新教材高中數(shù)學(xué)選擇性人教B版必修第三冊 數(shù)列基礎(chǔ) 學(xué)案

5.1數(shù)列基礎(chǔ)

5.1.1數(shù)列的概念

最新課程標(biāo)準(zhǔn)

1.理解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項(xiàng)

公式）.

2.掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用.（難點(diǎn)）

3.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).

恤川HW川小川川川川川川川川川川川川川川川川H川川川勿/囪囪陶?:「］匕I學(xué)I"川川川川川1川皿川川則川川川川田川川川川川川川川h

［教材要點(diǎn)］

知識點(diǎn)一數(shù)列的概念及一般形式

定義：按照一定次序排列起來的一列數(shù)

項(xiàng)：數(shù)列中的稱為這個數(shù)列

的項(xiàng)；排在的數(shù)稱為這個數(shù)

列的第1項(xiàng)（通常也叫做首項(xiàng)）

數(shù)列

數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)一樣嗎?

［提示］不一樣.

知識點(diǎn)二數(shù)列的分類

類別含義

按項(xiàng)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)—_______的數(shù)列

的

無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)—_______的數(shù)列

個數(shù)

從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都_______—它的

遞增數(shù)列

按項(xiàng)前一項(xiàng)的數(shù)列

的從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都_______—它的

遞減數(shù)列

變化前一項(xiàng)的數(shù)列

趨常數(shù)列各項(xiàng)都________的數(shù)列

勢從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)________它的前

擺動數(shù)列

一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列

知識點(diǎn)三數(shù)列的通項(xiàng)公式

如果數(shù)列伍〃｝的第n項(xiàng)即與之間的關(guān)系可以用一個

函數(shù)式來表示，那么這個叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)

公式.

狀元隨筆|數(shù)列一定有通項(xiàng)公式嗎？

［提示］不一定.

知識點(diǎn)四數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作是特殊的函數(shù)，關(guān)系如下

表：

定義域正整數(shù)集N+（或它的有限子集｛1,2,3,…，〃｝）

解析式數(shù)列的通項(xiàng)公式

值域自變量______________時對應(yīng)的一列函數(shù)值

（1）通項(xiàng)公式（解析法）；（2）________法；

表示方法

（3）________法

狀元隨筆數(shù)列所對應(yīng)的圖像是連續(xù)的嗎?

［提示］不連續(xù).

［基礎(chǔ)自測］

21

1.已知數(shù)列｛z｝的通項(xiàng)公式為?！?房,那么總是它的（）

A.第4項(xiàng)B.第5項(xiàng)

C.第6項(xiàng)D.第7項(xiàng)

2.下列四個數(shù)中，哪個是數(shù)列｛〃5+1）｝中的一項(xiàng)（）

A.380B.392

C.321D.232

1+(-11

3.已知數(shù)列｛“〃｝的通項(xiàng)公式為an=一丁一，則該數(shù)列的

前4項(xiàng)依次為()

A.1,0,1,0B.0,1,0,1

C.1,0,1，0D.2,0,2,0

J.2，2，2，Vi?J'

4.下列說法正確的是.(填序號).

①(0123451是有窮數(shù)列?

②從"至；決’的自然數(shù)構(gòu)成二個無窮遞增數(shù)列;

③數(shù)列123,4,…，2"是無窮數(shù)列.

川川川川川川川川川川川川川I川川川川川川川川川I卅勿出勿h瑪圜陶|圖?I素］養(yǎng)I提I升I中川川川川川川川川川川川川川川川小川川川川川川川川h

題型一數(shù)列的概念及分類

例1已知下列數(shù)列：

①2011,2012,2013,2014,2015,2016；

科23(-1)〃一％

③1，萬亍…，2-1'…；

crm

④1,0,—L…，sing,???；

⑤2,4,8,16,32,???；

⑥一1,-1,-1,—1.

其中，有窮數(shù)列是，無窮數(shù)列是，遞增數(shù)

列是,遞減數(shù)列是,常數(shù)列是,擺動

數(shù)列是.(填序號)

狀元隨筆|緊扣有窮數(shù)列，無窮數(shù)列，遞增數(shù)列，遞減數(shù)列,

常數(shù)列及擺動數(shù)列的定義求解.

方注歸他

1.與集合中元素的性質(zhì)相比較，數(shù)列中的項(xiàng)的性質(zhì)具有以下

特點(diǎn)：

(1)確定性：一個數(shù)是或不是某一數(shù)列中的項(xiàng)是確定的，集合

中的元素也具有確定性；

(2)可重復(fù)性：數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)，而集合中的元素不能重

復(fù)出現(xiàn)(即互異性)；

(3)有序性：一個數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān)，而且與

這些數(shù)的排列順序有關(guān)，而集合中的元素沒有順序(即無序性)；

(4)數(shù)列中的每一項(xiàng)都是數(shù)，而集合中的元素還可以代表除數(shù)

字外的其他事物.

2.判斷數(shù)列是哪一種類型的數(shù)列時要緊扣概念及數(shù)列的特

點(diǎn).對于遞增、遞減、擺動還是常數(shù)列要從項(xiàng)的變化趨勢來分析;

而有窮還是無窮數(shù)列則看項(xiàng)的個數(shù)有限還是無限.

跟蹤訓(xùn)練1給出下列數(shù)列：

①2011?2018年某市普通高中生人數(shù)(單位：萬人)構(gòu)成數(shù)列

82,93,105,119,129,130,132,135.

②無窮多個小構(gòu)成數(shù)列小，小，小,小，….

③一2的1次幕，2次累，3次幕，4次事，…構(gòu)成數(shù)列一2,4,

—8,16,—32,….

其中，有窮數(shù)列是,無窮數(shù)列是,遞增數(shù)

列是,常數(shù)列是,擺動數(shù)列是.

題型二由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式

例2寫出下列數(shù)列的一個通項(xiàng)公式：

⑴；，2,|,8,苧，???；

(2)9,99,999,9999,…；

22-132—242—352—4

⑶，5，

⑷-1X2,2X3'-3X4,4X5'

狀元隨筆先觀察各項(xiàng)的特點(diǎn)，注意前后項(xiàng)間的關(guān)系，分子

與分母的關(guān)系，項(xiàng)與序號的關(guān)系，每一項(xiàng)符號的變化規(guī)律，然后

歸納出通項(xiàng)公式.

方法歸他

1.根據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時，需仔細(xì)觀察分析,

抓住以下幾方面的特征：

(1)分式中分子、分母的特征；

(2)相鄰項(xiàng)的變化特征；

(3)拆項(xiàng)后的特征；

(4)各項(xiàng)符號特征等，并對此進(jìn)行歸納、聯(lián)想.

2.觀察、分析問題的特點(diǎn)是最重要的，觀察要有目的，觀察

出項(xiàng)與序號之間的關(guān)系、規(guī)律，利用我們熟知的一些基本數(shù)列(如

自然數(shù)列、奇偶數(shù)列等)轉(zhuǎn)換而使問題得到解決，對于正負(fù)符號變

化，可用(-1)”或(-1)田來調(diào)整.

跟蹤訓(xùn)練2寫出下列數(shù)列的一個通項(xiàng)公式：

(1)0,3,8,15,24,…；

(2)1,-3,5,-7,9,…；

1234

(3)1/,2,，31,45，???；

(4)1,11,111,1111,

題型三數(shù)列的單調(diào)性及應(yīng)用

狀元隨筆

1.數(shù)列1］3p7(1若5，3券1…的通項(xiàng)公式是什么？該數(shù)列的

24o1032

第7項(xiàng)是什么？念255是否為該數(shù)列中的一項(xiàng)？為什么？

ZJO

［提示］由數(shù)列各項(xiàng)的特點(diǎn)可歸納出其通項(xiàng)公式為an=

7

1一，當(dāng)n=7時，a7=一?—廠1=續(xù)1?7，若9怒55為該數(shù)列中的一項(xiàng)，

乙IZoZDO

255255

川2,1-256'解得『8,所以須是該數(shù)列中的第8項(xiàng).

2.已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an=—W+2n+l,該數(shù)列的圖

像有何特點(diǎn)？試?yán)脠D像說明該數(shù)列的單調(diào)性及所有的正數(shù)項(xiàng).

［提示］由數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系可知，數(shù)列｛%｝的圖像是分布在

二次函數(shù)y=—x?+2x+l圖像上的離散的點(diǎn)，如圖所示，從圖像

上可以看出該數(shù)列是一個遞減數(shù)列，且前兩項(xiàng)為正數(shù)項(xiàng)，從第3

項(xiàng)往后各項(xiàng)為負(fù)數(shù)項(xiàng).

例3已知函數(shù))=%一：.數(shù)歹U｛an｝滿足/(“〃)=一2〃，且an>0.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)判斷數(shù)列｛“”｝的增減性.

狀元隨筆先根據(jù)已知條件解方程求“，再利用作差法或作

商法判斷數(shù)列｛an｝的增減性.

方法歸他

1.由通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的指定項(xiàng)，主要是對〃進(jìn)行取值，然

后代入通項(xiàng)公式，相當(dāng)于函數(shù)中，已知函數(shù)解析式和自變量的值

求函數(shù)值.

2.判斷一個數(shù)是否為該數(shù)列中的項(xiàng)，其方法是可由通項(xiàng)公式

等于這個數(shù)求方程的根，根據(jù)方程有無正整數(shù)根便可確定這個數(shù)

是否為數(shù)列中的項(xiàng).

3.判斷數(shù)列單調(diào)性的兩種方法

⑴作差(或商)法；

(2)目標(biāo)函數(shù)法：寫出數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)，利用基本初等函數(shù)的

單調(diào)性探求其單調(diào)性，再將函數(shù)的單調(diào)性對應(yīng)到數(shù)列中去，由于

數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)圖像是離散型的點(diǎn)，故其單調(diào)性不同于函數(shù)的單

調(diào)性，本例(2)在求解時常因誤用二次函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)致求錯實(shí)數(shù)

k的取值范圍.

在用函數(shù)的有關(guān)知識解決數(shù)列問題時，要注意它的定義域是

N+(或它的有限子集｛1,2,3,…，N)這一約束條件.

跟蹤訓(xùn)練3已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為的=泳+2〃-5.

(1)寫出數(shù)列的前三項(xiàng)；

⑵判斷數(shù)列｛“〃｝的單調(diào)性.

題型四數(shù)列的最大(小)項(xiàng)的求法

例4已知數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式詼=(〃+1)［打加￡N+),試問

數(shù)列｛?！ǎ袥]有最大項(xiàng)？若有,求最大項(xiàng)和最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù);若沒有,

說明理由.

方法模的

求數(shù)列的最大(小)項(xiàng)的兩種方法

一是利用判斷函數(shù)增減性的方法，先判斷數(shù)列的增減情況，

再求數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)；如本題利用差值比較法來探討數(shù)列

的單調(diào)性，以此求解最大項(xiàng).

,a會ak-\

二是設(shè)以是最大項(xiàng)，則有、對任意的％￡N+且上22

一或三或+1

都成立，解不等式組即可.

跟蹤訓(xùn)練4已知數(shù)列｛“〃｝的通項(xiàng)公式為“〃=/—5n+4.

(1)數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？

(2)八為何值時，“〃有最小值？并求出最小值.

數(shù)材女思

1.本節(jié)課的重點(diǎn)是數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式以及數(shù)列通項(xiàng)公式

的求法.難點(diǎn)是根據(jù)數(shù)列的若干項(xiàng)寫出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式.

2.要掌握由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式的方法以

及由數(shù)列的通項(xiàng)公式求項(xiàng)或判斷一個數(shù)是否為數(shù)列中的某一項(xiàng)的

方法.

易錯點(diǎn)要注意以下兩個易錯點(diǎn)：

1.并非所有的數(shù)列都能寫出它的通項(xiàng)公式，例如，兀的不同

近似值，依據(jù)精確的程度可形成一個數(shù)列3,3.1,3.14,3.141,…，它

沒有通項(xiàng)公式.

2.如果一個數(shù)列有通項(xiàng)公式，則它的通項(xiàng)公式可以有多種形

式.

溫馨提示：請完成課時分層作業(yè)（一）

第五章數(shù)列

5.1數(shù)列基礎(chǔ)

5.1.1數(shù)列的概念

新知初探咱主學(xué)習(xí)

知識點(diǎn)一

每一個數(shù)第一位（an}

知識點(diǎn)二

有限無限大于小于相等大于

知識點(diǎn)三

nan—j{ri）公式

知識點(diǎn)四

從小到大依次取正整數(shù)值列表圖像

［基礎(chǔ)自測］

11?

1.解析：設(shè)上是數(shù)列中的第八項(xiàng)，則方解得〃=4

或〃=—5.:一54N+,.,.八=一5應(yīng)舍去，故〃=4.

答案：A

2.解析：因?yàn)?9X20=380,

所以380是數(shù)列｛九5+1)｝中的第19項(xiàng).應(yīng)選A.

答案：A

3.解析：當(dāng)〃分別等于1,2,3,4時，(71=1,“2=0，"3=1,"4

=0.

答案：A

4.解析:因?yàn)椋?,1,2,3,4,5｝是集合，而不是數(shù)列，所以①錯誤；

②正確;數(shù)列1,234,…，2〃共有2〃項(xiàng)，是有窮數(shù)列，所以③錯

誤.

答案：②

課堂探究?素養(yǎng)提升

例1解析：①為有窮數(shù)列且為遞增數(shù)列；②為無窮、遞減數(shù)

列；③為無窮、擺動數(shù)列；④是擺動數(shù)列，是無窮數(shù)列，也是周

期為4的周期數(shù)列；⑤為遞增數(shù)列，也是無窮數(shù)列；⑥為有窮數(shù)

列，也是常數(shù)列.

答案：①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④

跟蹤訓(xùn)練1解析：①為有窮數(shù)列；②③是無窮數(shù)列，同時①

也是遞增數(shù)列；②為常數(shù)列；③為擺動數(shù)歹L

答案：①②③①②③

例2解析：(1)數(shù)列的項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將

1491625

各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察：木右…，所以，它的一

2'2，2，

個通項(xiàng)公式為a“=5(〃￡N+).

(2)各項(xiàng)加1后，變?yōu)?0,100,1000,10000,…此數(shù)列的通項(xiàng)公

式為式",可得原數(shù)列的通項(xiàng)公式為期=10"—l(〃=N+).

(3)數(shù)列中每一項(xiàng)由三部分組成，分母是從1開始的奇數(shù)列，

可用2〃一1表示；分子的前一部分是從2開始的自然數(shù)的平方，

可用(〃+1)2表示，分子的后一部分是減去一個自然數(shù)，可用〃表

(n~\~1/一幾

示，綜上，原數(shù)列的通項(xiàng)公式為叫=\不-，5GN+).

2〃-1

(4)這個數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對值都等于序號與序號加1的積的

倒數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個通項(xiàng)公式是

=(一1)"丁亦(〃6+)?

n{n-\-1)

跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)觀察數(shù)列中的數(shù)，可以看到0=1—1,3

=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,…，所以它的一個通項(xiàng)公

式是dn—n2—N+).

(2)數(shù)列各項(xiàng)的絕對值為1,3,5,7,9,…，是連續(xù)的正奇數(shù)，并

且數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，所以它的一個通項(xiàng)公式為期

=(-1)"+I(2L1)(〃￡N+).

(3)此數(shù)列的整數(shù)部分為123,4,…恰好是序號n,分?jǐn)?shù)部分

n

與序號H的關(guān)系為干，故所求的數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為如i+

nrr-\-2n

(4+).

n~\-1

(4)原數(shù)列的各項(xiàng)可變?yōu)椋篨9,3X99,3X999,59999,…,

yyyy

易知數(shù)列9,99,999,9999,…的一個通項(xiàng)公式為期=10"-1.所以原

數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為斯=/10"—1)(〃￡N+).

例3解析：⑴二7(%)=%—/(④)=-2〃，

Ji

/.an————即屆+2〃?！耙?—0,

解得—〃川噌+1,

Van>0,an=\]tv-\-\—n.

(2)法一(作差法)

an+\—cin=q(n+])2+1—(/?+1)—?序+1—ri)

[(〃+1y+1+、4+1

______(〃+])+〃_____

[(〃+111?

又、(“+1y+1>n+1,X層+1>n,

.(n+l)+n

*^/(H+1)2+1++1°

an+\—an<0,即。"+1<。〃.，數(shù)列｛?！ǎ沁f減數(shù)列.

法二(作商法)_________

..c?a〃+1d(〃+i)2+i—(〃+i)

*""3an1—ft

_____1+〃

-\J(AZ+1)2+1+(n+1)L

???斯+1〈即，數(shù)列｛恁｝是遞減數(shù)列.

跟蹤訓(xùn)練3解析：⑴數(shù)列的前三項(xiàng)：°1=1?+2X1—5=-2；

“2=22+2X2—5=3；

“3=32+2X3—5=10.

(2);?！?/+2〃-5,

22

an+\—“"=(〃+l)+2(n+1)—5—(n+2n—5)

=H2+2H+1+2?+2—5—n2—2?+5

—2/1+3.

?fi￡,??2/2I3>0,??cin+i>a〃.

■數(shù)列｛〃”｝是遞增數(shù)列.

(10、,10、