數(shù)學期望性質(zhì)與應用舉例

5.數(shù)學期望的根本性質(zhì)利用數(shù)學期望的定義可以證明，數(shù)學期望具有如下根本性質(zhì)：設ξ,η為隨機變量，且E(ξ)，E(η)都存在，a，b，c為常數(shù)，那么性質(zhì)1.E(c)=c；性質(zhì)2.E(aξ)=aE(ξ)；性質(zhì)3.

E(a+ξ)=E(ξ)+a；

性質(zhì)4.E(aξ+b)=aE(ξ)+b；性質(zhì)5.E(ξ+η)=E(ξ)+E(η)．例設隨機變量X的概率分布為:

P(X=k)=0.2

k=1,2,3,4,5.求E(X),E(3X+2)．解.

∵P(X=k)=0.2

k=1,2,3,4,5

∴由離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義可知E(X)=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2=3，E(3X+2)=3E(X)+2=11．例.

設隨機變量X的密度函數(shù)為:

求E(X),E(2X-1)．解.

由連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望的定義可知

=-1/6+1/6=0．∴

E(2X-1)=2E(X)-1=-1．我們已經(jīng)學習了離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望,在隨機變量的數(shù)字特征中,除數(shù)學期望外,另一重要的數(shù)字特征就是方差.4.1.2數(shù)學期望的性質(zhì)

〔1〕設是常數(shù)，那么有。

證把常數(shù)看作一個隨機變量，它只能取得唯一的值，取得這個值的概率顯然等于1。所以，。

〔2〕設是隨機變量，是常數(shù)，那么有

。

證假設是連續(xù)型隨機變量，且其密度函數(shù)為。

。

當是離散型隨機變量的情形時，將上述證明中的積分號改為求和號即得。

〔3〕設都是隨機變量，那么有

。

此性質(zhì)的證明可以直接利用定理4.1.2，我們留作課后練習。這一性質(zhì)可以推廣到有限個隨機變量之和的情況，即

。

〔4〕設是相互獨立的隨機變量，那么

。

證僅就與都是連續(xù)型隨機變量的情形來證明。設的概率密度分別為和，的聯(lián)合概率密度為，那么因為與相互獨立，所以有

。

由此得

此性質(zhì)可以推廣到有限個相互獨立的隨機變量之積的情況。

例4.1.2倒扣多少分？

李老師喜歡在考試中出選擇題，但他知道有些學生即使不懂哪個是正確答案也會亂撞一通，隨便選一個答案，以圖僥幸。為了對這種不良風氣加以處分，唯一方法就是對每一個錯誤的答案倒扣假設干分。

假設每條選擇題有五個答案，只有一個是正確的。在某次考試中，李老師共出20題，每題5分，總分值是100分。他決定每一個錯誤答案倒扣假設干分，但應倒扣多少分才合理呢？倒扣太多對學生不公平，但倒扣太少又起步了杜絕亂選的作用。倒扣的分

數(shù)，應該恰到好處，使亂選一通的學生一無所獲。換句話說，如果學生完全靠運氣的話，他的總分的數(shù)學期望應該是0。

假定對一個錯誤答案倒扣分，而正確答案得5分。隨意選一個答案，選到錯誤答案的概率是，選到正確答案的概率是，所以總分的數(shù)學期望是。要它是0，由此，即是對每一個錯誤答案應該倒扣分。要是這樣，對一個只答對六成的學生〔但不是亂選一通之流〕來說，他的總分仍然有，并不算不公平吧？

例4.1.3某制藥廠試制一種新藥治療某種疾病。對600人作臨床試驗，其中300人服用新藥，而另外300人未服，4天后，有320人康復，其中260人服用了新藥。問這種新藥療效如何？

[分析]〔1〕無論病人服藥與否，可能的結(jié)果都有兩個：痊愈與未愈，所以為了能夠使用概率方法解決這個問題，應該想到引入兩點分布的隨機變量；

〔2〕評價藥物療效好壞，僅對兩組中的某兩個個體的治療效果進行比擬是不行的，而應該比擬兩組病人的平均治療效果。

解

引入“病人服用新藥后的結(jié)果”；“病人未服用新藥的結(jié)果”。

，

，

由題設知

，，故，

，，故，

比擬與可知新藥對治療此種病療效顯著。

例4.1.4十個獵人等候野鴨飛來，當一群鴨飛來，獵人同時射擊，但每人任選自己的目標，且不互相影響，假設每一人單獨打中目標的概率是，假設10只野鴨飛來，計算沒有被打中的鴨數(shù)的期望值。

解設

沒有被打中的鴨數(shù)為。首先計算，每一人打中第只鴨的概率是，所以，

進而，

。

注將一個“復雜”的隨機變量分解為假設干個“簡單”的隨機變量之和，是研究隨機變量的一種根本方法。

將個球隨機地放入個盒子中去，每個球放入各個盒子是等可能的，求有球的盒子數(shù)的數(shù)學期望。

提示設

。的分布律為01于是有。故

。

假設由自動線加工的某種零件的內(nèi)徑〔以毫米計〕，服從正態(tài)分布。銷售每個零件的利潤〔元〕與銷售零件的內(nèi)徑有如下關系：

問平均內(nèi)徑為何值時，銷售一個零件的平均利潤最大。

提示銷售一個零件的利潤的取值為，其分布律為

其中為標準正態(tài)分布的