2023年高考數(shù)學(xué)強(qiáng)基計劃瘋狂特訓(xùn) 16(含解析)

【高考強(qiáng)基計劃】2023年高考數(shù)學(xué)強(qiáng)基計劃瘋狂特訓(xùn)16

（滿分100分，測試時間：60分鐘）

一、選擇題（每題10分）

1.方程久+y+z=12中，滿足xN-2,y>-3,z2-4的整數(shù)解的組數(shù)為.（）

A.127B.128C.253D.256

2.設(shè)圓內(nèi)接四邊形的四邊長順次為1,2,3,4,則這個圓的半徑是.（）

A75^5BrD

'24'18'6'24

3.四個半徑為1的球兩兩層疊（每一個球與其他三個球相切），并內(nèi)切于一個正四面體中，則

這個四面體的邊長為.（）

A.2(1+V6)B.6C.2(1+V3)D.2+

1次

4.(1+tanl°)(l+tan2°)…(1+tan44°)(l+tan450)=()

A.2B.1024C.222D.223

5.函數(shù)/(%)=+ain(l+%)有兩個極值點(diǎn)%1，%2，且%<%2,則下列說法中正確的是.()

I1

A.0<aV2B.u<C—

C.〃小)最小值存在，是上詈D./(%2)最小值不存在

///二

6若Q>0,且〃'2?\UE,則下列說法中正確的是.()

\---------------------------------------

A?若。<a<2,叫叫斯=2B.若a>2,叫叫即=2

C.對于任意a豐2,數(shù)列極限不存在D.若0<a<2,則即=2cos等尊

二、解答題（每小題20分）

7.證明對于所有的正整數(shù)?124,存在一個集合S,滿足如下條件:

（1）S由都小于2立1的n個正整數(shù)組成；

(2)對于S的任意兩個不同的非空子集4B,集合4中所有元素之和不等于集合B中所有元素

之和.

8.已知橢圓的兩個焦點(diǎn)為尸式一1,0),F2(l,0),且橢圓與直線y=x-b相切.

(1)求橢圓的方程；

(2)過F］作兩條互相垂直的直線。，12,與橢圓分別交于P,Q及M,N,求四邊形PMQN面積

的最大值與最小值.

答案

LC解：注意到(％+3)+(y+4)+(z+5)=24,而這個方程的解的組數(shù)為廢3=253.

2.。解：設(shè)四邊形4BCD中，\AB\=1,\BC\=2,|CD|=3,|CM|=4.由余弦定理有

I2+22-2-1-2cosB=32+42+2?3?4cosB,

解得cosB=sinB=孚，故

..一AC_^12+22-2-1-2COSB_JI2+22+2-1-2-_^/2310

r-2sinB_2sinB-..2V5一~24-.

3.A解：只需注意到，四個球心構(gòu)成邊長為2的正四面體，其面到外四面體對應(yīng)面的距離為1.

注意到邊長為a的正四面體的內(nèi)切球半徑是r=故a=2y/6r.

內(nèi)正四面體球心到面的距離(即內(nèi)切球半徑)為普.2=號，外正四面體的內(nèi)切球半徑為1+畛

1266

從而邊長為2通(1+彳)=2(1+V6).

4.D解:(1+tanl°)(l+tan44°)=14-tan44°+tanl°+tan44°tanl°,

tanl04-tan44°

vtan45°=tan(l°+44°)1，

1—tanl°tan44°

(1+tanl°)(l+tan44°)=14-1—tanl°tan44°+tan44°tanl°=2,

同理,得(l+tan2°)(l+tan43。)=2,…，(1+tan22°)(l+tan23°)=2,

???原式=222x(14-tan45°)=223.

5.ABD【解析】解：一方面"'(%)=2x+弟=(%>一1),令9(X)=2x2+2%+a,

其對稱軸為x=-；，則有口二2二8：；:得0<a<<.

/191—)—a，u,L

另一方面，/(x2)=好+aln(l+%2)=^2-(2%2+2x2)ln(l+%2)(%2>一》，得/'(久2)>

l-21n2

故/(%2)的最小值不存在，但可以無限趨近?

4

6.ABD【解析】解：一方面，注意到W+i=an+2,則0<a<2或a>2時{a"均有單調(diào)性，

從而數(shù)列有極限.

令n趨向無窮，則/=x+2,解得極限是2.

另一方面，若0<a<2,利用三角換元，設(shè)即=2cos%(n6N+),則

22

4cos=2cos0n+2=2(2cosy-1)+2=4cos

“ncS?e,arccos^2“harCCOS2

即COS*+I=cosy,9n=齊匕=2?_1>從而即=2cos2n_x

7.解：當(dāng)n=4時，取5={3,5,6,7},則S滿足條件.

當(dāng)n>5時,令S={3,23,24,-,2n-2,2n-1-3,2"<-2,2^-1),下面證明這樣的S滿足

條件.

事實(shí)上，設(shè)4,B是S的兩個不同的非空子集，令/(X)表示X的所有元素之和，要證明的目標(biāo)

是/(④*f(B)，不妨設(shè)4flB=0.注意到對于任意的mGN*,均有1+2+22+-+2^=

2?"一1<2,所以，當(dāng)a=2nT-3,b=2n-1-2,c=2吁1-1都不屬于/uB時，均有

f(A)豐f(B).

進(jìn)一步地，因?yàn)?+23+24+???+2nV=2吁1-5,所以當(dāng)a,b,c中恰有一個屬于AUB0寸，

比如a€4將有/(力)>/(8),此時/(A)W"B);類似地討論a,b,c中有兩個或三個屬于

AUB時,均可得到/(4)+/⑻.

綜上所述，當(dāng)nN4時，滿足條件的S都存在.

8.解：(1)設(shè)橢圓的方程為最+《=l(a>b>0).因?yàn)樗c直線y=尤一百只有一個公共點(diǎn),

(片+出=1

所以方程組「2戶’只有一個解，整理得(a2+b2)x2-2V5a2x+3a2—a2b2=o,

(y=x—V3

22222

所以4=(一275a2)2_4(a+b)(3a-ab)=0,

得a2+=3.又橢圓的焦點(diǎn)為Fi(-1,0),F2(l,0),所以a?一爐=L

2

聯(lián)立上式解得/=2,廬=1,所以橢圓的方程為豫+y21.

（2）若PQ斜率不存在（或?yàn)?。），則$四邊形J””=眄幽=上野

若PQ斜率存在，設(shè)為k（kKO）,則MN斜率為一%所以直線PQ的方程為y=kx+k.

X22_1

設(shè)PQ與橢圓交點(diǎn)的坐標(biāo)為P（%1，%）,Q（%2，y2），聯(lián)立方程5+y'

y=fcx+k,

22

化簡得(2/+i)x+4k2x+2k-2=0,則/+X2=焉，久62=窯

所以"-f"2魚袈

同理可得|MN|=2V2

陸S_IPQHMNI_(_+1)2__+2.+1

故四邊形PMQN--2--4(2+/)(2/+1)-42k4+5必+2

1#1k211

=4(2-2k4+54+2)=4(2■二+10/