黑龍江省齊齊哈爾市2023-2024學(xué)年高三年級上冊12月期末數(shù)學(xué)試題(含答案)

齊齊哈爾普高聯(lián)誼校高三期末考試

數(shù)學(xué)

考生注意：

1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.

3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對

應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域

內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

4.本卷命題范圍：復(fù)數(shù)，數(shù)列立體幾何(含空間向量)占50%；集合，邏輯，不等式，函數(shù)，

導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)，解三角形，平面向量占50%.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選

項是符合題目要求的.

1.已知集合4=1卜2+2?！?<。},集合5={—3,1,2},則AB=()

A.{-3,2}B.{-3,0,1}C.{0}D.0

2.復(fù)數(shù)z=」一在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()

1+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.在等比數(shù)列{4}中，%=2，%=4,則首項4=()

11

A.2B.1C.-D.-

23

4.若平面向量晨b滿足同=2,慟=4,且。0=4,則向量。與b夾角的大小是()

71717127r

A.—B.—C.—D.—

3463

5.設(shè)函數(shù)/(X)=]忖一2兀，則/(九)()

A.是偶函數(shù)，且在(1,+8)上單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在(-1,1)上單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在(-8,-1)上單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在(-8,-1)上單調(diào)遞減

6.若函數(shù)/(x)=sin[ox+V](<y>0)在上單調(diào)，則0的取值范圍是()

A.(1,+co)B.C.(0,1)D.(0,1]

7.若x=3為函數(shù)/⑴二3必—以—31nx的極值點，則函數(shù)/(%)的最小值為()

133

A.——B.--C.---31n3D.3-31n3

222

8.圣?索菲亞教堂（英語：SaintSophiaCathedral）坐落于中國黑龍江省，是一坐始建于1907年的拜占庭風(fēng)

格的東正教教堂，為哈爾濱的標(biāo)志性建筑，被列為第四批全國重點文物保護單位.其中央主體建筑集球、圓柱、

棱柱于一體，極具對稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美.小明同學(xué)為了估算圣?索菲亞教堂的高

度，在教堂的正東方向找到一座建筑物A3,高為（30-106）m,在它們之間的地面上的點M（B,M,

。三點共線）處測得樓頂A、教堂頂C的仰角分別是15。和60。，在樓頂A處測得塔頂。的仰角為30。，則小

明估算圣?索菲亞教堂的高度為由15。=嚀3（）

A.30mB.60mC.3oV3mD.60Gm

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.設(shè)向量@=（2,4）,〃=（—2,1）,貝|（）

A.aLbB.a//bC.|a+Z?|=5D.|a-Z>|=5

10.設(shè)公差不為。的等差數(shù)列｛4｝的前“項和為S“，若。4+2G=4,則下列結(jié)論正確的是（）

A.%=0B.S7最大C.S5=S9D.S13=0

11.已知函數(shù)/（x）=3sinxcosx—gsin2x,則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)/（%）的最小正周期為打

B.函數(shù)/（%）的圖象關(guān)于點-金?對稱

C.函數(shù)Y（x）|為偶函數(shù)

D.若函數(shù)/（尤）的圖象向左平移0個單位長度后關(guān)于y軸對稱，則0可以為t

12.如圖所示，在棱長為2的正方體ABC。-AUGA中，尸是線段G。上的動點，則下列說法正確的是

A.平面3用尸_1_平面ABCZ)

B.50的最小值為20

C.若直線用尸與3。所成角的余弦值為半，則=；

D.若P是的中點，則A4到平面的距離為一

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知函數(shù)/(X)=sinx+cosx,則-

14.若數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，且則441=.

15.已知4(1,—3),。為坐標(biāo)原點，點3(異于。點)在直線y=2x上，則"半=____.

'7\OB\

16.已知函數(shù)/(x)=sin(公「1)(<y>0)圖象上相鄰兩對稱軸的距離為萬，則函數(shù)y=/(%)的圖象與函

數(shù)(―2<%<6,且xwl)的圖象所有交點的橫坐標(biāo)之和為.

x-1

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)

在遞增的等比數(shù)列｛4｝中，。「。2=8，。］+。2=6，其中“eN*.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)若d=24+3,求數(shù)列也｝的前幾項和7；.

18.（12分）

在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且4———=0.

acosC2b-c

(1)求角A；

(2)若a=2,求6C邊上高的最大值.

19.(12分)

如圖，在四棱錐P—A6CD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱R41.底面點E是。。的中點，AB=1,

AD=PA=2.

(1)求PC與AE所成角的大小；

(2)求PC與平而ACE所成角的正弦值.

20.(12分)

a-6,〃為奇數(shù),

已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，b?=<n記S“，T”分別為數(shù)列｛4｝,也,｝的前幾項和,J=32,

2a"，”為偶數(shù)，

4=16.

(1)求｛%｝的通項公式；

(2)求數(shù)列也｝的前幾項和

21.(12分)

如圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為菱形，石。，平面ABC。，F(xiàn)B//ED,AD=ED=2,BF=1,

ZBAD=60°.

(1)若G是的中點，證明：平面OEG,平面ADE；

(2)求二面角A—跖—。的正弦值.

22.(12分)

,,,八/、a(x+\\1

已知函數(shù)/(X)=」*』+-X92.

e2

(1)當(dāng)a=l時，求曲線y=/(x)在點(―1,/(—1))處的切線方程；

(2)若函數(shù)/(九)有兩個不同零點苞，%,求實數(shù)a的取值范圍，并證明：x,+x2>0.

齊齊哈爾普高聯(lián)誼校高三期末考試-數(shù)學(xué)

參考答案、提示及評分細則

1.D由％2+2%—3<0,得(X+3)(X-1)<0,-3<x<1,所以A={R-3vxvl},又8={—3,1,2},

所以AiB=0.

2.Az=-!-=/、」+匕,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為位于第一象限.

1+i(l+i)(l-i)22(22J

2]

3.C———2，所以q=2,%=。⑼?，所以％————.

生42

n-h417T

4.A設(shè)向量。與匕的夾角是夕，貝"cose=^=——二—,又因為。<夕<萬，所以e二生.

耶|2x423

5.B

6.D因為0<犬<一,所以一<COXH<—CD-\,因為jf(%)在0,一上單調(diào)，所以一CD-\<一,所

36636V3J362

以0VG〈1.

7.Cf\x)=x-a——,因為x=3是函數(shù)的極值點，所以/'⑶=3—〃一1二0,所以〃=2,

x

r(x)=x-2--=^-3^X+1\所以函數(shù)/(%)在(0,3)上單調(diào)遞減，在(3,+8)上單調(diào)遞增，所以

XJC

3

〃x)min=/(3)=-萬-31n3.

8.B由題意知，NC4M=45°,ZAMC=180°-15°-60°=105°,所以

ZACM=180°-105°-45°=30°,在RtZvWM中，AM=———=—在△ACM中，由正

sinZAAffisin15°

弦定理得，二我CMAMsin45°ABsin45°-「?,

-----，所以CM=----------=-------------,在RtAADCM中，

sin30°sin45°sin30°sin15°-sin30°

CD=CM-sin600='sm45。.sm60。=00歲”米，所以小明估算索菲亞教堂的高

sin150-sin300逐一01

------------------X—

42

度為60米.

9.ACD因為a-Z?=2x(—2)+4xl=0,所以。_Lb,A正確；因為2x1/4義(一2),所以。與b不平行,

B錯誤；因為a+b=(0,5),所以卜+0=府+52=5,c正確；因為&一匕=(4,3),所以

a-1\—V42+32=5,D正確.

10.AD因為。4+2。8=。6，所以％+3d+2(%+7d)=%+5d,得％+6d=0,即％=0，則A正確;

當(dāng)q<0時，d>0,則耳，S7最小，故B錯誤；因為q+6d=0,所以q=—6d,所以

nnd

Sn=-6nd+(~^=,對稱軸為〃=￡,所以Ss=S8,則C錯誤；因為S13=13%=0,

所以D正確.

11.ABD因為/(x)=3sinxcosx—6sin2x=Tsin2x+亨cos2x一母=Gsin(2x+W)—所以

/(%)的最小正周期為T=-="，故A正確；當(dāng)x=-5時，2x—?=0,所以函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于點

-”號對稱，B正確；易知函數(shù)|7(x)|的定義域為R，又

=^3sinf-2x+=^3sinf2x-WA/3sin(2x+,所以函數(shù)

不是偶函數(shù)，故C錯誤；函數(shù)/(%)的圖象向左平移0個單位長度后得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為

g(x)=6sin2(%+^)+—....=^sin2x+2(p+—\-----,由題意，函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對

稱，所以20+工=左乃+工，kwZ,即0=立+工，k&Z,當(dāng)左=1時，(p=~+-=—,故D正確.

6226263

12.ABD在正方體M。。一44￡2中，因為5與1.平面ABC。，BB】u平面BB7,所以平面357，

平面ABCD,故A正確；連接Bq,由平面B4GC,得DQBG，故在RtAqGB中，當(dāng)點。

與q重合時，3。取最小值20,故B正確；如圖，以ZM、DC、所在直線分別為x軸，y軸，z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系D—孫z,則5（2,2,0）,4（2,2,2）,A（0,0,2）,設(shè)P（0,m,2）,0</n<2,則

4P=（—2,加—2,0）,BDX=（-2,-2,2）,假設(shè)存在點P,使直線與P與3。所成角的余弦值為g,則

B{PBD{_|8-2m|J15

cos〈B[P,BD)天一，解得加=—2（舍去），或機=1,此時點尸是

用川叫一2后,4+(加―2)2

CQ中點，2P=1,故C錯誤；由且A4<z平面3月「，知A4〃平面3耳P,P（0,l,2）,

m,B]P=0,

AB=（0,2,0）,4。=（—2,—1,0）,BB,=（0,0,2）,設(shè)平面5片p的法向量為加=（x,y,z）,貝卜

m?BB]=0,

2x+y=0,

即《取x=l則y=—2,Z=O,故加=（1,一2,0）,所以點A到平面3與P的距離為

2z=0,

ABm=拽，即AA1到平面337的距離為述，D正確.

m\55

13.0因為/(x)=sinx+cosx,則/'(x)=cosx-sinx

14.4根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，有〃1%3=蠟，則。107al3=蠟=8，解得%=2,所以〃3?？?婿=4.

15.±A/5由點A（l,-3）且點5在直線y=2x上，可設(shè)5（加,2加），冽00,可得。4=（1,一3）,

OB=（m,2m）,則。=加―6加=—5加，且|。創(chuàng)=百同，所以"半=5^=土

'，1111\OB\J5同

27r

16.4由題知，函數(shù)/（%）的最小正周期為2?，—=2^-,所以0=1,則/（x）=sin（x—1）.又

3

/（l）=sinO=O,所以y=/（x）的圖象關(guān)于點（1,0）中心對稱，作出y=/（x）和y（-2<x<6,

X-1

且XW1）的圖象如圖所示，可知兩函數(shù)圖象共有4個交點，且關(guān)于點（1,0）中心對稱，故這4個交點的橫坐

標(biāo)之和為2x2=4.

17.解：(1)由%?%=8,〃]+〃2=6，等比數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，得。i=2,a2=4,

的自=n

因此數(shù)列｛4｝的公比q='=2,則an=2,

所以數(shù)列｛%｝的通項公式是4=2".

(2)由(1)得，2=24+3=2用+3,

4(1—2")

T=々+%+…+優(yōu)=-^----^-+3n=2n+2+3n-4.

n1—2

ez、上十廿…ccosAc八,sinCcosAsinC八

18.解：(1)由正弦定理及-------------=0,得ZF--------------------------=0.

acosC2b-csinAcosC2sinB-sinC

因為sinCwO,所以2sin5cosA-sinCcosA-sinAcosC=0,

所以2sinBcosA-sin(A+C)=0,所以2sinBcosA-sin5=0.

171

因為sinBwO,所以cosA=—.因為0vA<?,所以A=—.

23

(2)由(1)及余弦定理得：b1+C1=4+bc>2bc,所以歷<4,

所以S3Bc=g8csinA<G，當(dāng)且僅當(dāng)Z?=c時等號成立，

設(shè)邊上的高為鼠又因為S^ABc=；a/=鼠所以無〈8.

即邊上高的最大值為由.

19.解：(1)易知ABLAD,又底面ABC。，AD.ABu底面ABC。，PA±AD,故以A為坐

標(biāo)原點，AB,AD,AP所在的直線為x,y,z軸建立如圖所示的空間

則4(0,0,0),5(1,0,0),C(l,2,0),P(0,0,2),￡(0,1,1),

所以PC=(1,2,—2),AE=(0,1,1),所以PC.AE=lxO+2xl—2x1=0,

jr

所以PCLAE,即PC與A石所成角的大小為2.

2

(用證明AE，平面PCD得AE，AC參照給分)

(2)由(1)知PC=(1,2,-2),AC=(1,2,0),A￡=(O,l,l).

n-AC=0,(x+2y=0,

設(shè)平面ACE的一個法向量為n=(%,y,z),則一=>1

n-AE=0,y+z=0.

取y=1,則％=—2,z=—1.

所以”=(—2,1,—1)是平面ACE的一個法向量.

設(shè)尸C與平面ACE所成角為凡

PCH2廠底

則Sin6=COS(PC,H)-v——r-r-r=

'/因?qū)?x76-9'

所以PC與平面ACE所成角的正弦值為亞

9

吐6,"2I獲N*,

20.解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,而然=<

2a〃,n=2k,

則4=%_6,b2=2a2=2al+2d,b3=a3—6-al+2d-6,

SA—4a+6d=32,

于是《解得q=5,d-2,見=4+(〃一l)d=2〃+3,

[4=4q+4d-12=16,1〃々IJ

所以數(shù)列｛a“｝的通項公式是q=2〃+3.

2n—3,n=2k—l,*

(2)方法1：由(1)知，b=<eN,

n4〃+6,〃=2k,

當(dāng)〃為偶數(shù)時，bn_x+bn=2(〃一1)-3+4〃+6=6〃+1,

13+(6zz+l)n327

-------------——=一幾十一幾,

2222

2ZIZZ2H

當(dāng)“為奇數(shù)時，Tn=Tn+l-bn+l=|(?+1)+!(?+1)-[4(+1)+6]=|+|-5.

+,7〃,〃為偶數(shù)，

所以;22

—n+—n—5,〃為奇數(shù).

122

2n-3,n=2k-l,

方法2：由(1)知，b=<壯N*,

n4n+6,n=2k,

當(dāng)〃為偶數(shù)時,

(=3+4+…+2T)+(4+&+???+〃)

—1+2("-1)-3n14+4”+6n327

--------------------------------------------F=-n+—n

222222

當(dāng)“為奇數(shù)時，若〃23,則北=伯+4+…+4)+他+4+…+4-1)

-1+2〃-3n+114+4(〃—1)+6n-135「

-----+--------------L-----------=-n2+-n-5,

222222

35

顯然(=4=—1滿足上式，因此當(dāng)〃為奇數(shù)時，7；=|n2+1?-5.

。"+乙,偽偶數(shù)，

22

35,,

—a2+一〃-5,〃為奇數(shù).

122

21.(1)證明：連接5。，因為四邊形ABC。為菱形，且/剛。=60°,

所以AABD與LBCD為等邊三角形.

又中點為G,所以。G_L5C.因為所以。GLAD,

因為田，平面ABC。，￡>Gu平面ABC。，所以。GJ_EO.

又ED\AD=D,ED,ADu平面ADE,所以。G，平面ADE.

因為。Gu平面DFG,所以平面。EG，平面ADE.

(2)解：連接AC,BD,設(shè)BD,AC交于點。，取所中點H,連接麗,

所以O(shè)H〃ED,O",底面ABC。.以。為原點，以。4,OB,?！胺謩e為x軸，y軸，z軸的正方向

建立空間直角坐標(biāo)系，則A(相,0,0),C(-73,0,0),尸(0,1,1),E(0,-1,2),

所以E4=(g,—1,—1),￡A=(V3,l,-2),FC=(-V3,-1,-1),EC=(-V3,l,-2),

設(shè)平面￡E4的一個法向量為加=(玉，%,zj,

m-FA=0,

則《..=得加=(6」,21

m-EA=0

9分設(shè)平面EFC的一個法向量為〃=(%2，%，22),

n?FC=0,+y2+z=0,

則2令馬=百，得〃=(6,—1,—2]

n-EC-0,-y2+2z2=0,

3-1-4

所以cos(m,n)=所以二面角A—防—C的正弦值為

V8xV844

yI11丫1

22.解：(1)當(dāng)a=l時，/(工)=笠+；%2=/(％)=?！字?(—1)=5，/(-l)=e-l

所以曲線y=/(x)在點(―1"(—1))處的切線方程為：y-1=(e-l)(x+l),

即(e_l)x_y+e-；=0.

/r\

,一心一口\axe-a

(2)由已知可得/(x)=x——-=x，—;—

e<e7

①若a<0,則^^〉0,當(dāng)x>0時，f(x)>0；當(dāng)x<0時，f(x)<0.

e

即/(九)在