2024年新高考數(shù)學(xué)名校重難點練習(xí)：第2練 復(fù)數(shù)-2023年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)小題必刷(解析版)

第02練復(fù)數(shù)

刷基礎(chǔ)

愉題方向1復(fù)數(shù)的運算

例1.(1)若復(fù)數(shù)Z滿足則z=(

4+3i

A.—3+3i-3-3iC.3+3i

【答案】A

【解析】

得z=i(4+3i)—i=—3+3i

故選A

(2)若復(fù)數(shù)Z滿足z(l+i)=2i,其中i為虛數(shù)單位，則2=()

A.1—iB.1+iC.-1+iD.—1—i

【答案】B

【解析】復(fù)數(shù)Z滿足z(l+i)=2i,

故本題選B.

命題方向2復(fù)數(shù)的概念

例2(1)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(l+i)z=/s9,則復(fù)數(shù)1的虛部為()

111.

A.B.—C.-ID.

222

【答案】B

【解析】???產(chǎn)=1,.；2。19=(j4)504.9=-i.

.,=T_TOTJ].

,,_l+z_(l-/)(l+z)-22；-

z----1—i,其虛部為一.

222

故選B.

(2)復(fù)數(shù)2=二(其中，是虛數(shù)單位)，則z的共輾復(fù)數(shù)5=()

13.

—+—i

22

【答案】C

故選C.

(3)若a,b均為實數(shù)，且空色=2+i3,則出?=()

1-1

A.-2C.一3

【答案】c

【解析】因為竽"=2+/=2—i,

所以a+初=(l_/)(2_i)=l_3i,

因此a=1,Z?=-3,則次?=一3.

故選C.

(4)若復(fù)數(shù)2=黃/(。€/?)為純虛數(shù)，則|1+4=()

A.V5B.5C.V2D.2

【答案】A

【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算，化簡可得

a+22_(a+2i)(l+i)(a+2i)(l+i)a—22+a.

z=i-i-(i-z)(i+/)一(i-z)(i+/)=~T~+F'

n—2

因為復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，所以——=0,解得a=2所以z=2i

2

則|l+z|=|l+2i|=V^

故選:A.

命題方向3復(fù)數(shù)的幾何意義

例3(1)已知i是虛數(shù)單位，若2+i=z(l—i),則z的共輾復(fù)數(shù)彳對應(yīng)的點在復(fù)平面的()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

2+z（l+/）（2+z）13.

【解析】由2+i=z（1-/）,得z=「=}含《=彳+/,

1-z（1一叭1+，）22

.__13.

??z-----1,

22

13

則Z的共輾復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（一,一-）,在復(fù)平面的第四象限.

22

故選D

⑵在如圖所示的復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z，%內(nèi)對應(yīng)的向量分別是以，OB，OC，則復(fù)數(shù)谷；對

應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

Z,l-2i11.

【解析】由題圖知4=3+21,z=-2+2i,Z3=1-2I,則~『="^1=一￡一右］，

2ZZj+3z?luz31U

所以其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為［-（，-2）,在第三象限.

故選C.

（3）在復(fù)平面內(nèi)，。為原點，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為—l+2i,若點A關(guān)于直線丁=一》的對稱點為點5,

則向量OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）

A.-2+iB.-2—i

C.1+2zD.—1+2z

【答案】A

【解析】復(fù)數(shù)—l+2i對應(yīng)的點為4-1,2）,

點A關(guān)于直線＞=-%的對稱點為5（-2,1）,

所以向量OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為—2+九

故選A.

『解題思路』

1.復(fù)數(shù)的乘法:復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看

作另一類同類項，分別合并即可;復(fù)數(shù)的除法:除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共枕復(fù)數(shù)，解題中要注意

把i的暴寫成最簡形式.

2.復(fù)數(shù)的幾何意義，向量運算遵循平行四邊形法則、三角形法則、以及坐標(biāo)的運算法則.

h刷能力一U

1.若復(fù)數(shù)Z滿足(l+2i)z=3-4i,則Z的實部為

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】B

【解析】由(l+2i)z=3—4』?得

2

__3—4i_(3-4z)(l-2z)_3-10/+8z_-5-10/__,_?.

l+2z-(l+2z)(l-2z)--l-4z2---5-一—一''

所以復(fù)數(shù)z的實部為一1，

故選區(qū)

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(2-i)=l+i(,?為虛數(shù)單位)，則z的共輒復(fù)數(shù)的虛部為

333.3.

A.-B.--C.-1D.——i

5555

【答案】B

【解析】因為z(2-z)=l+i,

1+z(1+0(2+i)l+3z13.

?.Z————+I9

2-z(2-Z)(2+Z)555

133

所以復(fù)數(shù)Z的共筑復(fù)數(shù)為——i,所以復(fù)數(shù)Z的共跳復(fù)數(shù)的虛部為?「?

555

故選B.

已知復(fù)數(shù)(2+'"〃是純虛數(shù),其中。

3.z=是實數(shù)，則z等于()

A.2iB.-2zC.iD.-i

【答案】A

(2+az);-a+2i(-a+2z)(l-z)2-aa+2.

【解析】Z----=---=-------=---1---I

1-z1+z(1+z)(l-z)22

2—ci

因為Z為純虛數(shù)，所以——=0,得。=2

2

所以z=2i.

故選A項

4.若復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=|l+J5i|,則在復(fù)平面內(nèi)z的共樞復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

22(1-i)

【解析】由題得z==l-z所以z=1+i，

17r(l+z)(l-z)

所以在復(fù)平面內(nèi)z的共軌復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為(1,1),在第一象限.

故選：A.

5.已知復(fù)數(shù)z滿足(l+2i)z=-3+4i,則|z|=()

A.72B.5

C.V5D.更

2

【答案】C

【解析】V(l+2i)z=-3+4i,

，|l+2iHz|=|—3+4i|,

則比"之二

故選：C.

6.已知復(fù)數(shù)z滿足|z『-2忖-3=0的復(fù)數(shù)Z的對應(yīng)點的軌跡是()

A.1個圓B.線段C.2個點D.2個圓

【答案】A

【解析】因為|2|2-2回一3=0,所以忖=3,忖=3(負(fù)舍)

因此復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點的軌跡是以原點為圓心以3為半徑的圓，選A.

7.已知（l+ai）（2-i）=x+yi（a、x、yeR,i是虛數(shù)單位），則（）

A.x-2y=0B.2x+y-3=0

C.2x-y-5=0D.2x+y+2=0

【答案】C

x-a+2

【解析】（l+az'）（2—i）=（a+2）+（2。-l）i=x+yi,,

消去參數(shù)〃得y=2（x—2）—l=2x—5,即2x-y-5=0.

故選：C.

8.設(shè)Z1,z2eC,則“Z|、Z2中至少有一個數(shù)是虛數(shù)”是“Z1—Z2是虛數(shù)”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

【答案】B

【解析】若4、Z2皆是實數(shù)，則4—Z2一定不是虛數(shù)，因此當(dāng)Z|一Z2是虛數(shù)時，則“Z「Z2中至少有一個

數(shù)是虛數(shù)”成立，即必要性成立；

當(dāng)Z|、Z2中至少有一個數(shù)是虛數(shù)，Z1-Z2不一定是虛數(shù)，如Z]=Z2=i,即充分性不成立，故選B.

9.已知i是虛數(shù)單位，Z是復(fù)數(shù)，則下列敘述正確的是（）

A.zi是純虛數(shù)B.z2n^0（/?eZ）

C.對于任意的zeC,|z|=，|D.滿足!=-z的z僅有一個

【答案】C

【解析】當(dāng)z=0時，Z-Z=0GR,所以選項A錯誤；

當(dāng)z=i,〃=1時，z2/,=/2=-1<0，所以選項B錯誤；

設(shè)z=x+y《x,y€R）,則]=x—yi,則同=&+/=同,所以選項C正確；

由，=—z得z2=—i，解得z=±i,故選項D錯誤.

z

故選：C.

10.設(shè)有下面四個命題

片：若Z滿足ZGC,則Z.文￡R;

P2:若虛數(shù)a+hi（awR,bwR）是方程V+/+%+1=。的根，則。一次也是方程的根：

6:已知復(fù)數(shù)Z1,Z2則Z,=Z的充要條件是Z,Z2eR：

乙;若復(fù)數(shù)4>Z2,則4，Z2€R.其中真命題的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】對于回：中若zeC,設(shè)z=a+4（a,/?eR）,則z?彳=〃+〃eR，所以是正確的；

對于P2：中，若虛數(shù)。+萬3，0eR）是方程的根，則。一方也一定是方程的一個根，所以是正確的；

對于。3：中，例如z=i則==7,此時zi=l，所以不正確；

對于PJ中，若Z|>Z2,則4*2必為實數(shù)，所以是正確的，

綜上正確命題的個數(shù)為三個，故選C.

11.已知復(fù)數(shù)z=-3+2i（i為虛數(shù)單位）是關(guān)于x的方程2/+/+4=0（p,〃為實數(shù)）的一個根，則〃+4

的值為（）

A.22B.36C.38D.42

【答案】C

【解析】將復(fù)數(shù)z=-3+2i代入方程2f+px+q=0,

所以2（-3+2i）12+p（—3+2i）+q=0,即10—3〃+q+（2〃-24）/=0,

10-3〃+q=0,P=12,

所以《解得：\

2p-24=0,q-26.

所以，+4=38.

故選：C

刷真題-.

1.（2018?全國高考真題（文））^z=—+2i,則|z|=

1+1

1L

A.0B?一C.1D.yb

2

【答案】c

【解析】z土+2i(IT)")

+2i

(j)(l+i)

=—i+2i=i,

則忖=1,故選c.

2.(2017?全國高考真題(文))復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=i(-2+i)的點位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】

z=i(-2+i)=-l-2i,則表示復(fù)數(shù)z=i(-2+i)的點位于第三象限.所以選C.

3.(2018?北京高考真題(理))在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)一匚的共軀復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于

1-z

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

1+；11.11

【解析】匚7=5+5,的共忱復(fù)數(shù)為一—-i

(1-0(1+/)2222

對應(yīng)點為(；,一；)，在第四象限，故選D.

4.(2019?全國高考真題(理))設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=l,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x,y),則

A.(x+1)2+y2=lB.(x-l)2+y2=1C.x2+(y-l)2=1D.x2+(y+l)2=1

【答案】C

【解析】z=x+yi,z-i=x+(y-1?,|z-i|=Jx2+(y-i)2=1,則f+(y_爐=i.故選c.

5.(202()?海南省高考真題)()

1+21

A.1B.-1

C.iD.-i

【答案】D

【解析】

1+2/(14-2Z)(1-2Z)5

故選：D

6.（2020?北京高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是（1,2）,貝心々=（）.

A.l+2zB.—2+iC.1—2zD.—2—i

【答案】B

【解析】由題意得z=l+2i,.■.iz=i—2.

故選：B.

7.（2020?浙江省高考真題）已知aGR,若a-l+（a-2）i（i為虛數(shù)單位）是實數(shù)，則a=（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】C

【解析】因為3-1）+3-2"為實數(shù)，所以。一2=0,，。=2,

故選：C

2

8.（2018?浙江省高考真題）若復(fù)數(shù)z=—其中i為虛數(shù)單位，則2=

1-1

A.1+iB?1-iC.-1+iD.-1-i

【答案】B

22(1+i),.,.

【解析】z=「-,.、八-1+1,2-11,選B-

1-i（l-i）（l+i）,

9.（2020?全國高考真題（文））若工（1+，）=1一，則z=（）

A.1-iB.1+iC.-iD.i

【答案】D

上=上匕=一所以

【解析】因為』=0z=i.

1+z(l+i)(l-02

故選：D

10.（2020?全國高考真題（理））復(fù)數(shù)一二的虛部是（）

1-31

31八13

A.——B.——C.—D.—

10101010

【答案】D

1l+3z13.

【解析】因為z=

'l-3z-(1-3z)(l+3z)-1010,

13

所以復(fù)數(shù)2=——的虛部為士.

1-3/10

故選：D.

11.(2020?全國高考真題(文))(1-i)4=()

A.-4B.4

C.-4iD.4i

【答案】A

［解析］(1_i)4=［(1-z)2F=(1—2z+/)2=(-202=-4.

故選：A.

12.(2020?全國高考真題(理))若z=l+i,則|Z2-2Z|=()

A.0B.1C.V2D.2

【答案】D

【解析】由題意可得：Z2=(1+/)2=2Z,則z2-2z=2i-2(l+i)=—2.

故歸-2z|=V=2.

故選：D.

13.(2020?全國高考真題(文))若z=l+2i+i3,則0=()

A.()B.1

C.V2