2019版高中全程練習(xí)方略配套資料：空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖

第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖三年25考高考指數(shù):★★★★1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)；2.能畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合)的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出它們的直觀圖；3.了解平行投影與中心投影，了解空間圖形的不同表示形式；4.會(huì)畫(huà)某些建筑物的三視圖與直觀圖(在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等沒(méi)有嚴(yán)格要求).1.三視圖是新課標(biāo)的新增內(nèi)容，是高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，幾乎年年考，主要考查簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，同時(shí)考查空間想象能力和對(duì)空間幾何體的認(rèn)識(shí)；2.柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征及性質(zhì)是本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)；3.對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，常將三視圖、直觀圖同幾何體的表面積和體積綜合在一起考查，難度不大，屬低中檔題.1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征多面體

棱柱

棱柱的側(cè)棱都__________，上下底面是____且____的多邊形.棱錐

棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)_________的三角形.棱臺(tái)

棱臺(tái)可由______________的平面截棱錐得到，其上下底面是____且____的多邊形.平行且相等平行全等公共頂點(diǎn)平行于棱錐底面平行相似旋轉(zhuǎn)體

圓柱

圓柱可由_____繞其任意一邊旋轉(zhuǎn)得到.圓錐圓錐可以由直角三角形繞其______旋轉(zhuǎn)得到.圓臺(tái)

圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點(diǎn)連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由_____于圓錐底面的平面截圓錐得到.球球可以由半圓或圓繞_____旋轉(zhuǎn)得到.矩形直角邊平行直徑【即時(shí)應(yīng)用】(1)思考：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱嗎？提示：不一定.盡管幾何體滿(mǎn)足了兩個(gè)面平行且其他各面都是平行四邊形，但不能保證每相鄰兩個(gè)側(cè)面的公共邊互相平行.(2)對(duì)于下圖所給出的四個(gè)幾何體，判斷下列說(shuō)法是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填寫(xiě)“√”或“×”)①圖A中的幾何體是棱柱()②圖B中的幾何體是棱柱()③圖C中的幾何體是圓臺(tái)()④圖D中的幾何體是棱錐()【解析】由棱柱、棱錐的定義知A是棱柱，D是棱錐,故①④正確.B中幾何體有側(cè)棱不平行故不是棱柱，故②錯(cuò)誤.C中由圓臺(tái)的定義知，圓臺(tái)的母線相等，故③不正確.答案：①√②×③×④√(3)如果圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，那么這個(gè)圓錐的頂角(圓錐軸截面中兩條母線的夾角)的度數(shù)是___________.【解析】設(shè)半圓的半徑(也即圓錐的母線長(zhǎng))為R，圓錐的底面圓半徑為r.則圓錐的底面圓周長(zhǎng)為

·2π·R=πR.則2πr=πR,∴∴圓錐的高與母線的夾角為30°，∴所求角的度數(shù)為60°.答案：60°2.三視圖與直觀圖三視圖

(1)空間幾何體的三視圖是用________得到的.(2)分類(lèi)：三視圖包括_______、_______、_______.(3)畫(huà)法規(guī)則：_______、_______、_______.正投影正視圖側(cè)視圖俯視圖長(zhǎng)對(duì)正高平齊寬相等直觀圖

空間幾何體的直觀圖常用________畫(huà)法規(guī)則來(lái)畫(huà)，其基本步驟是:(1)畫(huà)幾何體的底面在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，畫(huà)直觀圖時(shí)，把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的x′軸、y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，且使∠x(chóng)′O′y′=___________.已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中平行于x′軸，且長(zhǎng)度_____，平行于y軸的線段，在直觀圖中平行于y′軸，且長(zhǎng)度變?yōu)開(kāi)__________.斜二測(cè)135°或45°不變?cè)瓉?lái)的一半直觀圖

(2)畫(huà)幾何體的高在已知圖形中過(guò)O點(diǎn)作z軸垂直于xOy平面，在直觀圖中對(duì)應(yīng)的z′軸，也垂直于x′O′y′平面，已知圖形中平行于z軸的線段，在直觀圖中平行于z′軸且長(zhǎng)度_____.不變【即時(shí)應(yīng)用】(1)思考：空間幾何體的三視圖和直觀圖在觀察角度和投影效果上有什么區(qū)別？提示：從觀察角度看，三視圖是從三個(gè)不同的位置觀察幾何體而畫(huà)出的圖形；直觀圖是從某一點(diǎn)觀察幾何體而畫(huà)出的圖形.從效果看，三視圖是正投影下的平面圖形；直觀圖是在平行投影下畫(huà)出的空間圖形.(2)判斷下列說(shuō)法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填寫(xiě)“√”或“×”)①相等的角，在直觀圖中仍相等()②長(zhǎng)度相等的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度仍相等()③若兩條線段垂直，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的線段也垂直()④若兩條線段平行，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的線段也平行()【解析】由直觀圖的畫(huà)法可知，①②③都不正確，④正確.答案：①×②×③×④√(3)一個(gè)幾何體的正視圖為一個(gè)三角形，則這個(gè)幾何體可能是下列幾何體中的(填入所有可能的幾何體的編號(hào)).①三棱錐；②四棱錐；③三棱柱；④四棱柱；⑤圓錐；⑥圓柱【解析】由正視圖的定義及幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，三棱錐、圓錐、四棱錐、三棱柱的正視圖可能為三角形.四棱柱、圓柱的正視圖一定不是三角形.答案：①②③⑤空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【方法點(diǎn)睛】解決與空間幾何體概念有關(guān)問(wèn)題的基本技巧(1)對(duì)幾何體定義的理解要準(zhǔn)確，要想真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，必須多角度、全面地去分析，多觀察實(shí)物，提高空間想象能力.(2)緊扣概念是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定.(3)通過(guò)反例對(duì)概念進(jìn)行辨析，即要說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，設(shè)法舉出一個(gè)反例即可.【例1】下列結(jié)論中正確的是()(A)各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐(B)以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐(C)棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則該棱錐可能是六棱錐(D)圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任一點(diǎn)的連線都是母線【解題指南】根據(jù)常見(jiàn)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，同時(shí)借助于常見(jiàn)的幾何模型進(jìn)行判斷.【規(guī)范解答】選D.當(dāng)該幾何體由具有相同的底面且頂點(diǎn)在底面兩側(cè)的兩個(gè)三棱錐構(gòu)成時(shí)，盡管各面都是三角形，但它不是三棱錐，故A錯(cuò)誤；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊，所得幾何體都不是圓錐，B錯(cuò)誤；若六棱錐的所有棱都相等，則底面多邊形是正六邊形，由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，則棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng)，故C錯(cuò)誤.【反思·感悟】要明確柱體、錐體、臺(tái)體和球的定義，定義是處理問(wèn)題的關(guān)鍵；認(rèn)識(shí)和把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征是認(rèn)識(shí)空間幾何體的基礎(chǔ)；對(duì)于幾何體的結(jié)構(gòu)特征要從其反映的幾何體的本質(zhì)去把握，有利于從中找到解題的突破點(diǎn).【變式訓(xùn)練】下列命題中，正確的是()(A)有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱(B)側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐(C)側(cè)面都是矩形的四棱柱是長(zhǎng)方體(D)底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱【解析】選D.認(rèn)識(shí)棱柱一般要從側(cè)棱與底面的垂直與否和底面多邊形的形狀兩方面去分析，故A,C都不夠準(zhǔn)確，B中對(duì)等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說(shuō)明，故也不正確.【變式備選】有下列四種說(shuō)法：①圓柱是將矩形旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體；②以直角三角形的一直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所得幾何體是圓錐；③圓臺(tái)的任意兩條母線的延長(zhǎng)線，可能相交也可能不相交；④圓錐的底面是圓面，側(cè)面是個(gè)曲面.其中錯(cuò)誤的有()(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)【解析】選C.圓柱是矩形繞其一條邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)形成的幾何體，故①錯(cuò)；以直角三角形的一條直角邊所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周，才能構(gòu)成圓錐，②錯(cuò)；圓臺(tái)是由圓錐截得，故其任意兩條母線延長(zhǎng)后一定交于一點(diǎn)，③錯(cuò)；④是圓錐的性質(zhì)，故④正確.空間幾何體的三視圖【方法點(diǎn)睛】1.畫(huà)三視圖的步驟(1)確定三個(gè)視圖的形狀；(2)將三個(gè)視圖擺放畫(huà)出，一般地，側(cè)視圖在正視圖的右邊，俯視圖在正視圖的下邊.2.對(duì)于三視圖一般從兩個(gè)方面考查(1)由實(shí)物圖畫(huà)三視圖或判斷選擇三視圖，此時(shí)需要注意“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的原則；(2)由三視圖還原實(shí)物圖，這一題型綜合性較強(qiáng)，解題時(shí)首先對(duì)柱、錐、臺(tái)、球的三視圖要熟悉，再?gòu)?fù)雜的幾何體也是由這些簡(jiǎn)單的幾何體組合而成的；其次，要明確三視圖的形成原理，并能結(jié)合空間想象將三視圖還原為實(shí)物圖.【提醒】畫(huà)三視圖時(shí)，分界線和可見(jiàn)輪廓線都用實(shí)線畫(huà)出，被遮擋住的部分的輪廓線用虛線表示.【例2】(1)(2012·福州模擬)一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)小長(zhǎng)方體，所得幾何體的正視圖與側(cè)視圖分別如圖所示，則該幾何體的俯視圖為()(2)如圖的三個(gè)圖中，上面是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角后所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側(cè)視圖在下面畫(huà)出(單位：cm).在正視圖下面，按照畫(huà)三視圖的要求畫(huà)出該多面體的俯視圖.【解題指南】(1)先由部分三視圖判斷出幾何體的形狀，然后再確定俯視圖；(2)根據(jù)三視圖之間的關(guān)系畫(huà)出俯視圖即可.【規(guī)范解答】(1)選C.由正視圖和側(cè)視圖知，該長(zhǎng)方體上面去掉的小長(zhǎng)方體，從正前方看在觀察者左側(cè)，從左側(cè)看在觀察者右側(cè)，故俯視圖為C.(2)如圖所示：【互動(dòng)探究】把本例(2)中的幾何體上下顛倒后如圖，試畫(huà)出它的三視圖.【解析】三視圖：【反思·感悟】1.正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方和正上方觀察幾何體畫(huà)出的輪廓線.三視圖的擺放規(guī)則是正視圖、側(cè)視圖分別放在左、右兩邊，俯視圖放在正視圖的下邊.2.畫(huà)幾何體的三視圖可以想象自己站在幾何體的正前方、正左方和正上方，觀察它是由哪些基本幾何體組成，它的輪廓線是什么，然后再去畫(huà)圖.【變式訓(xùn)練】已知某一幾何體的正視圖與側(cè)視圖如圖，則在下列圖形中，可以是該幾何體的俯視圖的圖形有()(A)①②③⑤(B)②③④⑤(C)①③④⑤(D)①②③④【解析】選D.底下一層為正四棱柱，上面兩層為圓柱時(shí)為①；底下一層為圓柱、上兩層為正四棱柱時(shí)為②；最上一層為圓柱、下兩層為正四棱柱時(shí)為③；底層為正四棱柱，中間為圓柱、上層為直三棱柱時(shí)為④，故選D.空間幾何體的直觀圖【方法點(diǎn)睛】1.畫(huà)直觀圖的關(guān)鍵點(diǎn)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)幾何體的直觀圖時(shí)，要注意原圖形與直觀圖之間的“三變、三不變”：坐標(biāo)軸的夾角改變，“三變”與y軸平行的線段的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，圖形改變.平行性不改變，“三不變”與x、z軸平行的線段的長(zhǎng)度不改變，相對(duì)位置不改變.2.直觀圖面積的計(jì)算對(duì)于直觀圖，除了了解其畫(huà)圖規(guī)則外，還要了解原圖形的面積S與其直觀圖的面積S′之間的關(guān)系并能進(jìn)行相關(guān)問(wèn)題的計(jì)算.【例】(1)如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出它的直觀圖.(2)已知△ABC的直觀圖△A′B′C′是邊長(zhǎng)為a的正三角形,求原△ABC的面積.【解題指南】(1)先由三視圖確定幾何體的結(jié)構(gòu)，然后畫(huà)出直觀圖.(2)根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將△A′B′C′還原，并利用平面幾何的知識(shí)求出相應(yīng)的線段、角.求解時(shí)要注意線段和角的變化規(guī)律.【規(guī)范解答】(1)該幾何體類(lèi)似棱臺(tái)，先畫(huà)底面矩形，中心軸，然后畫(huà)上底面矩形，連線即成.畫(huà)法：如圖，先畫(huà)軸，依次畫(huà)x′、y′、z′軸，三軸相交于點(diǎn)O′，使∠x(chóng)′O′y′=45°，∠x(chóng)′O′z′=90°.在z′軸上取O′O″=8cm,再畫(huà)x″、y″軸.在坐標(biāo)系x′O′y′中作直觀圖ABCD，使得AD=20cm，AB=8cm；在坐標(biāo)系x″O″y″中作直觀圖A1B1C1D1，使得A1D1=12cm，A1B1=4cm.連接AA1、BB1、CC1、DD1，即得到所求直觀圖.(2)如圖所示，△A′B′C′是邊長(zhǎng)為a的正三角形，作C′D′∥A′B′交y′軸于點(diǎn)D′，則C′、D′到x′軸的距離為，∵∠D′A′B′=45°，∴A′D′=，由斜二測(cè)畫(huà)法的法則知，在△ABC中，AB=A′B′=a，AB邊上的高是A′D′的二倍，即為【互動(dòng)探究】本例(1)在條件不變的情況下加一問(wèn)“判別該幾何體是否為棱臺(tái)”，則如何求解？【解析】在(1)的基礎(chǔ)上，如圖所示，延長(zhǎng)正視圖、側(cè)視圖的兩腰，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)到下底面的距離分別為h、h′.根據(jù)相似比，分別有解得h=20,h′=16.由h≠h′可知，各側(cè)棱延長(zhǎng)不交于一點(diǎn).所以，該幾何體不是棱臺(tái).【反思·感悟】直觀圖的斜二測(cè)畫(huà)法的關(guān)鍵之處在于將圖中的關(guān)鍵點(diǎn)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中的水平方向與垂直方向的坐標(biāo)長(zhǎng)度，然后運(yùn)用“水平長(zhǎng)不變，垂直長(zhǎng)減半”的方法確定出點(diǎn)，最后連線即得直觀圖.注意被遮擋的部分畫(huà)成虛線.【變式備選】如圖所示，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖.若A1D1∥O1y，A1B1∥C1D1，A1B1=C1D1=2，A1D1=O1D1=1.請(qǐng)畫(huà)出原來(lái)的平面幾何圖形的形狀，并求原圖形的面積.【解析】如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上截取OD=O1D1=1；OC=O1C1=2.在過(guò)點(diǎn)D的y軸的平行線上截取DA=2D1A1=2.在過(guò)點(diǎn)A的x軸的平行線上截取AB=A1B1=2.連接BC，即得到了原圖形.由作法可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底長(zhǎng)度分別為AB=2,CD=3，直角腰長(zhǎng)度為AD=2，所以面積為【易錯(cuò)誤區(qū)】解答三視圖問(wèn)題時(shí)的易錯(cuò)點(diǎn)【典例】(2011·新課標(biāo)全國(guó)卷)在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為()【解題指南】先根據(jù)正視圖和俯視圖得到幾何體的形狀，然后再得到該幾何體的側(cè)視圖.【規(guī)范解答】選D.由正視圖和俯視圖可以推測(cè)幾何體為半圓錐和三棱錐的組合體(如圖所示)，且頂點(diǎn)在底面的射影恰是底面半圓的圓心，可知側(cè)視圖為等腰三角形，且輪廓線為實(shí)線，故選D.【閱卷人點(diǎn)撥】通過(guò)高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下誤區(qū)警示和備考建議：誤區(qū)警示在解答本題時(shí)常出現(xiàn)以下錯(cuò)誤：(1)根據(jù)正視圖和俯視圖確定原幾何體的形狀時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤，誤把半圓錐看成半圓柱,不能準(zhǔn)確判斷出幾何體的形狀而誤選A.(2)對(duì)實(shí)線與虛線的畫(huà)法規(guī)則不明確而誤選C.備考建議解決三視圖與幾何體間的轉(zhuǎn)化問(wèn)題時(shí)，還有以下幾點(diǎn)在備考時(shí)要高度關(guān)注：(1)畫(huà)三視圖時(shí)，對(duì)個(gè)別的視圖表達(dá)不準(zhǔn)確，不能正確地畫(huà)出所要求的視圖；(2)對(duì)三視圖中實(shí)虛線的含義不明確或畫(huà)三視圖時(shí)不能用虛線表示看不到的輪廓線.在復(fù)習(xí)時(shí)要明確三個(gè)視圖各自的含義，還原空間幾何體實(shí)際形狀時(shí)一般是以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考查.1.(2011·廣東高考)正五棱柱中，不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點(diǎn)的連線稱(chēng)為它的對(duì)角線，那么一個(gè)正五棱柱對(duì)角線的條數(shù)共有()(A)20(B)15(C)12(D)