遼寧省丹東市2023-2024學(xué)年高二年級上冊期末數(shù)學(xué)試題（含答案）

按秘密級事項管理

丹東市2023?2024學(xué)年度上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測

高二數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上

無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的。

1.經(jīng)過點卜夜,2)且傾斜角為90°的直線方程為

A.y=—A/2B.y=2,C.x=—V2D.x=2

2.拋物線丁=2必的焦點坐標(biāo)為

3.圓(x+lF+(y—1)2=4與圓爐+3；2—4%—6丁—3=0的位置關(guān)系是

A.外切B.相交C.內(nèi)含D.外離

4.用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字排成無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，這樣的兩位數(shù)共有

A.反個B.44個C.&個D.川川個

22

5.已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)],歹2是橢圓C。+9~=1(6Z>Z?>0)的焦點，過右焦點尸2且垂直于X軸的

ab

直線交。于A,8兩點，若NAO5=90。，則。的離心率為

A/5-1A/3-1用10-1

A.---------B.---------C.---------D.---------

2222

6.在正三棱柱ABC—A與G中，AB=6BB\,則直線A片與4G所成角為

A.30°B.45°C.90°D.135°

7.將甲、乙、丙、丁4個人全部分配到A,B,C三個地區(qū)工作，其中甲不能去A地區(qū)，且每個地區(qū)至少有1

人，則不同的分配方案為

A.36種B.24種C.18種D.16種

1

8.如圖所示，已知二面角a的棱上有A,3兩點，ACua,ACLI,BDu(3,BD±l,若

AB=AC=2,BD=4,CD=472,則直線CD與平面夕所成角的正弦值為

A23

Bc.一

4-T4

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

6

9.已知二項式[必+_1|的展開式中，則

<x

A.含f項的系數(shù)為6B.第5項為常數(shù)項

C.各項系數(shù)和為64D.第3項的二項式系數(shù)最大

10.已知拋物線C：丁=4x的焦點為凡是直線PF與C的兩個交點，且FP=3EA,

則

A.直線PF的斜率為GB.%=26c-M=|D?網(wǎng)空

,2,2

X

11.設(shè)。為坐標(biāo)原點，K,工是橢圓C：金+4-=1的左右焦點，過心的直線交C于P,Q兩點,

16

3

cosN與尸乙=[,則

A.APQ耳的周長為16B.C的焦距為2gC.△耳尸用的面積為gD.\OP\=y/15

12.已知平行六面體ABC?！?，底面ABCD是正方形，ZA.AB=ZA.AD=120°fAB=1,

AA]=2,ACX-xAB+yAD+zA\,則

A.x+y+z=3B.BDAQ=0

c.CG與平面ABCD所成角為60°D.\AC\=41

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.計算：星—C；o=

2

14.已知點A（l,3）關(guān)于直線/：丁=尤一3的對稱點為8,則8的坐標(biāo)為.

15.已知直線/：》-6》一3=0與圓。：（x—lJ+V=4交C于A,8兩點，點P是圓C上的動點，若使

△B4B的面積是△CAB的面積的3倍，則點P的坐標(biāo)為.

22

16.已知耳（—c,0）,&（c,0）是雙曲線C：1-*=1（a>0,b>0）的焦點，圓0：必+/=02與c

的一條漸近線交于點P（P在第一象限），若歸閭=2a,則C的離心率6=.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.（10分）

已知圓C經(jīng)過點A（l,4）,3（3,2）,且圓心C在x軸上.

（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求過8且與圓C相切的直線方程.

18.（12分）

22

己知橢圓C：1,直線/不經(jīng)過原點。也不平行于坐標(biāo)軸，/與C有兩個交點A,B,線段AB

9-mm-1

的中點為AL

（1）求，”的取值范圍：

（2）當(dāng)機=3時，求證：直線的斜率與直線/的斜率乘積為定值.

19.（12分）

如圖，在三棱錐中，平面力C_L平面ABC,AB±BC,AB=BC=6,△B4C是等邊三角形，。為

AC的中點，M為BC的中點.

BT

（1）求證：PO_L平面ABC；

（2）求直線PC與平面B4M所成角的正弦值.

20.（12分）

已知點A在直線/：x=-4上，動點尸的縱坐標(biāo)與A的縱坐標(biāo)相同，且QAJ_OP

（1）求點P的軌跡方程E；

3

(2)過點Q(3,l)的直線與E交于兩點M,N,OM±ON,求|MV|的值.

21.(12分)

如圖，在直三棱柱ABC—A51cl中，ZBAC=9Q°,AB=AC=2,M是AB的中點，N是4cl的中點，P

是3G與四。的交點.

(1)在線段AN上是否存在點°,使得PQ〃平面ACM,并說明理由;

/QQ

(2)若二面角A—CM—B的正弦值為求線段441的長.

6

22.（12分）

22

已知雙曲線C：—-~(a>0,Z?>0)的禺心率為右焦點為

(1)求C的方程;

(2)記C的左右頂點分別為A1，A，過(4,0)的直線與C交于M,N兩點，M在第一象限，直線兇42與兒&

交于點尸，證明：點尸在定直線上.

丹東市2023?2024學(xué)年度上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測

高二數(shù)學(xué)

一、選擇題

1.C2.D3.B4.D5.A6.C7.B8.D

二、選擇題

9.ABC10.BCD11.ACD12.ABD

三、填空題

13.7514.(6,-2)15.(0,百)16.2

四、解答題

4

17.解：

/、22f(a-l)2+42=r2fa=-1

(1)設(shè)所求圓C的方程為(x—a)+y2=「(r>o),依題意得'\，作差得<二，所

(a-3)2+22=r2[r=2行

以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(%+1)?+/=2。.

2-01

(2)設(shè)過8且與圓C相切的直線的斜率為左，直線BC的斜率為匕=—==—，因為h%=-l,所以

13-(-1)21

k=-=-2,則所求的切線方程為丁一2=—2(%—3),即丁=一2%+8.

攵]

18.解:

9-m>0

X2y2

(1)因為方程——+J=1是橢圓，則滿足4m-1>0,解得且加w5,所以機的取值

9—mm—1

9—mwm—1

范圍為(1,5),(5,9).

22

(2)當(dāng)根=3時.橢圓方程為土+乙=1,設(shè)/與。交于5(%2，、2)，中點M(/，%)

62

所以有石+%2=2X(),%+%=2為，將A,B,化入橢圓中得22，兩式作差得

，一，2yx+即&=—工，因為直線0M的斜率匕=巫

(X1~X2)\X1+X2)3玉一々玉)3

直線/的斜率左=入二三，所以上尢=-工，直線的斜率與直線/的斜率乘積為定值-1.

x,-x233

19.解:

(1)證明：因為平面B4C_L平面ABC,且平面PAC平面ABC=AC,POu平面RIC,AR4c是等邊三

角形，。為AC的中點，所以尸O,AC,所以P。，平面ABC.

(2)因為A8_LBC,AB=BC=近,連接。8,所以08_LAC,

以。為坐標(biāo)原點，0B的方向為x軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,

5

2

(0,0,6),3(1,0,0)，M,0,"=(0,1,6)

由題設(shè)得A（0,—l,0），C（0,l,0）,PPI

AM=

n-AP=0

設(shè)平面APM的法向量為”=（x,y,z）,貝卜

n-AM=0

y+6z=0

即—1。,可取”=(36,—6,1b

122'

|n-PC|,所以sin?=迤

設(shè)直線PC與平面用〃所成角為凡sin。=|cos<n,PC>|=

KM31

J93

所以直線PC與平面所成角的正弦值為匚

31

20.解法一:

(1)設(shè)點P(x,y),則A(—4,y),OP=(x,y),OA=(-A,y),由O4-OP=0,可得—4x+/=o,即

y2=4x,點P的軌跡方程E為y2*4=4x.

(,,2、22

%

(2)設(shè)M孑-,%,N—,y2,由OM_LON,知=0，由乂%彳0，可得％%=T6.

4

7I47

2---------------2

直線MN:/一^-(y-y\,即x—&十久（y_yj,（3,1）點代入可得%+%=_4.

4乂-小74

2%+%『-4乂%=4可.

于是|肱V|=《1+m-y2\=2.

解法二：

（i）同解法i.

6

(2)可知MN不垂直于y軸，可設(shè)MN：x=m(y-l)+3,x=?代入可得三?一加y+機一3=0,因為

2

A=m-m+3>0,設(shè)"(％,%),A^(x2,y2),設(shè)弘+%=4加，yxy2=4(m-3).

由OMLON,可得玉%2+X%=。，即33"+%%=。，可得弘％w0,可得X%=-16,即4(m一3)=-16,

m=—1.

于是|2W|=Jl+m2J%—%|=2,(%+%y―句%=4AM.

21.解：

(1)存在點。，當(dāng)AQ=2QN時，尸?！鍭CM.

證明：取4及的中點。，連接G。，BD,DM,

設(shè)ANCQ=Q,所以AQ=2QN

因為DM〃CG，且。A/=CG，所以CQ〃CN

又因為且G。BD=D,

CM?,=M,所以平面GD5〃平面ACM，

PQu平面COB,所以PQ〃平面ACM.

(2)解法一：

因為二面角A—CM—5與二面角A—CM—A互補，所以求二面角A—CM—A的平面角，過A作AE,

CM,垂足為E,連接AE,根據(jù)三垂線定理AELCM,所以N^EA是二面角A—CM—A的平面角，因

為NBAC=90°,AC=2,AM^l,CM=卮所以AE=平.設(shè)AA]=m,=卜+*,因

7

為----二,所以加=2,即必=2.

6t3

解法二:

以A為坐標(biāo)原點，AC的方向為x軸的正方向建立如圖所求的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

設(shè)a,由題設(shè)得4(0,0,a),C(2,0,0),3(0,2,0),M(0,1,0),=(—2,0,a),CM=(-2,1,0),

G4j.4=0

PC=(0,1,-73),設(shè)平面ACM的法向量/=(x,y,z),且<

CM?〃1=()

_Iy—0

所以《,可取勺=(a,2a,2),平面CBM的一個法向量巧=(0,0,。,

—2x+az=0

4

所以COS<%,"2>=則sin<%，%>=，解得a=2,故4^=2.

J5/+4'^/57746f

22.解法一:

(1)依題意得c=6，,所以a=2,b=l,所以C的方程為三—y2=i.

a24

(2)設(shè)77(%2，%)，直線跖與：y=,直線y=〃(x+2).

y,m^x2),得(1一4m2)%2+]6?〃2龍一—4=0.

由＜

22

x-4y-4=01)

,-16m2-4,口8m2+24m

由2%二-------z—，得％"——z——，故y二一n——

l-4m214m2-114m2-1

二n(x+2),得(「4眉/_]6"2%-16"2-4=0.

由＜y

X2-4/-4=017

8

/F=t8〃2+2,,4〃

由付九2=7，故%=O?

一1—4”24n2-l2W-1

由題設(shè)知」

%，故(4/n〃—l)(3〃+zn)=0,由題意知根〃<0,故根=—3〃.

石一44—4

點P(x,y),滿足丁=加(x—2)且丁=〃(％+2),所以％=1,點尸在定直線尤=1上.

解法二：

(1)同解法1.

(2)可知MN不垂直于y軸，可設(shè)MN：x=my+4(mw±2),代入工_一丁2=1可得

3

[m一4）9+8my+12=0,因為A=16/+192>。,設(shè),A^（x2,y2）,則力%％=-萬（必+%）-

由MA,：y=（x-2）,NA[：y=^^（x+2）,可得

石-2x?+2

3_

X-2=%（玉-2）=町％+2%=-5（M+%）+2%=%—3%=_1

x+2乂（々+2）my}y2+6yx_。（/+乂）+6乂-3%+9弘3

從而x=l,故點P在定直線x=l上.

解法三：

（1）同解法1.

(2)可知MN不垂直于y軸，可設(shè)MN：x=my+4(機w±2),代入1-y2=l可得

m2-4）y2+8my+12=0,因為A=167,+192>0,設(shè)/（%,%）,N（x”y。,則%+為=——

/m—4

12

2廣

由MA,：y=——（%—2）,NA、：y————（%+2）,可得

%]—2x?+2

%-2_-2）_￡（西_2）_4（、之）_（西_2）（々-2）

x+2%