2023年人教A版高中數(shù)學必修第一冊第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)綜合測試試卷及答案

第三章綜合測試

考試時間120分鐘,滿分150分.

一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的

四個選項中，只有一項是符合題目要求的)

1.函數(shù)ZU)=-1+x+：的定義域是(C)

A.［-1,+0°)

B.(—8,0)U(0,+8)

C.［-l,0)U(0,+8)

D.R

1+x20,

［解析］要使函數(shù)有定義，貝的一八解得—1且xWO,故選C.

1x^0,

2.下列各組中的函數(shù)/U)與g(x)是同一個關(guān)于x的函數(shù)的是(C)

A.fi,x)=x~1,g(x)=?一］

B./x)=2x-l,g(x)=2x+l

C._/U)=f，g(x)=&

D.y(x)=l,g(x)=x°

［解析］A中的式幻=尤-1與g(x)=§—l定義域不同；B中的/)=2%—1

與g(x)=2x+l對應關(guān)系不同；C中的式均=/與g(九)=4/定義域相同，且&=

%2,故是同一個函數(shù)；D中的負幻=1與g(x)=x°定義域不同.故選C.

3.有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的敘述中，正確的是(C)

A.y=—孑在定義域上為增函數(shù)

B.y=*y在［0，+8)上單調(diào)遞增

C.y=—3f—6x的減區(qū)間為［―1,+°°)

D.y=<u+3在(-8,+8)上必為增函數(shù)

［解析］對于A,其定義域為不含0的兩個區(qū)間，在各自的區(qū)間上都是增函

數(shù)，但不能說在整個定義域上為增函數(shù)；對于B,在［0,+8)上單調(diào)遞減；對于

C,因為y=-3/—6x=-3(x+iy+3,可求得減區(qū)間為［-1,+°°)；對于D,

增減性與a的取值有關(guān).故選C.

4.已知基函數(shù)的圖象過點(2,，，則函數(shù)g(x)=(x—2求x)在區(qū)間

1上的最小值是(C)

A.-1B.—2

C.-3D.-4

［解析］由已知得2a=3，解得a=—l,

.,.g(X)=E/=l—1在區(qū)間1上單調(diào)遞增，則g(X)min=g(O=-3,故選

C.

5.已知函數(shù)/U)為偶函數(shù)，且在(-8,0］上單調(diào)遞增，負-1)=2,則不等

式式2x+l)<2的解集為(A)

A.(―0°,—l)U(0,+00)

B.(0,+°°)

C.(-1,0)

D.(—8,-1)

［解析］因為函數(shù)犬x)為偶函數(shù)且在(一8,0］上單調(diào)遞增，穴一D=2,

所以函數(shù)7U)在［0,+8)上單調(diào)遞減，式1)=2,且/(2x+l)=川2x+l|),

所以用2x+l|)勺⑴，所以|2x+l|>l,解得或%>0,

即x的取值范圍是(一8,-l)U(0,+°°).故選A.

6.設(shè)於)是定義域為R的奇函數(shù)，且加+x)=/(—x).若《一U則局

=(C)

A--3B.-§

C.1D.|

［解析i由題意可得：娘=4+京=/(一|)=一/(1)，

故選c.

7.已知函數(shù)凡r)是定義域為R的偶函數(shù)，且對任意X”力晝(-8,0］,當

的范圍是(A)

［解析］由題意可知，風什在(-8,0］上為增函數(shù)，又.*x)為偶函數(shù)，故式x)

iii2

在(0,+8)上為減函數(shù)，由可得一)<1—2x<g,解得鏟.故選

A.

—%2—ar—5(x^1),

8.已知函數(shù),/(x)=是R上的增函數(shù)，則。的取值范

盟>1)

圍是(B)

A.一3?0B.—3WaW-2

C.aW—2D.a<Q

等1,

［解析］由條件可知<6Z<0,解得一3WaW—2.

、一Q—6WQ,

二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的

四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分,

部分選對的得2分)

9.已知則下列結(jié)論正確的是(BD)

A./3)=9B.犬-3)=4

C.汽尤)=/D./%)=(%+1)2

［解析］因為g—l)=(2x-l)2+2(2z-1)+1,故|x)=/+2x+1=(x+1)2,

故選項C錯誤，D正確；犬3)=16,大-3)=4,故選項A錯誤，B正確.故選BD.

10.函數(shù)/U)是定義在R上的奇函數(shù)，下列命題中是正確命題的是(ABD)

A..A0)=0

B.若/(x)在［0，+8)上有最小值一1,則兀r)在(一8,0］上有最大值1

C.若/U)在口，+8)上為增函數(shù)，則/(x)在(一8,—1］上為減函數(shù)

D.若第>0時，j［x)=^--2x,則x<0時，fix)——x2—2x

［解析］奇函數(shù)在對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，故C錯誤，其余都正確.

11.德國數(shù)學家狄利克雷(1805?1859)在1837年時提出：“如果對于光的每

一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，那么)，是x的函數(shù).”這個定義較

清楚地說明了函數(shù)的內(nèi)涵.只要有一個法則，使得取值范圍中的每一個x,有一

個確定的y和它對應就行了，不管這個法則是用公式還是用圖象、表格等形式表

示，例如狄利克雷函數(shù)D(x),即：當自變量取有理數(shù)時，函數(shù)值為1；當自變量

取無理數(shù)時，函數(shù)值為0.以下關(guān)于狄利克雷函數(shù)D(x)的性質(zhì)正確的有(ABD)

A.。(也)=0B.O(x)的值域為｛0,1｝

C.0(x)為奇函數(shù)D.D(X-1)=D(A)

［解析］由題得O(x)=L.c則。(6)=0,所以A正確；容易得

10,XJRQ,

1,xWQ,

D(x)的值域為｛0』｝,所以B正確；因為。(一x)=L.八所以。(一x)=

10,RQ,

1,xCQ,

D(x),D(x)為偶函數(shù)，所以C不正確；因為。(x—1)=入「八所以

10,X￡［RQ,

—l)=O(x),所以D正確.故選ABD.

12.已知函數(shù)於)=("合一加一1)/"*"'"是幕函數(shù)，對任意為,一￡(0,十8),

且X1WX2,滿足.若a,bGR,且式a)+式Z?)的值為負值，則下列結(jié)論

可能成立的有(BC)

A.a+Z?>0,ab<0B.a+/?<0,ab>0

C.a+b<0,ab<0D.以上都可能

［解析］由函數(shù)為嘉函數(shù)可知加一加―i=i,解得機=-1或機=2.當機

=—1時，_/U)=9；當m=2時，1犬)=_?.由題意知函數(shù)?x)在(0,+8)上為增函

數(shù)，因此兀。=%3,在R上單調(diào)遞增，且滿足,人—》)=—/(無).結(jié)合.*—x)=-Ax)

以及犬。)+/(8)<0可知/(a)<—/(/?)=/(一8)，所以。<一人，即。<一。，所以a+*0.

當?=0時，b<0,ah=0；當。>0時，b<0,ab<0；當a<0時，。/?>0（/?<0）或ah<0{0<b<

-a）,故BC都有可能成立.故選BC.

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.（2022?北京卷）函數(shù)ZU）=：+、/FG的定義域是（一8,0）U（0,l].

[解析]因為於）=：+[1—X，所以“1—x20,

解得xWl且xWO,

1X、％wo,

故函數(shù)的定義域為（一8,O）U（O,1].

2尤，X>0,

14.已知外）=

/+1),xWO,

=2X3=3*

，函數(shù)心一1）的

15.已知幕函數(shù)40=犬的圖象經(jīng)過點（9,3）,則

定義域為（0,11.

[解析]嘉函數(shù)7U）的圖象經(jīng)過點（9,3）,所以3=9",所以a=g,所以黑函數(shù)

寅尤）=正，故《0=坐，故12°，解得0<xWl.

16.符號田表示不超過x的最大整數(shù)，如[3.14]=3,[—1.6]=-2,定義函

數(shù)：,*x）=x—印，則下列說法正確的是①②③.

①/（一0.8）=0.2；

②當1Wx<2時，.*x）=x—1；

③函數(shù)/W的定義域為R，值域為[0,1）；

④函數(shù)7U）是增函數(shù)，奇函數(shù).

[解析]Q/（-0.8）=-0.8-[-0.8]=-0.8+1=0.2,正確.

②當1W尤<2時，fix）=x-[x]=x~\,正確.

③函數(shù)/U）的定義域為R,/U）=x—[幻表示x的小數(shù)部分，所以值域為[0,1）,

正確.

④x=0.5時，<0.5)=0.5,x=1.5時，,/(1.5)=0.5,所以人x)不是增函數(shù)；且

/-1.5)=/1.5),所以/U)也不是奇函數(shù).故填①②③.

四'解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或

演算步驟)

17.(本小題滿分10分)已知函數(shù)?x)=ox+/?,且<1)=2,/2)=-1.

(1)求加n+1)的值；

(2)判斷函數(shù)式犬)的單調(diào)性，并用定義證明.

［解析］(1)由負1)=2,12)=—1,得a+0=2,2a+b=—1,即a=—3,b=

5,

故段)=—3X+5,

,外加+1)=-3(機+1)+5=-3加+2.

(2)成x)在R上是減函數(shù).

證明：任取X\<X2(X\,X2eR),

則?X2)-/(xi)=(—3x2+5)—(—3x1+5)=3x1-3X2=3(XI-xi),因為xi<X2,

所以/(X2)—Axi)<0,

即函數(shù)於)在R上單調(diào)遞減.

18.(本小題滿分12分)已知/(X)在R上是單調(diào)遞減的一次函數(shù)，且咒Ax)］=

9x~2.

⑴求網(wǎng)；

(2)求函數(shù)y=/(x)+x2—%在1,a］上的最大值.

［解析］⑴由題意可設(shè)於)=依+伏攵<0),由于歡刈=9九一2,則上十奶+力

=9x—2,

尸=9,k=13,

故］妨+6=-2,解得故人元）=-3x+1.

b=\,

(2)由(1)知，函數(shù)y=—3x+l+/—x=/—4x+l=(x—2/一3,

故函數(shù)丁=/-4*+1的圖象開口向上，對稱軸為x=2,

當一l<aW5時，y的最大值是X―1)=6,

當a>5時，y的最大值是/(a)=4—4a+1,

‘6(—1<忘5),

綜上，,max=

.a2—4a+1(?>5).

19.(本小題滿分12分)某蔬菜種植基地預銷售一種綠色蔬菜，共143如果

在市場上直接銷售，每噸可獲利0.2萬元；如果進行精加工后銷售，每噸可獲利

0.6萬元，但需另外支付一定的加工費，總的加工費尸(萬元)與精加工的蔬菜量

r1

尤⑴有如下關(guān)系：P=\工。設(shè)該蔬菜種植基地將光⑴蔬菜進行精

3Qx+8一

—8VE4.

加工后銷售，其余在市場上直接銷售，所得總利潤為y(萬元)?(注：總利潤=銷

售獲利一加工費)

⑴寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(2)當精加工蔬菜多少噸時，總利潤最大？求出最大利潤.

［解析］(1)由題意，知當0WxW8時，

y=0.6x+0.2(14—%)—^x2=-^r2+|x4-14

5，

當8〈尤W14時,

3x+81

y=0.6x+0.2(14—x)-—-=y^x+2,

(1?14

—而*+于+亍0WxW8,

即產(chǎn),1

而r+2,8VxW14.

(2)由(1)知當0WxW8時，j?=—ix2+|x4-y=—^(x—4)2+^,

乙\JJJ^\JJ

1Q

所以當x=4時，y取得最大值，為百.

當8VxW14時，y=Y^.r+2,

17

所以當x=14時，y取得最大值，為5.

因為學＞,，所以當x=4時，y取得最大值，為竽.

故當精加工蔬菜4t時，總利潤最大，為?萬元.

Y

20.(本小題滿分12分)已知函數(shù)8(%)=刁彳xG(-l,l).

(1)證明：函數(shù)g(x)在(一1,1)上單調(diào)遞增；

(2)若g(f—l)+g(2r)<0,求實數(shù)，的取值范圍.

［解析］⑴證明：設(shè)XI,X2^(—1,1),且X1<X2,

,XIX2Xl(x5+1)—X2(X?+1)(XI—X2)(l—XI尤2)

則g(XI)_g(X2)=布一不=(4+1)(心+1)=(1+1)(心+1)，

x\—X2<O,1+xr>0,l+%2>0,1—xix2>0,

.(XI~X2)(1—X\X2)

,,C^+i)(xHi)<0,

即g(xi)—g(X2)<0,

...函數(shù)g(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增.

—X

(2)因為g(一力=正口=-g(x),則g(x)為奇函數(shù).

由g(Ll)+g(2f)<0,得g(2f)<g(l—f).

(—1<2/<1,

又因為g(x)在(一1,1)上單調(diào)遞增，則〈一1<1一《1,解得0yq.

LrO-/,

故實數(shù)f的取值范圍為0<f《.

21.(本小題滿分12分)如果函數(shù)y=*x)(xe。)滿足：

①/U)在。上是單調(diào)函數(shù)；

②存在閉區(qū)間［a,b］^D,使/U)在區(qū)間［a,切上的值域也是［a,b］.那么就

稱函數(shù)y=/(x)為閉函數(shù).

試判斷函數(shù)ynr+Zx在［―1,+8)內(nèi)是否為閉函數(shù).如果是閉函數(shù)，那么

求出符合條件的區(qū)間［a,b］；如果不是閉函數(shù)，請說明理由.

［解析］設(shè)X1,X2是［―1,+8)內(nèi)的任意兩個不相等的實數(shù)，且一1WX1<X2,

則有

“⑵一7(為)=(X5+2%2)—(X?+2XI)

={JA-X?)+2(X2—XI)=(X2—XI)(X1+尢2+2).

?「—「?X2—XI>0,XI+X2+2>0.

(X2-XI)(X1+X2+2)>0.

?MM/Xl).

二函數(shù)y=f+2x在［―1,十8)內(nèi)是增函數(shù).

假設(shè)存在符合條件的區(qū)間［a,b］,則有

層+24=”,

即，

J[b)=b,[b2+2b=b.

4=0,。=0,Q=-1,a=-l,

解得或3=-1或,