東北林業(yè)大學概率課件

東北林業(yè)大學概率課件概率論簡介概率的基本性質(zhì)隨機變量及其分布隨機過程與馬爾科夫鏈貝葉斯統(tǒng)計推斷概率論中的重要定理與概念contents目錄01概率論簡介概率論的基本概念指在一定條件下進行的試驗，其結(jié)果具有不確定性。所有可能試驗結(jié)果的集合。樣本空間中的一個子集，表示某些特定結(jié)果的集合。衡量事件發(fā)生可能性的數(shù)值，取值范圍為0到1。隨機試驗樣本空間事件概率早期的概率論思想可以追溯到中世紀歐洲的賭博游戲。概率論的起源古典概率現(xiàn)代概率論17世紀中葉，概率論逐漸發(fā)展成為一門科學，主要研究確定性事件的概率計算。19世紀末至20世紀初，概率論開始研究隨機現(xiàn)象，引入了測度論和積分論等數(shù)學工具。030201概率論的發(fā)展歷程統(tǒng)計學物理學工程學金融學概率論的應用領(lǐng)域01020304概率論是統(tǒng)計學的基礎(chǔ)，用于數(shù)據(jù)分析和推斷。概率論在量子力學、統(tǒng)計物理等領(lǐng)域有廣泛應用。概率論用于可靠性工程、質(zhì)量控制等方面。概率論在金融風險評估、投資組合優(yōu)化等方面有重要應用。02概率的基本性質(zhì)互斥事件的概率加法性質(zhì)如果兩個事件是互斥的，即兩個事件不能同時發(fā)生，那么這兩個事件的概率之和等于它們包含樣本點個數(shù)之和除以總樣本點個數(shù)。完備事件的概率加法性質(zhì)如果兩個事件是完備的，即它們包含了樣本空間中所有的樣本點，那么它們的概率之和等于1。概率的加法性質(zhì)獨立事件的概率乘法性質(zhì)如果兩個事件是獨立的，那么它們的概率之積等于它們包含樣本點個數(shù)之積除以總樣本點個數(shù)。條件概率的乘法性質(zhì)在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率為P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同時發(fā)生的概率。概率的乘法性質(zhì)在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率為P(A|B)。條件概率的定義如果兩個事件是獨立的，那么一個事件的發(fā)生與否不會影響到另一個事件發(fā)生的概率。獨立事件的性質(zhì)如果兩個事件在某個條件下是獨立的，那么它們的條件概率也是獨立的。條件獨立的概念條件概率與獨立性03隨機變量及其分布離散隨機變量是在一定范圍內(nèi)可以一一列舉出來的隨機變量，通常用X表示。定義例如，拋一枚硬幣，正面朝上和反面朝上出現(xiàn)的次數(shù)就是離散隨機變量。例子離散隨機變量的分布律是指一個概率質(zhì)量函數(shù)，它描述了隨機變量取每個可能值的概率。分布律離散隨機變量

連續(xù)隨機變量定義連續(xù)隨機變量是在一定區(qū)間內(nèi)可以取任何值，并且其取值具有連續(xù)性的隨機變量，通常用X表示。例子例如，人的身高、體重等都是連續(xù)隨機變量。概率密度函數(shù)連續(xù)隨機變量的概率密度函數(shù)描述了隨機變量取任意一個值的概率，其值可以是0到正無窮大。例子例如，投擲兩枚骰子，每一枚骰子的點數(shù)都是一個隨機變量，而兩枚骰子的點數(shù)之和也是一個隨機變量，它是二維的。定義多維隨機變量是指具有兩個或兩個以上隨機變量的隨機現(xiàn)象，通常用向量表示。聯(lián)合分布多維隨機變量的聯(lián)合分布描述了所有隨機變量同時取值的概率，它可以用聯(lián)合概率密度函數(shù)或聯(lián)合分布律來表示。多維隨機變量04隨機過程與馬爾科夫鏈隨機過程是隨機變量在時間或空間上的變化。定義離散隨機過程和連續(xù)隨機過程。分類隨機過程的概率分布、數(shù)學期望、方差等統(tǒng)計特性。描述隨機過程的基本概念03應用馬爾科夫鏈在自然語言處理、機器學習、統(tǒng)計學等領(lǐng)域有廣泛應用。01定義馬爾科夫鏈是一種特殊的隨機過程，其中下一個狀態(tài)只與當前狀態(tài)有關(guān)，與過去狀態(tài)無關(guān)。02性質(zhì)馬爾科夫鏈具有無記憶性、齊次性、遍歷性等性質(zhì)。馬爾科夫鏈的定義與性質(zhì)123在馬爾科夫鏈中，如果一個概率分布不隨時間的推移而改變，則稱該分布為平穩(wěn)分布。平穩(wěn)分布在長期觀察馬爾科夫鏈后，該鏈將趨于平穩(wěn)分布。極限定理平穩(wěn)分布在統(tǒng)計學、經(jīng)濟學、生態(tài)學等領(lǐng)域有廣泛應用，極限定理為這些領(lǐng)域提供了重要的理論基礎(chǔ)。應用平穩(wěn)分布與極限定理05貝葉斯統(tǒng)計推斷貝葉斯定理預測先驗概率后驗概率貝葉斯定理與預測貝葉斯定理是概率論中的一個基本定理，它提供了在已知某些條件下，更新某個事件概率的方法。在事件發(fā)生前，我們對該事件的預測概率稱為先驗概率?；谪惾~斯定理，我們可以利用已知的信息來預測未知事件的可能性。在事件發(fā)生后，我們根據(jù)新信息更新對該事件的預測概率稱為后驗概率。參數(shù)估計是統(tǒng)計學中的一項重要任務，目的是估計未知參數(shù)的值。參數(shù)估計基于貝葉斯定理，我們可以將參數(shù)視為隨機變量，并為其指定一個概率分布，然后利用數(shù)據(jù)來更新該分布。貝葉斯估計在貝葉斯推斷中，我們通常會尋找使得后驗概率最大的參數(shù)值作為估計值，這就是最大后驗估計。最大后驗估計除了估計單一的參數(shù)值，我們還可以利用貝葉斯推斷來估計參數(shù)的置信區(qū)間。置信區(qū)間貝葉斯推斷在參數(shù)估計中的應用假設檢驗假設檢驗是統(tǒng)計學的另一項重要任務，目的是檢驗某個假設是否成立。在貝葉斯推斷框架下，我們可以將假設檢驗問題視為一個參數(shù)估計問題，然后利用貝葉斯定理來更新我們對參數(shù)的看法。在貝葉斯假設檢驗中，我們通常會設定一個閾值，當后驗概率低于該閾值時，我們就拒絕原假設。這個閾值所對應的區(qū)域被稱為拒絕域。除了判斷假設是否成立，我們還可以利用貝葉斯推斷來制定最佳決策。例如，在二分類問題中，我們可以計算每個決策的預期損失，然后選擇預期損失最小的決策。貝葉斯假設檢驗拒絕域最佳決策貝葉斯推斷在假設檢驗中的應用06概率論中的重要定理與概念在獨立同分布的隨機變量序列中，當樣本量趨于無窮大時，樣本平均值的概率分布趨近于真實平均值的概率分布。大數(shù)定律無論隨機變量的分布是什么，當樣本量足夠大時，樣本平均值的分布趨近于正態(tài)分布。中心極限定理大數(shù)定律與中心極限定理一個著名的數(shù)學問題，涉及到概率論和組合數(shù)學，其解決推動了數(shù)學的發(fā)展。費馬提出的一個著名的數(shù)學定理，關(guān)于橢圓曲線和模形式，其證明是數(shù)學史上的重大突破。蒙提霍爾問題與費馬大定理費馬大定理蒙提霍爾問題基于貝葉斯概