階段性檢測(cè)4.3（難）（范圍：高考全部?jī)?nèi)容）（解析版）

階段性檢測(cè)4.3（難）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)，的共軛復(fù)數(shù)為，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)椋菑?fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，所以，則，∴故選：A.2．設(shè)全集，集合，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化簡(jiǎn)集合A，B，根據(jù)集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算.【詳解】全集，集合，或，所以，則．故選：B．3．已知向量，則“”是“與的夾角為銳角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】先求出“與的夾角為銳角”時(shí)的充要條件，再由充分條件、必要條件的定義即可判斷求解.【詳解】若與的夾角為銳角，則且與不共線(xiàn)，所以，解得且，所以“”是“與的夾角為銳角”的必要不充分條件.故選：B．4．已知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由兩角和與差的正弦公式變形得，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)及的范圍求得，代入后再利用兩角和的正弦公式計(jì)算．【詳解】∵,∴，∴，∴或，又，∴，，故選：C．5．已知正三棱柱，過(guò)底邊的平面與上底面交于線(xiàn)段，若截面將三棱柱分成了體積相等的兩部分，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由線(xiàn)面平行性質(zhì)可知，結(jié)合棱臺(tái)和棱柱體積公式可求得，由相似關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】平面，平面平面，平面，；設(shè)的面積為，的面積為，三棱柱的高為，三棱臺(tái)的體積，又三棱柱的體積，，解得：（舍）或，∽，，即.故選：A.6．（2023·江西南昌·統(tǒng)考二模）中國(guó)燈籠又統(tǒng)稱(chēng)為燈彩，是一種古老的漢族傳統(tǒng)工藝品．燈籠綜合了繪畫(huà)、剪紙、紙?jiān)?、刺縫等工藝，與中國(guó)人的生活息息相連．燈籠成了中國(guó)人喜慶的象征．經(jīng)過(guò)歷代燈彩藝人的繼承和發(fā)展，形成了豐富多彩的品種和高超的工藝水平，從種類(lèi)上主要有宮燈、紗燈、吊燈等類(lèi)型，現(xiàn)將紅木宮燈、檀木宮燈、楠木紗燈、花梨木紗燈、恭喜發(fā)財(cái)?shù)鯚?、吉祥如意吊燈各一個(gè)隨機(jī)掛成一排，則有且僅有一種類(lèi)型的燈籠相鄰的概率為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)紅木宮燈、檀木宮燈為；楠木紗燈、花梨木紗燈為；恭喜發(fā)財(cái)?shù)鯚簟⒓槿缫獾鯚魹椋惹髢H相鄰的種數(shù)，把看作一個(gè)元素，分三種情況討論：排在首尾；排在五個(gè)位置中第二、第四位；排在第三個(gè)位置，同理得僅相鄰，僅相鄰的情況，進(jìn)而得出概率.【詳解】設(shè)紅木宮燈、檀木宮燈為；楠木紗燈、花梨木紗燈為；恭喜發(fā)財(cái)?shù)鯚?、吉祥如意吊燈為．先求僅相鄰的種數(shù)，把看作一個(gè)元素，當(dāng)排在首尾時(shí)，不同的排法有種；當(dāng)排在五個(gè)位置中第二、第四位時(shí)，不同的排法有種；當(dāng)排在第三個(gè)位置時(shí)，不同的排法有種，故僅相鄰共有種排法，同理得僅相鄰，僅相鄰的情況，也都有種排法，所以有且僅有一種類(lèi)型燈籠相鄰的概率為．故選：A.7．在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，如圖，又，所以，又由圓心到直線(xiàn)的距離可求出的最小值，進(jìn)而求解.【詳解】如下圖所示：

由題意圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，又因?yàn)?，所以，所以，又圓心到直線(xiàn)的距離為，所以，所以不妨設(shè)，則，又因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以當(dāng)且僅當(dāng)即，即當(dāng)且僅當(dāng)直線(xiàn)垂直已知直線(xiàn)時(shí)，有最大值.故選：A.8．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)建函數(shù)，求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小，注意.【詳解】由題意可得，，，設(shè)，，則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；因?yàn)椋?，，且，可得，，所?故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，其中圖象最高點(diǎn)、最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，圖象在軸上的交點(diǎn)為.則下列結(jié)論正確的是（

）

A．最小正周期為B．的最大值為2C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．為偶函數(shù)【答案】BC【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)圖象得到，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，先根據(jù)最小正周期求出，代入特殊點(diǎn)坐標(biāo)，求出，，得到B正確；C選項(xiàng)，代入檢驗(yàn)得到在區(qū)間上單調(diào)遞增；D選項(xiàng)，求出，利用函數(shù)奇偶性定義判斷.【詳解】A選項(xiàng)，設(shè)的最小正周期為，由圖象可知，解得，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，解得，故，將代入解析式得，因?yàn)?，所以解得，因?yàn)楹瘮?shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，故，的最大值為2，B正確；C選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，C正確；D選項(xiàng)，，由于與不一定相等，故不是偶函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：BC10．在棱長(zhǎng)為6的正方體中，，，則（

）A．平面截正方體所得截面為梯形B．四面體的外接球的表面積為C．從點(diǎn)出發(fā)沿正方體的表面到達(dá)點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)為D．若直線(xiàn)與平面交于點(diǎn)，則【答案】BCD【分析】對(duì)于A，通過(guò)找公共點(diǎn)的方式，把平面與正方體的交線(xiàn)作出，即可.對(duì)于B，四面體的外接球以為直徑，即可求出表面積.對(duì)于C，把左側(cè)面與后側(cè)面的展開(kāi)圖，即可.對(duì)于D，結(jié)合選項(xiàng)A，記平面與直線(xiàn)，的交點(diǎn)，進(jìn)行相似比計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，如圖1所示，CE在底面內(nèi)延長(zhǎng)與DA的延長(zhǎng)線(xiàn)相交，該點(diǎn)在截面內(nèi)，連接該點(diǎn)與F點(diǎn)，與相交于H點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)，該點(diǎn)在后側(cè)面內(nèi)，再次連接該點(diǎn)與C點(diǎn)交于G點(diǎn)，連接,則該截面形狀為五邊形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，四面體的外接球以為直徑，即，則表面積，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因該幾何體為正方體，點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑，考察的是側(cè)面展開(kāi)圖的問(wèn)題，可以右側(cè)面與上底面展開(kāi)，是兩個(gè)正方形合一起，可以是下底面與左側(cè)面展開(kāi)，也是兩個(gè)正方形合一起，只能是左側(cè)面與后側(cè)面的展開(kāi)圖，為一個(gè)正方形和正方形里的一小部分小矩形，所以其路徑最短如圖2所示，，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，結(jié)合選項(xiàng)A，記平面與直線(xiàn)，的交點(diǎn)分別為，，如圖3所示，則，故D正確.

故選：BCD.11．已知非常數(shù)函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)為奇函數(shù)可求出判斷A，再由為奇函數(shù)，為偶函數(shù)求出可得周期，據(jù)此可判斷B，根據(jù)函數(shù)的周期可求的周期判斷CD.【詳解】因?yàn)榉浅?shù)函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若為奇函數(shù)，則，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，故A錯(cuò)誤；因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，則，又，所以，所以，即，所以，故的周期為8，所以，，在中，令，得，所以，故B正確；對(duì)兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得，所以導(dǎo)函數(shù)的周期為8，所以，故C正確；由周期，得，，對(duì)兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得，令，得，所以，故D正確.故選：BCD.12．已知數(shù)列滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．的最小值為 D．【答案】ABD【分析】對(duì)于A：根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的定義分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)整理即可；對(duì)于C：根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)題意分析可得，結(jié)合累加法分析求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，即，所以?shù)列為遞增數(shù)列，可得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋瑒t，兩邊平方整理得，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列且，則為遞減數(shù)列，所以為遞減數(shù)列，不存在最小值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋淼?，兩邊平方得，即，可得，所以，即，所以，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.【答案】【分析】化簡(jiǎn)變形后，利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】，其中的展開(kāi)式中的項(xiàng)為:.故答案為：.14．已知是橢圓的左，右焦點(diǎn)，上兩點(diǎn)滿(mǎn)足，則的離心率為．【答案】【分析】根據(jù)所給線(xiàn)段的長(zhǎng)度關(guān)系及橢圓的定義，求出的邊長(zhǎng)，利用余弦定理求，在中再由余弦定理即可求出離心率.【詳解】如圖，

因?yàn)椋钥稍O(shè)，又，所以，由橢圓定義，，即，又，即B點(diǎn)為短軸端點(diǎn)，所以在中，，又在中，，解得或（舍去）.故答案為：15．不等式對(duì)都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】將不等式等價(jià)變形為，構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而問(wèn)題轉(zhuǎn)化成，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性進(jìn)而得最值.【詳解】由可得，令，則，故在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，則，則，可得，即對(duì)恒成立，令，則，由可得，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,所以，得.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題將不等式變形為是解題的關(guān)鍵，這樣就可以構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性求解.16．若一個(gè)點(diǎn)從三棱柱下底面頂點(diǎn)出發(fā)，一次運(yùn)動(dòng)中隨機(jī)去向相鄰的另一個(gè)頂點(diǎn)，則在5次運(yùn)動(dòng)后這個(gè)點(diǎn)仍停留在下底面的概率是.【答案】【分析】這個(gè)點(diǎn)每次運(yùn)動(dòng)后的位置，不在上底面，則在下底面，即為對(duì)立事件，可記事件“第次運(yùn)動(dòng)后這個(gè)點(diǎn)停留在下底面”，則“第次運(yùn)動(dòng)后這個(gè)點(diǎn)停留在上底面”，；同時(shí)每次運(yùn)動(dòng)點(diǎn)不是由上底面運(yùn)動(dòng)來(lái)，就是由下底面運(yùn)動(dòng)來(lái)的，則可由全概率公式得到遞推關(guān)系，然后構(gòu)造數(shù)列求通項(xiàng)即可.【詳解】這個(gè)點(diǎn)每次運(yùn)動(dòng)后的位置，不在上底面，則在下底面，即為對(duì)立事件，可記事件“第次運(yùn)動(dòng)后這個(gè)點(diǎn)停留在下底面”，則“第次運(yùn)動(dòng)后這個(gè)點(diǎn)停留在上底面”，設(shè)，則，由題意知，，則由全概率公式可得，，則，即，兩邊同減去可得，，又已知，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，即，故當(dāng)時(shí)，.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。17．已知中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且滿(mǎn)足.(1)若，求；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題利用正弦定理將條件式角化邊可得，結(jié)合勾股定理化簡(jiǎn)可得，得解；（2）由（1），代入消去，利用函數(shù)單調(diào)性求解.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，，即，因?yàn)椋?，，解得，即，又?（2）由（1），，，，由三角形三邊關(guān)系可得，代入化簡(jiǎn)可得，，令，，，，，的取值范圍是.18．已知數(shù)列滿(mǎn)足(1)若，求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)記為數(shù)列的前項(xiàng)之和，若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）應(yīng)用,結(jié)合累加法可得通項(xiàng)；（2）應(yīng)用等差數(shù)列求和后,再應(yīng)用裂項(xiàng)相消求和結(jié)合已知不等式求解即可.【詳解】（1）當(dāng),①,②,①②可得,左右同時(shí)乘以可以得出:,即得當(dāng)時(shí),應(yīng)用累加法可得:,當(dāng)時(shí),,,且,（2）由（1）,,,若，則,或.19．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是(2)【分析】（1）求導(dǎo)得到，根據(jù)，由，求解；（2）將時(shí)，恒有成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】（1）解：，當(dāng)時(shí)，，由，得，由，得，故時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒有成立，即對(duì)任意恒成立，令，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，滿(mǎn)足題意，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，故.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于恒成立問(wèn)題，法一；令，由求解；法二轉(zhuǎn)化為恒成立，由求解.20．如圖，在四棱臺(tái)中，底面是菱形，，，平面.

(1)證明：BDCC1；(2)棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為若存在，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，【分析】（1）連接,根據(jù)題意證得和，利用線(xiàn)面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而證得；（2）取中點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)點(diǎn)存在，設(shè)點(diǎn)，求得平面和的一個(gè)法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，列出方程，求得，即可求解.【詳解】（1）證明:如圖所示，連接,因?yàn)闉槔馀_(tái)，所以四點(diǎn)共面，又因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)榍移矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）解：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌媸橇庑危?，所以是正三角形，所以，即，由于平面，以為原點(diǎn)，分別以為軸、軸和軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則假設(shè)點(diǎn)存在，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，可得

設(shè)平面的法向量，則，取，可得，所以.又由平面的法向量為，所以，解得由于二面角為銳角，則點(diǎn)在線(xiàn)段上，所以，即故上存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，二面角的余弦值為.

21．近年來(lái)，隨著智能手機(jī)的普及，網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物、直播帶貨、網(wǎng)上買(mǎi)菜等新業(yè)態(tài)迅速進(jìn)入了我們的生活，改變了我們的生活方式現(xiàn)將一周網(wǎng)上買(mǎi)菜次數(shù)超過(guò)3次的市民認(rèn)定為“喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜”，不超過(guò)3次甚至從不在網(wǎng)上買(mǎi)菜的市民認(rèn)定為“不喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜”.某市社區(qū)為了解該社區(qū)市民網(wǎng)上買(mǎi)菜情況，隨機(jī)抽取了該社區(qū)100名市民，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜不喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜合計(jì)年齡不超過(guò)45歲的市民401050年齡超過(guò)45歲的市民203050合計(jì)6040100(1)是否有的把握認(rèn)為社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜與年齡有關(guān)？(2)社區(qū)的市民張無(wú)忌周一、二均在網(wǎng)上買(mǎi)菜，且周一從，兩個(gè)買(mǎi)菜平臺(tái)隨機(jī)選擇其中一個(gè)下單買(mǎi)菜.如果周一選擇平臺(tái)買(mǎi)菜，那么周二選擇入平臺(tái)買(mǎi)菜的概率；如果周一選擇平臺(tái)買(mǎi)菜，那么周二選擇入平臺(tái)買(mǎi)菜的概率為，求張無(wú)忌周二選擇平臺(tái)買(mǎi)菜的概率；(3)用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從社區(qū)市民中隨機(jī)抽取20名市民，記其中喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜的市民人數(shù)為事件“”的概率為，求使取得最大值的的值.參考公式：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)有(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意，計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由全概率公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意，由二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式得到的表達(dá)式，然后計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）假設(shè)：社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜與年齡無(wú)關(guān).由題意可得，，則假設(shè)不成立，所以有的把握認(rèn)為社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜與年齡有關(guān).（2）記事件：張無(wú)忌周一選擇平臺(tái)買(mǎi)菜；事件：張無(wú)忌周二選擇平臺(tái)買(mǎi)菜，則，，，由全概率公式可得，因此，張無(wú)忌周二選擇平臺(tái)買(mǎi)菜的概率為.（3）由題意可知，抽取的20名市民，喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜的市民人數(shù)服從二項(xiàng)分布