2023年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷(A卷)及其答案

2023年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷（A卷）

一、選擇題（共8小題，每小題3分，計24分.每小題只有一個選項是符合題意的）

1.（3分）計算：3-5==（）

A.2B,.-2C.8D.-8

2.（3分）下列圖形中,既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

,co缶印

3.（3分）如圖,1〃AB,ZA=2ZB.若Nl=108°,則N2的度數(shù)為（）

一

AB

A.36°B.46°C.72°D.82°

4.（3分）計算：6xy2.（4*3丫3）==（）

A.3x4ysB.-3xiysC.3x3y6D.-3X3ye

5.（3分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=ax和y=x+a（a為常數(shù)，a<0）的圖象可能是（）

卜—十

6.（3分）如圖，DE是aABC的中位線,點F在DB上，DF=2BF.連接EF并延長，與CB的延長線相

交于點M.若BC=6,則線段CM的長為（）

A

A.整B.7C.至D.8

22

7.（3分）陜西飲食文化源遠(yuǎn)流長，“老碗面”是陜西地方特色美食之一.圖②是從正面看到的一個

第1頁（共23頁）

“老碗”（圖①）的形狀示意圖.標(biāo)是。。的一部分，D是標(biāo)的中點，連接0D,與弦AB交于點C,

連接OA,0B.已知AB=24cm,碗深CD=8cm,則。0的半徑0A為（）

A.13cmB.16cmC.17cmD.26cm

8.（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=X2+mx+m2-m（m為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點（0,6）,其對

稱軸在y軸左側(cè)，則該二次函數(shù)有（）

A.最大值5B.最大值生C.最小值5D.最小值K

44

二、填空題（共5小題，每小題3分，計15分）

9.（3分）如圖，在數(shù)軸上，點A表示近，點B與點A位于原點的兩側(cè)，且與原點的距離相等.則

點B表示的數(shù)是.

?1F???*1A

-3-2-10123

10.（3分）如圖，正八邊形的邊長為2,對角線AB、CD相交于點E.則線段BE的長

為?

11.（3分）點E是菱形ABCD的對稱中心，ZB=56°,連接AE,則NBAE的度數(shù)為.

12.（3分）如圖，在矩形OABC和正方形CDEF中，點A在y軸正半軸上，點C,F均在x軸正半軸上，

點D在邊BC上，BC=2CD,AB=3.若點B,E在同一個反比例函數(shù)的圖象上，則這個反比例函數(shù)

的表達(dá)式是.

第2頁（共23頁）

13.（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4.點E在邊AD上，且ED=3,M、N分別是邊AB、

BC上的動點，且BM=BN,P是線段CE上的動點，連接PM,PN.若PWPN=4.則線段PC的長

三、解答題（共13小題，計81分.解答應(yīng)寫出過程）

14.（5分）解不等式：管_〉2X.

15.（5分）計算：75X（-710）-（^-）-1+|-23|-

16.（5分）化簡：（挈——L）+紜L.

a2-la-1a+1

17.（5分）如圖.已知角aABC,NB=48°,請用尺規(guī)作圖法，在^ABC內(nèi)部求作一點P.使PB=PC.且

NPBC=24°.（保留作圖痕跡，不寫作法）

18.（5分）如圖，在AABC中，NB=50°,ZC=20°.過點A作AELBC,垂足為E,延長EA至點

D.使AD=AC.在邊AC上截取AF=AB,連接DF.求證：DF=CB.

B

第3頁（共23頁）

19.（5分）一個不透明的袋子中裝有四個小球，這四個小球上各標(biāo)有一個數(shù)字，分別是1,1,2,3.這

些小球除標(biāo)有的數(shù)字外都相同.

（1）從袋中機摸出一個小球，則摸出的這個小球上標(biāo)有的數(shù)字是1的概率

為;

（2）先從袋中隨機摸出一個小球，記下小球上標(biāo)有的數(shù)字后，放回，搖勻，再從袋中隨機摸出一

個小球，記下小球上標(biāo)有的數(shù)字，請利用畫樹狀圖或列表的方法、求摸出的這兩個小球上標(biāo)有的

數(shù)字之積是偶數(shù)的概率.

20.（5分）小紅在一家文具店買了一種大筆記本4個和一種小筆記本6個，共用了62元.已知她買

的這種大筆記本的單價比這種小筆記本的單價多3元，求該文具店中這種大筆記本的單價.

21.（6分）一天晚上，小明和爸爸帶著測角儀和皮尺去公園測量一景觀燈（燈桿底部不可到達(dá)）的

高AB.如圖所示，當(dāng)小明爸爸站在點D處時，他在該景觀燈照射下的影子長為DF,測得DF=2.4m；

當(dāng)小明站在爸爸影子的頂端F處時，測得點A的仰角a為26.6°.已知爸爸的身高CD=1.8m,小

明眼睛到地面的距離EF=1.6m,點F、D、B在同一條直線上，EF±FB,CD±FB,AB±FB.求該景

觀燈的高AB.（參考數(shù)據(jù)：sin26.6°七0.45,cos26.6°七0.89,tan26.6°^0.50）

22.（7分）經(jīng)驗表明，樹在一定的成長階段，其胸徑（樹的主干在地面以上L3m處的直徑）越大，

樹就越高.通過對某種樹進(jìn)行測量研究，發(fā)現(xiàn)這種樹的樹高y（m）是其胸徑x（m）的一次函數(shù).已

知這種樹的胸徑為0.2m時,樹高為20m；這種銅的胸徑為0.28m時,樹高為22m.

（1）求y與X之間的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)這種樹的胸徑為0.3m時，其樹高是多少？

第4頁（共23頁）

23.（7分）某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們從“校園農(nóng)場”中隨機抽取了20棵西紅柿植株，并統(tǒng)計了每

棵植株上小西紅柿的個數(shù).其數(shù)據(jù)如下：28,36,37,39,42,45,46,47,48,50,54,54,

54,54,55,60,62,62,63,64.通過對以上數(shù)據(jù)的分析整理，繪制了統(tǒng)計圖表：

分組頻數(shù)組內(nèi)小西紅柿的總個數(shù)

25WXV35128

35WxV45n154

45Wx<559452

55WxV656366

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）補全頻數(shù)分布直方圖：這20個數(shù)據(jù)的眾數(shù)是；

（2）求這20個數(shù)據(jù)的平均數(shù)；

（3）“校園農(nóng)場“中共有300棵這種西紅柿植株，請估計這300櫻西紅枝植株上小西缸柿的總個

數(shù).

24.（8分）如圖，△ABC內(nèi)接于。0,ZBAC=45°,過點B作BC的垂線，交。。于點D,并與CA的

延長線交于點E,作BF_LAC,垂足為M,交。0于點F.

（1）求證:BD=BC；

（2）若。0的半徑r=3,BE=6,求線段BF的長.

第5頁（共23頁）

25.（8分）某校想將新建圖書樓的正門設(shè)計為一個拋物線型門，并要求所設(shè)計的拱門的跨度與拱高

之積為48m還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設(shè)計部門按要求價出了兩個設(shè)計方案.現(xiàn)

把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示：

方案一，拋物線型拱門的跨度0N=12m,拱高PE=4m.其中，點N在x軸上，PE±ON,OE=EN.

方案二，拋物線型拱門的跨度ON，=8m,拱高PE'=6m.其中，點N，在x軸上，P，E，±0;V,

0zE'=E，Nz.

要在拱門中設(shè)置高為3m的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細(xì)忽略不計）.方案一中，矩形

框架ABCD的面積記為S,點A、D在拋物線上，邊BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'LD'

I

的面積記為S,點A',D'在拋物線上，邊B'C'在ON上.現(xiàn)知，小華已正確求出方案二中，當(dāng)A'B'

2

2

=3m時，S2=12>/2m?請你根據(jù)以上提供的相關(guān)信息，解答下列問題：

（1）求方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）在方案一中，當(dāng)AB=3m時，求矩形框架ABCD的面積S并比較S,S的大小.

112

第6頁（共23頁）

26.（10分）（1）如圖①，在AOAB中，OA=OB,ZA0B=120°,AB=24.若。。的半徑為4,點P

在。。上，點M在AB上，連接PM,求線段PM的最小值；

（2）如圖②所示，五邊形ABCDE是某市工業(yè)新區(qū)的外環(huán)路，新區(qū)管委會在點B處，點E處是該市

的一個交通樞紐.已知：ZA=ZABC=ZAED=90°,AB=AE=10000m,BC=DE=6000m.根據(jù)新

區(qū)的自然環(huán)境及實際需求，現(xiàn)要在矩形AFDE區(qū)域內(nèi)（含邊界）修一個半徑為30m的圓型環(huán)道。0；

過圓心0,作OM_LAB,垂足為M,與。0交于點N.連接BN,點P在。。上，連接EP.其中，線段

BN、EP及MN是要修的三條道路，要在所修迅路BN、EP之和最短的情況下，使所修道路MN最短，

試求此時環(huán)道。0的圓心0到AB的距離0M的長.

圖①TO

第頁（共23頁）

2023年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷（A卷）

參考答案與試題解析

一、選擇題（共8小題，每小題3分，計24分.每小題只有一個選項是符合題意的）

1.（3分）計算：3-5=（）

A.2B.-2C.8D.-8

【解答】解：3-5=-2.

故選：B.

2.（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

a.00

【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意;

B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意;

C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意;

D、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意.

故選：C.

ZA=2ZB.若Nl=108°,則N2的度數(shù)為（）

A.36°B.46°C.72°D.82°

VZ1=1O8°，

.-.Z3=Z1=1O8°，

第8頁（共23頁）

/.Z3+ZA=180o,Z2=ZB,

/.ZA=180°-Z3=72°,

ZA=2ZB,

.,.ZB=36O,

.,.Z2=36°.

故選：A.

4.（3分）計算：6xy2,（-^-x3y3）=（：）

A.3x）y5B.-3xiysC.3xsy6D.-3x3ye

【解答】解：6xy2,（-yx3y3）

=6X（--L）x-3y2+3

2

=-3x.iy5.

故選：B.

5.（3分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=ax和y=x+a（a為常數(shù)，a<0）的圖象可能是（）

第頁（共23頁）

...函數(shù)y=ax是經(jīng)過原點的直線，經(jīng)過第二、四象限，

函數(shù)y=x+a是經(jīng)過第一、三、四象限的直線，

故選：D.

6.（3分）如圖，DE是AABC的中位線，點F在DB上，DF=2BF.連接EF并延長，與CB的延長線相

交于點M.若BC=6,則線段CM的長為（）

A.21B.7C.區(qū)D.8

22

【解答】解：YDE是AABC的中位線，

/.DE//BC,DE=JLBC=_LX6=3,

22

/.△DEFSBMF,

...DE=DF=2BF=2,

BMBFBF

2

CM=BC+BM=1§_.

2

故選：C.

7.（3分）陜西飲食文化源遠(yuǎn)流長，“老碗面”是陜西地方特色美食之一.圖②是從正面看到的一個

第（K（共23頁）

“老碗”（圖①）的形狀示意圖.標(biāo)是。。的一部分，D是標(biāo)的中點，連接0D,與弦AB交于點C,

連接OA,0B.已知AB=24cm,碗深CD=8cm,則。0的半徑0A為（）

圖①圖②

A.13cmB.16cmC.17cmD.26cm

【解答】解：???福是。0的一部分，D是標(biāo)的中點，AB=24cm,

/.OD±AB,AC=BC=iAB=12cm.

2

設(shè)。0的半徑0A為Rem,貝?。?C=0D-CD=（R-8）cm.

在RtaOAC中，?.?/0CA=90°,

OA2=AC2+OC2,

.,.R2=122+（R-8）2,

.'.R=13,

即00的半徑0A為13cm.

故選：A.

8.（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)ynxz+mx+nt-m（m為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點（0,6）,其對

稱軸在y軸左側(cè)，則該二次函數(shù)有（）

A.最大值5B.最大值至C.最小值5D.最小值正

44

【解答】解：由題意可得：6=m>-m,

解得：m=3,m=-2,

12

二?二次函數(shù)y=X2+mx+m2-m,對稱軸在y軸左側(cè)，

...y=X2+3x+6,

90

...二次函數(shù)有最小值為：4ac-b=4X1X6-3=>

4a4X14

故選：D.

二、填空題（共5小題，每小題3分，計15分）

9.（3分）如圖，在數(shù)軸上，點A表示近，點B與點A位于原點的兩側(cè)，且與原點的距離相等.則

第11頁（共23頁）

點B表示的數(shù)是-M.

?1Pl?iA[?

-3-2-10123

【解答】解：由題意得：點B表示的數(shù)是-F.

故答案為：-V3.

10.（3分）如圖，正八邊形的邊長為2,對角線AB、CD相交于點E.則線段BE的長為2+2近.

【解答】解：如圖，過點F作FG_LAB于G,由題意可知，四邊形CEGF是矩形，aACE、4BFG是

等腰直角三角形，AC=CF=FB=EG=2,

在RtZ\ACE中,AC=2,AE=CE,

.?,AE=CE=^-AC=V2?

同理BG=&,

/.AB=AE+EG+BG=2+2近,

故答案為：2+入歷.

11.（3分）點E是菱形ABCD的對稱中心，NB=56°,連接AE,則NBAE的度數(shù)為62°.

【解答】解：如圖，連接BE,

???點E是菱形ABCD的對稱中心，ZABC=56°,

...點E是菱形ABCD的兩對角線的交點，

/.AE±BE,ZABE=AZABC=28°,

2

.".ZBAE=90°-ZABE=62°.

故答案為：62°.

第12頁（共23頁）

A

12.(3分)如圖，在矩形OABC和正方形CDEF中，點A在y軸正半軸上，點C,F均在x軸正半軸上，

點D在邊BC上，BC=2CD,AB=3.若點B,E在同一個反比例函數(shù)的圖象上，則這個反比例函數(shù)

的表達(dá)式是丫=烏.

----x一

【解答】解：???四邊形OABC是矩形，

OC=AB=3,

?.?四邊形CDEF是正方形，

.-.CD=CF=EF,

VBC=2CD,

.,.設(shè)CD=m,BC=2m,

/.B(3,2m),E(3+m,m),

設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=K,

X

.*.3X201=(3+m)?ni,

解得m=3或m=0(不合題意舍去)，

AB(3,6),

，k=3X6=18,

,這個反比例函數(shù)的表達(dá)式是y=歿,

X

故答案為：y=^.

X

第13頁(共23頁)

13.（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4.點E在邊AD上，且ED=3,M、N分別是邊AB、

BC上的動點，且BM=BN,P是線段CE上的動點，連接PM,PN.若PM+PN=4.則線段PC的長為

2&

【解答】解：VDE=AB=CD=3,

.?.△CDE是等腰直角三角形，

作點N關(guān)于EC的對稱點N',則N'在直線CD上，連接PN,如圖:

VPM+PN=4.

.?.PM+PN'=4=BC,即MN=4,

此時M、P、N'三點共線且MN'〃AD,點P在MN的中點處,

.?.PM=PN=2,

.?.PC=2&.

故答案為：的傷.

三、解答題（共13小題，計81分.解答應(yīng)寫出過程）

3x5

14.（5分）解不等式：->2x.

【解答】解：3^5_>2X,

去分母，得3x-5>4x,

移項，得3x-4x>5,

合并同類項，得-x>5,

不等式的兩邊都除以-1，得XV-5.

第14頁（共23頁）

15.(5分)計算：75X(-716)-(y)-1+|-23|-

【解答】解：原式=-5^/2-7+|-81

=-5衣-7+8

=-5我+1.

16.(5分)化簡：(———.__—)=2a~~l.

a2-la-1a+1

【解答】解：（_^--1_）.2

2

a-la-la+1

=r3aa+1ira+1

(a-l)(a+1)(a-l)(a+1)2a~l

——3a-(a+1)「a+1

(a+1)(a-l)2a~l

=2a-l1

a-l2aT

=1

a~l

17.(5分)如圖.已知角aABC,NB=48°,請用尺規(guī)作圖法，在AABC內(nèi)部求作一點P.使PB=PC.且

NPBC=24°.（保留作圖痕跡，不寫作法）

【解答】解：如圖，點P即為所求.

18.（5分）如圖，在AABC中，ZB=50°NC=20°.過點A作AEJ_BC,垂足為E,延長EA至點

D.使AD=AC.在邊AC上截取AF=AB,連接DF.求證：DF=CB.

【解答】證明：在4ABC中，ZB=50°,ZC=20°,

.,.ZCAB=180°-ZB-ZC=110°.

第15頁（共2頁）

VAE1BC.

AZAEC=90°.

NDAF=NAEC+NC=110。,

NDAF=NCAB.

在ADAF和ACAB中，

fAD=BC

ZDAF=ZCAB>

I.AF=AB

.".△DAF^ACAB(SAS).

.\DF=CB.

19.（5分）一個不透明的袋子中裝有四個小球，這四個小球上各標(biāo)有一個數(shù)字，分別是1,1,2,3.這

些小球除標(biāo)有的數(shù)字外都相同.

（1）從袋中機摸出一個小球，則摸出的這個小球上標(biāo)有的數(shù)字是1的概率為1；

-2-

（2）先從袋中隨機摸出一個小球，記下小球上標(biāo)有的數(shù)字后，放回，搖勻，再從袋中隨機摸出一

個小球，記下小球上標(biāo)有的數(shù)字，請利用畫樹狀圖或列表的方法、求摸出的這兩個小球上標(biāo)有的

數(shù)字之積是偶數(shù)的概率.

【解答】解：（1）由題意可得，

從袋中機摸出一個小球，則摸出的這個小球上標(biāo)有的數(shù)字是1的概率為2=工，

42

故答案為：—；

2

（2）樹狀圖如下：

1123112311231123

兩數(shù)之積1123112322463369

由上可得，一共有16種等可能性，其中兩數(shù)之積是偶數(shù)的可能性有7種，

...摸出的這兩個小球上標(biāo)有的數(shù)字之積是偶數(shù)的概率上.

16

20.（5分）小紅在一家文具店買了一種大筆記本4個和一種小筆記本6個，共用了62元.已知她買

的這種大筆記本的單價比這種小筆記本的單價多3元，求該文具店中這種大筆記本的單價.

【解答】解：設(shè)該文具店中這種大筆記本的單價是x元，則小筆記本的單價是（x-3）元，

???買了一種大筆記本4個和一種小筆記本6個，共用了62元，

...4x+6（x-3）=62,

第16頁（共23頁）

解得：x=8；

答：該文具店中這種大筆記本的單價為8元.

21.（6分）一天晚上，小明和爸爸帶著測角儀和皮尺去公園測量一景觀燈（燈桿底部不可到達(dá)）的

高AB.如圖所示，當(dāng)小明爸爸站在點D處時，他在該景觀燈照射下的影子長為DF,測得DF=2.4m；

當(dāng)小明站在爸爸影子的頂端F處時，測得點A的仰角a為26.6°.已知爸爸的身高CD=1.8m,小

明眼睛到地面的距離EF=1.6m,點F、D、B在同一條直線上，EF±FB,CD±FB,AB±FB.求該景

觀燈的高AB.（參考數(shù)據(jù)：sin26.6°^0.45,cos26.6°^0.89,tan26.6°^0.50）

【解答】解：過點E作EHLAB,垂足為H,

設(shè)EH=FB=xm,

在Rt^AEH中,NAEH=26.6°,

.?.AH=EH?tan26.6°=^0.5x(m),

AB=AH+BH=(0.5x+l.6)m,

VCD±FB,AB±FB,

AZCDF=ZABF=90°,

ZCFD=ZAFB,

.,.△CDF^AABF,

?CD=DF

,?而麗’

ABx

.?.AB=3X,

4

.,.Sx=0.5x+l.6,

4

解得：x=6.4,

第1頁（共2頁）

.".AB=—x=4.8(m),

4

該景觀燈的高AB約為4.8m.

22.(7分)經(jīng)驗表明，樹在一定的成長階段，其胸徑(樹的主干在地面以上L3m處的直徑)越大，

樹就越高.通過對某種樹進(jìn)行測量研究，發(fā)現(xiàn)這種樹的樹高y(m)是其胸徑x(m)的一次函數(shù).已

知這種樹的胸徑為0.2m時，樹高為20叫這種銅的胸徑為0.28m時，樹高為22m.

(1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)這種樹的胸徑為0.3m時，其樹高是多少？

【解答】解：(1)設(shè)丫=1?+6(k#0),

根據(jù)題意，得(0-四"=20,

10.28k+b=22

解之，得產(chǎn)5,

lb=15

.,.y=25x+15；

(2)當(dāng)x=0.3m時，y=25X0.3+15=22.5(m).

當(dāng)這種樹的胸徑為0.3m時，其樹高為22.5m.

23.(7分)某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們從“校園農(nóng)場”中隨機抽取了20棵西紅柿植株，并統(tǒng)計了每

棵植株上小西紅柿的個數(shù).其數(shù)據(jù)如下：28,36,37,39,42,45,46,47,48,50,54,54,

54,54,55,60,62,62,63,64.通過對以上數(shù)據(jù)的分析整理，繪制了統(tǒng)計圖表：

分組頻數(shù)組內(nèi)小西紅柿的總個數(shù)

25Wx<35128

35WxV45n154

45Wx<559452

55WxV656366

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)補全頻數(shù)分布直方圖：這20個數(shù)據(jù)的眾數(shù)是54；

(2)求這20個數(shù)據(jù)的平均數(shù)；

(3)“校園農(nóng)場“中共有300棵這種西紅柿植株，請估計這300櫻西紅枝植株上小西缸柿的總個

數(shù).

第18頁(共23頁)

頻數(shù)分布直方圖

頻數(shù)

10-9

8-

6--

4-

2-1

KAJ=1------------------------

02535455565年數(shù)

【解答】解：（1）由題意得，n=20-1-9-6=4,

補全頻數(shù)分布直方圖如下

這20個數(shù)據(jù)中，54出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)為54.

故答案為：54；

（2）7=^-X（28+154+452+366）=50-

...這20個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是50；

（3）所求總個數(shù)：50X300=15000（個）.

...估計這300棵西紅柿植株上小西紅柿的總個數(shù)是15000個.

24.（8分）如圖，4ABC內(nèi)接于。0,NBAC=45°,過點B作BC的垂線，交。0于點D,并與CA的

延長線交于點E,作BF_LAC,垂足為M,交。0于點F.

（1）求證:BD=BC；

（2）若。0的半徑r=3,BE=6,求線段BF的長.

【解答】（1）證明：如圖，連接DC,

第19頁（共23頁）

貝1J/BDC=NBAC=45°,

VBD±BC,

.?.ZBCD=90°-ZBDC=45°,

...ZBCD=ZBDC.

.,.BD=BC；

（2）解：如圖，VZDBC=90°,

.二CD為。。的直徑，

CD=2r=6.

BC=CD?sin/BDC=6X孚=3我，

EC=VBE2-t^C2=V62+（3V2）2=3娓,

VBF±AC,

NBMC=ZEBC=90°,NBCM=NBCM,

二?ABCM^AECB.

?.?-B—C,BM=一CM—，

ECEBCB

.?.BM=DbE?=3企±6=2日,CM=Ki=（3V^）.2,

EC3V6EC376

連接CF,則NF=/BDC=45°,ZMCF=45°,

.,.MF=MC=a,

/.BF=BM+MF=2M+娓.

25.（8分）某校想將新建圖書樓的正門設(shè)計為一個拋物線型門，并要求所設(shè)計的拱門的跨度與拱高

之積為48m“還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設(shè)計部門按要求價出了兩個設(shè)計方案.現(xiàn)

把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示：

方案一，拋物線型拱門的跨度0N=12m,拱高PE=4m.其中，點N在x軸上，PE±0N,OE=EN.

方案二，拋物線型拱門的跨度ON，=8m,拱高PE'=6m.其中，點N，在x軸上，P，E，,

0,E'=E，W.

要在拱門中設(shè)置高為3m的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細(xì)忽略不計）.方案一中，矩形

第20頁（共23頁）

框架ABCD的面積記為S,點A、D在拋物線上，邊BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'OD'

1

的面積記為S,點A',D'在拋物線上，邊B'C'在ON上.現(xiàn)知，小華已正確求出方案二中，當(dāng)A'B'

2

2

=3m時，S2=12>/2in*請你根據(jù)以上提供的相關(guān)信息，解答下列問題：

(1)求方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)在方案一中，當(dāng)AB=3m時，求矩形框架ABCD的面積S并比較S,S的大小.

112

【解答】解：(1)由題意知，方案一中拋物線的頂點P(6,4),

設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x-6)z+4,

把0(0,0)代入得：0=a(0-6)2+4,

解得：a=-A,

9

/.y=-.1(x-6)2+4=-工2+￡；

993

方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-Lz+