河南省安陽市高三三模擬理科數(shù)學(xué)試題

2023屆高三年級第三次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合，利用集合的運(yùn)算可判斷ABC選項(xiàng)，利用集合的包含關(guān)系可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榛?，，所以，，AC都錯(cuò)，或或，B錯(cuò)；或，故，D對.故選：D.2.已知，則的大小關(guān)系為（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)得到，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到，從而得到答案.【詳解】，，，，，，故選：B.3.歐拉是十八世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，數(shù)學(xué)史上稱十八世紀(jì)為“歐拉時(shí)代”.1735年，他提出公式：復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位.已知復(fù)數(shù)，設(shè)，則的值可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】變形復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出，并表示成形式作答.【詳解】，，，依題意，，當(dāng)時(shí)，，B正確，ACD錯(cuò)誤.故選：B4.如圖是某四棱錐的三視圖，其中正視圖和俯視圖是邊長為2的正方形，側(cè)視圖是直角邊長為2的等腰直角三角形，則該四棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三視圖還原四棱錐，再利用切割法與錐體的體積公式即可得解.【詳解】根據(jù)題意，還原該四棱錐到虛線正方體中，如圖，易知該正方體的棱長為，故，，又面，所以.故選：A.5.為了應(yīng)對即將到來的汛期，某地防汛指揮部抽調(diào)名專業(yè)人員（包括甲、乙兩人）平均分成三組，對當(dāng)?shù)厝幹攸c(diǎn)水利工程進(jìn)行防汛安全檢查，則甲、乙不同組的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】考慮甲、乙在同一組的分組方法種數(shù)，以及將六人平均分為三組的分組方法數(shù)，利用古典概型的概率公式以及對立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】考慮甲、乙在同一組，只需將其他四人分為兩組即可，分組方法種數(shù)為，將六人平均分為三組，每組兩人，則不同的分組方法種數(shù)為，因此，甲、乙不同組的概率為.故選：D.6.已知菱形的邊長為，，為菱形的中心，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，其中，將、用基底表示，再利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的最小值.【詳解】設(shè)，其中，由平面向量數(shù)量積的定義可得，，因?yàn)闉榱庑蔚闹行?，則，所以，，因此，的最小值為.故選：C.7.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)到的距離為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析可知，直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，根據(jù)已知條件求出的值，可求得的值，進(jìn)而可求得、的值，再結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)弦長公式可求得的值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)點(diǎn)、，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，點(diǎn)到直線的距離為，則，所以，，因此，，故選：C.8.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正切的二倍角公式及和角公式，求出，再將化簡變形成齊次式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，又，解得，所以，故選：B.9.在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，，，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)線段最短時(shí)，異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，寫出向量的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出當(dāng)取最小值時(shí)的值，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量法可求得異面直線與所成角的余弦值.【詳解】在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，所以，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，設(shè)，其中，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，取最小值，此時(shí)點(diǎn)，則，，，因此，當(dāng)線段最短時(shí)，異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.10.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為，過坐標(biāo)原點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由橢圓離心率為可得之間的關(guān)系，設(shè)，代入橢圓方程可得，由可推出，即可得，即可求得答案.【詳解】由橢圓離心率為，知，由題意可設(shè)，則，由可得，即，結(jié)合可得，故，則，所以直線的方程為，故選：B11.已知四棱錐內(nèi)接于球底面，底面為正方形，分別為的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，平面交于，當(dāng)平面時(shí)，，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把四棱錐補(bǔ)成長方體得到外接球的球心為體對角線的中點(diǎn).建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，根據(jù)平面求得，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得，進(jìn)而得到點(diǎn)是的中點(diǎn)，從而利用中位線得到，進(jìn)而求得，從而求得，即可求得外接球的表面積.【詳解】因?yàn)榈酌?，底面為正方形，所以把四棱錐補(bǔ)成長方體，如圖所示，則外接球的球心為體對角線的中點(diǎn).如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以.當(dāng)平面時(shí)，有，即，因?yàn)?，解?則，設(shè)，則，所以，當(dāng)平面時(shí)，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以，令，即，解得，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，則所以，令外接球的半徑為，則，即，所以球的表面積為.故選：D12.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)為，對任意的實(shí)數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則滿足不等式的實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù)，先確定函數(shù)的奇偶性，然后再利用條件中的導(dǎo)數(shù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后再把要求的不等式化成的形式，去對應(yīng)關(guān)系“”得到一個(gè)一般的不等式，解不等式得結(jié)果.【詳解】令，則，因?yàn)闀r(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)閷θ我獾膶?shí)數(shù)，所以，所以，所以，所以，所以是偶函數(shù)，所以圖像關(guān)于軸對稱.由得，即，所以，所以，解不等式得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，則__________.【答案】##1.5【解析】【分析】由的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱得是一個(gè)奇函數(shù)，根據(jù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱及奇函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果.【詳解】依題意函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)，又，所以，所以定義域?yàn)?，因?yàn)榈膱D象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，所以，解得.又，所以，所以，即，所以，所以.故答案為：.14.的展開式中的系數(shù)是__________.【答案】【解析】【分析】寫出展開式通項(xiàng)，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)即可得解.【詳解】的展開式通項(xiàng)為，又因?yàn)?，在中，令，在中，令，可得，所以，展開式中的系數(shù)為.故答案為：.15.若實(shí)數(shù)，滿足不等式組，則的最大值為___________.【答案】256【解析】【分析】作出可行域作直線，平移該直線得的最大值后可得結(jié)論．【詳解】作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），，令，作直線，在直線中為直線的縱截距，直線向上平移時(shí)增大，所以平行直線，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，所以．故答案為：256．16.已知的面積為為常數(shù)且，若變化時(shí)的最小值為，則__________.【答案】2【解析】【分析】設(shè)，，由三角形的面積公式、余弦定理結(jié)合題意可得，可以看成直線與相切時(shí)取等，利用圓心到直線的距離等于半徑求解即可.【詳解】設(shè)，，設(shè)對應(yīng)的邊為，所以的面積為，所以，又因?yàn)?，所以，即，而，所以，在，由余弦定理可得：，，則，即，表示點(diǎn)兩點(diǎn)間的斜率，因?yàn)?，而在圓，可以看成直線與相切時(shí)取等，所以將直線化一般式，則圓心到直線的距離為，令，則，則，所以，解得：或（舍去），所以，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題利用三角形的面積公式、余弦定理將的最小值為轉(zhuǎn)化為，即可以看成直線與相切時(shí)取等求解即可.三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查.經(jīng)過隨機(jī)抽樣，獲得200戶居民的年用水量（單位：噸）數(shù)據(jù)，按分成九組，制成如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求直方圖中的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該市的居民年用水量不超過噸，求的值；（3）已知該市有100萬戶居民，規(guī)定：每戶居民年用水量不超過50噸的正常收費(fèi)，若超過50噸，則超出的部分每噸收1元水資源改善基金，請估計(jì)該市居民每年繳納的水資源改善基金總數(shù)約為多少.（每組數(shù)據(jù)以所在區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）【答案】（1）（2）（3）（元）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中各矩形的面積之和為1，即可求得答案;（2）確定m的范圍，結(jié)合頻率分布直方圖列式計(jì)算，可得答案；（3）計(jì)算出區(qū)間內(nèi)的居民年用水量分別超出的噸數(shù)，結(jié)合頻率分布直方圖列式計(jì)算，即得答案.【小問1詳解】由頻率分布直方圖得，解得.【小問2詳解】在200戶居民年用水量頻率分布直方圖中，前5組頻率之和為，前4組頻率之和，所以，由，解得.【小問3詳解】由題可知區(qū)間內(nèi)的居民年用水量分別取為代表，則他們的年用水量分別超出5噸，15噸，25噸，35噸，則元，所以估計(jì)該市居民每年繳納的水資源改善基金總數(shù)約為元.18.已知數(shù)列滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)已知轉(zhuǎn)化為，得出數(shù)列是等差數(shù)列，求出，繼而得出答案.(2)由(1)得出，然后利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【小問1詳解】由，得，且，所以，所以.所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以，故.【小問2詳解】由題知，，所以19.如圖所示，在直角三角形中，，，，，將沿折起到的位置，使平面平面，點(diǎn)滿足.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證明出平面，在上取一點(diǎn)，使得，連接、，證明出平面平面，可得出平面，再利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）推導(dǎo)出平面，然后以點(diǎn)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.【小問1詳解】證明：在直角三角形中，因，，所以，即在四棱錐中，，，又因，、平面，所以，平面，所以，平面，如圖，在上取一點(diǎn)，使得，連接、.因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以四邊形是矩形，所?因?yàn)槠矫妫矫?，所以，平面，在中，，，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)?，、平面，所以，平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，?【小問2詳解】解：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，故以為坐?biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、，所以，.設(shè)平面的法向量為，則，令，得.設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，所以，由圖可知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為.20.已知函數(shù).（1）證明：曲線在處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)；（2）記的導(dǎo)函數(shù)為，設(shè)，求使恒成立的的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在處的切線方程即可證明；（2）把不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值小于等于零恒成立，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即可得結(jié)果.【小問1詳解】由已知得，所以，又，所以在處的切線方程為，即，恒過坐標(biāo)原點(diǎn).【小問2詳解】，定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且，故不恒成立.當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，則當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，又，因?yàn)?，所以，即，由零點(diǎn)存在定理知在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，即，即.當(dāng)時(shí)，，于是在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，于是在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值也是最大值，要使恒成立，只需.因?yàn)椋?，解得，故所求的的取值范圍?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒（能）成立問題的解法：若在區(qū)間上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.21.以雙曲線的右焦點(diǎn)為圓心作圓，與的一條漸近線相切于點(diǎn)（1）求的方程.（2）在軸上是否存在定點(diǎn)，過點(diǎn)任意作一條不與坐標(biāo)軸垂直的直線，當(dāng)與交于兩點(diǎn)時(shí)，直線的斜率之和為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）存在滿足條件的定點(diǎn).【解析】【分析】（1）將切點(diǎn)代入直線方程得，結(jié)合和即可得到雙曲線方程；（2）假設(shè)存在滿足條件的定點(diǎn)，設(shè)的方程為，將其與雙曲線聯(lián)立得韋達(dá)定理式，計(jì)算，通分整理將韋達(dá)定理式代入得，解出值即可.【小問1詳解】雙曲線的漸近線方程為，圓與直線切于點(diǎn)，所以代入得，①設(shè)，直線FQ有斜率，則，即，②又③由①②③解得，所以雙曲線的方程為.【小問2詳解】假設(shè)存在滿足條件的定點(diǎn)，因?yàn)橹本€不與坐標(biāo)軸垂直，故設(shè)的方程為.由消去整理得，則即且因?yàn)?，所以直線的斜率為.設(shè)為定值，即，即，即，整理得，所以，所以.因?yàn)闉槎ㄖ?，且上式對任意恒成立，所以解?將代入式解得或且.綜上，存在滿足條件的定點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題采用設(shè)線法，設(shè)，定點(diǎn)，將直線與雙曲線聯(lián)立得韋達(dá)定理式，再設(shè)，展開整理得，將韋達(dá)定理代入得