考點(diǎn)05 基本不等式及其應(yīng)用6種常見考法歸類（解析版）

考點(diǎn)05基本不等式及其應(yīng)用6種常見考法歸類考點(diǎn)一利用基本不等式比較大小考點(diǎn)二利用基本不等式求最值（一）直接法（二）配湊法（三）常數(shù)代換法（四）消元法（五）換元法（六）齊次化（七）重組轉(zhuǎn)化（八）利用兩次基本不等式求最值（九）基本不等式與對(duì)勾函數(shù)考點(diǎn)三與基本不等式有關(guān)的參數(shù)問題考點(diǎn)四基本不等式的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)五利用基本不等式證明不等式考點(diǎn)六基本不等式的綜合應(yīng)用（一）與函數(shù)的結(jié)合（二）與三角函數(shù)、解三角形的結(jié)合（三）與平面向量的結(jié)合（四）與數(shù)列的結(jié)合（五）與解析幾何的結(jié)合（六）與立體幾何的結(jié)合1.基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為eq\f(a＋b,2)，幾何平均數(shù)為eq\r(ab)，基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．(2)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(3)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．◆注：在利用基本不等式求最值時(shí)，要緊扣“一正、二定、三相等”的條件．“一正”是說每個(gè)項(xiàng)都必須為正值，“二定”是說各個(gè)項(xiàng)的和(或積)必須為定值．“三相等”是說各項(xiàng)的值相等時(shí)，等號(hào)成立．多次使用均值不等式解決同一問題時(shí)，要保持每次等號(hào)成立條件的一致性和不等號(hào)方向的一致性．2.幾個(gè)重要不等式重要不等式使用前提等號(hào)成立條件a2＋b2≥2aba，b∈Ra＝beq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2ab>0a＝beq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≤－2ab<0a＝－bab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)a，b∈Ra＝beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)≤eq\f(a2＋b2,2)a，b∈Ra＝b3.常用推論(1)(a＋b)2≤2(a2＋b2).(2)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.(3)|2ab|≤a2＋b2?－(a2＋b2)≤2ab≤a2＋b2.(4)eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0).即有：正數(shù)a，b的調(diào)和平均數(shù)≤幾何平均數(shù)≤算術(shù)平均數(shù)≤平方平均數(shù).4.三元均值不等式(1)eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc).(2)eq\f(a3＋b3＋c3,3)≥abc.以上兩個(gè)不等式中a，b，c∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號(hào)成立.二維形式柯西不等式若a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時(shí)，等號(hào)成立.6.基本不等式公式推導(dǎo)圖7.利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2eq\r(p)．(簡(jiǎn)記：積定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是eq\f(s2,4)．(簡(jiǎn)記：和定積最大)8.利用基本不等式求最值的基本方法(1)直接法①利用基本不等式法求最值的最基本類型可以分為兩類：和積一定一動(dòng)型、和與平方和一定一動(dòng)型.積，和和平方和三者之間的不等式關(guān)系：②需要注意的是驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，特別地，由基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，求最值時(shí)要求"一正、二定、三相等".③轉(zhuǎn)化符號(hào)：若含變量的項(xiàng)是負(fù)數(shù)，則提取負(fù)號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為正數(shù)，再利用“公式”求最值．④乘方：若目標(biāo)函數(shù)帶有根號(hào)，則先乘方后配湊為和為定值．(2)配湊法將目標(biāo)函數(shù)恒等變形或適當(dāng)放縮，配湊出兩個(gè)式子的和或積為定值.①應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號(hào)成立的條件.②配湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，配系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用配湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面的問題：1)配湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形；2)代數(shù)式的變形以配湊出和或積的定值為目標(biāo)；3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提．③形如的分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用基本不等式來求最值。(3)常數(shù)代換法①若已知條件中的“１”（常量可化為“１”）與目標(biāo)函數(shù)之間具有某種關(guān)系（尤其是整式與分式相乘模型），則實(shí)施“１”代換，配湊和或積為常數(shù).模型1已知正數(shù)滿足，求的最小值。模型2已知正數(shù)滿足求的最小值。②常數(shù)代換法適用于求解條件最值問題．應(yīng)用此種方法求解最值的基本步驟為：1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式；4)利用基本不等式求解最值．③有些問題從形式上看，似乎具備和與倒數(shù)和的一些特征，但細(xì)究起來，又存在明確的區(qū)別，求解此類問題時(shí)，需要對(duì)條件和結(jié)論中的表達(dá)式進(jìn)行合理、巧妙的配湊與構(gòu)造;從而變形、構(gòu)造出和與倒數(shù)和的關(guān)系.(4)消元法消元法，即根據(jù)條件與所求均含有兩個(gè)變量，從簡(jiǎn)化問題的角度來思考，消去一個(gè)變量，轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)變量的函數(shù)，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．有時(shí)會(huì)出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留變量的取值范圍(5)換元法①當(dāng)條件式中給出了"和"與"積"之間的關(guān)系時(shí)，可以考慮借助基本不等式進(jìn)行放縮，由條件式構(gòu)建得到關(guān)于"和"或"積"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"積"的最值.②雙換元求最值：若題目中含是求兩個(gè)分式的最值問題，對(duì)于這類問題最常用的方法就是雙換元，分布運(yùn)用兩個(gè)分式的分母為兩個(gè)參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)參數(shù)的不等關(guān)系．(6)齊次化求最值齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時(shí)除以得到一個(gè)整體，然后轉(zhuǎn)化為運(yùn)用基本不等式進(jìn)行求解．(7)重組轉(zhuǎn)化當(dāng)條件式或目標(biāo)式較為復(fù)雜、不易理清其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與內(nèi)在聯(lián)系時(shí)，可從拆分、合并等角度嘗試進(jìn)行重組，注意觀察式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),尋找條件式與目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特征及相互聯(lián)系.(8)利用兩次基本不等式求最值在求解某些復(fù)雜一些的最值問題時(shí)，可能會(huì)需要連續(xù)多次使用基本不等式進(jìn)行放縮.此時(shí)，我們需要注意兩點(diǎn):一是由基本不等式進(jìn)行放或縮一定要考慮到不等號(hào)的方向與不等式傳遞性相一致，即多次放大或者多次縮小，一般不可以既放大又縮小;二是多次使用基本不等式后要考慮等號(hào)成立的條件，只有多個(gè)等號(hào)能夠同時(shí)成立時(shí)方可.(9)基本不等式與對(duì)勾函數(shù)對(duì)勾函數(shù)是一種類似于反比例函數(shù)的一般雙曲函數(shù)，又被稱為“雙勾函數(shù)”、“勾函數(shù)”、“對(duì)號(hào)函數(shù)”、“雙飛燕函數(shù)”；所謂的對(duì)勾函數(shù)，是形如：（）的函數(shù)；對(duì)勾函數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)勾函數(shù)是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)“疊加”而成的函數(shù)；①當(dāng)同號(hào)時(shí)，對(duì)勾函數(shù)的圖像形狀酷似雙勾；故稱“對(duì)勾函數(shù)”；如下圖所示：②當(dāng)異號(hào)時(shí)，對(duì)勾函數(shù)的圖像形狀發(fā)生了變化，如下圖所示：8.常見求最值模型模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；模型四：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.9.與基本不等式有關(guān)的參數(shù)問題(1)求參數(shù)的值或取值范圍的方法觀察題目特點(diǎn)，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或取值范圍．(2)求不等式恒成立問題常用分離參數(shù)法的方法若不等式（是實(shí)參數(shù)）恒成立，將轉(zhuǎn)化為或恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為或，求的最值即可.10.利用基本不等式求解實(shí)際應(yīng)用題的三個(gè)注意點(diǎn)(1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)．(2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值．(3)在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解．11.求基本不等式與其他知識(shí)交匯的最值問題的類型及策略(1)應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立：對(duì)所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解．(2)條件不等式的最值問題：通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解．考點(diǎn)一利用基本不等式比較大小1．【多選】（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）已知實(shí)數(shù)，則（

）A．B．C． D．【答案】ABD【分析】作差法判斷A、B；特殊值法判斷C；由基本不等式易知，再根據(jù)對(duì)數(shù)性質(zhì)判斷D.【詳解】A：，則，正確；B：，則，正確；C：當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤；D：由（注意等號(hào)取不到），則，正確.故選：ABD2．【多選】（2023秋·河北邯鄲·高一?？计谀┤簦?，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)作差法結(jié)合條件可判斷AB，利用基本不等式可判斷CD.【詳解】，且，所以，即，故A錯(cuò)誤，B正確；所以，即，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：BD.3．【多選】（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】利用基本不等式可得A,B,D正誤，利用1的妙用可得C的正誤.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取到等號(hào)，故A正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取到等號(hào)，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取到等號(hào)，故C正確；對(duì)于D，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取到等號(hào)，故D錯(cuò)誤．故選：ABC.4．【多選】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】對(duì)于A：利用基本不等式“1”的妙用直接證明；對(duì)于B：利用基本不等式直接證明；對(duì)于C：利用基本不等式直接證明出，即可判斷；對(duì)于D：結(jié)合立方和公式得，再結(jié)合B選項(xiàng)即可判斷.【詳解】解：對(duì)于A：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以成立.故A正確；對(duì)于B：因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以成立.故B正確；對(duì)于C：因?yàn)椋?，所?記，則，所以，所以，即.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)椋?，，由B選項(xiàng)知，所以，即，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD5．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知，，且，，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】使用基本不等式求解，注意等號(hào)成立條件.【詳解】，∵，∴等號(hào)不成立，故；，∵，∴等號(hào)不成立，故，綜上，.故選：A.6．【多選】（2022秋·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，且，，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，可判定A錯(cuò)誤；利用基本不等式，可判定B正確；根據(jù)，，可判定C錯(cuò)誤；由作差比較法，得到和，結(jié)合，可判定D正確.【詳解】由，可得，所以A錯(cuò)誤；由且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又因?yàn)?，所以等?hào)不成立，故成立，所以B正確；當(dāng)，時(shí)，可得，所以C錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；同理可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又因?yàn)?，即，不同時(shí)等于1，所以，所以D正確．故選：BD．考點(diǎn)二利用基本不等式求最值（一）直接法7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則的最大值為__________【答案】2【分析】根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】，由于，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故最大值為2故答案為：28．（2023春·河南·高三洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，，且，則的最大值是_____.【答案】4【分析】根據(jù)均值不等式，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，，所以由基本不等式?所以，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)取等號(hào),所以的最大值是4,故答案為：49．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，當(dāng)取最大值時(shí)，則的值為（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先根據(jù)已知使用基本不等式，整理求出取最大值時(shí)的和值，再得出結(jié)果.【詳解】由已知可得，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，，此時(shí).故選：B．10．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知，且，則的最大值為___________．【答案】2【分析】利用基本不等式得到，從而得到.【詳解】因?yàn)?，且，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以．故答案為：211．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的最大值為（）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】由基本不等式求解即可【詳解】因?yàn)椋钥傻?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式取得等號(hào)，的最大值為2．故選：A．12．（2023·廣西柳州·柳州高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若，，，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式推出，進(jìn)而根據(jù)不等式可得，即可得出答案.【詳解】由已知可得.因?yàn)?，，由基本不等式知，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以，所以，所以，所以的最小值為2.故選：D.13．【多選】（2023春·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，且滿足，．則的取值可以為（

）A．10 B．11 C．12 D．20【答案】CD【分析】根據(jù)條件及基本不等式可得，進(jìn)而即得.【詳解】因?yàn)?，，所以，，故，?dāng)，且，而時(shí)，即等號(hào)不能同時(shí)成立，所以，故AB錯(cuò)誤，CD正確.故選：CD.14．【多選】（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）設(shè)，，且，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為1C．的最小值為 D．的最小值為【答案】ACD【分析】對(duì)A，直接運(yùn)用均值不等式即可判斷；對(duì)B，即可判斷；對(duì)C，，討論二次函數(shù)最值即可；對(duì)D，將代入替換，利用“1”的代換，化簡(jiǎn)然后利用均值不等式即可.【詳解】對(duì)A，，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，可取等號(hào)，A對(duì)；對(duì)B，，因?yàn)?，所以，，取不?，故B錯(cuò)；對(duì)C，，當(dāng)時(shí)，可取等號(hào)，C對(duì)；對(duì)D，，，當(dāng)時(shí)，可取等號(hào)，D對(duì)；故選：ACD15．【多選】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)a，b滿足，則（

）A．的最大值是B．的最大值是C．的最小值是D．的最小值為【答案】ABD【分析】A、B選項(xiàng)由基本不等式直接判斷即可；C選項(xiàng)分別求出的范圍即可判斷；D選項(xiàng)令，平方整理后，利用即可判斷.【詳解】由得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，A正確；由得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，B正確；由正數(shù)a，b及知，，可得，故，C錯(cuò)誤；令，則，兩邊同時(shí)平方得，整理得，又存在使，故，解得，D正確.故選：ABD.（二）配湊法16．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若，則的最小值為__________．【答案】3【分析】利用基本不等式，變形求函數(shù)的最小值.【詳解】因?yàn)?，由基本不等式得：，?dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)等號(hào)成立．故答案為：317．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考三模）若，則的最小值為________．【答案】7【分析】利用基本不等式求目標(biāo)式的最小值，注意取值條件.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為7．故答案為：718．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考一模）已知，則的最小值為___________．【答案】【分析】將不等式變?yōu)?，再由基本不等式即可得出答?【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等.故答案為：.19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）已知，求函數(shù)的最大值.（2）已知，求函數(shù)的最大值.【答案】（1）；（2）；【分析】(1)對(duì)函數(shù)進(jìn)行配湊，然后利用均值不等式即可求解；(2)根據(jù)條件對(duì)函數(shù)進(jìn)行配湊，然后利用均值不等式即可求解；【詳解】因?yàn)?，所以，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，所以函?shù)的最大值為.（2）因?yàn)椋?，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故函數(shù)的最大值為1.20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小值是（

）A．10 B．12 C．13 D．14【答案】A【分析】令，則，后由基本不等式可得答案.【詳解】令，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：A21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的最小值（1）；（2）.【答案】（1）3；（2）10.【分析】（1）化簡(jiǎn)整理可得，利用基本不等式，即可求得最小值.（2）令，整理可得，利用基本不等式，即可求得最小值.【詳解】（1）∵（當(dāng)且僅當(dāng)，即x=1時(shí)取等號(hào)）的最小值為3；（2）令，則，當(dāng)且僅當(dāng)即t=3時(shí)取等號(hào)y的最小值為1022．（2023春·天津和平·高三耀華中學(xué)校考階段練習(xí)）已知a，b為非負(fù)實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】首先根據(jù)題意求出，，然后將原式變形得，最后利用1的妙用即可求出其最值.【詳解】，且,為非負(fù)實(shí)數(shù)，，則則，解得，，解得，，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí),即時(shí)等號(hào)成立，故，故選：B.23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且，則最大值為______．【答案】【分析】由且，可得，可得，再將化為后利用基本不等式求解即可．【詳解】解：由且，可得，代入，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，又，可得，時(shí)，不等式取等，即的最大值為，故答案為：．（三）常數(shù)代換法24．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，且，則的最小值是_____．【答案】25【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【詳解】因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故答案為：2525．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，且滿足，則的最大值為（

）A．9 B．6 C．4 D．1【答案】D【分析】由題可得，利用基本不等式可得，進(jìn)而即得.【詳解】因?yàn)?，，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，即的最大值為1.故選：D.26．（2023·吉林延邊·統(tǒng)考二模）設(shè)，，若，則取最小值時(shí)a的值為______．【答案】/0.75【分析】根據(jù)題意可得、，結(jié)合基本不等式中“1”的用法計(jì)算即可求解.【詳解】由，，得，由，得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)等號(hào)成立.故當(dāng)，時(shí)取得最小值16.故答案為：.27．（2023·湖北·荊州中學(xué)校聯(lián)考二模）已知，，且，那么的最小值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】由題意可得，再由基本不等式求解即可求出答案.【詳解】因?yàn)椋?，，則.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等.故選：C.28．（2023·遼寧沈陽·高三校聯(lián)考學(xué)業(yè)考試）已知，則的最小值是______．【答案】【分析】變形條件等式得，然后展開，利用基本不等式求最小值.【詳解】，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，的最小值是.故答案為：.29．（2023春·廣東揭陽·高三?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值是（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】根據(jù)題意，將所求式子進(jìn)行整理變形，再利用基本不等式即可求解.【詳解】，等式恒成立，，由于，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào).，，故的最小值為1.故選：.30．（2023春·河南·高三信陽高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，若，則的最小值為（

）A．12 B． C． D．8【答案】A【分析】構(gòu)造基本不等式，利用基本不等式即可.【詳解】由，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為：12，故選：A.31．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若三個(gè)正數(shù)滿足，則的最小值為______.【答案】/【分析】利用基本不等式求得正確答案.【詳解】依題意為正數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)等號(hào)成立.故答案為：（四）消元法32．（2023春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，且，則的最小值是（

）A．4 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】將式子變形為，即可利用不等式求解，或者將式子變形為，結(jié)合不等式即可求解.【詳解】方法一：因?yàn)?，故，解得，?當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.方法二：因?yàn)?，則，且，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.故選：C.33．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，則的最小值為__________.【答案】【分析】由已知條件可得，求出，可得出，利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】由可得，則，由可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：.34．（2023·天津·校聯(lián)考二模）若，且，則的最小值為______.【答案】5【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的換底公式得到，解得，即，然后代入中，利用基本不等式求最小值即可.【詳解】因?yàn)?，所以，解得或，因?yàn)椋裕瑒t，即，因?yàn)椋?，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：5.35．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最大值為_____________．【答案】2【分析】先消元，再用基本不等式即可求出最大值.【詳解】由得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，或者，時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為2．故答案為：2.（五）換元法36．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用基本不等式可得，結(jié)合條件可得，進(jìn)而即得.【詳解】因?yàn)?，由，可得，又，可得，化為，解得，則的取值范圍是.故選：A.37．（2023秋·江西吉安·高三統(tǒng)考期末）已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，則的最大值為（

）A．10 B．8 C．4 D．2【答案】B【分析】由，變形為，設(shè)，利用基本不等式得到，進(jìn)而化為求解.【詳解】解：由，變形為，設(shè)，∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，即，∴，∴，即，，∴，∴，此時(shí)，，即，時(shí)，的最大值為8.故選：B.38．【多選】（2023秋·廣東廣州·高三廣州市培英中學(xué)?？计谀┤魧?shí)數(shù)滿足，則的值可以是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】BC【分析】令，把等式變形成，用表示，然后再用基本不等式，用表示成不等式，解不等式即可.【詳解】，，設(shè)，則由題意得，即.因?yàn)?，即，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，解得，所以的取值范圍是故選：BC.39．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】法一：設(shè)，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為已知，求的最大值問題，再根據(jù)基本不等式求解即可；法二：由題知進(jìn)而根據(jù)三角換元得，再根據(jù)三角函數(shù)最值求解即可.【詳解】解：法一：（基本不等式）設(shè)，則，條件，所以，即.故選：D.法二：（三角換元）由條件，故可設(shè)，即，由于，，故，解得所以，，所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：D.40．【多選】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí)）已知，為正實(shí)數(shù)，且，則（

）A．的最大值為2 B．的最小值為5C．的最小值為 D．【答案】AC【分析】由已知條件結(jié)合基本不等式及相關(guān)結(jié)論分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可求解.【詳解】依題意，對(duì)于A：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，令，則有，解得，又因?yàn)椋裕?，的最大值?，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B：因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，令，則有，解得或（舍去），即，所以的最小值為4，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等式成立，所以的最小值為，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D：當(dāng)，時(shí)，，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AC.41．（2021秋·天津靜?！じ呷？茧A段練習(xí)）若，且，則的最小值為_________【答案】【分析】令，可得，化簡(jiǎn)可得，再結(jié)合基本不等式可求解.【詳解】令，則，則，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查基本不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是令，化簡(jiǎn)得出利用基本不等式求解.42．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】利用換元法表示出代入所求式子，化簡(jiǎn)利用均值不等式即可求得最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，令，則且，代入中得：當(dāng)即時(shí)取“=”,所以最小值為1.故選：B（六）齊次化43．（2023秋·河南鄭州·高三校聯(lián)考期末）已知正數(shù)a，b滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先參變分離得，再利用，與相乘，然后連續(xù)運(yùn)用兩次基本不等式即可.【詳解】依題意，．又，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，前后兩個(gè)不等號(hào)中的等號(hào)同時(shí)成立，所以的取值范圍為故選：44．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對(duì)原式變形，兩次利用基本不等式，求解即可.【詳解】因?yàn)閍，b均為正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)取等號(hào)，則的最大值為．故選：A．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”中的“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方，注意多次運(yùn)用不等式，等號(hào)成立條件是否一致.（七）重組轉(zhuǎn)化45．（2023·山東·煙臺(tái)二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則的最小值為__________．【答案】【分析】結(jié)合已知條件，利用基本不等式即可求解.【詳解】由題可知，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為．故答案為：.46．（2023秋·天津南開·高三南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，，則的最小值為__________．【答案】12【分析】利用已知將化為，利用基本不等式即可求得答案.【詳解】由題意，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即的最小值為12，故答案為：1247．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則的最小值為______．【答案】/【分析】將變形為，然后利用基本不等式求解得，再根據(jù)取等號(hào)的條件可得，判斷出的范圍，進(jìn)而判斷得的范圍，可得，可得所求最小值.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“＝”，此時(shí)，∵，，∴，∴，∴，∴原式，此時(shí)，，．故答案為：【點(diǎn)睛】求解本題的關(guān)鍵是將原式變形為，根據(jù)基本不等式求最值，由取等號(hào)的條件，化簡(jiǎn)得，從而求解的范圍.（八）利用兩次基本不等式求最值48．（2023·廣西柳州·高三柳州高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若，，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】利用基本不等式即可求出最值.【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：C.49．（2023春·天津南開·高三南開大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，那么的最小值是___________.【答案】16【分析】利用均值不等式求的最大值表達(dá)式，再利用均值不等式求解作答.【詳解】因，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以，當(dāng)時(shí)，取最小值16.故答案為：1650．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知a，b，c均為正數(shù)，且滿足，則的最小值為______．【答案】【分析】根據(jù)基本不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)同時(shí)成立.故答案為：.（九）基本不等式與對(duì)勾函數(shù)51．【多選】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在下列函數(shù)中，最小值是4的是（

）A． B．C．， D．【答案】BD【分析】根據(jù)基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即可作出判斷.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為4，B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，由?duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知：，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為4，D正確.故選：BD52．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）設(shè)，則的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，分別求得和時(shí)的取值范圍，即可得答案.【詳解】設(shè)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，此時(shí)，故，則的取值范圍是，故答案為：53．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)y＝x＋（x≥2）取得最小值時(shí)的x值為________．【答案】2【分析】令x＋1＝t(t≥3)，則有＝t＋－1在[3,＋∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)t＝3時(shí)，即可求解.【詳解】依題意，y＝x＋＝x＋1＋－1(x≥2)，設(shè)x＋1＝t(t≥3)．因?yàn)閒(t)＝t＋－1在[3,＋∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t＝3，即x＝2時(shí)，y＝x＋(x≥2)取得最小值．故答案為：2.54．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)f（x）＝＋1的最小值為________．【答案】＋1【分析】先對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可求出有最小值.【詳解】f（x）＝＋1＝＋1＝＋＋1，令，t∈[，＋∞），則函數(shù)f（x）可轉(zhuǎn)化為g（t）＝t＋＋1，t∈[，＋∞）．令u（t）＝t＋（t≥），則由u（t）在[，＋∞）上單調(diào)遞增可知，u（t）≥＋＝，則g（t）≥，所以函數(shù)f（x）的最小值為；故答案為：.考點(diǎn)三與基本不等式有關(guān)的參數(shù)問題55．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┱龜?shù)滿足，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍__________.【答案】【分析】由不等式恒成立可得，利用基本不等式求的最小值，由此可求的取值范圍.【詳解】因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，所以，由，，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，解得.所以的取值范圍為.故答案為：.56．（2023秋·廣東潮州·高三統(tǒng)考期末）正實(shí)數(shù)滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)基本不等式“1”的妙用可得的最小值為4，再根據(jù)含參不等式恒成立解一元二次不等式，即可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】正實(shí)數(shù)滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即且時(shí)，等號(hào)成立，則時(shí)，取到最小值4，要使不等式恒成立，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.57．（2023·遼寧·鞍山一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值集合為______．【答案】【分析】分析可得原題意等價(jià)于對(duì)任意恒成立，根據(jù)恒成立問題結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】∵，則，原題意等價(jià)于對(duì)任意恒成立，由，，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，∴，解得．故正實(shí)數(shù)的取值集合為.故答案為：．58．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若正數(shù)x，y滿足，則使得不等式恒成立的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用乘“1”法結(jié)合基本不等式即可求出，最后解出不等式即可.【詳解】由，且，則則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，解得，故選：B.59．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若存在，使成立，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】依題意，再利用基本不等式計(jì)算可得；【詳解】解：依題意存在，使成立，即存在，使得，即，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，即的最大值為，所以，即；故答案為：60．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，不等式恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，求出的值，代入中化簡(jiǎn)，利用基本不等式求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)所以的最小值是，則的最大值為.故選A【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式，解題的關(guān)鍵是設(shè)，得出進(jìn)行代換，屬于偏難題目.考點(diǎn)四基本不等式的實(shí)際應(yīng)用61．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）某單位為提升服務(wù)質(zhì)量，花費(fèi)3萬元購(gòu)進(jìn)了一套先進(jìn)設(shè)備，該設(shè)備每年管理費(fèi)用為0.1萬元，已知使用年的維修總費(fèi)用為萬元，則該設(shè)備年平均費(fèi)用最少時(shí)的年限為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根據(jù)題意可得該設(shè)備年平均費(fèi)用，結(jié)合基本不等式分析運(yùn)算.【詳解】由題意可得：該設(shè)備年平均費(fèi)用，∵，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以該設(shè)備年平均費(fèi)用最少時(shí)的年限為9.故選：C.62．（2023·河南洛陽·洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）黨的二十大報(bào)告將“完成脫貧攻堅(jiān)、全面建成小康社會(huì)的歷史任務(wù)，實(shí)現(xiàn)第一個(gè)百年奮斗目標(biāo)”作為十年來對(duì)黨和人民事業(yè)具有重大現(xiàn)實(shí)意義和深遠(yuǎn)歷史意義的三件大事之一．某企業(yè)積極響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，對(duì)某經(jīng)濟(jì)欠發(fā)達(dá)地區(qū)實(shí)施幫扶，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品．經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研，生產(chǎn)A產(chǎn)品的固定成本為200萬元，每生產(chǎn)x萬件，需可變成本萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足50萬件時(shí)，；當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬件時(shí)，．每件A產(chǎn)品的售價(jià)為100元，通過市場(chǎng)分析，生產(chǎn)的A產(chǎn)品可以全部銷售完．欲使得生產(chǎn)該產(chǎn)品能獲得最大利潤(rùn)，則產(chǎn)量應(yīng)為（

）A．40萬件 B．50萬件 C．60萬件 D．80萬件【答案】D【分析】根據(jù)題意得到利潤(rùn)函數(shù)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與基本不等式分別求得每一段的最大利潤(rùn)，從而得到結(jié)果.【詳解】由題意得，銷售收入為100x萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足50萬件時(shí)，利潤(rùn)；當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬件時(shí)，利潤(rùn)．所以利潤(rùn)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．又，所以當(dāng)時(shí)，所獲利潤(rùn)最大，最大值為1000萬元．故選:D．63．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考一模）隨著新能源技術(shù)的發(fā)展，新能源汽車行業(yè)也迎來了巨大的商機(jī).某新能源汽車加工廠生產(chǎn)某款新能源汽車每年需要固定投入100萬元，此外每生產(chǎn)x輛該汽車另需增加投資g（x）萬元，當(dāng)該款汽車年產(chǎn)量低于400輛時(shí)，，當(dāng)年產(chǎn)量不低于400輛時(shí)，，該款汽車售價(jià)為每輛15萬元，且生產(chǎn)的汽車均能售完，則該工廠生產(chǎn)并銷售這款新能源汽車的最高年利潤(rùn)為（

）A．1500萬元 B．2100萬元 C．2200萬元 D．3800萬元【答案】C【分析】先表示利潤(rùn)函數(shù)，利潤(rùn)等于銷售收入減去投資和固定投入100萬元，再分別利用二次函數(shù)、均值不等式求最值.【詳解】設(shè)該工廠生產(chǎn)并銷售這款新能源汽車的年利潤(rùn)為（萬元），由題意可知，，即，當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸，則；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值2200.綜上，該工廠生產(chǎn)并銷售這款新能源汽車的最高年利潤(rùn)為2200萬元.故選：C.考點(diǎn)五利用基本不等式證明不等式64．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）證明：如果、，那么．【答案】證明見解析【分析】不妨設(shè)，由，結(jié)合用切比雪夫不等式的推論1可得，再根據(jù)均值不等式完成證明.【詳解】不妨設(shè)，則，且，由切比雪夫不等式的推論1可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；故原不等式正確．65．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知都是正數(shù)，且，證明：(1)；(2).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】(1)先用基本不等式，再將代入即可證明；(2)將乘以，利用柯西不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再將代入即可證明.【詳解】（1）證明：因?yàn)槎际钦龜?shù)，，所以，由基本不等式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，故成立；（2）證明：因?yàn)?，所以，由柯西不等式可得：，即?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，因?yàn)槎际钦龜?shù)，所以有，將代入有得證.66．（2023·貴州黔西·?？家荒＃┰O(shè)，，均為正數(shù)，且，證明：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由，則，根據(jù)，，，即可得證；（2）由已知得若證，即證，再根據(jù)，，，即可得證.【詳解】（1）由，得，又由基本不等式可知當(dāng)，，均為正數(shù)時(shí)，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述不等式等號(hào)均成立，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；（2）因?yàn)?，，均為正?shù)，所以若證，即證，又，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式等號(hào)均成立，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.67．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）已知a，b，c均為正數(shù)，且，證明：(1)若，則；(2).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由基本不等式證明；（2）用柯西不等式證明．【詳解】（1），，，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，，即；（2）∵a，b，c均為正數(shù)，且，由柯西不等式得，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．68．（2023·四川·四川省金堂中學(xué)校校聯(lián)考三模）已知，且，證明：(1)；(2)若，則.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由柯西不等式即可證明；（2）由均值的不等式可得，由（1）可得，即可證明.【詳解】（1）由，得，由柯西不等式有，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；（2）由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，由（1）可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.考點(diǎn)六基本不等式的綜合應(yīng)用（一）與函數(shù)的結(jié)合69．（2023·安徽安慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)恒過定點(diǎn)，則的最小值為（

）．A． B． C．3 D．【答案】A【分析】利用基本不等式常數(shù)“1”的代換即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，的最小值為，故選:A．70．（2023春·云南曲靖·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t的值是________；的最大值是__________.【答案】4【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知，，然后通過變形利用基本不等式即得.【詳解】由題意知：,的值域?yàn)椋?，則，；所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即.故答案為：4；.71．（2023·吉林·東北師大附中?？级＃┮阎瘮?shù)，若實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值為______．【答案】/【分析】分析出函數(shù)為上的增函數(shù)，且為奇函數(shù)，由可得出，利用基本不等式可求得的最大值.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以，函?shù)為奇函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)、、均為上的增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得，所以，，即，當(dāng)取最大值時(shí)，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)，等號(hào)成立，因此，的最大值為.故答案為：.72．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考三模）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是______．【答案】/【分析】根據(jù)等式特征可通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性可得，再根據(jù)基本不等式即可求得的最小值是.【詳解】由題意可得將等式變形成,又因?yàn)槎际钦龜?shù)，所以,可構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，由知，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，因此的最小值是.故答案為：（二）與三角函數(shù)、解三角形的結(jié)合73．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考二模）中，角、、所對(duì)的邊分別為、、.若，且，則面積的最大值為___________.【答案】/【分析】利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值，即可得出面積的最大值.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，，因?yàn)?、，則，所以，，故，由余弦定理可得，所以，，則.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故面積的最大值為.故答案為：.74．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知在中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，滿足，且，則周長(zhǎng)的取值范圍為______________．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，求出，再利用余弦定理及均值不等式求解作答.【詳解】在中，由及正弦定理得：，而，于是，有，而，，因此，由余弦定理得，即有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，從而，而，則，所以周長(zhǎng)的取值范圍為.故答案為：75．（2023·江西九江·統(tǒng)考二模）在中，三內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知，．當(dāng)B取最小值時(shí)，的面積為（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】由正弦邊角關(guān)系、三角形內(nèi)角性質(zhì)、正切和角公式可得，即A，C為銳角，利用基本不等式得B最小時(shí)最小值，即知為等腰三角形，應(yīng)用三角形面積公式求面積即可.【詳解】由正弦定理得，即，∴，即．∵，∴，故A，C為銳角．又，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以三角形內(nèi)角B最小時(shí)，取最小值，此時(shí)，所以為等腰三角形，，，∴.故選：C76．（2023·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在三角形中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且的平分線交于，若，則的最小值為______.【答案】9【分析】根據(jù)面積關(guān)系建立關(guān)系式，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)锳D平分∠BAC，所以，，即，整理得，得，又，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，則的最小值是9．故答案為：9（三）與平面向量的結(jié)合77．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，其中，，若，則的最小值為_______．【答案】【分析】根據(jù)向量運(yùn)算可得，再由均值不等式求解即可.【詳解】，，，，即，由，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：78．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考二模）已知非零向量，的夾角為，，且，則夾角的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】應(yīng)用向量數(shù)量積運(yùn)算律及題設(shè)可得，注意等號(hào)成立條件，結(jié)合已知不等條件求范圍，即可得最小值.【詳解】由有，即，前一個(gè)等號(hào)成立條件為，整理得.由于，所以，于是夾角為的最小值為.故選：C79．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高三揚(yáng)州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）平面向量，滿足，且，則與夾角的正弦值的最大值為________．【答案】【分析】設(shè)，，則，設(shè)，，，根據(jù)均值不等式計(jì)算最值，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到答案.【詳解】解：如圖所示：設(shè)，，則，設(shè)，，因?yàn)?，所以，由三角形邊的關(guān)系得，，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故，當(dāng)最小時(shí)，最大，而與夾角的正弦值與正弦值相等，故其最大值為.故答案為：（四）與數(shù)列的結(jié)合80．（2023·甘肅蘭州·?？寄M預(yù)測(cè)）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則的最大值是（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得，再結(jié)合基本不等式即可求解．【詳解】各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，由，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為8．故選：B．81．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列中，，且，則的最大值為______.【答案】4【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)可得，再利用基本不等式即可求得結(jié)果.【詳解】由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可知，，即；又因?yàn)?，利用基本不等式可得，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；即的最大值為4.故答案為：482．【多選】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，是兩個(gè)正數(shù)，4是與的等比中項(xiàng)，則下列說法正確的是（

）A．的最小值是1 B．的最大值是1C．的最小值是 D．的最大值是【答案】BC【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)整理得，直接由基本不等式可得的最大值，可判斷AB；由展開后使用基本不等式可判斷CD.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為1，故錯(cuò)誤，B正確．因?yàn)?，故的最小值為，無最大值，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：BC（五）與解析幾何的結(jié)合83．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·高三校聯(lián)考期末）已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)題意可知圓心在直線上，得