高考數(shù)學(xué)解析幾何-第17講 蒙日圓及其應(yīng)用

高考數(shù)學(xué)解析幾何

第17講蒙日圓及其應(yīng)用

知識與方法

L橢圓的蒙日圓

橢圓C^+?=l(α>b>O)的兩條互相垂直的切線的交點P的軌跡是蒙日圓:/+V=

a2+b?

【證明】

方法1:(1)當兩條互相垂直的切線中的斜率均存在且均不為。時,設(shè)點P的坐標為(Xo,y°)(xo≠

fe

±α,且y()≠±b),因此設(shè)過點P的切線方程為y-%=∕c(x-x0)(≠θ)?

住!+藝=1

由a2+b2?得

y-y0=Mx-χ0)

22z22

2ka{kx0—y0)x+α(fcx0—y0)—ab—0

因為直線與橢圓相切,所以其判別式為0,得

222

(XQ-a)k-2x0y0k+%一〃=0(--a≠0)

因為部〃PB是這個關(guān)于k的一元二次方程的兩個根,所以Ma?kpB=??.

%0-Q

2222

由此得∕?4?kpB=-1<=>+y^=a÷進而可得/÷y=a+b.

⑵若兩條切線中有一條斜率不存在時,可得點P的坐標是(±Q,b),或(±a,-b),滿足/+y2=

a2+b2.

222

綜上所述:交點P的軌跡是蒙日圓:產(chǎn)+y=a+b.

方法2：作變換x，=力，=今則橢圓變?yōu)閱挝粓AC，:方+y21,

設(shè)原來兩條切線P4PB斜率分別為心,七,自七=-1,變換后

QQQaQ4

k1=Ekl&=~^k2,k1k2=后AIA2=一廬

設(shè)變換后的坐標系中的動點P(XO/0),過P點直線，:y-yo=k(x-A?),

設(shè)變換后的坐標系中的動點P(%o,y°),過P點直線上y—y0=∕c(x-x0),

即上kx—y—(fcxθ—y)=0,原點至∣JE的距離d=∣叫；,∣=1，

222

即(A%。一y0)=k+1,化簡得(賄-l)fc-2:XOyOk+羽一I=O

222

由韋達定理可得：k'1k'2=%=-化簡得a?就+byl=a+b

由于在原坐標系中工=ax',y=by',

所以在原坐標系中,軌跡方程為/+y2=α2÷b2.

【注】雙曲線W-A=l(α>h>0)的兩條互相垂直的切線的交點的軌跳是圓/+y2=

a2-b2(a>加拋物線y?=2px的兩條互相垂直的切線的交點是該拋物線的準線X=-今

2.橢圓蒙日圓的性質(zhì)

性質(zhì)L過圓*2+y2=cι2+爐上的動點P作橢圓條+'=i(α>b>0)的兩條切線P4、PB,

則241PB

性質(zhì)2.設(shè)P為圓OM+/=蘇+/上任一點,過點P作橢圓捺+5=1的兩條切線,切點分別

為4、&延長P4、PB交圓。于兩點C、D,則：

(1)C、0、D三點共線;

(2)CDHAB-,

22

zox..b..b

(3)k0p?kco=--tk0p?KAB=一/，

b2b2

^OA?kpA=一層，*。8?kpB=一9

(4)?oλ'koB=--J

22

性質(zhì)3.過圓M+y=α+接上的動點P作橢圓5+《=l(a>b>0)的兩條切線,。為原點,

則P。平分橢圓的切點弦AB.

注:由性質(zhì)2中的∕?p?kAB=一，不難得證.

典型例題

γ2

【例1］己知橢圓C:?+y2=1,P為圓/+y2=5上的一個動點,過P的切線于橢圓C相切于

48兩點,與圓相交于。。兩點,求證人8〃(?。.

【例2.］已知橢圓C:/+A=l(a>b>0)的一個焦點為(√9,0),離心率當

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若動點P(XO,y0)為橢圓C外一點,且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點P的軌跡方程.

【例3］給定橢圓。攝+真=l(α>e>0),稱圓心在原點。,半徑為√ɑ2+爐的圓是橢圓C的

“準圓".若橢圓C的一木焦點為F(√Σ,O)淇短軸上的一個端點到F的距離為√1

(1)求橢圓C的方程和其“準圓”方程；

⑵點P是橢圓C的“準圓”上的動點,過點P作橢圓的切線h%交“準圓”于點MM

(1)證明：當點P為“準圓”與y軸正半軸的交點時」1I2;

(2)求證：線段MN的長為定值.

強化訓(xùn)練

1.已知圓Cχ2+y2=1,若直線y=kχ+2上存在點P,使得過點P與圓C相切的兩切線互相垂

直,則實數(shù)k的取值范圍是.

2.已知橢圓a+左=I(ɑ>b>0)的，直線Lmx+y-3m-2=0,若直線上存在點P,使得過

點P總能作前條互相垂直的切線,則實數(shù)m的取值范圍是。

3.已知柏圓C:9+?=l/x+y=4,由動點M向橢圓引兩條切線且，i，，2夾角為鈍角,則

動點M到直線/的距離的取值范圍是o

4.過橢圓W+y2=l(α>1)上一點P及坐標原點O作直線I與圓/+y2=cι2+ι交于48兩

點.若存盤點P滿足a2=?PA?■?PB?+1,則實數(shù)a的取值范圍是.

5.已知圓O:X2+y2=34,橢圓C噎+W=1?

(1)若點P在圓。上,線段OP的垂直隼分旗經(jīng)過橢圓的右焦點,求點P的橫坐標；

(2)現(xiàn)有如下真命題：

“過圓/+y2=52+32上任意一點Q(m,n)作橢圓弓+r=1的兩條切線,則這兩條切線垂

直"；

“過圓/+y2=42+72上任意一點Q(XTl)作橢圓盤+9=1的兩條切線,則這兩條切線垂

直據(jù)此,寫出一般結(jié)論,并加以證明.

2

6.已知橢圓Cv:*+'?=l(m>1),若存在過點(1,2)且相互垂直的直線A,%,使得，ι,%,與橢圓

C均無公共點「則該橢圓離心率的取值范圍是.

7.已知從圓C:/+y2=r2(r>0)上一點Q(O,r)作兩條互相垂直的直線與橢圓τ:"+?=1

相切,同時圓C與直線+y-√5m-1=0交于4B兩點,則MBl的最小值為()

A.2√3B.4C.4√3D,8

8.設(shè)橢圓9+3=1的兩條互相垂直的切線的交點軌跡為C,曲線C的兩條切線PA、PB交于

點P,且與C分別切于4、B兩點,求方?麗的最小值.

9.已知橢圓C:[+y2=1,M是圓M+V=3上的任意一點,M4MB分別與橢圓切于4a求4

40B面積的取值范圍.

參考答案

【例11己知橢圓C:9+y2=ι,p為圓/+y2=$上的一個動點,過P的切線于橢圓C相切于

4B兩點,與圓相交于C,D兩點,求證:AB〃CD.

【解析】設(shè)AB與OP交于點M,

由性質(zhì)2可知,M為4B中點.

由性質(zhì)1可知/ZPB=90°,

所以MA=MB=MP.

由圓的性質(zhì)可知,OP=OC=0D.

因此有ZjMM=/.APM=乙CPO=/.PCO,

所以4BHCD.

【例2】已知橢圓C:?+'=l(α>b>0)的一個焦點為(通,0),離心率9.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若動點P(XO,y°)為橢圓C外一點,且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點P的軌跡方程.

【答案】(1斤+?=L(2*+y2=13.

【解析】⑴可知C=W=所以。=3,扭=一￠2=4,橢圓C的標準方程為I+：=

a394

1.

(2)解法1:構(gòu)造同構(gòu)式

設(shè)兩切線為k，G，

①當21J.X軸或，1〃X軸時,對應(yīng)，2〃久軸或，2Lx軸,可知P(±3,±2);

②當，1與X軸不垂直且不平行時,Xo≠±3,設(shè)，1的斜率為k,則k≠0/2的斜率為一也

，［的方程為y-%=fc(x-XO),聯(lián)立"+y=1,得

222

(9k+4)X+18(y0—kx0)kx+9(y0—fcx0)-36=0

因為直線與朋圓相切,所以A=0,得

2222

9仇一kx0)k-(9k+4)[(y0-fcx0)-4]=0

整理得

24

(?o-9)fc-2x0y0k+yo-=O(I)

所以k和一是⑴的兩個根,所以

?kJXQ-9

整理得端+yo=13,其中Xo≠±3,

此時點P的軌跡方程為"+y2=13(X≠+3),

因為P(±3,±2)也滿足上式,綜上知：點P的軌跡方程為/+y2=13.

解法2：利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)

設(shè)橢圓的中心為。,&、尸2分別為橢圓的左右焦點,IFIF21=2√5,

橢圓的兩條切線為P4、PB,

M、N分別為Fl關(guān)于P4、&關(guān)于PB的對稱點.

由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知：Fz,4M及Fι,B,N分別三點共線，

由橢圓定義有:MF2=NF1=2a.

設(shè)FlM交直線P4于點Q,F2N交直線PB于點S,分別延長MF】、NF?交于點R

則。Q=IMF2=∣Λ∕F1=OS=a=3,OR=∣F1F2=C=瓜

在矩形PQRS中,由平面幾何知識知:。。2+OR2=OQ2+OS2,

代入得OP?=OQ2+OS2-O/?2=9+9-5=13,

所以點P的軌道方程為/+y2=13

【例3］給定橢圓。塔+真=l(α>e>0),稱圓心在原點。,半徑沏戶口廬的圓是橢圓C的

“準圓”.若橢圓C的一木焦點為F(√Σ,0),其短軸上的一個端點到F的距離為百.

⑴求橢圓C的方程和其“準圓”方程；

⑵點P是橢圓C的“準圓”上的動點,過點P作橢圓的切線九％交“準圓”于點MM

(1)證明：當點P為“準圓”與y軸正半軸的交點時』11Z2;

(2)求證：線段MN的長為定值.

【答案】(l)∕+y2=4；(2)見解析

【解析】⑴根據(jù)題意C=√2,α=倔所以b=1.所以橢圓的方程9+y2=1,“準圓”方程為

X2+y2=4.

⑵①“準圓"f+y2=4與>軸正半軸的交點為P(0,2),

設(shè)過點P。2)且與橢圓相切的直線為y=H+2,

y-kx+2

由<X2-).得(l+3^)f+i2依+9=0.

—+y^=1

13?

因為直線y=自+2與橢圓相切,所以A=144爐-4X90+322)=O,解得％=±1.

所以4，/2的方程分別為丁=》+2/=一1+2.因為底-4=—1,所以4_1￡

②當直線4,4中有一條斜率不存在時，設(shè)直線4斜率不存在,則《：X=±6.

當時，4與“準圓”交于點(6,1),(石,-1),此時，2為y=l(或y=-l),顯然

直線4,4垂直;同理當4：%=—G時，直線4,乙垂直.

當IJ斜率存在時,設(shè)點P(天),為)，其中片+乂=4.

設(shè)經(jīng)過點P（AO,%）與橢圓相切的直線為y=f（尤-x。）+%，

y=Gf）+%

?√得:(1+3產(chǎn)+6∕(y0-r%0)x+3(y0-tt0)^-3=0,

.T

由△=（）化簡整理得：（3-片y+2/卬+1—y：=0.

因為片+y；=4,所以（3-君）產(chǎn)+2x（W+（片-3）=0.

設(shè)44的斜率分別為4也,因為4,4與橢圓相切,

所以乙也滿足（3-W+2Λ0Nof+（x；_3）=0.

所以=一1,即4,4垂直?結(jié)合①，

因為∕1,12經(jīng)過點P（Aυ,%）,又分別交其“準圓”于點M,N,旦垂直?

所以線段MN為“準I員I"%2+/=4的直徑,IMNI=4為定值.

強化訓(xùn)練

L已知圓C:/+y2=1,若直線y=依+2上存在點P,使得過點P與圓C相切的兩切線互相垂

直,則實數(shù)k的取值范圍是.

【答案】（一8,-l]U[l,+8）.

【解析】?OP?2=I2+I2=2,圓的蒙日圓為/+V=2（可將圓看成α,b相等的橢圓）

由題意可知,直線y=kx+2與圓/+y?=2有公共點，

故Vz：+i（得k≥1或k≤—1.

2.已知橢圓盤+g=l（α>h>0）的，直線2:mx+y-3m-2=0,若直線上存在點P,使得過

點P總能作兩條互相垂直的切線,則實數(shù)nι的取值范圍是______。

【答案】-?^?<m≤0

【解析】橢圓的蒙日圓為尤2+y2=%所有滿足條件的點都在蒙日圓上,由題意可知,直線(與

圓有公共點,由≤2得≤m≤0.

√m2+l5

3.已知柏圓C:9+?=l/x+y=4,由動點M向橢圓引兩條切線∣ι,2,且，1，%夾角為鈍角,則

動點M到直線I的距離的取值范圍是o

【答案】［2√Σ—√7,2√Σ+√7］

【解析】橢圓的蒙日圓為一+y2=7,當M在蒙日圓內(nèi)部時,由M向橢圓引兩條切線，i/2,則

A,%夾角為鈍角,故M所在區(qū)域為圖中陰影部分,由圖可知,當M分別在4B時,M到直線/的距

離分別取得最大值和最小值,而4B到直線I的距離分別為2魚+√7W2√2-√7,故所求范圍

是［2√Σ-√7,2或+√7］

注:從這個題的思路可以看出，當我們拿筷子的手在蒙日圓內(nèi)部時，筷子的夾角是鈍角,手在

蒙日圓的外面時,筷子的夾角是銳角,而蒙日圓,就是兩種角的分界線了.

4.過橢圓京+y2=l(a>1)上一點P及坐標原點。作直線，與圓/+y2=a2+1交于A,B兩

點.若存滂一點P滿足。2=?PA?-?PB?+1,則實數(shù)ɑ的取值范圍是.

【答案】［√Σ,+8)

【解析】an=?PA?■?PB?+1=(√α2+1-∣OP∣)(√a2+l+∣OP∣)+1=a?+2-|PP『,故

?OP?=√Σ,又∣OP∣4a,故a≥癥,故所求a的取值范圍是［√I+8).

(1)若點P在圓。上,線段OP的垂直平分線經(jīng)過橢圓的右焦點,求點P的橫坐標;

(2)現(xiàn)有如下真命題:

“過圓/+y2=52+32上任意一點Q(m,n)作橢圓弓+'=1的兩條切線,則這兩條切線垂

直"；

“過圓/+y2=42+72上任意一點Q(S)作橢圓盤+3=1的兩條切線,則這兩條切線垂

直據(jù)此,寫出一般結(jié)論,并加以證明.

【答案】(1斤;(2)見解析.

【解析】⑴設(shè)點P(XO，%)，則詔+羽=34,(1)橢圓C9+?=l的右焦點尸(4,0),

因為點F在線段OP的垂直平分線上,所以IP用=?OF?,

2

所以(出-4)2+(y0-O)=42,所以據(jù)-8x0+yo=0(2)

由(1),(2),解得與=9,所以點P的橫坐標為?

"過圓χ2+y2=02+匕2上任意一點Q(jn,n)作橢圓S+g=1的兩條切線,則這兩條切線互

相垂直."證明如下：

⑴當過點Q與橢圓2+3=1相切的一條切線的斜率不存在時,此時切線方程為％=±α,

因為點Q在圓/+y2=a2+爐上,所以Q(±α,±b),

所以直線y=±b恰好為過點Q與橢圓捻+，=1相切的另一條切線,所以兩切線互相垂直.

(ii)當過點Q(m,n)與橢圓盤+，=1相切的切線的斜率存在時，

可設(shè)切線方程為y—幾=fc(x—zπ),

%2y2

a2^i^b2~L得∕j2χ2+a2[k(x—m)+n]2—a2b2=0,

{y—n=k(x—m)

22222222

整理得S?+ak)x+2ak(n-km)X+α(n-km)-ab=0,因為直線與橢圓相切，

所以A=4α4∕c2(n-km')2—4(〃+α2∕c2)[α2(∏-km)2—a2b2]=O

整理得(m?-a2)fc2-2mnk+(n2-b2)=0,所以的心=

所以自七=-L所以兩切線互相垂直，

綜上所述,命題成立.

6.已知橢圓C：5+y2=l(m>1),若存在過點(1,2)且相互垂直的直線使得，ι,%,與橢圓

C均無公共點「則該橢圓離心率的取值范圍是_____.

【答案】(0,?).

【解析】橢圓C：j+y2=l(m>1),

顯然4,4中一條斜率不存在和另一條斜率為O時,兩直線與橢圓相交；

可設(shè)4:y-2=Z(x—1),即y=奴+2-h

聯(lián)立橢圓方程可得(I+〃成2)f+2km(2—k)x+m(2—k)2—m=。,

由宜線和橢圓無交點,可得△=4k2m2(2-k)2-4(l+mk2)[皿2-Zr)2-m]<O.

化為-1)r+公一3<0,解得:2-5手<k<-2+而下

m-?777-1

由兩直線垂直的條件,可將k換為-

k

m—1Λ

即有「------3<0,化為3公+4左一根+1>0,

kk

,-2+>∣3m+1,-2-?/?zn+1

解得k>——?-------或k<——三------.

33

LaK?.-T*,-2+?∣3m+1—2+?m+1

由題意可得------------<-------------,m>l1,

3777-1

化為8-2/n<(4-m)+1,由于m〉1時,√3m+l>2,UI得1<<4；

同樣,由一‘魯：＜一27：m+:解得1VrnV4則e=:=Jl一.=Jl-*∈(θ^~)

故答案為:(θW)

7.已知從圓C:/+y2=r2ζr＞0)上一點Q(O,r)作兩條互相垂直的直線與橢圓佇三十一=1

相切,同時圓C與直線kmx+y-√5m-l=0交于4B兩點,則IABl的最小值為()

A.2√3B.4C.4√3D.8

【答案】C

【解析】設(shè)其中條切線的斜率為k,則另一條切線的斜率為-a故切線方程分別為y=kχ+

r9

1

y=——X+r,

k

將y=fcx+r與橢圓方程聯(lián)立可得/+3(fcx+r)2(∕cx+r)2-12=0,

2222222

整理得(1+3k)x+6krx+3r-12=0,則?1=36kr—4(1+3fc)(3r—12)=0

①，

同理將y=-"+r與橢圓方程聯(lián)立并整理可得(1+5)--色+3/—12=0

則A2=誓-4(1+高)(3/_12)=0②,

由①②聯(lián)立可得,k=±l,r=4,

故圓C的方程為/+y2=16,

注意到直線/:nix+y-√3m-1=0過定點P(√5,1),故要使依8|最小,則PC1AB.

又IPCl=J(√3)2+1=2,故此時∣4Bl=2√16-4=4√3.

故選：c.

8.設(shè)橢圓＜+t=1的兩條互相垂直的切線的交點軌跡為C,曲線C的兩條切線P4、PB交于

點P,且與C分別切于4、B兩點,求可?麗的最小值.

【答案】9(2√2-3)

【解析】設(shè)兩切線為％%，

①當2i1X軸或，1IlX軸時,對應(yīng)，2IlX軸或％1X軸,可知P(±Z,±2);

②當A與X軸不垂直且不平行時≠±而,設(shè)11的斜率為k,則k≠0,6的斜率為一1人的方程

為y-yo=Mx-χo),聯(lián)立!+1=1，

04

2y2

得((5-+4)X+10(y0-kx0)kx+5(y0-kx0)-20=0

因為直線與橢圓相切,所以A=0,得

2222

5(y0-fc?)?-(5k+4)[(y0-fcx0)-4]=0

22

所以-2Ok+4[(y0—ICXQ)-4]=0

所以(詔—5)fc2-2XOyok+yθ-4=0

2

所以k是方程(%o-5)x-2x0y0x+詔-4=0的一個根,

2

同理一(是方程(以-5)x-2x0y0x+九-4=0的另一個根,

當~2得詔+Vo=9,其中X≠±√5

所以

k?(DXn—5

所以點P的軌跡方程為/+y2=9(X≠±√5)

因為