2024年中考數(shù)學專項復習模型33旋轉-奔馳模型-原卷版+解析

旋轉模型（三十三）——奔馳模型◎結論：如圖,等邊△ABC，PA=3，PB=4，PC=5，則①∠APB=150o，②S△ABC＝34AB2＝關鍵：旋轉可以讓線段動起來①【證明】以AP為邊向左側作等邊△APD，連接BD,∵△ABC,△ADP為等邊三角形∴∠DAB＝60°-∠BAP,∠PAC＝60°-∠BAP∴∠DAB＝∠PAC可得△DAB≌△PAC∴DB＝PC＝5∵DP2＋BP2＝DB2，∴∠DPB＝90°，∠APB＝150°②過B作BQ⊥AP于Q,∵∠APB＝150°∴∠BPQ＝30°，BP＝4，BQ＝2∴PQ＝BP2?BQ2＝23∴AB2＝AQ2＋BQ2＝25＋123∴34AB2＝各種旋法：超酷炫又實用：S=34a1．（2023·黑龍江佳木斯·九年級期中）如圖，P是等邊三角形ABC內一點，將△ACP繞點A順時針旋轉60°得到△ABQ，若PA＝2，PB＝4，，則四邊形APBQ的面積為（

）A． B． C． D．2．（2023·貴州畢節(jié)·八年級期末）如圖，P是等邊三角形內的一點，且，將繞點B順時針旋轉得到，連接，則以下結論中不正確是（

）A． B． C． D．3．（2023·廣西桂林·八年級期末）如圖，在等邊三角形ABC中，點P是內一點，，，，則的度數(shù)為（

）A．160° B．155° C．150° D．145°4．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，等邊三角形ABC內一點P到三角形三個頂點的距離PA=3，PB=4，PC=5，則∠APB的大小是（

）A．150° B．120° C．100° D．以上都不對1．（2023·遼寧·丹東第九中學八年級期末）如圖，點是等邊三角形內的一點，且，，，則的度數(shù)為______．2．（2023·浙江溫州·八年級期中）如圖，點P到等邊三角形ABC各頂點的距離分別是PA＝2，PB＝1.5，PC＝2.5．若將線段AP繞點A順時針旋轉60°得到線段AQ，連接BQ．則∠APB的度數(shù)是______度．3．（2023·廣東順德德勝學校八年級階段練習）如圖，等邊三角形內有一點P，分別連接、、，若，，．(1)則線段、、構成的三角形是______三角形（填“鈍角、直角、銳角”）；(2)將繞點B順時針旋轉60°，畫出旋轉后的，并由此求出的度數(shù)；(3)求三角形的面積．1．（1）如圖，在等邊三角形內有一點，且，，，冰墩墩同學作了如圖的輔助線，將繞點按逆時針方向旋轉、如圖所示，連接，請你按照冰墩墩的方法求出的度數(shù)．（2）如圖，在正方形內有一點，且，，，類比第（1）題的方法．求的度數(shù)；與的面積之和．（3）如圖，在（2）的基礎上請求出正方形的面積．2．如圖，點是等邊三角形外一點，，，．將繞點逆時針旋轉60°后得到．(1)求證：是直角三角形；(2)求的面積．旋轉模型（三十三）——奔馳模型◎結論1：如圖,等邊△ABC，PA=3，PB=4，PC=5，則①∠APB=150o，②S△ABC＝34AB2＝關鍵：旋轉可以讓線段動起來①【證明】以AP為邊向左側作等邊△APD，連接BD,∵△ABC,△ADP為等邊三角形∴∠DAB＝60°-∠BAP,∠PAC＝60°-∠BAP∴∠DAB＝∠PAC可得△DAB≌△PAC∴DB＝PC＝5∵DP2＋BP2＝DB2，∴∠DPB＝90°，∠APB＝150°②過B作BQ⊥AP于Q,∵∠APB＝150°∴∠BPQ＝30°，BP＝4，BQ＝2∴PQ＝BP2?BQ2＝23∴AB2＝AQ2＋BQ2＝25＋123∴34AB2＝各種旋法：超酷炫又實用：S=34a1．（2023·黑龍江佳木斯·九年級期中）如圖，P是等邊三角形ABC內一點，將△ACP繞點A順時針旋轉60°得到△ABQ，若PA＝2，PB＝4，，則四邊形APBQ的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，連接PQ．由題意△PQA是等邊三角形，利用勾股定理的逆定理證明∠PQB＝90°即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接PQ．∵△ACP繞點A順時針旋轉60°得到△ABQ，∴AP＝AQ＝2，PC＝BQ＝2，∠PAQ＝60°，∴△PAQ是等邊三角形，∴PQ＝PA＝2，∵PB＝4，∴，∴∠PQB＝90°，∴，故選：B．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質，旋轉的性質以及勾股定理的逆定理，熟練掌握相關內容是解題的關鍵．2．（2023·貴州畢節(jié)·八年級期末）如圖，P是等邊三角形內的一點，且，將繞點B順時針旋轉得到，連接，則以下結論中不正確是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據等邊三角形性質以及勾股定理的逆定理，即可判斷A、D；依據△BPQ是等邊三角形，即可得到∠QPB=∠PBQ=∠BQP=60°，進而得出∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°，即可判斷C、B選項．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵將△ABP繞點B順時針旋轉60°到△CBQ位置，∴△BQC≌△BPA，∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，∴△BPQ是等邊三角形，△BPQ的面積=，故A正確，D錯誤；∴PQ=BP=4，∵，，∴，∴∠PQC=90°，即△PQC是直角三角形，△PQC的面積=×3×4=6，故C正確，∵△BPQ是等邊三角形，∴∠QPB=∠PBQ=∠BQP=60°，∴∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°，故B正確．故選：D．【點睛】本題考查了旋轉的性質、等邊三角形的性質和判定、勾股定理的逆定理的應用，解題關鍵是綜合運用定理進行推理．3．（2023·廣西桂林·八年級期末）如圖，在等邊三角形ABC中，點P是內一點，，，，則的度數(shù)為（

）A．160° B．155° C．150° D．145°【答案】C【分析】由旋轉的性質可得∠PAE=60°，AP=AE=3，CP=BE=4，∠AEB=∠APC，可證△PAE是等邊三角形，可得PE=AE=3，∠AEP=60°，由勾股定理的逆定理可求∠PEB=90°，即可求解．【詳解】解：如圖，將△ACP繞點A順時針旋轉60°，得到△ABE，連接PE，∴△ACP≌△ABE，∠PAE=60°，∴AP=AE=3，CP=BE=4，∠AEB=∠APC，∴△PAE是等邊三角形，∴PE=AE=3，∠AEP=60°，∵=25，+=9+16=25，∴=+，∴∠PEB=90°，∴∠AEB=150°=∠APC，故選：C．【點睛】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的性質，等邊三角形的性質，勾股定理逆定理，熟練利用勾股定理逆定理得出是解題關鍵．4．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，等邊三角形ABC內一點P到三角形三個頂點的距離PA=3，PB=4，PC=5，則∠APB的大小是（

）A．150° B．120° C．100° D．以上都不對【答案】A【分析】將△BPC繞點B逆時針旋轉60°得△BEA，根據旋轉的性質得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，則△BPE為等邊三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，根據勾股定理的逆定理可得到△APE為直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度數(shù)【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形，∴BA=BC，可將△BPC繞點B逆時針旋轉60°得△BEA，如圖②，連接EP，∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，∴△BPE為等邊三角形，∴PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，∴AE2=PE2+PA2，∴△APE為直角三角形，且∠APE=90°，∴∠APB=90°+60°=150°．故選：A．【點睛】本題考查了旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．也考查了等邊三角形的判定與性質以及勾股定理的逆定理．1．（2023·遼寧·丹東第九中學八年級期末）如圖，點是等邊三角形內的一點，且，，，則的度數(shù)為______．【答案】##150度【分析】將繞點逆時針旋轉后得到的，由旋轉的性質可得，，可得為等邊三角形，由勾股定理的逆定理可得，即可求解．【詳解】解：如圖，將繞點逆時針旋轉后得到的．≌，，，為等邊三角形，，，，，，為直角三角形，，；故答案為：．【點睛】本題考查等邊三角形的性質，旋轉的性質，勾股定理的逆定理，利用旋轉的性質和勾股定理的逆定理得到為直角三角形是解題的關鍵．2．（2023·浙江溫州·八年級期中）如圖，點P到等邊三角形ABC各頂點的距離分別是PA＝2，PB＝1.5，PC＝2.5．若將線段AP繞點A順時針旋轉60°得到線段AQ，連接BQ．則∠APB的度數(shù)是______度．【答案】150【分析】連接PQ，如圖，根據等邊三角形的性質得∠BAC＝60°，AB＝AC，再根據旋轉的性質得AP＝PQ＝2，∠PAQ＝60°，則可判斷△APQ為等邊三角形，所以PQ＝AP＝2，接著證明△APC≌△ABQ得到PC＝QB＝2.5，然后利用勾股定理的逆定理證明△PBQ為直角三角形，于是得到結論．【詳解】連接PQ，如圖，∵△ABC為等邊三角形，AP=2，PB=1.5，PC=2.5，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵線段AP繞點A順時針旋轉60°得到線段AQ，∴AP＝AQ＝2，∠PAQ＝60°，∴△APQ為等邊三角形，∠APQ＝60°，∴PQ＝AP＝2，∵∠CAP＋∠BAP＝60°，∠BAP＋∠BAQ＝60°，∴∠CAP＝∠BAQ，在△APC和△AQB中，∴△APC≌△AQB（SAS），∴PC＝QB＝2.5，∵在△BPQ中，，，，而，∴△PBQ為直角三角形，∠BPQ＝90°，∴∠APB＝90°＋60°＝150°．故答案為：150．【點睛】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；還考查了全等三角形的判定與性質，勾股定理的逆定理以及等邊三角形的知識．證明△BPQ是直角三角形是解答本題的關鍵．3．（2023·廣東順德德勝學校八年級階段練習）如圖，等邊三角形內有一點P，分別連接、、，若，，．(1)則線段、、構成的三角形是______三角形（填“鈍角、直角、銳角”）；(2)將繞點B順時針旋轉60°，畫出旋轉后的，并由此求出的度數(shù)；(3)求三角形的面積．【答案】(1)直角；(2)；(3)．【分析】（1）根據勾股定理的逆定理判斷即可；（2）由旋轉的性質可得，，，證明是等邊三角形，，進而可得的度數(shù)；（3）將繞點B順時針旋轉60°得到，根據是等邊三角形，是直角三角形，求出＝，同理，將繞點C順時針旋轉60°得到，將繞點A順時針旋轉60°得到，可得＝，＝，求出的面積，進而根據得出答案．（1）解：∵，，，∴，，∴，∴線段、、構成的三角形是直角三角形，故答案為：直角；（2）解：如圖，將繞點B順時針旋轉60°得到，點與點C重合，由旋轉的性質可得，，，∴是等邊三角形，∴，，由（1）可知，∴，∴，∴；（3）解：如圖，將繞點B順時針旋轉60°得到，點與點C重合，由（2）可得是等邊三角形，是直角三角形，，，過點P作PH⊥，則BH＝，∴PH＝，∴，∴＝，將繞點C順時針旋轉60°得到，同理可得，是以PC＝10為邊的等邊三角形，是以6、8、10為邊的直角三角形，＝，將繞點A順時針旋轉60°得到，同理可得，是以AP＝6為邊的等邊三角形，是以6、8、10為邊的直角三角形，＝，∴，∴．【點睛】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理及其逆定理的應用等知識，通過旋轉構造出等邊三角形和直角三角形是解答本題的關鍵．1．（1）如圖，在等邊三角形內有一點，且，，，冰墩墩同學作了如圖的輔助線，將繞點按逆時針方向旋轉、如圖所示，連接，請你按照冰墩墩的方法求出的度數(shù)．（2）如圖，在正方形內有一點，且，，，類比第（1）題的方法．求的度數(shù)；與的面積之和．（3）如圖，在（2）的基礎上請求出正方形的面積．【答案】（1）150°；（2）①135°；②；（3）5【分析】（1）將繞點順時針旋轉，畫出旋轉后的圖形（如圖，連接，可得△是等邊三角形，而△又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證），所以，而；（2）①求出，根據勾股定理的逆定理求出，推出；②由（1）知，，，，，即可求出答案．（3）過點作，交的延長線于點，求出，，關鍵勾股定理即可求出，即可求出答案．【詳解】解：（1）是等邊三角形，，將繞點順時針旋轉得出，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，則△是直角三角形；；（2）①如圖，將繞點逆時針旋轉得到，與（1）類似：可得：，，，，，，在中，由勾股定理得：，，，，；②由①知，，，，，，與的面積之和為；（3）由（2）知，，，過點作，交的延長線于點；，，；在中，由勾股定理，得；正方形的面積為5．【點睛】本題主要考查勾股定理及逆定理，等邊三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，含30度角的直角三角形的性