第03講7.2.1復(fù)數(shù)的加減運算及其幾何意義

第03講7.2.1復(fù)數(shù)的加、減運算及其幾何意義課程標準學(xué)習(xí)目標①.熟練掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算法則。②理解復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，能夠利用“數(shù)形結(jié)合”的思想解題。1.在認真學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)定義的基礎(chǔ)上，熟練掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算法則；2進一步加強理解復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，能夠利用“數(shù)形結(jié)合”的思想解題，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)；知識點01：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法運算及其幾何意義（1）復(fù)數(shù)的加法法則設(shè)，，（）是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的和：顯然：兩個復(fù)數(shù)的和仍然是一個確定的復(fù)數(shù)（2）復(fù)數(shù)加法滿足的運算律對任意，有交換律：結(jié)合律：（3）復(fù)數(shù)加法的幾何意義如圖，設(shè)在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別為，，以，為鄰邊作平行四邊形，則，即：，即對角線表示的向量就是與復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量.所以：復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來進行.【即學(xué)即練1】（2022·高一課時練習(xí)）復(fù)數(shù)的加、減法運算法則設(shè)，則，．復(fù)數(shù)加法的運算律（1）交換律：．（2）結(jié)合律：．復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義如圖，設(shè)在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別為，以為鄰邊作平行四邊形，則與對應(yīng)的向量是，與對應(yīng)的向量是．【答案】知識點02：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的減法運算及其幾何意義（1）復(fù)數(shù)的減法法則類比實數(shù)集中減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運算，即把滿足：的復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù)減去復(fù)數(shù)的差，記作注意：①兩個復(fù)數(shù)的差是一個確定的復(fù)數(shù)；②兩個復(fù)數(shù)相加減等于實部與實部相加減，虛部與虛部相加減.（2）復(fù)數(shù)減法的幾何意義復(fù)數(shù) 向量【即學(xué)即練2】（2018·高三課時練習(xí)）如圖在復(fù)平面上，一個正方形的三個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，那么這個正方形的第四個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義、向量的平行四邊形法則即可得出．【詳解】∵，∴對應(yīng)的復(fù)數(shù)為：，∴點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為．故選D．知識點03：()的幾何意義在復(fù)平面內(nèi),設(shè)復(fù)數(shù)，（）對應(yīng)的點分別是，,則.又復(fù)數(shù).則,故，即表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點之間的距離.【即學(xué)即練3】（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？既＃┮阎獜?fù)數(shù)，滿足，，則的最大值為.【答案】4【詳解】設(shè)，則，所以，即，，，當時，則取得最大值，最大值為.故答案為：4題型01復(fù)數(shù)的加、減運算【典例1】（2023下·海南省直轄縣級單位·高一校考期中）設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)運算可知：，在復(fù)平面對應(yīng)的點的坐標為，位于第二象限.故選：B【典例2】（2023下·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一校考期末）已知復(fù)數(shù)，，則．【答案】【詳解】因為復(fù)數(shù)，，則.故答案為：.【典例3】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【詳解】（1）（2）（3）（4）【變式1】（2023下·西藏林芝·高二?？计谀┤魪?fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由復(fù)數(shù)，則.故選：A.【變式2】（2023下·北京昌平·高一統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第象限.【答案】三【詳解】因為，所以，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第三象限，故答案為：三【變式3】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)2(3)0(4)(5)(6)【詳解】（1）由題意可得：.（2）由題意可得：.（3）由題意可得：.（4）由題意可得：.（5）由題意可得：.（6）由題意可得：.題型02復(fù)數(shù)的加、減運算的幾何意義【典例1】（2023下·河南鄭州·高一中牟縣第一高級中學(xué)校考階段練習(xí)）復(fù)數(shù)與分別表示向量與，則表示向量的復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】復(fù)數(shù)與分別表示向量與，因為，所以表示向量的復(fù)數(shù)為.故選：D.【典例2】（2022下·山東日照·高一校聯(lián)考期末）若復(fù)數(shù)，（其中為虛數(shù)單位）所對應(yīng)的向量分別為與，則的周長為.【答案】16【詳解】因為，，，所以，，.所以的周長為.故答案為：16【典例2】（2022·高一課時練習(xí)）如圖所示,平行四邊形的頂點O,A,C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為0,,,其中i為虛數(shù)單位由復(fù)數(shù)的幾何意義,知與對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為,.(1)求對應(yīng)的復(fù)數(shù).(2)求對應(yīng)的復(fù)數(shù).(3)求對應(yīng)的復(fù)數(shù).【答案】(1).(2).(3)【詳解】解：(1)因為,所以表示的復(fù)數(shù)為.(2)因為,所以表示的復(fù)數(shù)為.(3),所以對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.【變式1】（2023·高一課時練習(xí)）復(fù)平面上有A、B、C三點，點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則點的坐標為．【答案】【詳解】因為對應(yīng)的復(fù)數(shù)是，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，又，所以對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，又，所以點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，所以點的坐標為．故答案為：．【變式2】（2022下·高二課時練習(xí)）在復(fù)平面上，如果，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，，那么對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.【答案】【詳解】對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.故答案為：.【變式3】（2022·高一課時練習(xí)）設(shè)向量及在復(fù)平面內(nèi)分別與復(fù)數(shù)z1＝5＋3i及復(fù)數(shù)z2＝4＋i對應(yīng)，試計算z1－z2，并在復(fù)平面內(nèi)表示出來【答案】z1－z2＝1＋2i，作圖見解析.【詳解】解:z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i，，則即為z1－z2所對應(yīng)的向量，如圖所示，根據(jù)復(fù)數(shù)減法的幾何意義：復(fù)數(shù)z1－z2是連接向量,的終點，并指向被減數(shù)的向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù).題型03與復(fù)數(shù)的模的幾何意義有關(guān)的應(yīng)用【典例1】（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，由得：，，整理可得：，，（當且僅當時取等號），的最小值為.故選：B.【典例2】（2023下·河北邢臺·高一河北南宮中學(xué)校考階段練習(xí)）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，則，，由可得，解得，則，所以，，因此，，當且僅當時，等號成立，故的最小值為.故選：B.【典例3】（2022下·上海黃浦·高二上海市向明中學(xué)校考階段練習(xí)）若(是虛數(shù)單位),則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：由復(fù)數(shù)的幾何意義可知：表示的點在單位圓上，而|z?2?2i|表示該單位圓上的點到復(fù)數(shù)表示的點的距離，由圖象可知：的最小值應(yīng)為點到的距離，而，圓的半徑為1，故的最小值為，故選D．【變式1】（2022上·湖北武漢·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）復(fù)數(shù)滿足，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，則，由題意可得：，解得，則.故選：D.【變式2】（2022·湖南岳陽·岳陽一中校考一模）若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】表示的幾何意義是復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離小于等于1，表示的幾何意義是復(fù)數(shù)對應(yīng)的點與點連線段的長度，故的最大值為，故選：C.【變式3】（2023·高一課時練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足|z﹣2i|＝1（i為虛數(shù)單位），則|z|的最小值為.【答案】1【詳解】設(shè)，∵，∴，∴，∴.則.當時取等號.故答案為：1.題型04根據(jù)復(fù)數(shù)的加、減運算結(jié)果求參數(shù)【典例1】（2022上·浙江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）若，則的實部可能是（

）A．3 B．1 C． D．【答案】A【詳解】設(shè)，因為，所以，得，所以，所以，則的實部，故選：A【典例2】（2022·河北石家莊·石家莊一中?？寄M預(yù)測），若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，則，故，故，故.故選：.【變式1】（2022上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部是（

）A． B．1 C． D．i【答案】A【詳解】設(shè)，因為，可得，則，可得，所以復(fù)數(shù)的虛部是.故選：A【變式2】（2022下·河南安陽·高一統(tǒng)考期末）已知，，其中為實數(shù)，為虛數(shù)單位，若，則的值為．【答案】【詳解】由題意可得，即，根據(jù)兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件可得，解得，故答案為：.題型05根據(jù)復(fù)數(shù)的加、減運算結(jié)果求復(fù)數(shù)的特征【典例1】（2023下·廣東東莞·高一東莞市厚街中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如果一個復(fù)數(shù)的實部和虛部相等，則稱這個復(fù)數(shù)為“等部復(fù)數(shù)”，若復(fù)數(shù)（其中）為“等部復(fù)數(shù)”，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【詳解】因為復(fù)數(shù)（其中）為“等部復(fù)數(shù)，可得，即，可得，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為位于第一象限.故選：A.【典例2】（2023下·四川眉山·高一仁壽一中?？计谥校?fù)數(shù)對應(yīng)的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【詳解】由復(fù)數(shù)，可得復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限.故選：B.【典例3】（2023下·寧夏銀川·高二寧夏育才中學(xué)校考期中）設(shè)復(fù)數(shù)，滿足，，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點分別為A，B，C，則三角形的面積為（

）A．3 B． C．2 D．【答案】D【詳解】設(shè)，，則，所以，，，，所以，即，所以，又，，在中，過作，垂足為，則為中點，即，所以，所以.故選：D.

【變式1】（2023下·湖南邵陽·高一統(tǒng)考期末）實數(shù)時，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【詳解】又，故故該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限.故選：【變式2】（2022下·上海浦東新·高一?？计谀┮阎P(guān)于的實系數(shù)一元二次方程有兩個虛根和，且，則的值為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【詳解】因為方程有兩個虛根和，所以，則，又由求根公式知兩虛根為，，所以，則，解得，滿足要求，所以.故選：C.【變式3】（2022下·上海寶山·高一上海交大附中?？计谥校┮阎獜?fù)數(shù)，滿足，，，則在復(fù)平面所對應(yīng)的點組成的圖形的面積為．【答案】【詳解】，是以復(fù)平面內(nèi)點為圓心，以為半徑的圓，，，，即，復(fù)數(shù)以復(fù)平面內(nèi)點為圓心，半徑為1和的兩圓構(gòu)成的圓弧，則在復(fù)平面所對應(yīng)的點組成的圖形的面積為：故答案為：.A夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023下·陜西安康·高三陜西省安康中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，且，其中a，b為實數(shù)，則（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【詳解】因為，所以，由，得，即；故選：B.2．（2022下·廣西欽州·高二統(tǒng)考期末）等于（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】.故選：D.3．（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【詳解】因為為純虛數(shù)，所以，解得.故選：D．4．（2023·貴州黔東南·統(tǒng)考一模）已知復(fù)數(shù)，，則的實部與虛部分別為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)加法求，根據(jù)實部、虛部定義得答案.【詳解】因為，，所以，其實部與虛部分別為，.故選：A5．（2023·全國·模擬預(yù)測）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標為，則（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值，結(jié)合復(fù)數(shù)的運算即可得解.【詳解】因為可化為，所以點的坐標為，則，所以，所以．故選：A．6．（2023上·遼寧朝陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算可得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.【詳解】由題意可得：，所以該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，該點在第四象限.故選：D.7．（2023上·江蘇南通·高三海安高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，為原點，為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量，則（

）A．3 B． C．2 D．【答案】D【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得，再根據(jù)題意計算復(fù)數(shù)的模即可.【詳解】因為復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量，所以，所以.故選：.8．（2023上·江蘇鹽城·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，當?shù)奶摬咳∽钚≈禃r，（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，利用復(fù)數(shù)的模長公式可得出，求出的取值范圍，可得出的最小值，進而可得出的值，由此可得出復(fù)數(shù)的值.【詳解】設(shè)，則，所以，，即，所以，，可得，解得，當?shù)奶摬咳∽钚≈禃r，即當時，則，解得，故，故選：A.二、多選題9．（2023上·河北保定·高三定州市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，為復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則或【答案】AC【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)模的運算公式，結(jié)合復(fù)數(shù)減法的運算法則逐一判斷即可.【詳解】A：根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，本選項正確；B：取，，滿足，但，故本選項錯誤；C：設(shè)，，，由，得，即，，所以，即，故本選項正確；D：取，，則，，此時且，故D不正確．故選：AC10．（2021下·山東濟寧·高一統(tǒng)考期末）設(shè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，為虛數(shù)單位，則下列命題正確的是（

）A． B．是純虛數(shù)C．若，則 D．若，則的最大值為2【答案】AD【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則判斷A的正誤；復(fù)數(shù)的解法判斷復(fù)數(shù)是實數(shù)，判斷B；利用復(fù)數(shù)的模的運算法則判斷C；利用復(fù)數(shù)模的幾何意義判斷D．【詳解】解：因為復(fù)數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)為的實部相等，虛部互為相反數(shù)，所以，A正確；當為實數(shù)時，也為實數(shù)，則是實數(shù)，B錯誤；若，則，C錯誤；若，設(shè)，即，則表示圓上的點到原點的距離，其最大值為2，D正確，故選：AD．三、填空題11．（2023上·上海寶山·高三上海交大附中校考期中）復(fù)數(shù)，（a、），若它們的和為實數(shù)，差為純虛數(shù)，則．【答案】【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的加減運算求、，根據(jù)實數(shù)、純虛數(shù)定義求參數(shù)，進而求目標復(fù)數(shù)的模即可.【詳解】由題設(shè)為實數(shù)，故，，故，所以.故答案為：12．（2023·河南開封·統(tǒng)考二模）已知復(fù)數(shù)滿足，寫出一個滿足條件的復(fù)數(shù)．【答案】（答案不唯一，虛部為即可）【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，代入復(fù)數(shù)的模的公式求解即可.【詳解】設(shè)，（，），則，，∵，∴，∴，化簡得，解得.∴滿足條件的一個復(fù)數(shù)（答案不唯一，虛部為即可）.故答案為：（答案不唯一，虛部為即