阻尼和固有頻率的測量

關(guān)于阻尼和固有頻率的測量8.1阻尼系數(shù)的測量8.1.1自由振動衰減法圖1單自由度系統(tǒng)模型圖1所示的一個(gè)單自由度質(zhì)量---彈簧----阻尼系統(tǒng)，其質(zhì)量為m(kg)，彈簧剛度系數(shù)為k(N/m)，粘性阻尼系數(shù)為r(N.m/s)。當(dāng)質(zhì)量上承受初始條件t=0時(shí)，位移，速度激勵(lì)時(shí)，將做自由衰減振動。在弱阻尼條件下其位移響應(yīng)為衰減系數(shù)（1）第2頁,共25頁，2024年2月25日，星期天響應(yīng)曲線如圖2所示。結(jié)論：

為衰減振動的周期，為衰減振動的頻率，為衰減振動的圓頻率。第3頁,共25頁，2024年2月25日，星期天圖2弱阻尼衰減振動的響應(yīng)曲線第4頁,共25頁，2024年2月25日，星期天

從圖2衰減振動的響應(yīng)曲線上可直接測量出，然后根據(jù)可計(jì)算出n；計(jì)算出p；可計(jì)算出計(jì)算出r；計(jì)算出無阻尼時(shí)系統(tǒng)的固有頻率；計(jì)算出無阻尼時(shí)系統(tǒng)的固有周期對于衰減系數(shù)n，可以用三種方法來計(jì)算：1、由相鄰的正逢（或相鄰的負(fù)峰）幅值比計(jì)算第5頁,共25頁，2024年2月25日，星期天2、由相鄰的峰---峰幅值比計(jì)算3、小阻尼情況適用公式第6頁,共25頁，2024年2月25日，星期天8.1.2半功率點(diǎn)法圖3所示為一個(gè)單自由度質(zhì)量---彈簧----阻尼系統(tǒng)強(qiáng)迫振動模型。其質(zhì)量為m(kg)，彈簧剛度系數(shù)為k(N/m)，粘性阻尼系數(shù)為r(N.m/s)。質(zhì)量m上承受簡諧激振力作用。其強(qiáng)迫振動的位移響應(yīng)為圖3單自由度系統(tǒng)模型第7頁,共25頁，2024年2月25日，星期天引入符號則有第8頁,共25頁，2024年2月25日，星期天上式中，相當(dāng)于激振力的最大幅值靜止地作用在彈簧上所引起的彈簧靜變形；稱為頻率比；稱為放大因子，以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，對于不同的值所得到的一組曲線，稱為幅頻響應(yīng)曲線，如圖4所示（圖中只給出了一種值）；為位移響應(yīng)滯后力的相位角，以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，對于不同的值所得到的一組曲線，稱為相頻響應(yīng)曲線，如圖5所示。圖4強(qiáng)迫振動幅頻響應(yīng)曲線圖5強(qiáng)迫振動相頻響應(yīng)曲線第9頁,共25頁，2024年2月25日，星期天

在幅頻響應(yīng)曲線中，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，其最大值。在圖中作一條水平線，其縱坐標(biāo)為，與曲線交于兩點(diǎn)，該兩點(diǎn)稱為半功率點(diǎn)，兩點(diǎn)之間的距離為圖4強(qiáng)迫振動幅頻響應(yīng)曲線第10頁,共25頁，2024年2月25日，星期天8.1.3共振法強(qiáng)迫振動的位移響應(yīng)為速度響應(yīng)為速度幅值為取得極值的條件為，即當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生速度共振，。此時(shí)相位差，即速度響應(yīng)與激振力之間的相位差為0；阻尼力，即激振力所作的功全部被阻尼所消耗。故有系統(tǒng)發(fā)生速度共振時(shí)，第11頁,共25頁，2024年2月25日，星期天因此，只要測量系統(tǒng)發(fā)生速度共振時(shí)的速度幅值和激振力幅值，即可計(jì)算出阻尼系數(shù)，并根據(jù)算出衰減系數(shù)，算出相對阻尼系數(shù)。

也可利用示波器力與速度的圖像來測量阻尼系數(shù)。如圖6所示，將力信號接入示波器的x軸，速度信號接入示波器的y軸，兩通道的放大倍數(shù)調(diào)成一致，因二者之間的相位差為0，故形成圖示的直線，該直線的斜率即為阻尼系數(shù)，即圖6共振法測阻尼的圖像若x軸接入的是位移信號，則形成的圖像為正橢圓，橢圓與x、y軸的交點(diǎn)即為和。據(jù)此也可測出阻尼系數(shù)第12頁,共25頁，2024年2月25日，星期天8.2固有頻率的測量8.2.1自由振動衰減法系統(tǒng)的固有頻率是指系統(tǒng)無阻尼時(shí)自由振動的頻率，即。對圖1所示的單自由度質(zhì)量---彈簧----阻尼系統(tǒng)，當(dāng)受初始擾動后，其自由振動的衰減曲線如圖2所示。在曲線上可直接測量并計(jì)算出衰減的周期，衰減系數(shù)、相對阻尼系數(shù)，因而有圖1單自由度系統(tǒng)模型圖2弱阻尼衰減振動的響應(yīng)曲線第13頁,共25頁，2024年2月25日，星期天8.2.1速度共振的相位判別法圖3單自由度系統(tǒng)模型

圖3所示為一個(gè)單自由度質(zhì)量---彈簧----阻尼系統(tǒng)強(qiáng)迫振動模型。位移響應(yīng)為幅值B取得極值的條件為，即在該點(diǎn)發(fā)生共振。共振幅值位移信號與激振力信號之間的相位差第14頁,共25頁，2024年2月25日，星期天速度響應(yīng)為幅值取得極值的條件為，即在該點(diǎn)發(fā)生共振。共振幅值速度信號與激振力信號之間的相位差加速度響應(yīng)幅值取得極值的條件為，即在該點(diǎn)發(fā)生共振。共振幅值加速度信號與激振力信號之間的相位差第15頁,共25頁，2024年2月25日，星期天圖7速度響應(yīng)判別速度共振圖8位移響應(yīng)判別速度共振圖9加速度響應(yīng)判別速度共振速度共振的相位判別法的依據(jù)即為系統(tǒng)發(fā)生速度共振時(shí)，激振力和速度響應(yīng)之間的相位差為0。實(shí)驗(yàn)時(shí)，將激振力信號接入示波器的ｘ軸，速度響應(yīng)信號接入示波器的ｙ軸，改變激振信號的頻率，根據(jù)李沙育原理，屏幕上將出現(xiàn)如圖７的圖像。即當(dāng)圖像變成斜直線時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生速度共振，此時(shí)，，即激振力的頻率就是系統(tǒng)的固有頻率。若示波器ｙ軸上分別接入的是位移信號和加速度信號，則屏幕上出現(xiàn)圖８，９的圖像。

第16頁,共25頁，2024年2月25日，星期天8.2.３穩(wěn)態(tài)激振法圖3單自由度系統(tǒng)模型

圖3所示為一個(gè)單自由度質(zhì)量---彈簧----阻尼系統(tǒng)強(qiáng)迫振動模型。位移響應(yīng)為位移幅值系統(tǒng)確定后p,n,m是確定的。只要保證激振力幅值是常量，的大小唯一取決于激振力頻率。穩(wěn)態(tài)激振法是每給定一個(gè)激振頻率，測量一次位移響應(yīng)幅值，從而得到一組隨變化的數(shù)據(jù)。以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，可描在曲線上，振幅最大的點(diǎn)對應(yīng)的激振頻率稱為共振頻率，測試系統(tǒng)發(fā)生了位移共振。第17頁,共25頁，2024年2月25日，星期天圖10強(qiáng)迫振動時(shí)幅頻響應(yīng)曲線式中，相對阻尼系數(shù)可以通過半功率點(diǎn)法測得，在的情況下也可忽略，此時(shí)系統(tǒng)的共振頻率等于固有頻率。若測量的是系統(tǒng)速度響應(yīng)幅值與激振頻率之間的關(guān)系曲線，則系統(tǒng)的共振頻率就是固有頻率，即若測量的是系統(tǒng)加速度幅值與激振頻率之間的關(guān)系曲線，則系統(tǒng)的共振頻率與固有頻率的關(guān)系為第18頁,共25頁，2024年2月25日，星期天8.3傳遞函數(shù)與頻響函數(shù)圖11單自由度粘性阻尼系統(tǒng)由振動理論可知，圖11所示單自由度粘性阻尼系統(tǒng)，阻尼力，系統(tǒng)運(yùn)動的微分方程為：對上式兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，并假設(shè)初始速度、位移值為0，有式中s為拉氏變換因子，為復(fù)變量，也稱復(fù)頻率，其實(shí)部和虛部常用和表示，即；為的拉氏變換，為的拉氏變換。按照機(jī)械系統(tǒng)傳遞函數(shù)的定義，有該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第19頁,共25頁，2024年2月25日，星期天對于自由振動，，則有。在小阻尼的情況下，求得的一對共軛復(fù)根為

和稱為該系統(tǒng)的復(fù)頻率，其實(shí)部即為系統(tǒng)的衰減系數(shù)，虛部為系統(tǒng)的有阻尼固有頻率。對系統(tǒng)運(yùn)動的微分方程兩邊進(jìn)行傅立葉變換，即，即有系統(tǒng)的頻響函數(shù)式中，為的傅立葉變換，為的傅立葉變換。頻響函數(shù)是頻率的函數(shù)，為復(fù)數(shù)，即有幅值與相位，又有實(shí)部與虛部，常用以下曲線來描述其特性。第20頁,共25頁，2024年2月25日，星期天8.3.1Bode圖頻響函數(shù)的幅頻圖和相頻圖稱為Bode圖。對粘性阻尼，其模與相位角為式中，為頻率比，為相對阻尼系數(shù)，圖形如圖12第21頁,共25頁，2024年2月25日，星期天圖12頻響函數(shù)的幅頻與相頻圖在相頻圖上，當(dāng)時(shí)，，而且與阻尼大小無關(guān)，系統(tǒng)處于相位共振狀態(tài)，可以方便的識別出系統(tǒng)的固有頻率；在幅頻圖上，當(dāng)時(shí)，達(dá)到極大值，且，故可以識別出阻尼系數(shù)。第22頁,共25頁，2024年2月25日，星期天8.3.2實(shí)頻圖與虛頻圖頻響函數(shù)的實(shí)部和虛部分別為其圖形如圖13所示。在實(shí)部圖上，利用半功率點(diǎn)法可以識別出系統(tǒng)的相對阻尼系數(shù)，時(shí)虛部達(dá)到極大值，實(shí)部為0，系統(tǒng)處于共振狀態(tài)，可識別出系統(tǒng)的固有頻率。圖13頻響函數(shù)的實(shí)部與虛部圖第23頁,共25頁，2024年2月25日，星期天8.3.2Ny