高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-2-直線與圓課件-新人教A

最新考綱

1.理解圓周角定理及其推論；掌握?qǐng)A的切線的判定定理及性質(zhì)定理；理解弦切角定理及其推論；2.掌握相交弦定理、割線定理、切割線定理；理解圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理．第2講直線與圓1．圓周角定理與圓心角定理 (1)圓周角定理及其推論

①定理：圓上一條弧所對(duì)的_______等于它所對(duì)的______的一半．

②推論：(ⅰ)推論1：___________所對(duì)的圓周角相等；____________中，相等的圓周角所對(duì)的___也相等． (ⅱ)推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是_____；90°的圓周角所對(duì)的弦是_____． (2)圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于________________．知識(shí)梳理圓周角圓心角同弧或等弧同圓或等圓弧直角直徑它所對(duì)弧的度數(shù)2．弦切角的性質(zhì)

弦切角定理：弦切角等于它_________所對(duì)的圓周角．3．圓的切線的性質(zhì)及判定定理 (1)定理：圓的切線_______經(jīng)過_____的半徑． (2)推論：

①推論1：經(jīng)過_____且垂直于切線的直線必經(jīng)過_____．

②推論2：經(jīng)過_____且垂直于切線的直線必經(jīng)過_____．所夾的弧垂直于切點(diǎn)圓心切點(diǎn)切點(diǎn)圓心4．與圓有關(guān)的比例線段定理名稱基本圖形條件結(jié)論應(yīng)用相交弦定理弦AB，CD相交于圓內(nèi)點(diǎn)P(1)PA·PB＝_______；(2)△ACP∽_______(1)在PA，PB，PC，PD四線段中知三求一；(2)求弦長及角割線定理PAB，PCD是⊙O的割線(1)PA·PB＝_______；(2)△PAC∽_______(1)求線段PA，PB，PC，PD；(2)應(yīng)用相似求AC，BDPC·PD△BDPPC·PD△PDB切割線定理PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割線(1)PA2＝_______；(2)△PAB∽______(1)已知PA，PB，PC知二可求一；(2)求解AB，AC切線長定理PA，PB是⊙O的切線(1)PA＝____；(2)∠OPA＝_______(1)證線段相等，已知PA求PB；(2)求角PB·PC△PCAPB∠OPB5.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理 (1)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理

①定理1：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角_____．

②定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的____________． (2)圓內(nèi)接四邊形的判定定理及推論

①判定定理：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角_____，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)_____．

②推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的_____，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)_____．互補(bǔ)內(nèi)角的對(duì)角互補(bǔ)共圓對(duì)角共圓1.如圖，△ABC中，∠C＝90°，

AB＝10，AC＝6，以AC為直徑的

圓與斜邊交于點(diǎn)P，則BP長為

________．

解析連接CP.由推論2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定理知，AC2＝AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.

答案

6.4診斷自測(cè)答案

50°3．(2014·陜西卷)如圖，△ABC中，BC＝6，以BC為直徑的半圓分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，若AC＝2AE，則EF＝________．

答案

34.(2015·廣州調(diào)研)如圖，四邊形ABCD

內(nèi)接于⊙O，BC是直徑，MN與⊙O

相切，切點(diǎn)為A，∠MAB＝35°，

則∠D＝________．

解析連接BD，由題意知， ∠ADB＝∠MAB＝35°，∠BDC＝90°，故∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝125°.

答案

125°5．如圖所示，過點(diǎn)P的直線與⊙O相交于A，B兩點(diǎn)．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，則⊙O的半徑r＝________．

解析設(shè)⊙O的半徑為r(r＞0)，

∵PA＝1，AB＝2，∴PB＝PA＋AB＝3.

延長PO交⊙O于點(diǎn)C，

則PC＝PO＋r＝3＋r.

設(shè)PO交⊙O于點(diǎn)D，則PD＝3－r.

由圓的割線定理知，PA·PB＝PD·PC，考點(diǎn)一圓周角、弦切角及圓的切線問題【例1】如圖所示，⊙O的直徑為6，AB

為⊙O的直徑，C為圓周上一點(diǎn)，BC

＝3，過C作圓的切線l，過A作l的垂

線AD，AD分別與直線l、圓交于D、E. (1)求∠DAC的度數(shù)； (2)求線段AE的長．

解

(1)由已知△ADC是直角三角形，易知∠CAB＝30°，

由于直線l與⊙O相切，由弦切角定理知∠BCF＝30°，

由∠DCA＋∠ACB＋∠BCF＝180°，又∠ACB＝90°，

知∠DCA＝60°，故在Rt△ADC中，∠DAC＝30°.(2)法一連接BE，如圖1所示，∠EAB＝60°＝∠CBA，AB為公共邊，則Rt△ABE≌Rt△BAC，所以AE＝BC＝3.

圖1

圖2

法二連接EC，OC，如圖2所示，則由弦切角定理知，∠DCE＝∠CAE＝30°，又∠DCA＝60°，故∠ECA＝30°，

又因?yàn)椤螩AB＝30°，故∠ECA＝∠CAB，從而EC∥AO，

由OC⊥l，AD⊥l，可得OC∥AE，故四邊形AOCE是平行四邊形，又因?yàn)镺A＝OC，故四邊形AOCE是菱形，故AE＝AO＝3.

規(guī)律方法

(1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關(guān)系，從而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大?。?2)涉及圓的切線問題時(shí)要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關(guān)于圓周上的點(diǎn)，常作直徑(或半徑)或向弦(弧)兩端畫圓周角或作弦切角．【訓(xùn)練1】如圖，△ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點(diǎn)E.

(1)證明：△ABE∽△ADC； (1)證明由已知條件，可得∠BAE＝∠CAD.

因?yàn)椤螦EB與∠ACD是同弧所對(duì)的圓周角．

所以∠AEB＝∠ACD.

故△ABE∽△ADC.考點(diǎn)二與圓有關(guān)的比例線段【例2】如圖，PA切⊙O于點(diǎn)A，割線 PBC交⊙O于點(diǎn)B，C，∠APC的角

平分線分別與AB、AC相交于點(diǎn)D、 E，求證： (1)AD＝AE； (2)AD2＝DB·EC.

證明

(1)∠AED＝∠EPC＋∠C，∠ADE＝∠APD＋∠PAB.因PE是∠APC的角平分線，故∠EPC＝∠APD.又PA是⊙O的切線，故∠C＝∠PAB.

所以∠AED＝∠ADE.故AD＝AE.

規(guī)律方法涉及與圓有關(guān)的等積線段或成比例的線段，常利用圓周角或弦切角證明三角形相似，在相似三角形中尋找比例線段；也可以利用相交弦定理、切割線定理證明線段成比例，在實(shí)際應(yīng)用中，一般涉及兩條相交弦應(yīng)首先考慮相交弦定理，涉及兩條割線就要想到割線定理，見到切線和割線時(shí)要注意應(yīng)用切割線定理．【訓(xùn)練2】(2013·天津卷)如圖，△ABC

為圓的內(nèi)接三角形，BD為圓的弦，

且BD∥AC.過點(diǎn)A作圓的切線與DB

的延長線交于點(diǎn)E，AD與BC交于

點(diǎn)F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，

則線段CF的長為________．

解析由切割線定理得AE2＝EB·ED，解得EB＝4.

因?yàn)锳B＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝∠ADB.

由弦切角定理得∠EAB＝∠EDA，

所以∠EAB＝∠ABC，則AE∥BC，考點(diǎn)三圓內(nèi)接四邊形的判定及應(yīng)用【例3】(2015·銀川一中月考)如圖，

已知AP是⊙O的切線，P為切點(diǎn)， AC是⊙O的割線，與⊙O交于B、 C兩點(diǎn)，圓心O在∠PAC的內(nèi)部，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)． (1)證明：A、P、O、M四點(diǎn)共圓； (2)求∠OAM＋∠APM的大?。?/p>

(1)證明連接OP，OM，因?yàn)锳P

與⊙O相切于點(diǎn)P，所以O(shè)P⊥AP.

因?yàn)镸是⊙O的弦BC的中點(diǎn)，

所以O(shè)M⊥BC，于是∠OPA＋∠OMA＝180°.由圓心O在∠PAC的內(nèi)部，可知四邊形APOM的對(duì)角互補(bǔ)，所以A、P、O、M四點(diǎn)共圓．(2)解由(1)得A、P、O、M四點(diǎn)共圓，所以∠OAM＝∠OPM，由(1)得OP⊥AP，因?yàn)閳A心O在∠PAC的內(nèi)部，所以∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.

規(guī)律方法

(1)如果四點(diǎn)與一定點(diǎn)距離相等，那么這四點(diǎn)共圓；(2)如果四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓；(3)如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．【訓(xùn)練3】如下圖，已知AB為圓O的一條直徑