考研數(shù)學(xué)一(二次型)模擬試卷7(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)一(二次型)模擬試卷7(題后含答案及解析)

題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題

選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。

1.設(shè)二次型f(xl,x2,x3)在正交變換x=Py下的標(biāo)準(zhǔn)形為2y21+y22-y23,

其中P=(el,e2,e3),若Q=(eL-e3,e2),則f(xl,x2,x3)在正交變換x=Qy

下的標(biāo)準(zhǔn)形為()

A.2y21-y22+y23

B.2y21+y22-y23

C.2y21-y22-y23

D.2y21+y22+y23

正確答案：A

解析:本題考查正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的有關(guān)理論,所涉及的知識(shí)點(diǎn)是：

任給一個(gè)二次型f(xl,x2,x3)=xTAx,總存在一個(gè)正交變換x=Py將二次型f(xl,

x2,x3)=xTAx化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)是A的特征值；標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)即A

的特征值的順序與正交矩陣P中對(duì)應(yīng)的列的順序即A的特征值的所對(duì)應(yīng)的特征

向量的順序一致.設(shè)二次型f(xl,x2,x3)=xTAx的矩陣為A,正交矩陣P=(el,

e2,e3),則f(xl,x2,x3)在正交變換x=Qy下的標(biāo)準(zhǔn)形為2y21+y22-y23,即若

Q=(el,-e3,e2),則所以f(xl,x2,x3)在正交變換x=Qy下的標(biāo)準(zhǔn)形為

2y21-y22+y23.故應(yīng)選A.知識(shí)模塊：二次型

2.設(shè)，則人與8()

A.合同且相似

B.合同但不相似

C.不合同但相似

D.不合同且不相似

正確答案：A

解析：顯然A是實(shí)對(duì)稱矩陣，且特征值為4,0,0,0.故存在正交矩陣Q,

使得Q-1AQ=QTAQ=

B.因此選A.知識(shí)模塊：二次型

填空題

3.設(shè)二次型f(xl,x2,x3)=x21+2xlx2+2x2x3,則f的正慣性指數(shù)為

正確答案：2

解析：用配方法把f(xl,x2,x3)化成標(biāo)準(zhǔn)形，或求出特征值，正特征值個(gè)

數(shù)即為正慣性指數(shù).利用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)

形.f=x21+2xIx2+2x2x3=x21+2xIx2+x22-(x22-2x2x3)

=(x1+x2)2-(x2-x3)2+x23=y21-y22+y23,其中yl=xl+x2,y2=x2-x3,y3=x3,即由

于這個(gè)線性變換是可逆的，故由慣性定理知，二次型f的正慣性指數(shù)為2.知識(shí)

模塊：二次型

4.若二次型f(xl,x2,x3)=2x21+x22+x23+2xlx2+tx2x3正定，貝1Jt的取值

范圍是.

正確答案：

解析：由于二次型f(xl,x2,x3)=2x21+x22+x23+2xlx2+tx2x3的矩陣所

以，有知識(shí)模塊：二次型

解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

已知二次型f(xl,x2,x3)=4x22-3x23+4xlx2-4xlx3+8x2x3.

5.寫出二次型f的矩陣表達(dá)式；

正確答案：二次型f的矩陣表達(dá)式為其中

解析：本題主要考查用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法，矩陣特征值、特

征向量的求法.先求出二次型f的矩陣A及A的特征值與特征向量，再將特征

向量正交單位化，求出正交矩陣，即可把f化為標(biāo)準(zhǔn)形.知識(shí)模塊：二次型

6.用正交變換把二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并求出相應(yīng)的正交矩陣.

正確答案：矩陣A的特征多項(xiàng)式為由此得矩陣A的特征值為入1=1,入

2=6,入3=-6.于是，二次型f可通過正交變換x=Qy化為標(biāo)準(zhǔn)形

f=y21+6y22-6y23.對(duì)于特征值入1=1,由于故對(duì)應(yīng)于特征值入1=1的特征向

量可取為W1=(2,0,-1)T.類似地，對(duì)應(yīng)于特征值入2=6,入3=-6的特征向量可

分別取為&2=(1,5,2)T,€3=(1,-1,2)T.因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣，且入1,入

2,入3互異，故xl,x2,x3構(gòu)成正交向量組，將其單位化得于是，所求的

正交矩陣為故對(duì)二次型f作正交變換則可將f化為標(biāo)準(zhǔn)形

f=y21+6y22-6y23.涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型

7.設(shè)二次型f=x21+x22+x23+2axlx2+2Bx2x3+2xlx3經(jīng)正交變換x=Py

化成f=y22+2y23,其中x=(xl,x2,x3)T和y=(yl,y2,y3)T都是3維列向量,

P是3階正交矩陣.試求常數(shù)a,B.

正確答案：二次型f(xl,x2,x3)的矩陣為因?yàn)镻為正交矩陣，所以即

A與B相似，故A與B有相同的特征值入1=0,入2=1,入3=2,這些特征值滿

足I入E—A|=0.當(dāng)入1=0,則當(dāng)入2=1,則由式⑴和⑵，可求得a=8=0.注：

本題可用特征值的性質(zhì)和特征方程求得a,B如用IA|=0X1X2=0.IE-AI

=0.

解析：本題主要考查二次型在正交變換下的不變量.令二次型f(xl,x2,x3)

的矩陣為A,由標(biāo)準(zhǔn)形為f=y22+2y23,知A的特征值為0,1,2,代入A的特

征方程，求得a,B.知識(shí)模塊：二次型

設(shè)二次型f(xl,x2,x3)=xTAx=ax21+2x22-2x23+2bxlx3(b>0),其中二

次型的矩陣A的特征值之和為1,特征值之積為-12.

8.求a,b的值；

正確答案：二次型f的矩陣為設(shè)A的特征值為入i=(i=l,2,3).由題設(shè),

有入1+入2+A3=a+2+(-2)=l,解得a=l,b=2.

解析：本題主要考查用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法，特征值與特征向

量的計(jì)算與性質(zhì).首先寫出二次型f的矩陣A,利用特征值與行列式、跡之間的

關(guān)系，求出a,b的值.此時(shí)該題成為一道常規(guī)題了.知識(shí)模塊：二次型

9.利用正交變換將二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交變換和對(duì)應(yīng)的

正交矩陣.

正確答案：由矩陣A的特征多項(xiàng)式得A的特征值X1=X2=2,入3=-3.對(duì)

于人仁入2=2,解齊次線性方程組(2E-A)x=0,得其基礎(chǔ)解系€1=(2,0,1)T,

€2=(0,1,0)T.對(duì)于入3=-3,解齊次線性方程組(-3E-A)x=0,得基礎(chǔ)解系€

3=(1,0,-2)T.由于12,W3已是正交向量組，為得到規(guī)范正交向量組，

只需將W1,22,W3單位化，由此得令矩陣則Q為正交矩陣，在正交變

換x=Qy,有且二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為f=2y21+2y22-3y23.涉及知識(shí)

點(diǎn)：二次型

設(shè)矩陣

10.已知A的一個(gè)特征值為3.試求y；

正確答案：由拉普拉斯展開定理，得把入=3代入，解得y=2.

解析：本題主要考查特征值、特征向量的概念與求法，用正交變換把實(shí)對(duì)稱

矩陣化為對(duì)角矩陣的方法.行列式的計(jì)算.將入=3代入方程IXE-A|=0,求出

y的值，然后求出ATA,利用常規(guī)方法求正交矩陣P,使PT(ATA)P為對(duì)角矩陣.知

識(shí)模塊：二次型

11.求矩陣P,使(AP)T(AP)為對(duì)角矩陣.

正確答案：注意到(AP)T(AP)=PTA2P,其中矩陣A2的特征方程為1

XE-A2I=(1-X)3(9-X)=0,解得A2的特征值為入1=入2=入3=1,入4=9.再分

別求出對(duì)應(yīng)于它們的特征向量：這4個(gè)特征向量已經(jīng)互相正交，再單位化，

得令，則有涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型

已知實(shí)二次型f(xl,x2,x3)=xTAx的矩陣A滿足tr(A)=-6.AB=C,其中

12.用正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交變換；

正確答案：由題設(shè)AB=C,得由此知入1=0,入2=-12是A的特征值，a

1=(1,2,1)T,a2=(1,-1,1)T分別是對(duì)應(yīng)的特征向量.設(shè)A的第3個(gè)特征值

為入3,由入1+入2+入3=tr(A)=-6,得入3=6,再設(shè)A的對(duì)應(yīng)于入3=6的特征向量

為a3=(x1,x2,x3)T,則由入1,入2,入3互異，有解得a3=(-1,0,1)T.將

al,a2,a3單位化得令P=(pl,p2,p3),則x=Py為所求的正交變換，將

f=-12y22+623

解析：本題考查抽象二次型化標(biāo)準(zhǔn)形，由矩陣的運(yùn)算關(guān)系和A的跡求出A

的特征值與特征向量，寫出二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，由此確定二次曲面.再由方陣對(duì)

角化的逆問題求出矩陣A,從而求出原二次型.知識(shí)模塊：二次型

13.指出方程f(xl,x2,x3)=l表示何種曲面；

正確答案：由第一問知，f(xl,x2,x3)=l的標(biāo)準(zhǔn)方程為-12y22+623=l

故f(xl,x2,x3)=l表示雙曲柱面.涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型

14.求出該二次型f(xl,x2,x3).

正確答案：由第一問可得由此推得故原二次型為f(xl,x2,

x3)=xTAx=-x21-4x22-x23+8xlx2-14xlx3+8x2x3.涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型

已知二次型f(xl,x2,x3)=xTAx在正交變換x=Qy下的標(biāo)準(zhǔn)形為y21+y22,

且Q的第3列為

15.求矩陣A；

正確答案：由題設(shè)知A的特征值為1,1,0.且a=(l,0,1)T是屬于A的

特征值0對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量.設(shè)x=(xl,x2,x3)T為A的屬于特征值1的特征

向量，由于A的不同的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量正交，所以有(x,a)=0,即

xl+x3=0,解該方程組的基礎(chǔ)解系W1=(1,0,-1)T,€2=(0,1,0)T,將其單位

化，并將其取為A的屬于特征值1對(duì)應(yīng)的正交單位的特征向量，令從而，

解析：本題考查抽象二次型化標(biāo)準(zhǔn)形的逆問題，由正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形與二

次型對(duì)應(yīng)的矩陣A的特征值的關(guān)系，求A.再由正定矩陣的定義判定A+E的正

定性.知識(shí)模塊：二次型

16.證明A+E為正定矩陣，其中E為3階單位矩陣.

正確答案：由第一問知A的特征值為1,1,0,于是A+E的特征值為2,2,

1,又A+E為實(shí)對(duì)稱矩陣，故A+E為正定矩陣.涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型

已知A是3階實(shí)對(duì)稱矩陣，a1=(1,-1,-1)T,a2=(-2,1,0)T是齊次線

性方程組Ax=O的解，又(A-6E)a=0,a關(guān)0.

17.求a和二次型xTAx的表達(dá)式；

正確答案：由Aal=0=Oal,Aa2=0=0a2,知入1=入2=0是矩陣A的特征

值，al,a2是矩陣A的屬于特征值0的線性無關(guān)的特征向量.由已知Aa=6

a,且aW0,所以入3=6是A的特征值，設(shè)a=(xl,x2,x3)T,由于實(shí)對(duì)稱矩

陣不同的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交，于是解得入3=6的一個(gè)特征向量為a

=(1,2,-1)T.由A(a1,a2,a)=(0,0,6a),得故

f=xTAx=x21+4x22+x23+4x1x2-2x1x3-4x2x3.

解析：本題考查用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的逆問題.知識(shí)模塊：二次

型

18.用正交變換x=Py化二次型xTAx為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交變換；

正確答案：取a1=(1,-1,-1)T,a2=(-2,1,0)T,a=(1,2,-1)T.顯然

al,a2與a正交，而al,a2是線性無關(guān)的(可用施密特標(biāo)準(zhǔn)正交化)，也可

取Wl=al=(l,-1,-1)T,W2=a1+a2=(1,-1,-l)T+(-2,1,O)T=(-1,0,-1)T,

€3=a=(l,2,-1)T.則［1,€2,13兩兩正交，單位化，得令，則P為正

交矩陣，x=Py為正交變換，該變換將二次型xTAx化為標(biāo)準(zhǔn)形為

f=6y23.涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型

19.求(A-3E)6.

正確答案：因?yàn)橛谑巧婕爸R(shí)點(diǎn)：二次型

設(shè)實(shí)二次型f(xl,x2,x3)=xTAx的秩為2,且a1=(1,0,0)T是(A-2E)x=0

的解，a2=