2023-2024學(xué)年廣東省中山市桂山中學(xué)高一年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2023年廣東省中山市桂山中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試卷含

解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

1.將兩個(gè)數(shù)a=2,b=-6交換，使a=-6,b=2,下列語(yǔ)句正確的是（）

b=a

a=b

c=a

a二b

b=c

a=c

c=b

b=a

a=b

b=a

A.B.C.D.

參考答案：

B

/G）=OSxSl.

2.已知函數(shù)12，-1，*<0.則/[/（-05）]等于（）

A.-0.5B.-1C.05D.1

參考答案：

C

2

3.在等差數(shù)列（°J中,若a2+a4+a6+a8+aio=8O,則a7—2a&的值

為（）

A.4B.6C.8

D.10

參考答案：

C解析：因?yàn)閍2+a4+a6+a8+aio=5a6=8O所以a6=16

221

a7—2a8=ae+d—2（ae+2d）=2ae=8

_19”

4.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸正方向重合的角-X的終邊在（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象

限

參考答案：

B

5.圓（*一1）'+丁=1與直線3”的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相切C.相離D.直線過圓心

參考答案：

A

6.已知三棱錐的四個(gè)面中，最多共有（）個(gè)直角三角形?

A.4B.3C.2D.1

參考答案：

A

【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；直線與平面垂直的性質(zhì).

【分析】一個(gè)三棱錐V-ABC中，側(cè)棱VAJ_底面ABC,并且4ABC中/B是直角，則可知三

棱錐四個(gè)面都是直角三角形，從而可得結(jié)論

【解答】解：如果一個(gè)三棱錐V-ABC中，側(cè)棱VAL底面ABC,并且4ABC中/B是直角.

因?yàn)锽C垂直于VA的射影AB,所以VA垂直于平面ABC的斜線VB,

所以/VBC是直角.

由VAL底面ABC,所以NVAB,NVAC都是直角.

因此三棱錐的四個(gè)面中/ABC；ZVAB；ZVAC；NVBC都是直角.

所以三棱錐最多四個(gè)面都是直角三角形.

故選：A

7.如圖，■℃?三點(diǎn)在地面同一直線上，DC^a,從CD兩點(diǎn)測(cè)得d點(diǎn)仰角分別是

"?"（［＜#）,則4點(diǎn)離地面的高度4A等于（）

a，a-0a，a-6

(A)事仍a)(B)3(a-用

acos力acnsa-0

(0事彷a)(D)30-用

參考答案:

A

4_304

8.已知等差數(shù)列｛斯｝和｛兒｝的前幾項(xiàng)和分別為4和4,且或?+2,則使得為整

數(shù)的正整數(shù)〃的個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

參考答案:

A

【分析】

S=1^J1.、

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和公式，可得42"+1=6+2"+1,要使得,為正整

數(shù)，求得"的取值個(gè)數(shù)，即可求解，得到答案。

【詳解】由題意，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和公式，

、=*D+30

12J>124,18

--------=6+------

可得12n^l,

要使得,為正整數(shù)，則”=1或n=4,

所以要使得,為正整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)為2個(gè)，故選A。

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，以及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)等

J?旦

差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和公式，化簡(jiǎn)&是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)

算能力，屬于中檔試題。

9,若丁=/（冷（XWR）是周期為2的偶函數(shù)，且當(dāng)0MXM1時(shí)，/（x）=？-2x；則方程

3/（X）-X=°的實(shí)根個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

參考答案：

D

略

10.在aABC中，角48均為銳角，且8s則AABC的形狀是（）

A.直角三角形B.銳角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

參考答案：

cos^4=fln(--^4)A.B

C解析：22都是銳角，則

——A>B.A+B<—,Q>—

222

二、填空題:本大題共7示題,每小題4分，共28分

11.函數(shù)f(x)=ln(x-2)的定義域?yàn)?/p>

參考答案：

(2,+8)

【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法.

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)的解析式，真數(shù)大于0,列出不等式，求出解集即可.

【解答】解：???函數(shù)f(x)=ln(x-2),

x-2〉0；

解得x>2,

該函數(shù)的定義域?yàn)?2,+8).

故答案為：(2,+8).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)定義域的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

12.已知直線/，平面口??直線二平面戶??有下列四個(gè)命題

_L%?(2)al,8=j;?

⑶《=.?⑷/,加=&//.?其中正確的命題是

參考答案：

(1)(3)

jQog,5)2-410g25+4+log,:

13.TT?J—______________?

參考答案：

-2

略

14.已知坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個(gè)向量a="sina3)￡=12挺3),且則鈍角

a-

參考答案：

至

T

略

15.若直線m被兩平行線L：x-?y+l=O與Iz：x-?y+3=0所截得的線段的長(zhǎng)為1,則

直線m的傾斜角的大小為.

參考答案：

120°

【考點(diǎn)】?jī)蓷l平行直線間的距離.

|1-3|

【分析】由兩平行線間的距離V而=1,得直線m和兩平行線的夾角為90°.再根據(jù)兩

條平行線的傾斜角為30°,可得直線m的傾斜角的值.

|1-3|

【解答】解：由兩平行線間的距離為《1+8=1,

直線m被兩平行線11：x-V3y+l=0與L：x-V3y+3=0所截得的線段的長(zhǎng)為1,

可得直線m和兩平行線的夾角為90°.

由于兩條平行線的傾斜角為30°,故直線m的傾斜角為120。，

故答案為：120°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩平行線間的距離公式，兩條直線的夾角公式，屬于基礎(chǔ)題.

16.（5分）Z^ABC中，AC=3,AB=2,若G為AABC的重心，則菽?前=.

參考答案：

5

3

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.

專題：計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用.

分析：運(yùn)用三角形的重心的性質(zhì)和向量的三角形法則及向量的中點(diǎn)表示，以及向量的平方

即為模的平方，即可化簡(jiǎn)求得.

解答：由于G為4ABC的重心，

連接AG,延長(zhǎng)交BC于D,

則正。虹乃(AB+AC)=3(杷+AC),

則有夠前3(胡正)?(正-標(biāo))

1—.2-2lx-

=3(AC-AB)=3(9-4)=3.

5

故答案為:3.

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查三角形的重心的性質(zhì)及向量中點(diǎn)的

向量表示，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

在AABC中，slM=cos5=—.McosC?

17.513.

參考答案：

16

65

略

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=2-75tinxcosx+2cosJx-1(x€21)

rn7T.

(I)求函數(shù)了［?','的最小正周期及在區(qū)間"三上的最大值和最小值；

..、—6.n大、

（II）若/&）=亍”曰了日求cos2x。的直

參考答案：

（本小題滿分12分）

（I）解:由/3）=2,規(guī)1）18門+28$2"-1,得

/(x)=y/3(2sinxcosx)+(2cos3x-l)=>/3sin2x+cos2x=25in(2x+—)

6(3分)

所以函數(shù)/“)的最小正周期為4(4分)

，rn”一

/(x)=2sin2x+-0.——

因?yàn)?6J在區(qū)間L5」上為增函數(shù),在區(qū)間L62」上為減函數(shù)，又

」(0)=1唱=2弱=7

八n

所以函數(shù)/用在區(qū)間L<-上的最大值為2,最小值為-1（6分）

/(x0)=2sin|2%0-l-y|

(II)解:由⑴可知

63

/(Xj)=-sin

又因?yàn)椤?,所以（7分）

nn2”77r

由I2」,得（8分）

_4

從而5(9分)

所以

.JT3-4y/3

cos2^o==coscos-4-sin

66(12

分）

略

19.首屆世界低碳經(jīng)濟(jì)大會(huì)在南昌召開，大會(huì)以“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”為主題。某

單位在國(guó)家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為

一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，

月處理成本尸(元)與月處理量X(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為：

-200x180000

2,且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100

元.

(1)該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？

(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不獲利，則國(guó)家至少

需要補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損？ks5u

參考答案：

解：(1)由題意可知，二氧化碳的每噸平均處理成本為：

y180000.

令=x一.2n0n0,r(x)在(0,400)為減函數(shù)，在(400,+co)上是

增函數(shù)，故每月處理量為400噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低，最低成本為

200元.

(2)設(shè)該單位每月獲利為二則ks5u

1,1,

?=100x-(1?-200x+80000)=--x2+300x-80000

S=100x-y'22

1,

=300)2-35000

因?yàn)?00sx￡600,所以當(dāng)x=400時(shí)，-有最大值-40000.

故該單位不獲利，需要國(guó)家每月至少補(bǔ)貼40。。。元，才能不虧損。

20.已知線段PQ的端點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-2,3),端點(diǎn)P在圓C：(x-8)2+(y-1)2=4

上運(yùn)動(dòng).

(I)求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡E的方程；

(II)若一光線從點(diǎn)Q射出，經(jīng)x軸反射后，與軌跡E相切，求反射光線所在的直線方

程.

參考答案：

【考點(diǎn)】軌跡方程.

【分析】(I)設(shè)M(x,y),P(xo，yo),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，轉(zhuǎn)化為P的坐標(biāo)，代

入圓的方程求解即可.

(II)設(shè)Q(-2,3)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)Q,(-2,-3)設(shè)過Q'(-2,-3)的直線？：

y+3=k(x+2),利用點(diǎn)到直線的距離公式化簡(jiǎn)求解即可.

XQ=2X+2

、y0=2y-3

【解答】解：(I)設(shè)M(x,y),P(xo，yo),

則代入(x0-8)+(y0-l)=4

軌跡E的方程為(x-3)2+(y-2)2=1；

(II)設(shè)Q(-2,3)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)Q，(-2,-3)

設(shè)過Q'(-2,-3)的直線？：y+3=k(x+2),即kx-y+2k-3=0

(5k-5)2=k2+125(k2-2k+l)=k2+124k2-50k+24=0,

(3k-4)(4k-3)=0,

???反射光線所在。

殳

y+3=3(x+2),

即4x-3y-1=0

y+3=4(x+2),

即3x-4y-6=0.

21.如圖3,在直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的三棱柱)力8C-4冬中，

乙的=9CT,AB=BC=AAl=2)。是松的中點(diǎn).

(I)求證:4G〃平面

(ID求直線幺射與平面西￡「々所成角的正切值.

參考答案:

解：⑴證明：連接3c1,交于￡,則厚為Eg的中點(diǎn),

連接是，8的中點(diǎn)，.??°&〃為01..................2分

又...4C1<Z平面用ZX；,Q&U1平面型X7,

平面與DC.............................4分

BBJ?平EASCnBB1型

XX=>四_1平面與比￡

AB1BC

(ID

貝QG》是直線g與平面43g所成的角.6分

因?yàn)?=在Rt2\4S]C中，5Cj=^BC24-CjC2=2^

tanZ-ACiB=""=

從而BCi2...............................8分

略

22.已知圓C：x2+y2-2x+4my+4m2=0,圓Ci：x2+y2=25,以及直線1：3x-4y-15=0.

(1)求圓G：X，y2=25被直線1截得的弦長(zhǎng)；

(2)當(dāng)m為何值時(shí)，圓C與圓G的公共弦平行于直線1；

(3)是否存在m,使得圓C被直線1所截的弦AB中點(diǎn)到點(diǎn)P(2,0)距離等于弦AB長(zhǎng)度

的一半？若存在，求圓C的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案：

【考點(diǎn)】相交弦所在直線的方程；圓與圓的位置關(guān)系及其判定.

【專題】直線與圓.

22

【分析】(1)根據(jù)直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式即可求圓C1：x+y=25被直線1截得的弦長(zhǎng)；

(2)求出兩圓的公共弦結(jié)合直線平行的條件即可求出直線1；

(3)根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合弦長(zhǎng)關(guān)系即可得到結(jié)論.

22_

【解答】解：(1)因?yàn)閳ACl：x+y=25的圓心