第一章線性方程組的化簡(jiǎn)

第一節(jié)線性方程組的消元法第二節(jié)矩陣的初等變換第一章線性方程組的消元法

和矩陣的初等變換第一節(jié)線性方程組的消元法一、線性方程組的基本概念1.線性方程組的定義二、消元法解線性方程組2.線性方程組的線性組合1、線性方程組的初等變換2、利用初等變換解一般線性方程組一、線性方程組的基本概念1.線性方程組的定義引例 有三家生產(chǎn)同一種產(chǎn)品的工廠A1

、A2

、A3，其年產(chǎn)量分別為40t，20t和10t，該產(chǎn)品每年有兩個(gè)用戶B1、B2

，其用量分別為45t和25t引例

有三家生產(chǎn)同一種產(chǎn)品的工廠A1

、A2

、A3，其年產(chǎn)量分別為40t，20t和10t，該產(chǎn)品每年有兩個(gè)用戶B1、B2

，其用量分別為45t和25t不妨假設(shè)每噸貨物每公里的運(yùn)費(fèi)為1元，問(wèn)各廠的產(chǎn)品如何調(diào)配才能使總運(yùn)費(fèi)最少？幾個(gè)線性方程聯(lián)立在一起，稱為線性方程組，若未知數(shù)的個(gè)數(shù)為n

，方程個(gè)數(shù)為m

，則線性方程組可以寫(xiě)成如下形式：若常數(shù)項(xiàng)均為0，則稱方程組為齊次線性方程組，否則，稱為非齊次線性方程組.n個(gè)數(shù)x1=c1，x2=c2，…，xn=cn組成的有序數(shù)組稱為方程組的一個(gè)解，記為：所有解組成的集合稱為解集合兩個(gè)方程組有相同的解集合，則稱為同解方程組2.線性方程組的線性組合線性方程的加法：將兩個(gè)線性方程(1)(2)的左右兩邊相加得到如下的新線性方程：稱為原來(lái)兩個(gè)線性方程的和。線性方程乘常數(shù)將線性方程方程的數(shù)乘。兩邊同乘以已知常數(shù)，得到一個(gè)新的線性方程：線性方程的線性組合再將所得的兩個(gè)方程相加，得到新方程：將線性方程(1)和(2)分別乘兩個(gè)已知常數(shù)(3)稱為原來(lái)兩個(gè)方程(1)和(2)的一個(gè)線性組合，稱為這個(gè)線性方程的組合系數(shù)。將(1)和(2)看作一個(gè)線性方程組，其任意組解一定是線性組合(3)的解。若方程組(I)和(II)互為線性組合，則稱這兩個(gè)方程組等價(jià)等價(jià)的線性方程組一定同解。將方程組(I)變成同解方程組(II)的過(guò)程稱為同解變換。給定的兩個(gè)線性方程組(I)和(II)，如果(II)中每個(gè)方程都是(I)中方程的線性組合，就稱(II)是(I)的線性組合。二、消元法解線性方程組求解線性方程組分析：用消元法解下列方程組的過(guò)程．1、線性方程組的初等變換例1解于是解得小結(jié)：1．上述解方程組的方法稱為消元法．

2．始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如下三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于０的數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍．定義1上述三種變換均稱為線性方程組的初等變換．3．上述三種變換都是可逆的．由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．定理1線性方程組的初等變換總是把方程組變成同解方程組．2、利用初等變換解一般線性方程組(化為階梯型方程組)例2求解線性方程組定理2在齊次線性方程組第二節(jié)矩陣的初等變換一、矩陣及其初等變換1.矩陣的定義2.幾種特殊矩陣5.矩陣的初等變換7.行階梯形矩陣8.行最簡(jiǎn)形矩陣二、用矩陣的初等變換化矩陣為標(biāo)準(zhǔn)型3.矩陣相等的概念4.矩陣的轉(zhuǎn)置6.矩陣的等價(jià)為了簡(jiǎn)化方程組的表達(dá)，可以省掉各個(gè)未知數(shù)，只考慮系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，把它們排成一個(gè)表，用這個(gè)表代替線性方程組，直接對(duì)這個(gè)表進(jìn)行與求解線性方程組相應(yīng)的初等變換，這樣在表達(dá)上可以更加簡(jiǎn)潔和直觀。為此，我們將引出矩陣的概念，介紹用矩陣的初等行變換將線性方程組化為階梯型方程組后求解。線性方程組的解取決于系數(shù)常數(shù)項(xiàng)一、矩陣及其初等變換對(duì)線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對(duì)這張表的研究.線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)按原位置可排為矩陣的定義由個(gè)數(shù)排成的行列的數(shù)表稱為矩陣.簡(jiǎn)稱陣.記作矩陣的定義1.矩陣的定義定義1：簡(jiǎn)記為元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣,矩陣中的所以元素非負(fù)，稱為非負(fù)矩陣.矩陣的定義例如是一個(gè)實(shí)矩陣,是一個(gè)非負(fù)矩陣,是一個(gè)矩陣,是一個(gè)矩陣,是一個(gè)矩陣.矩陣的定義例如是一個(gè)3階方陣.2.幾種特殊矩陣(2)只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).行數(shù)與列數(shù)都等于的矩陣，稱為階方陣.也可記作矩陣的定義只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).

稱為對(duì)角矩陣(或?qū)顷嚕?（3）形如的方陣,（4）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或.注意不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.例如記作(5)方陣稱為單位矩陣（或單位陣）.全為1②兩個(gè)矩陣為同型矩陣,并且對(duì)應(yīng)元素相等,即則稱矩陣相等,記作例如為同型矩陣.3.矩陣相等的概念①兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)相等時(shí),稱為同型矩陣.矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作例4.矩陣的轉(zhuǎn)置線性方程組稱為方程組的系數(shù)矩陣；稱為方程組的增廣矩陣。求解線性方程組在前面：用消元法解下列方程組的過(guò)程．例1因?yàn)樵谇笆鲎儞Q過(guò)程中，僅僅只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算．則對(duì)方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對(duì)矩陣A(方程組（1）的增廣矩陣）的變換．5.矩陣的初等變換???íì=++=+-=++4223224321321321xxxxxxxxx定義2：下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:矩陣的初等變換同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號(hào)是把“r”換成“c”)．初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.記作經(jīng)初等變換變成矩陣如果矩陣B,AB.A則等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：一般，將具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià)．定義3：6.矩陣的等價(jià)例3

求解非齊次線性方程組解對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等變換，故方程組無(wú)解．例4

求解非齊次方程組的通解解對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等變換故方程組有解，且有其中c,d為任意常數(shù)例5求解線性方程組解：用矩陣的初等行變換解方程組行階梯形矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣稱滿足下列兩個(gè)條件的矩陣為行階梯形矩陣：①若有零行（元素全為零的行），則零行位于底部；7.行階梯形矩陣②各非零行的首非零元位于上一行首非零元之右邊.例如：注:豎階梯只下一級(jí)。8.行最簡(jiǎn)形矩陣?yán)缋贸醯刃凶儞Q，可以把矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣.稱滿足下列三個(gè)條件的矩陣為行最簡(jiǎn)形矩陣：①行階梯形矩陣；②首非零元均為1；③首非零元所在列其它元素均為０.對(duì)增廣矩陣施行初等行變換化到階梯形就是消元法解方程組的消元過(guò)程，繼續(xù)施行初等行變換化到行最簡(jiǎn)形就是回代的過(guò)程。行階梯形行最簡(jiǎn)形增廣矩陣?yán)纾?、用矩陣的初等變換化矩陣為標(biāo)準(zhǔn)型稱滿足下列兩個(gè)條件的矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形：①左上角為單位陣；標(biāo)準(zhǔn)形②