20 微專題17　圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì) 【正文】教師

微專題17圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)[備選理由]例1考查了由實(shí)際問題背景解決雙曲線簡單性質(zhì)問題;例2考查了橢圓的定義、性質(zhì)與其他知識(shí)融合求離心率問題;例3、例4考查了拋物線的性質(zhì)與幾何圖形的性質(zhì)相結(jié)合的問題.1[配例1使用]隨著我國經(jīng)濟(jì)的迅猛發(fā)展,人們對(duì)電能的需求越來越大,而使用電能排放的氣體會(huì)出現(xiàn)全球氣候變暖的問題,這在一定程度上威脅到了人們的健康.所以,為了提高火電廠一次能源的使用效率,有效推動(dòng)社會(huì)的可持續(xù)發(fā)展,必須對(duì)火電廠節(jié)能減排技術(shù)進(jìn)行深入探討.火電廠的冷卻塔常用的外形之一就是旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面,它的優(yōu)點(diǎn)是對(duì)流快、散熱效果好,側(cè)面可以看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面(如圖①).某火電廠的冷卻塔設(shè)計(jì)圖紙比例(長度比)為1∶40(圖紙上的尺寸單位:m),圖紙中單葉雙曲面的方程為x2+y2-14z2=1(-2≤z≤1)(如圖②),則該冷卻塔占地面積為 (C) A.2800πm2 B.3000πm2C.3200πm2 D.4800πm2[解析]令z=-2,得x2+y2=2,這是一個(gè)半徑為2的圓.又設(shè)計(jì)圖紙的比例為1∶40,所以該冷卻塔底面是一個(gè)半徑為402m的圓,則該冷卻塔的占地面積為π×(402)2=3200π(m2).故選C.2[配例2使用](1)[2023·深圳二模]設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,直線l過點(diǎn)F1.若點(diǎn)F2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)P恰好在橢圓C上,且F1P·F1F2=12A.13 B.C.12 D.(2)(多選題)[2023·武漢調(diào)研]橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)在圓x2+y2-5x-4y+4=0上,A.12 B.C.255 D[解析](1)設(shè)∠PF1F2=θ,由已知可得,|PF1|=|F1F2|=2c,根據(jù)橢圓的定義有|PF2|=2a-|PF1|=2a-2c.又F1P·F1F2=12a2,所以4c2cosθ=12a2.在△PF1F2中,由余弦定理可得,|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|·|F1F2|cosθ,即(2a-2c)2=8c2-8c2cosθ=8c2-a2,整理可得4c2+8ac-5a2=0,等式兩邊同時(shí)除以a2可得4e2+8e-5=0,解得e=12或e=-52((2)將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式得x-522+(y-2)2=254,圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,0),(4,0),與y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2),橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦點(diǎn)在x軸上.當(dāng)右焦點(diǎn)坐標(biāo)是(1,0),右頂點(diǎn)坐標(biāo)是(4,0)時(shí),a=4,c=1,此時(shí)離心率e=14;當(dāng)右焦點(diǎn)坐標(biāo)是(1,0),上頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,2)時(shí),b=2,c=1,此時(shí)a=5,離心率e=55;當(dāng)右焦點(diǎn)坐標(biāo)是(4,0),上頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,2)時(shí),b=2,c=3[配例3使用][2023·青島二模]已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線l過拋物線D:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F,與D及其準(zhǔn)線依次交于A,B,C三點(diǎn)(其中點(diǎn)B在A,C之間),若|AF|=4,|BC|=2|BF|,則△OAB的面積是 (B)A.3 B.4C.23 D.8[解析]過點(diǎn)B作BM垂直于準(zhǔn)線,垂足為M,過點(diǎn)A作AN垂直于準(zhǔn)線,垂足為N,設(shè)準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)P,如圖,則|BM|=|BF|,|AN|=|AF|=4.在△MBC中,|BC|=2|BF|=2|BM|,所以∠MCB=30°,所以在△ANC中,|AC|=2|AN|=8,所以|AC|=|AF|+|CF|=8,所以|CF|=8-|AF|=4.又CN⊥x軸,∠MCB=30°,所以|PF|=12|CF|=2.又拋物線D:y2=2px,則P-p2,0,Fp2,0,所以|PF|=p2+p2=p=2,所以拋物線D:y2=4x,點(diǎn)F(1,0).因?yàn)椤螹CB=30°,所以直線AB的斜率k=-3,則直線AB:y=-3(x-1).由y2=4x,y=-3(x-1),消去y得3x2-10x+3=0,設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=103,則|AB|=|BF|+|AF|=|BM|+|AN|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p=103+2=163.直線AB:y=-3(x-1)的方程可化為3x+y-3=0,則點(diǎn)O4[配例4使用](多選題)[2023·寧波二模]三支不同的曲線y=ai·|x-1|(ai>0,i=1,2,3)交拋物線y2=4x于點(diǎn)Ai,Bi(i=1,2,3),F為拋物線的焦點(diǎn),記△AiFBi的面積為Si,則下列說法正確的是 (AD)A.1|FAi|+B.A1B1∥A2B2∥A3B3C.若S1+S2=2S3,則a1+a2=2a3D.若S1S2=S32,則a1a2[解析]如圖,設(shè)直線y=ai(x-1)與拋物線y2=4x交于點(diǎn)Ci,Bi,則Ai與Ci關(guān)于x軸對(duì)稱,設(shè)Ai(x1,-y1),Bi(x2,y2),則Ci(x1,y1),由y=ai(x-1),y2=4x,消去x得y2-4aiy-4=0,所以y1+y2=4ai,y1y2=-4,又y=ai(x-1),所以y1+y2=ai(x1-1)+ai(x2-1)=4ai,y1y2=ai2(x1-1)(x2-1)=-4,則x1+x2=x1+x2+2x1+x2+x1x2+1=2ai2+4ai2+22ai2+4ai2+1+1=1,故A正確;對(duì)于B,kAiBi=y2+y1x2-x1=y2+y1y224-y124=4y2-y1=4(y2+y1)2-4y