課件8-4多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

課件8-4多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則概述多元復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的應(yīng)用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則概述01多元復(fù)合函數(shù)的定義多元復(fù)合函數(shù)是由多個變量和多個基本初等函數(shù)通過有限次復(fù)合運算構(gòu)成的函數(shù)。多元復(fù)合函數(shù)的一般形式為$f(u,v,w,...,z)$，其中$u,v,w,...,z$是中間變量，它們本身也可以是復(fù)合函數(shù)。掌握多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則是學(xué)習(xí)微積分的重要基礎(chǔ)，它有助于理解函數(shù)的極值、曲線的切線、曲面的法線等概念。在解決實際問題時，多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則能夠幫助我們找到最優(yōu)解，提高決策的科學(xué)性和準(zhǔn)確性。多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的重要性多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的歷史與發(fā)展多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的思想可以追溯到18世紀(jì)中葉，當(dāng)時法國數(shù)學(xué)家偏微分方程的創(chuàng)始人之一萊布尼茨開始研究多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。19世紀(jì)初，法國數(shù)學(xué)家傅里葉研究了更一般的多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并給出了求導(dǎo)的公式。隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則不斷完善和豐富，逐漸形成了系統(tǒng)的理論體系。多元復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t02如果$y=f(u)$，$u=g(x)$，則$y'=f'(u)g'(x)$。鏈?zhǔn)椒▌t設(shè)$y=f(u)=u^2$，$u=g(x)=x^3$，則$y'=f'(u)g'(x)=2u(3x^2)=6x^2u$。舉例一元函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則鏈?zhǔn)椒▌t如果$z=f(u,v)$，$u=g(x,y)$，$v=h(x,y)$，則$frac{partialz}{partialx}=f'_ucdotfrac{partialu}{partialx}+f'_vcdotfrac{partialv}{partialx}$，$frac{partialz}{partialy}=f'_ucdotfrac{partialu}{partialy}+f'_vcdotfrac{partialv}{partialy}$。舉例設(shè)$z=f(u,v)=uv$，$u=g(x,y)=x^2+y^2$，$v=h(x,y)=x^2-y^2$，則$frac{partialz}{partialx}=f'_ucdotfrac{partialu}{partialx}+f'_vcdotfrac{partialv}{partialx}=u'v+uv'=2x(x^2-y^2)+(x^2+y^2)2x=4x^3-4xy^2+4x^3+4xy^2=8x^3$。多元函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則舉例：設(shè)$z=f(u,v,w)=uvw$，$u=g(x,y)=x^2+y^2$，$v=h(x,y)=x+y$，$w=i(x,y)=cos(xy)$，則$\frac{\partialz}{\partialx}=f'_u\cdot\frac{\partialu}{\partialx}+f'_v\cdot\frac{\partialv}{\partialx}+f'_w\cdot\frac{\partialw}{\partialx}=2xu(x+y)w+uv(-sin(xy)\cdot2xy)=2x^3u(x+y)w-2xyuvsin(xy)$。鏈?zhǔn)椒▌t的實例解析多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則03VS對于一個多元函數(shù)，如果一個自變量的變化量導(dǎo)致函數(shù)有一個確定的變化量，則稱該自變量是可微的。偏導(dǎo)數(shù)是多元函數(shù)在某一點處沿著某一方向的變化率。偏導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)偏導(dǎo)數(shù)具有線性、連續(xù)性和可加性等性質(zhì)，這些性質(zhì)在求導(dǎo)過程中非常重要。偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的定義與性質(zhì)鏈?zhǔn)椒▌t如果一個多元復(fù)合函數(shù)由多個函數(shù)嵌套而成，則可以使用鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)。鏈?zhǔn)椒▌t是求偏導(dǎo)數(shù)的基本法則之一，它可以將一個復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問題轉(zhuǎn)化為多個簡單函數(shù)的求導(dǎo)問題。乘積法則如果一個多元復(fù)合函數(shù)的自變量之間存在乘積關(guān)系，則可以使用乘積法則求導(dǎo)。乘積法則是將一個復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問題轉(zhuǎn)化為多個簡單函數(shù)的求導(dǎo)問題。商式法則如果一個多元復(fù)合函數(shù)的自變量之間存在商的關(guān)系，則可以使用商式法則求導(dǎo)。商式法則是將一個復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問題轉(zhuǎn)化為多個簡單函數(shù)的求導(dǎo)問題。偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則偏導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則的實例解析以二元函數(shù)為例，設(shè)$z=f(x,y)$，其中$x=g(s,t)$，$y=h(s,t)$，$s=p(u,v)$，$t=q(u,v)$，$u=r(x,y)$，$v=s(x,y)$，求$frac{partialz}{partialx}$和$frac{partialz}{partialy}$。通過鏈?zhǔn)椒▌t和乘積法則，可以得出結(jié)果。解析實例1以三元函數(shù)為例，設(shè)$z=f(x,y,z)$，其中$x=g(u,v,w)$，$y=h(u,v,w)$，$z=k(u,v,w)$，$u=p(a,b)$，$v=q(a,b)$，$w=r(a,b)$，$a=s(x)$，$b=t(x)$，求$frac{partialz}{partialx}$、$frac{partialz}{partialy}$和$frac{partialz}{partialz}$。通過鏈?zhǔn)椒▌t和乘積法則，可以得出結(jié)果。解析實例2多元復(fù)合函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則04對于多元復(fù)合函數(shù)，全導(dǎo)數(shù)是各個中間變量對自變量的偏導(dǎo)數(shù)的線性組合。全導(dǎo)數(shù)具有線性、鏈?zhǔn)胶瓦B續(xù)性等性質(zhì)，這些性質(zhì)在求導(dǎo)過程中非常重要。全導(dǎo)數(shù)的定義全導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)全導(dǎo)數(shù)的定義與性質(zhì)123對于復(fù)合函數(shù)，如果外層函數(shù)是可微的，內(nèi)層函數(shù)是多元函數(shù)，則全導(dǎo)數(shù)等于外層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以內(nèi)層函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。鏈?zhǔn)椒▌t如果復(fù)合函數(shù)的中間變量是多個自變量的函數(shù)，則全導(dǎo)數(shù)等于各個中間變量對自變量的偏導(dǎo)數(shù)的乘積。偏導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t如果復(fù)合函數(shù)的中間變量是連續(xù)的，則全導(dǎo)數(shù)等于各個中間變量對自變量的偏導(dǎo)數(shù)的乘積之和。連續(xù)性法則全導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則實例1設(shè)$z=f(u,v)$，其中$u=g(x,y)$，$v=h(x,y)$，求$z$對$x$的全導(dǎo)數(shù)。實例2設(shè)$z=f(u,v)$，其中$u=g(x,y)$，$v=h(x)$，求$z$對$x$的全導(dǎo)數(shù)。實例3設(shè)$z=f(u,v)$，其中$u=g(x)$，$v=h(x,y)$，求$z$對$x$的全導(dǎo)數(shù)。全導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則的實例解析多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的應(yīng)用05在微積分中的應(yīng)用多元復(fù)合函數(shù)在微積分中常常出現(xiàn)，掌握求導(dǎo)法則能夠幫助我們快速準(zhǔn)確地找到這些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，進而解決諸如極值、曲線的切線等問題。研究函數(shù)的性質(zhì)通過對多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，我們可以研究函數(shù)的增減性、凹凸性、拐點等性質(zhì)，進而理解函數(shù)的形態(tài)和變化規(guī)律。優(yōu)化問題在優(yōu)化問題中，多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以用于找到函數(shù)的極值點，從而找到最優(yōu)解。解決復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題矩陣的求導(dǎo)在向量微積分中，多元復(fù)合函數(shù)可以用于表示向量函數(shù)和矩陣函數(shù)，通過對這些函數(shù)求導(dǎo)，我們可以找到向量場和矩陣場的梯度、方向?qū)?shù)和偏導(dǎo)數(shù)等概念。要點一要點二優(yōu)化問題在矩陣優(yōu)化問題中，多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以用于找到最優(yōu)解，例如在特征值優(yōu)化問題中，可以通過對特征多項式求導(dǎo)來找到最優(yōu)的特征值。在