階段性檢測4.2（中）（范圍：高考全部內(nèi)容）（解析版）

階段性檢測4.2（中）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，則（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】解不等式確定集合,然后由并集定義計算.【詳解】由題意或，，所以或，故選：D．2．已知復(fù)數(shù)，，當(dāng)時，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念及四則運算法則計算即可.【詳解】由得.故選：A3．不等式“”是“”成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】解對數(shù)不等式和指數(shù)不等式，求出解集，進而判斷出答案.【詳解】，解得，，解得，因為，但，故“”是“”成立的充分不必要條件.故選：A4．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用換元法，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式、兩角差的正弦公式進行求解即可.【詳解】由，設(shè)，①，又②，所以聯(lián)立①②，解得，故．故選：D5．“校本課程”是現(xiàn)代高中多樣化課程的典型代表，自在進一步培養(yǎng)學(xué)生的人文底蘊和科學(xué)精神，為繼續(xù)滿足同學(xué)們不同興趣愛好，藝術(shù)科組準(zhǔn)備了學(xué)生喜愛的中華文化傳承系列的校本活動課：創(chuàng)意陶盆，拓印，扎染，壁掛，的紙五個項目供同學(xué)們選學(xué)，每位同學(xué)選擇1個項目．則甲、乙、丙、丁這4名學(xué)生至少有3名學(xué)生所選的課全不相同的方法共有（

）A．360種 B．480種 C．720種 D．1080種【答案】B【分析】分為恰有2名學(xué)生所選的課相同，以及4名學(xué)生所選的課全不相同兩種情況，分別計算求解得出，相加即可得出答案.【詳解】①恰有2名學(xué)生選課相同，第一步，先將選課相同的2名學(xué)生選出，有種可能；第二步，從5個項目中選出3個排序，有．根據(jù)分步計數(shù)原理可得，方法有種；②4名學(xué)生所選的課全不相同的方法有種．根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，甲、乙、丙、丁這4名學(xué)生至少有3名學(xué)生所選的課全不相同的方法共有種．故選：B.6．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）首鋼滑雪大跳臺是冬奧史上第一座與工業(yè)舊址結(jié)合再利用的競賽場館，它的設(shè)計創(chuàng)造性地融入了敦煌壁畫中飛天的元素，建筑外形優(yōu)美流暢，飄逸靈動，被形象地稱為雪飛天.中國選手谷愛凌和蘇翊鳴分別在此摘得女子自由式滑雪大跳臺和男子單板滑雪大跳臺比賽的金牌.雪飛天的助滑道可以看成一個線段和一段圓弧組成，如圖所示.在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系下圓弧所在圓的方程為，若某運動員在起跳點以傾斜角為且與圓相切的直線方向起跳，起跳后的飛行軌跡是一個對稱軸在軸上的拋物線的一部分，如下圖所示，則該拋物線的軌跡方程為（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】將直線方程與圓的方程聯(lián)立可求得點坐標(biāo)，根據(jù)在點的切線斜率和點坐標(biāo)可求得拋物線方程中的，整理可得拋物線方程.【詳解】由題意知：，又，直線方程為：，即；由得：或，即或，為靠近軸的切點，；設(shè)飛行軌跡的拋物線方程為：，則，在點處的切線斜率為，，解得：，，解得：，，即拋物線方程為：.故選：A.7．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）若數(shù)列的前項和為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)之間的關(guān)系可求出，進而求得，由此結(jié)合熟的大小比較可判斷A，B，C，利用放縮法，當(dāng)時，可推出，累加即可判斷D.【詳解】令，則，即，由，的；當(dāng)時，，即，又，故為首項是1，公差為1的等差數(shù)列，則，故，所以當(dāng)時，，也適合該式，故，對于A，，A錯誤；對于B，，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，當(dāng)時，，故，D正確，故選：D8．如圖，在正方體中，P為棱AD上的動點．給出以下四個命題：①；②異面直線與所成角的取值范圍為；③有且僅有一個點P，使得平面；④三棱錐的體積是定值．其中真命題的個數(shù)為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則，其中，由，可判定①正確；由向量的夾角公式求得，進而可判定以②正確；由平面，得到，結(jié)合向量的垂直的坐標(biāo)表示，列出方程，可判定③不正確；結(jié)合，可判定④正確．【詳解】以為坐標(biāo)原點，分別以，，所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方體的棱長為1，則，其中，則，．因為，所以，所以①正確；因為，所以，當(dāng)時，，此時異面直線與所成的角為；當(dāng)時，，令，其中，則，所以，所以異面直線與所成角的取值范圍為，綜上可知異面直線與所成角的取值范圍為，所以②正確；若平面，則，因為，，所以．，因為方程無實數(shù)解，所以不成立，所以③不正確；在正方體中，點在上，且平面，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，因為平面，所以三棱錐的高為，因為，所以④正確．故選：C.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．設(shè)拋物線：的焦點為，點在拋物線上，點，若，且，則拋物線的方程可以為（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用拋物線的定義、以及幾何性質(zhì)求解.【詳解】

設(shè)，因為，所以，因為，所以，即，所以，所以，解得，所以，解得或，所以拋物線的方程為或．故選:BC.10．下列命題中正確的是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是1B．若事件的概率滿足且，則相互獨立C．已知隨機變量，若，則D．若隨機變量，則【答案】BCD【分析】對于A：根據(jù)百分位數(shù)分析運算；對于B：根據(jù)條件概率和獨立事件分析判斷；對于C：根據(jù)二項分布的方差以及方差的性質(zhì)分析判斷；對于D：根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)分析判斷.【詳解】對于選項：8個數(shù)據(jù)從小到大排列，由于，所以第25百分位數(shù)應(yīng)該是第二個與第三個的平均數(shù)，故A錯誤；對于選項：由，可得，即，可得，所以相互獨立，故B正確；對于選項C：因為，則，故C正確；對于選項D：因為隨機變量，由正態(tài)曲線的對稱性可得：，則，所以，故D正確；故選：BCD.11．已知三棱柱的六個頂點都在球O的球面上，.若點O到三棱柱的所有面的距離都相等，則（

）A．平面B．C．平面截球O所得截面圓的周長為D．球O的表面積為【答案】AC【分析】根據(jù)球的性質(zhì)可判斷為直棱柱，即可判斷A，由內(nèi)切球的性質(zhì)，結(jié)合三棱柱的特征即可判斷B，由勾股定理以及等邊三角形的性質(zhì)可判斷CD.【詳解】選項A，三棱柱的六個頂點都在球O的球面上，根據(jù)球的對稱性可知三棱柱為直棱柱，所以平面，因此A正確.選項B：因為，所以.因為點O到三棱柱的所有面的距離都相等，所以三棱柱的內(nèi)切球與外接球的球心重合.設(shè)該三棱柱的內(nèi)切球的半徑為r，與底面以及側(cè)面相切于,則,由于為矩形的對角線交點，所以，而三角形為等邊三角形，所以,所以，所以，因此B錯誤.

選項C：由，可知，解得（負(fù)值已舍去），則.易得的外接圓的半徑，所以平面截球O所得截面圓的周長為，因此C正確.選項D：三棱柱外接球的半徑，所以球O的表面積，因此D錯誤.故選：AC12．已知函數(shù)的最小值為2，則（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷A是錯誤，利用導(dǎo)數(shù)求最小值判斷CD，由不等式性質(zhì)得出B的真假．【詳解】選項A，若，則，是上的增函數(shù)，無最小值，A錯；，由得，記，，，由選項A分析及已知得，時，，遞減，時，，遞增，所以時，取得極小值也是最小值，若，則，，，D正確，此時由于得，B也正確；若，則，，，從而，，不合題意（同理可證也是錯誤的），C錯．故選：BD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線C：的漸近線方程為，則C的離心率為.【答案】【分析】由題意可得，然后由可求得結(jié)果.【詳解】因為雙曲線C：的漸近線方程為，所以，所以離心率，故答案為：14．若直線與曲線相切，則．【答案】【分析】設(shè)出切點坐標(biāo)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合已知切線列式求解即可.【詳解】依題意，設(shè)切點為，則，由，求導(dǎo)得，于是，解得，從而，則.故答案為：15．在平面直角坐標(biāo)系中，圓和外切形成一個8字形狀，若，為圓M上兩點，B為兩圓圓周上任一點（不同于點A，P），則的最大值為．【答案】/【分析】利用已知條件求解，，即可得到圓的方程，設(shè)出的坐標(biāo)，化簡向量的數(shù)量積，求解最值即可．【詳解】圓，，為圓上兩點，可得，解得，，所以，圓，滿足圓和外切，為兩圓圓周上任一點（不同于點，，如果取得最大值，可知在上，設(shè)，則,,，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值．故答案為：

16．已知函數(shù)，若從集合中隨機選取一個元素，則函數(shù)恰有7個零點的概率是．【答案】【分析】由，得，由，得，畫出的圖象結(jié)合，且，分情況求解即可.【詳解】由，得，當(dāng)時，的最小值為．由，得，即，因為，所以．而，當(dāng)時，方程的實數(shù)解的個數(shù)分別為3，3，2；當(dāng)時，方程的實數(shù)解的個數(shù)分別為3，2，2；當(dāng)時，方程，的實數(shù)解的個數(shù)均為2．所以當(dāng)時，函數(shù)恰有7個零點，故所求概率為．故答案為：

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查分段函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象求解即可，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．設(shè)等差數(shù)列前項和，，滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式進行求解即可；（2）利用等差數(shù)列前項和公式，結(jié)合裂項相消法進行求解即可.【詳解】（1）依題意有，，，又為等差數(shù)列，設(shè)公差為，，.（2）由（1）可得，，，，，，.18．如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是矩形，分別是的中點，平面經(jīng)過點與棱交于點．

(1)試用所學(xué)知識確定在棱上的位置；(2)若，求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)靠近的三等分點處(2)【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合平行線的性質(zhì)進行求解即可；（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】（1）過作直線與平行，延長與交于點，連接與的交點即為點．因為底面是矩形，是的中點，所以，且．又，所以，因為是的中點，可得，則，所以．故在棱的靠近的三等分點處．

（2）因為是的中點，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面．取中點，連接，易知兩兩相互垂直，如圖，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，．

設(shè)平面的法向量為，則即令，則，所以．．設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為．19．從條件①；②中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答.在中：內(nèi)角的對邊分別為，______.(1)求角的大?。?2)設(shè)為邊的中點，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①，利用正弦定理邊化角，結(jié)合輔助角公式可整理得到，由角的范圍可求得；若選②，利用二倍角和輔助角公式可化簡求得，由角的范圍可求得；（2）由，平方后可用表示出，結(jié)合基本不等式可求得最大值.【詳解】（1）若選條件①：由正弦定理得：，，，，，即，，又，，，解得：；若選條件②：，，，，，，解得：.（2），，即，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），的最大值為.20．已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性并求極值.(2)設(shè)函數(shù)（為的導(dǎo)函數(shù)），若函數(shù)在內(nèi)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極小值為，無極大值；(2).【分析】（1）求出，然后可得單調(diào)性和極值；（2），然后求出當(dāng)時的單調(diào)性，要使函數(shù)在內(nèi)有兩個不同的零點，則有，解出，然后證明即可.【詳解】（1）因為在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極小值為，無極大值.（2）因為，所以，當(dāng)時，，所以當(dāng)或時，在上單調(diào)，至多只有一個零點，不滿足題意，當(dāng)時，由可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以要使函數(shù)在內(nèi)有兩個不同的零點，則有，由可得，下面證明當(dāng)時，令，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)時，綜上：實數(shù)的取值范圍為.21．某校組織“青春心向黨，喜迎二十大”主題知識競賽，每題答對得3分，答錯得1分，已知小明答對每道題的概率是，且每次回答問題是相互獨立的.(1)記小明答3題累計得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若小明連續(xù)答題獲得的分?jǐn)?shù)的平均值大于2分，即可獲得優(yōu)秀獎.現(xiàn)有答和道題兩種選擇，要想獲獎概率最大，小明應(yīng)該如何選擇？請說明理由.【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望：(2)小明選擇答道題時，獲獎的概率更大，理由見解析【分析】（1）由X的取值為3，5，7，9，再利用獨立重復(fù)試驗求得概率，然后列出分布列進而求得數(shù)學(xué)期望；（2）分別求出小明選擇答道題與道題獲得優(yōu)秀獎的概率，再進行比較即可.【詳解】（1）由題意知，，，，所以的分布列為3579；（2）由題意可知甲同學(xué)答一題得3分的概率為，得1分的概率為，若選擇答道題，此時要能獲得優(yōu)秀獎，則需次游戲的總得分大于，設(shè)答道題中，得3分的題數(shù)為，則，則，易知，故此時獲優(yōu)秀獎的概率：，，，同理可以求出當(dāng)選擇答道題，獲優(yōu)秀獎的概率為，因為，所以，則，所以小明選擇答道題時，獲獎的概率更大.22．已知橢圓的左、右頂點分別為，長軸長為短軸長的2倍，點在上運動，且面積的最大值為8．(1)求的方程；(2)若直線經(jīng)過點，交于兩