的結論為

(填“是”或“否”).

【答案】是

【解析】

【分析】把點A的坐標代入解析式驗證即可.

【詳解】解：???當x=l時，y=-(-1)2=-1,

點在二次函數(shù)y=-x2的圖象上.

故答案為：是.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，屬于基礎題目，掌握解答的方法是關鍵.

10.如圖，正方形ABCD的邊長為6,點E在邊CO上.以點A為中心，把.ADE順時針

旋轉90°至A5f的位置，若DE=2,則EC=

【答案】8

【解析】

【分析】先根據(jù)旋轉的性質和正方形的性質證明C、B、F三點在一條直線上，又知BF=DE

=2,可得FC的長.

【詳解】：四邊形ABCD是正方形，

.../ABC=ND=90°,AD=AB,

由旋轉得：ZABF=ZD=90°,BF=DE=2,

/ABF+NABC=180°,

AC.B、F三點在一條直線上，

；.CF=BC+BF=6+2=8,

故答案為：8.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質、旋轉變換的性質，難度適中.由旋轉的性質得出

BF=DE是解答本題的關鍵.

11.己知關于%的方程/=根有兩個相等的實數(shù)根，則〃?=

【答案】0

【解析】

【分析】先將方程化成一般式，然后再運用根的判別式求解即可.

【詳解】解：???關于x的方程/=加有兩個相等的實數(shù)根，

2

關于x的方程x-m=0有兩個相等的實數(shù)根，

.?.△=0-4m=0,解得m=0.

故答案為0.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，掌握“當△=（）時，方程有兩個相等的

實數(shù)根”是解答本題的關鍵.

12.如圖，在5x5的正方形網(wǎng)格中，兩條網(wǎng)格線的交點叫做格點，每個小正方形的邊長均

為1.以點。為圓心，5為半徑畫圓，共經(jīng)過圖中_______個格點（包括圖中網(wǎng)格邊界上的

點）.

【答案】4

【解析】

【分析】通過作圖展示滿足條件的格點，然后利用點與圓的位置關系的判定方法進行驗證.

【詳解】解：如圖，

。。共經(jīng)過圖中4個格點

故答案為：4.

【點睛】本題考查了勾股定理，點與圓的位置關系.

13.某學習平臺三月份新注冊用戶為200萬，五月份新注冊用戶為338萬，設四、五兩個月

新注冊用戶每月平均增長率為X,則可列出的方程是.

【答案】200(1+力2=338

【解析】

【分析】根據(jù)題意可直接列出方程.

【詳解】解：由題意得：

200(1+4=338；

故答案為200(1+X)2=338.

【點睛】本題主要考查一元二次方程的實際應用，熟練掌握一元二次方程的應用是解題的關

鍵.

14.已知二次函數(shù)丁=62一4如+1（。是常數(shù)），則該函數(shù)圖象的對稱軸是直線

x=.

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，可以計算出該函數(shù)的對稱軸.

【詳解】?.?二次函數(shù)^=融2一4℃+1（a是常數(shù)），

.?.該函數(shù)的對稱軸是直線x=-^=2,

2a

故答案為：2.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質解答.

15.如圖，點A,B,C在。上，順次連接A,B,C,0.若四邊形ABCO為平行

四邊形，則NAOC=

【答案】120

【解析】

【分析】連接0B,先證明四邊形ABCD是菱形，然后再說明△AOB、△OBC為等邊三角形，最

后根據(jù)等邊三角形的性質即可解答.

【詳解】解：如圖：連接0B

???點A,B,。在《。上

.?.OA=OC=OB

四邊形ABCO為平行四邊形

...四邊形ABCO是菱形

.\OA=OC=OB=AB=BC

AAAOB,△OBC為等邊三角形

ZA0B=ZB0C=60°

.".ZA0C=120°.

故答案為120.

A

c

【點睛】本題主要考查了圓的性質和等邊三角形的性質，根據(jù)題意證得△AOB、aOBC為等

邊三角形是解答本題的關鍵.

16.對于二次函數(shù)曠=內2和y=bx2.其自變量和函數(shù)值的兩組對應值如下表所示：

X-1根(mwl)

y^ax-cc

y-bx2c+3d

根據(jù)二次函數(shù)圖象的相關性質可知：m=.一,d-c=.

【答案】①.T;②.3

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像的對稱性可求出m的取值；再根據(jù)在同一個函數(shù)中同一個自變量

對應的函數(shù)值相等可以求出d和c之間的關系

【詳解】解：根據(jù)x=7和x=m時，y=G?的值都為c,且>的對稱軸為x=0可知，

m=-l或者1,根據(jù)題意m=-l；根據(jù)在同一個函數(shù)中同一個自變量對應的函數(shù)值相等可知，

c+3=d,故d-c=3

綜上：m=-l；d-c=3

【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象的相關性質，熟練理解并掌握相關性質是解題的關鍵

三、解答題(本題共68分，第17~22題，每小題5分，第23~26題，每小題6分，第27~28

題，每小題7分)解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.解方程：x2-6x=16.

【答案】為=—2,々=8

【解析】

【分析】根據(jù)配方法即可求解.

【詳解】f一6X+9=16+9

(x-3)2=25

x-3=±5

再=-2,%2=8>

【點睛】此題主要考查一元二次方程的求解，解題的關鍵是熟知配方法的運用.

18.如圖，已知=NBCD=NABD,點E在BD上,BE=CD.

求證：AE=BD.

【答案】見解析

【解析】

【分析】根據(jù)題目中的條件和全等三角形判定的方法，可以寫出AABE四4BCD成立的條件,

然后即可得到AE=BD.

【詳解】證明：；NBCD=NABD,

.".ZBCD=ZABE,

在AiABE和△BCD中，

AB=BC

<NABD=/BCD,

BE=CD

:.△ABE^LBCD(SAS).

；?AE=BD.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的

思想解答.

19.己知二次函數(shù)y=f+加:+c的圖象過點4(0,3),8(1,0).

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；

(2)畫出這個函數(shù)的圖象.

【答案】(1)y=f-4%+3；(2)見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)點A、B的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;

(2)列表，描點連線畫出函數(shù)圖象即可.

【詳解】解：⑴?.?二次函數(shù)ynf+Ar+c的圖象過點A((),3),3(1,0),

c=3

l+/?+c=0'

y=x2-4x+3.

(2)列表：

X???01234???

y???30-103???

描點畫圖:

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求二次函

數(shù)的解析式，解題的關鍵是熟知二元一次方程組的求解方法.

20.已知關于x的一元二次方程/_4x+機+2=0有兩個不相等的實數(shù)根.

(1)求加的取值范圍；

(2)若機為正整數(shù)，求此時方程的根.

【答案】(1)〃z<2；(2)X1=l,x,—3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)判別式即可求出答案.

(2)根據(jù)m的范圍可知m=l,代入原方程后根據(jù)一元二次方程的解法即可求出答案.

【詳解】解：(1)???方程/_4x+機+2=0有兩個不相等的實數(shù)根，

A=42—4(m+2)=8—4m>0,

m<2.

(2)?.?陽為正整數(shù)，且〃z<2,

??D1—1?

當加=1時,方程為￡一4x+3=()，

??=I,%23.

【點睛】本題考查一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基

礎題型.

21.如圖，ABC中，C4=CB,以為直徑的半圓與AB交于點。，與AC交于點E.

A

（1）求證：點。為AB的中點；

（2）求證：AD=DE.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

【分析】（1）連接CD,如圖，根據(jù)圓周角定理得到/BDC=90°,然后根據(jù)等腰三角形的性

質可得到AD=BD；

（2）利用圓內接四邊形的性質得到NB+NDEC=180°,則可判斷NAED=NB,再利用等腰

三角形的性質得到NA=NB,所以NA=NAED,從而得到結論.

【詳解】（1）連接CD,如圖，

VBC為直徑，

.?./BDC=90°,

ACD±AB,

；CA=CB,

，AD=BD,即點D為AB的中點；

(2)???四邊形BCED為。0的內接四邊形,

.?.NB+/DEC=180°,

而/AED+NDEC=180°,

.?.NAED=/B,

VCA=CB,

.,.ZA=ZAED,

AAD=DE.

【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于

這條弧所對的圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所

對的弦是直徑.也考查了等腰三角形的性質.

22.如圖，用一條長40m的繩子圍成矩形A3CO,設邊A3的長為％m.

AD

x

B1----------------1c

（1）邊的長為m,矩形ABC。的面積為m2（均用含1的代

數(shù)式表示）；

（2）矩形ABCD的面積是否可以是120m2?請給出你的結論，并用所學的方程或者函數(shù)

知識說明理由.

【答案】（1）（20-x）；（-%2+20%）；（2）不可以，見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)矩形的周長公式求得邊BC的長度；然后由矩形的面積公式求得矩形ABCD

的面積；

（2）根據(jù)矩形的面積公式得到關于x的方程，通過解方程求得答案.

【詳解】解：（1）根據(jù)題意，知邊BC的長為：（20r）m,

矩形ABCD的面積為：（20T）X=（-x;:+20x）

故答案是：（20~x）；（-x~+20x）；

（2）若矩形ABCD的面積是120m2,則-^+20*=120.

VA=bMac=-80<0,

...這個方程無解.

矩形ABCD的面積不可以是120m2.

【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給

出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解.

23.如圖，在平面直角坐標系光0y中，一次函數(shù)>=一%+加的圖象過點A（l,3）,且與x軸

交于點B.

（2）若二次函數(shù)y=o?+法圖象過A,B兩點,直接寫出關于X的不等式

ax2+fox>—x+機的解集一

【答案】（1）〃?=4,8的坐標為（4,0）；（2）1<X<4.

【解析】

【分析】（1）將點A坐標代入解析式即可求得m的值，然后令y=0,求得x的值即為B點

的橫坐標；

（2）先根據(jù)A、5兩點的坐標求出二次函數(shù)的解析式，再畫出函數(shù)圖像，最后直接寫出解

集即可.

【詳解】解：（1）???>=一1+7%的圖象過點A（l,3）,

3=-1+m,

〃2=4.

/.y=r+4.

令y=°,得x=4,

?,?點3的坐標為（4,0）；

（2）;二次函數(shù)圖象過A,8兩點

3=a+bfa-1

v9，解得：《

0=42?+4Z?[h=4

畫出函數(shù)圖像如圖:

由函數(shù)圖像可得不等式以2+版>一”+機的解集為：l<x<4.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖像的性質、求二次函數(shù)的解析式及利用函數(shù)圖像確定不等式

的解集，掌握數(shù)形結合思想是解答本題的關鍵.

24.某滑雪場在滑道上設置了幾個固定的計時點.一名滑雪者從山坡滑下，測得了滑行距離

s(單位：m)與滑行時間f(單位：s)的若干數(shù)據(jù)，如下表所示：

位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7

滑行時間f/s01.071.402082.462.793.36

滑行距離s/m051015202535

為觀察s與f之間的關系，建立坐標系，以，為橫坐標，s為縱坐標，描出表中數(shù)據(jù)對應的點

(如圖).可以看出，其中絕大部分的點都近似位于某條拋物線上.于是，我們可以用二次

函數(shù)s=a尸+)+c(d0)來近似地表示s與，的關系.

s/m

40

35

30

25

20

15

10

5■

~01

2345z/s

(1)有一個計時點的計時裝置出現(xiàn)了故障，這個計時點的位置編號可能是—

(2)當1=0時，5=0,所以；

(3)當此滑雪者滑行距離為30m時;用時約為s(結果保留一位小數(shù)).

【答案】(1)3；(2)0；(3)3.1

【解析】

【分析】（1）由圖像及表格可直接進行解答；

（2）把t=0代入求解即可；

（3）從表格選兩個點代入函數(shù)解析式求解即可.

【詳解】解：（1）由表格及圖像可得：出現(xiàn)故障的位置編號可能是位置3；

故答案為3；

（2）把t=0,s=0代入s=ar+20）得：c=0；

故答案為0;

（3）由（2）可得：把t=1.07,s=5和t=2.08,s=15代入S=a/+初。之0）得：

1.072a+1.07/?=5[a?2.51

4,解得.<,,

2.082。+2.086=15'〃y1.98

II

...二次函數(shù)的解析式為：S=2.5lz2+1.98r（z>0）,

把s=30代入解析式得：30=2.51/+1.98f（f20）,

解得：z,?3.1,r2*-3.9（不符合題意，舍去），

...當此滑雪者滑行距離為30m時，用時約為3.1s；

故答案為3.1.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質是解題的關

鍵.

25.如圖1,4?是的直徑，點。在。0上，。為AC的中點，連接BC,OD.

圖1圖2

（1）求證：OD//BC；

（2）如圖2,過點。作AB的垂線與O。交于點E，作直徑EE交BC于點G.若G為BC

中點，。的半徑為2,求弦8c的長.

【答案】（1）見解析；（2）BC=20

【解析】

【分析】（1）連接。C,由題意易得ZAOD=ZCOD=-ZAOC,進而可得ZAOD=NB,

2

然后問題可證；

（2）由題意易得NAOD=NAO￡,則有=進而可得OG=8G,然后根據(jù)

勾股定理可求解.

【詳解】（1）證明：連接0C,

:。為AC的中點，

?*-AD=CD>

ZAOD=NCOD=-ZAOC,

2

,/ZB=-ZAOC,

2

???ZAOD=NB,

：.ODHBC-,

(2)W：'：DEYAB,AB是。。的直徑,

,"AD=AE'

ZAOD^ZAOE,

VZAOD=AB,ZAOE=NBOF,

：.AB=ZBOF,

：G為BC中點，

OFLBC,

ZOGB=90°,

：.ZB=ZBOF=45°,

：.OG=BG,

,/OB=2,OG2+BG2=OB2.

，BG=6，

BC=2BG=2近■

【點睛】本題主要考查弧、圓心角、圓周角的關系及垂徑定理，熟練掌握圓周角定理及垂徑

定理是解題的關鍵.

26.平面直角坐標系中，二次函數(shù)yuf+Zjx+c的圖象與x軸交于點A(4,0)和

3(-1,0),交y軸于點c.

(2)將點。向右平移〃個單位，再次落在二次函數(shù)圖象上，求〃的值；

(3)對于這個二次函數(shù)，若自變量X的值增加4時，對應的函數(shù)值y增大，求滿足題意的

自變量X的取值范圍.

,1

【答案】(1)y^x2-3x-4：(2)〃=3；(3)x>——

2

【解析】

【分析】(1)把A,B代入解析式求出b,c,即可得到拋物線解析式；

（2）根據(jù)拋物線的對稱性即可求得；

（3）分三種情況討論，即可求得滿足題意自變量x的取值范圍.

【詳解】解：（1）?.?二次函數(shù)y=V+bx+c圖象與x軸交于點A（4,0）和3（-1,0）,

J16+4Z?+c=0

-1-。+。=0'

Z?=-3

解得〈,

c=-4

y=x2-3x-4.

（2）依題意，點。的坐標為（0,-4）,

1Q

該二次函數(shù)圖象的對稱軸為x=-g=±,

22

設點C向右平移〃個單位后，所得到的點為。，由于點。在拋物線上，

3

：.C,。兩點關于二次函數(shù)的對稱軸x=2對稱.

2

.?.點O的坐標為（3,T）.

n—CD—3.

（3）依題意，即當自變量取x+4時的函數(shù)值，大于自變量為x時的函數(shù)值.

3

結合函數(shù)圖象，由于對稱軸為尤=一，分為以下三種情況：

2

3

①當x<x+44—時，函數(shù)值》隨x的增大而減小，與題意不符；

2

33313

②當x<,<x+4時，需使得2—x<x+4—心，方可滿足題意，聯(lián)立解得一一<x〈二；

22222

33

③一<x<x+4時，函數(shù)值y隨X的增大而增大，符合題意，此時

22

綜上所述，自變量x的取值范圍是x>-‘.

2

【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，坐標與圖形的

變換評移，二次函數(shù)的性質，分類討論是解題的關鍵.

27.A3c是等邊三角形，點。在上，點E,尸分別在射線A8，AC上，且

DA=DE=DF.

AA

(1)如圖1,當點。是BC的中點時，則/瓦開=°；

(2)如圖2,點。在8C上運動(不與點3,。重合).

①判斷/￡。尸的大小是否發(fā)生改變，并說明理由；

②點。關于射線AC的對稱點為點G,連接BG,CG,CE.依題意補全圖形，判斷四邊

形BECG的形狀，并證明你的結論.

【答案】(1)120°：(2)①不發(fā)生改變，見解析；②四邊形BECG為平行四邊形，見解析

【解析】

【分析】(1)先求出/DAB=30°,進而求出/AED=30°,得出NADE=120°,同理：ZADF

=120°,即可得出結論;

(2)①先求出NBAC=60°,再判斷出點A,E,F在以點D為圓心，DA為半徑的圓上，進

而得出NEDF=2NBAC,即可得出結論；

②依題意補全圖形如圖2所示，先判斷出/BED=NCDF,進而判斷出△BDE^^FCD(AAS),

得出CD=BE,再由對稱性得出CD=CG,ZDCG=2ZACD=120°=ZEBD,進而得出BE=CG,

BE〃CG,即可得出結論.

【詳解】(1):點D是等邊aABC的邊BC的中點，

.?./DAB=/DAC=，/BAC=30。，

2

：DA=DE,

.,.ZAED=ZBAD=30°,

.".ZADE=1800-ZBAD-ZAED=120°,

同理：ZADF=120°,

AZEDF=360°-ZADE-ZADF=120°,

故答案為：120；

(2)①不發(fā)生改變，理由如下：

：,.A3c是等邊三角形，

，Zfi4C=60°.

DA=DE=DF.

.?.點A,E，/在以。為圓，D4長為半徑的圓上，

ZEDF=2/BAC=120°.

②補全圖形如下：四邊形8ECG為平行四邊形，證明如下:

B._D.c

F

E.

由①知，ZEDF=\20°,

,/ZBDE+ZBED=60°,ZBDE+ZCDF=60°，

ZBED=ZCDF.

在,C。尸和,BED中，

ZDCF=NEBD

<NCDF=ZDEA,

DF=ED

：.AC￡>F三