2023年中考數(shù)學(xué)幾何模型-動點(diǎn)最值之阿氏圓模型（講+練）（解析版）

專題15動點(diǎn)最值之阿氏圓模型

背景故事：“阿氏圓”又稱為“阿波羅尼斯圓”，如下圖，已知A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足PA：

PB=k(k^l),則滿足條件的所有的點(diǎn)P的軌跡構(gòu)成的圖形為圓.這個軌跡最早由古希臘數(shù)

學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”.

模型建立：當(dāng)點(diǎn)P在一個以。為圓心，r為半徑的圓上運(yùn)動時，如圖所示:

??.PAOAr.i土”-AC,

易證："OPS^POA,.?.同=丁=9'?.對于回上任意一點(diǎn)P都有西=前=次.

對于任意一個圓，任意一個k的值，我們可以在任意一條直徑所在直線上，在同側(cè)適當(dāng)?shù)奈?/p>

()A

置選取A、B點(diǎn)，則需翠=r溫=6

【技巧總結(jié)】計(jì)算弘+Z.PB的最小值時，利用兩邊成比例且夾角相等構(gòu)造母子型相似三

角形

問題：在圓上找一點(diǎn)P使得24+公依的值最小，解決步驟具體如下:

①如圖，將系數(shù)不為1的線段兩端點(diǎn)與圓心相連即OP,OB

②計(jì)算出這兩條線段的長度比筆=攵

ocPC

③在OB上取一點(diǎn)C,使得——=k,即構(gòu)造APOMs/\BOP,則——=k,PC=k.PB

OPPB

④則/%+Z?P8=Q4+PC2AC,當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時可得最小值

例1.如圖，在RtfMBC中，^ACB=90°,CB=7,47=9,以C為圓心、3為半徑作回C,P為回C

上一動點(diǎn)，連接AP、BP,則（AP+BP的最小值為（）

【詳解】如圖，在CA上截取CM,使得CM=1,連接PM,PC,BM.

,PCCM

0PC=3,CM=1,CA=9,E)PC2=CM?CA,0一=——，

CACP

PMPC11

團(tuán)團(tuán)PCM=MCP,甌PC/V7004CP,0——=一=",團(tuán)PM=一%，^-AP+BP=PM+PB,

PAAC333

22

SPM+PB>BM,在RtElBCM中，回回8cM=90°,CM=1,BC=7,0BM=Vl+7=572，

^AP+BP>5y[2)EI；AP+8P的最4、值為5c.故選：B.

例2.在.43C中，AB=9,BC=8,MBC=60。，蜘的半徑為6,P是A上一動點(diǎn)，連接PB,

PC,則3PC+2尸8的最小值_____________PB+5^PC的最小值_______

73

63歷

【答案】21

73

【詳解】①連接AP，在AB上取點(diǎn)Q,使AQ=4,連接CQ,

皿的半徑為6即36,嘮=|，又［=。=|，且

■^=^=|,E]PQ=|BP,ia3PC+2PB=3(PC+2|BP

團(tuán)A4PQS&48P,團(tuán)=3(PC+P。),

3

當(dāng)p、C、0三點(diǎn)共線時，PC+尸。的值最小，最小值為CQ的長，

過C作CI^AB于/,圈/CIB=NCIQ=90°,

在R的C/8中，回NCB/=60°,8c=8,inZCBI=—=—,團(tuán)=

sBC2

回8/=\JBC2-CI2=4'QI=AB-AQ-BI=9-4-4=l,

在Rtac/Q中，CQ=^QI2+C12=7,GJ3PC+2尸8的最小值為3（PC+PQ）=21：故答案為:

21；

②連接AP,由①得：在RtSCIA中，AC=^AI2+CI2=祖+9廚=A/73,

在4：上取點(diǎn)G,使AG=36叵,連接PG,BG,

73

^-=-^==^21,0—=—,SLZGAP=APAC,OAAGP^AAPC,

AC歷73ACAP

向GPAG6x/73

111-----------------------------------------f

PCAP73

叱嚕PC0PB+^^PC=PB+GP,

73

當(dāng)G、P、3三點(diǎn)共線時，P3+GP的值最小，最小值為8G的長,

過G作GHSiAB于H,*GHA=ZGHB=90°,

*嘿，在中，sin/GAW/嘿,

在RtHC/ALp,sin/CA/=

^AH=yjAG2-GH2圖，BH=AB-AH=9-^=^

737373

63773

在RtfflGHB中，BG=yjBH2+GH2=

73

0PB+PC的最小值為.

7373

故答案為：則亙.

73

例題3.如圖，已知正方ABCD的邊長為6,圓B的半徑為3,點(diǎn)P是圓B上的一個動點(diǎn),

則PD--PC的最大值為.

2

【解析】當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到BC邊上時，此時PC=3,根據(jù)題意要求構(gòu)造工PC,在BC上取M

2

使得此時PM=-,則在點(diǎn)P運(yùn)動的任意時刻，均有PM=-PC.從而將問題轉(zhuǎn)化為求PD-PM

22

的最大值.連接PD,對于APDM,PD-PMVDM,故當(dāng)D、M、P共線時，PD-PM=DM為

最大值”.

2

【變式訓(xùn)練1】如圖，已知菱形ABC3的邊長為4,4=60。，B的半徑為2,P為B上

一動點(diǎn)，貝ijpo+gpc的最小值_______.PC+且叩的最小值_______

26

D

\BIc

［答案］屈回

3

【詳解】①如圖，在BC上取一點(diǎn)G,使得8G=1,連接P8、PG、GD,作。用8c交BC延長

線于F.

PB2cBe4cPB

回=-=2,=-=2,0=

BG1PB2BG

P「111

⑦NPBG=NPBC,團(tuán)"BGAC5P,回一=—=一，國PG=—PC,⑦PD+—PC=DP+PG,

PCPB222

SDP+PG>DG,回當(dāng)D、P、G共線時，PD+；PC的值最小，最小值為DG,

在RffilCDF中，回DCF=60°,CD=4,13DF=CD?s/n60o=2,CF=2,

在R/13GDF中，OG=J(2后+⑸2=后,故答案為：屈;

②如圖，連接8D,在8D上取一點(diǎn)M,使得8M=#,連接P8、PM、MC,過M作MW138c

1

團(tuán)四邊形A8CD是菱形，且NABC=60。,EL4C0BD,0408=90°,骷8。=團(tuán)CB。二一蜘8c=30。，

2

1______G

2222

^\AO=-AB=2fBO=^AB-AO=74-2=273^^BD=280=473,團(tuán)_3_6，

~PB~~T~~6

PB_2

-473-6'

0—=—=—,H^MBP^PBD,^EMBP~^PBD,0—=—=^,SPM=—PD,

PBBD6PDBD66

SPC+—PD=PC+PM>MC，囹當(dāng)M、P、C共線時，pc+無p。的值最小，最小值為

66

CM,

在RtfSBMN中，0C8O=30°,BM=—,回MN=-BM=—,BN=\JBM2-MN2=-,0C/V=4--=-,

326222

@MC=y/CN2+MN2=yJCN2+MN2=,13PC+迫PC的最小值為回工.

363

【變式訓(xùn)練2】如圖，正方形ABCD的邊長為4,圓B的半徑為2,點(diǎn)P是圓B上一動點(diǎn)，

則PO+/PC的最小值為________________________,PO—/。的最大值

為_________________.

獷

【答案】最小值為5,最大值為5

【解析】在BC上取一點(diǎn)G,使得BG=1,連接PG、D(3,如圖所示：

力D

.?空=2=2里j=2-空=型

'BG~1~!BP~2-1"BG~BP'

,PG_BG_1.

==

'/ZPBG=ZPBC,/.△PBGs△cBP,-?2',?

PG=|PC,：.PD+^PC=DP+PG,

PO+1。。的值最小，最小值為

在APDG中，DP+PG2DG,二當(dāng)D、G、P共線時，

DG=\/CG2+CD2=5；

當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長線時，的值最大，如圖所示：此時最大值也是DG,最大值

為5.

【變式訓(xùn)練3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(4,0),B(4,4),點(diǎn)P在半徑為2的

【解析】取點(diǎn)K(1,0),連接OP、PK、BK,如圖所示:

?..OPOK1

?OP=2，OA=4,OK=1,..八、—八n=不,

OAOP2

VZPOK=ZAOP,/.APOK^AAOP,

PKOP111

TTPKPA：PBPAPBPK

■■-i-^/i=^Cz/1=z^,.-.=z^,.+/^=+,

在aPEK中，PB+PK2BK,...。區(qū)+義。4=28+。長的最小值為81＜的長，

VB(4,4),K(1,0),：.BK=V^2+42=5,「PA的最小值為5.

【變式訓(xùn)練4】如圖，菱形ABC3的邊長為2,銳角大小為60。，0A與8c相切于點(diǎn)E,在A

上任取一點(diǎn)P,則PB+3P。的最小值為__________.

2

HE

【答案】叵.

2

【詳解】解：在A。上截取八H=1.5,連接PH、AE,過點(diǎn)8作8甩。4延長線，垂足為F,

SAB=2,M8C=60°,^BE=AF=1,AE=BF=yf3,0—=—=

AHAP3

EBP4D=SPAH,^ADPSQAPH,0—=—=—,SPH=—PD,

PHAP32

當(dāng)8、P、”共線時，PB+且的最小，最小值為BH長，

2

BH=JBF?+FH?=J（揚(yáng),+2.5?=，；故答案為：字.

課后訓(xùn)練

1.如圖，矩形ABCO中，A8=4,AD=2,以B為圓心，以BC為半徑畫圓交邊4?于點(diǎn)E,

點(diǎn)P是弧CE上的一個動點(diǎn)，連結(jié)PR%,則的最小值為（）

A.MB.VHC.岳D.714

【答案】C

【詳解】解：如圖，連接BP,取BE的中點(diǎn)G,連接PG,

cM…cBP21曰.....BG1BPBG

^AD=BC=BP=2,AB=4,0——=一=一，13G是BE的中點(diǎn)、，回——=-,E——=——，

BA42BP2BNBP

PGBP1?

6/PBG=NABP,吼B(yǎng)PGBAP,回一=—二一，團(tuán)尸G=-AP,

APBA22

則;4P+OP=PG+OP,當(dāng)P、D、G三點(diǎn)共線時，取最小值，即DG長，

DG^yjAD2+AG2=5/4+9=J13-故選：C.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(2,0)、B(0,2)、C(4,0)、D(3,2),P是△AOB外

部的第一象限內(nèi)一動點(diǎn)，且/BPA=135。，則2PD+PC的最小值是.

【答案】4^/2

【解析】依題意可得OA=OB=2,NBPA=135。，...點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，OA長為

半徑的圓。上的劣弧AB,構(gòu)造圓0,連接OP,在OC上截取OE=1,連接PE、ED,過點(diǎn)D

作DFLOC手點(diǎn)F,如圖所示：

--,/POC=/EOP,△POCS/\EOP,=J,PC-PE,

(70(.Ji/1(.^ZZ

2PD+PC=2(PD+jpc'j=2(PD+PE)N2DE,

當(dāng)E、P、D三點(diǎn)共線時，PD+PE的值最小，最小值為DE的值，

?.?DF_LOC于點(diǎn)F,則DF=2,EF=2,/.DE=y/EF2+DF2=2^2,...ZPO+PC的最

小值為2DE=4V^.

3.如圖，在RjABC中，I3C=9O。，CA=3,CB=4.二C的半徑為2,點(diǎn)P是，C上一動點(diǎn)，貝lj

12

AP^-BP的最小值______________PB+-PA的最小值________

【詳解】①在8c上取點(diǎn)D,使CD=；BC=1,連接AD,PD,PC,

B

DCPC11

由題意知：PC=2,回一=—=一，^PCD^BCP.aAPDCsMPC,?PD=-PB,

PCBC22

且「A+gpB=PA+PO2A￡>,0Ar>=7Ac2+cr>2=V9TT=Vio.

回24+；尸3的最小值為風(fēng)，故答案為：Vio：

②在AC上取點(diǎn)E,使CE=g,連接PE,BE,PC,

cPC2CEPC2

0CE2,——=一，回——=——=-且團(tuán)PCE二蜘CP,

~PC-AC3PCAC3

PF)Do

團(tuán)NPECS&APC,團(tuán)一=—=一,國PE=-PA,?PB+-PA=PB+PENBE,

PAAC333

日BE=JBC?+CE2T42+§2=生”團(tuán)/8+刎的最小值為^故答案為：1^2.

4.如圖，半圓的半徑為1,AB為直徑，AC、BD為切線，AC=1,BD=2,點(diǎn)P為弧AB上一

動點(diǎn)，求呼PC+P。的最小值.

3^/2

【答案】

2

【解析】當(dāng)A、P、D三點(diǎn)共線時，挈PC+P。的值最小.

連接PB、CO,AD與CO相交于點(diǎn)M,如圖所示:

VAB=BD=2,BD是。。的切線,ZABD=909,ZBAD=ZD=459,

VAB是。。直徑,.?.NAPB=909,，/PAB=NPBA=459,...PA=PB,PO_LAB,

；AC是。。的切線,AC±AB,；.AC/7P0,ZCAO=90?

：AC=PO=1,，四邊形AOPC是平行四邊形，而OA=OP,NCAO=90。,...四邊形AOPC是正方

形，

PM=AM=^AP=^-PC,ADA,OC,：.噲PC+PD=PM+PD=DM,

：DMJ_OC,.?.由"垂線段最短"可知此時挈PC+PD的值最小,

最小值為-AM='AB，+BD?一璋4。=一殍=^.

5.(1)如圖1,在AABC中，AB=AC,8。是AC邊上的中線，請用尺規(guī)作圖做出AB邊上

的中線CE,并證明80=CE：

圖1圖2圖3

(2)如圖2,已知點(diǎn)P是邊長為6的正方形ABCD內(nèi)部一動點(diǎn)，布=3,求PC+^PZ)的

2

最小值；

(3)如圖3,在矩形ABCQ中，AB=18,BC=25,點(diǎn)M是矩形內(nèi)部一動點(diǎn)，MA=15,

當(dāng)MC+^-MD最小時，畫出點(diǎn)M的位置，并求出MC+^-MD的最小值.

55

【解答】解：(1)如圖1中，作線段AB的垂直平分線MN交A8于點(diǎn)E,連接EC.線段

EC即為所求;

\'AB=AC,AE=EC,AD=CD,：.AE=AD,

"：AB=AC,/A=N4,AD=AE,.'.△BA力絲△CAE(SAS),:.BD=CE.

M

D

瓦

BC

圖1

(2)如圖2中，在A。上截取4E,使得

：以2=9,人￡>4。=當(dāng)6=9,：.PA2=AE-AD,.?里=里?：ZPAE^ZDAP,

2ADPA

:.XPAESXDAP,P^=PA=J_,:.PE=LPD,：.PC+—PD=PC+PE,

DPAD222

PC+PE>EC,：.PC+^PD的最小值為EC的長，

2

在RsC￡>E中，\'ZCDE=90°,C￡>=6,DE=^~,

荷+電2=學(xué),.?.PC+*P￡＞的最小值為學(xué).

(3)如圖3中，如圖2中，在AO上截取AE,使得AE=9.

\"MA2=225,心40=9X25=225,：.MA2=AE>AE,.?坐二里VZMAE=ZDAM,

ADMA

...△MAES/X/JAM,

：.ME=^-MD,.,.MC+^-MD=MC+ME,"：MC+ME>EC,：.MC+^-

MDAD25555-5

歷。的最小值為EC的長，在RtACDE中，VZCDE=90°,CD=18,DE=16,

/.￡C=^162+182=27145，???MC+^-MD的最小值為.

5

圖3

6.如圖1,拋物線y=ax2+(a+3)x+3(aWO)與x軸交于點(diǎn)A(4,0),與y軸交于點(diǎn)B,

在x軸上有一動點(diǎn)E(.m,0)(0<m<4),過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線A8于點(diǎn)N,交拋

物線于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PM_LAB于點(diǎn)M.

(1)求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式；

(2)設(shè)△PMN的周長為J,/XAEN的周長為C2,若幺=反，求m的值；

C25

(3)如圖2,在(2)條件下，將線段OE繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)得到。？，旋轉(zhuǎn)角為a(0°

<a<90°),連接E'A、E'B,求的最小值.

3

【解答】(1)沙=一日N+3；(2)m=2；(3)4v/10

44

【解析】(1)令y=0,則。必+(0+3)x+3=0,

3

:.(x+1)(ax+3)=0,「.xn-1或---，