2023年中考數學真題分項匯編（全國通用）：圓的有關性質（共46題）（解析版）

專題23園的有關性質（46題）

一、單選題

1.（2023?四川自貢?統(tǒng)考中考真題）如圖，小8C內接于0O,C。是。。的直徑，連接B。，ZDC4=41。,

則/48c的度數是（）

A.41°B.45°C.49°D.59°

【答案】C

【分析】由CD是。。的直徑，得出NDBC=90。，進而根據同弧所對的圓周角相等，得事N4BD=N4CD=41°,

進而即可求解.

【詳解】解：:C。是。。的直徑，

ZD8c=90°,

AD=AD-

：.^ABD=AACD=A\°,

ZABC=Z.DBC-Z.DBA=90°-41°=49°,

故選：C.

【點睛】本題考查了圓周角定理的推論，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵.

2.（2023?四川涼山?統(tǒng)考中考真題）如圖，在。。中，OA1BC,"DB=3伊,BC=2出，則OC=（）

A.1B.2C.2上D.4

【答案】B

【分析】連接08，由圓周角定理得乙408=60。，由0Z18C得，4coE=4B0E=6（T,CE=BE=6,

CF

在Rt"CE中，由。C=,計算即可得到答案.

sin600

【詳解】解：連接08.如圖所示，

ZAOB=2AADB=2x30。=60°,

OAi.BC,

：.NCOE=Z.BOE=60°,CE=BE=-BC=-x2石=6,

22

在Rt^OCE中，ZCOE=60°CE=6

:.OC=CE=卓=2

sin60°y/3，

T

故選：B.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形，解題的關鍵是熟練掌握圓周角定理，垂

徑定理，添加適當的輔助線.

3.（2023?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題）《夢溪筆談》是我國古代科技著作，其中它記錄了計算圓弧長度的“會圓

術”.如圖，施是以點。為圓心、（9/為半徑的圓弧，N是Z8的中點，MN/48.“會圓術”給出前的弧

長/的近似值計算公式：/=N8+紗:.當。1=4,乙408=60。時，貝心的值為（）

OA

A.H-2A/3B.11-4百C.8-2V3D.8-4上

【答案】B

【分析】連接ON,根據等邊三角形的性質，垂徑定理，勾股定理，特殊角的三角函數，后代入公式計算即可.

【詳解】連接。N,根據題意，蔻是以點。為圓心、O/為半徑的圓弧，N是NB的中點，MN1AB.

:.點M,N,。三點共線,

??-04=4,408=60。，

是等邊三角形，

OA=AB=4/0AN=60°,ON=CMsin60°=273,

OA=AB=4/OAN=60°,ON=OAsin60°=26

MN（4-2-73）

-l=AB+------=4+^-----------i-=11-4^3-

OA4

故選：B.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，垂徑定理，勾股定理，特殊角的函數值，熟練掌握相關知識是解

題的關鍵.

4.（2023?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點4B、C在。。上，C為標的中點.若NA4c=35。，則

/AOB等于（）

A.140°B.120°C.110°D.70°

【答案】A

【分析】連接0C,如圖所示，根據圓周角定理，找到各個角之間的關系即可得到答案.

【詳解】解：連接OC,如圖所示：

:點48、C在。。上,C為刀的中點,

/.BC=AC，

乙BOC=ZAOC=-ZAOB,

2

'：N8/C=35°,

根據圓周角定理可知/8。。=2乙山。=70。，

.?.408=2N50C=140°,

故選：A.

【點睛】本題考查圓中求角度問題，涉及圓周角定理，找準各個角之間的和差倍分關系是解決問題的關鍵.

5.(2023?安徽?統(tǒng)考中考真題)如圖，正五邊形/B8E內接于。0,連接OC,。。，貝ljN8/E-NC。。=()

A.60°B.54°C.48°D.36°

【答案】D

【分析】先計算正五邊形的內角，再計算正五邊形的中心角，作差即可.

【詳解】「N54E=180?！?6^0-0,NCOO=36^0—°,

3600360°

/.^BAE-ZCOD=\SO0-^~二36。，

55

故選：D.

【點睛】本題考查了正五邊形的外角，內角，中心角的計算，熟練掌握計算公式是解題的關鍵.

6.（2023?江蘇連云港?統(tǒng)考中考真題）如圖，甲是由一條直徑、一條弦及一段圓弧所圍成的圖形：乙是由兩

條半徑與一段圓弧所圍成的圖形；丙是由不過圓心。的兩條線段與一段圓弧所圍成的圖形，下列敘述正確

A.只有甲是扇形B.只有乙是扇形C.只有丙是扇形D.只有乙、丙是扇形

【答案】B

【分析】根據扇形的定義，即可求解.扇形，是圓的一部分，由兩個半徑和和一段弧圍成.

【詳解】解：甲是由一條宜徑、一條弦及一段圓弧所圍成的圖形：乙是由兩條半徑與一段圓弧所圍成的圖

形；丙是由不過圓心O的兩條線段與一段圓弧所圍成的圖形，

只有乙是扇形，

故選：B.

【點睛】本題考查了扇形的定義，熟練掌握扇形的定義是解題的關鍵.

7.（2023?云南?統(tǒng)考中考真題）如圖，是。。的直徑，C是上一點.若NBOC=66°,貝U乙4=（）

A

A.66°B.33°C.24°D.30°

【答案】B

【分析】根據圓周角定理即可求解.

【詳解】解：?.藍=元，Z5OC=66°,

=33°,

2

故選：B.

【點睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵.

8.（2023?新疆?統(tǒng)考中考真題）如圖，在。。中，若乙fC8=30。，OA=6,則扇形0/8（陰影部分）的面積是

A.12/7B.6〃C.4/rD.2n

【答案】B

［分析］根據圓周角定理求得乙4。8=60。.然后根據扇形面積公式進行計算即可求解.

【詳解】解：?.?令=筋，4。=30。，

408=60。，

60久

Sc=---Tix6=6兀.

360

故選：B.

【點睛】本題考查了圓周角定理，扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式以及圓周角定理是解題的關鍵.

9.（2023?浙江溫州?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形N8C。內接于。0,BC//AD,AC1BD.若乙4?！?gt;=120。，

AD=0則N。。的度數與BC的長分別為（）

A.10°,1B.10°,72C.15°,1D.15°,亞

【答案】C

【分析】過點。作OE1AD于點E,由題意易得NCAD=ZADB=45°=NCBD=NBCA,然后可得

NON。=NO。/=30。，NABD=ZACD=L/AOD=6C,AE=-AD=—,進而可得

222

CD=-/1OC=72,CF=-CD=—,最后問題可求解.

22

［詳解】解：過點。作OEiAD于點后如圖所示：

R

-：BC//AD,

/.4CBD=4DB,

,/Z-CBD=Z.CAD,

/CAD=ZADB,

?/AC1BD,

...Z.AFD=90°,

/./CAD=/ADB=45°=/CBD=/BCA,

-/^AOD=\20°,OA=OD、AD=B

NCUZ）=NOZ）4=30。，/ABD=NACD=L/AOD=6&、AE=-AD=—.

222

A￡

，CAO=/CAD—/OAD=15。、OA=--------=\=OC=OD,ZBCD=Z.BCA+Z^CD=105°,

cos30°

/COD=2ZCAD=90。,NCDB=180?！?BCD-4CBD=30。，

CD=>/2OC=V2,CF=-CD=—,

22

.BC=-J2CF=1；

故選：c.

【點睛】本題主要考查平行線的性質、圓周角定理及三角函數，熟練掌握平行線的性質、圓周角定理及三

角函數是解題的關鍵.

10.（2023?浙江臺州?統(tǒng)考中考真題）如圖，G）。的圓心。與正方形的中心重合，已知。。的半徑和正方形

的邊長都為4,則圓上任意一點到正方形邊上任意一點距離的最小值為（）.

A.72B.2C.4+2近D.4-272

【答案】D

【分析】設正方形四個頂點分別為4B、C、D.連接。I并延長，交。。于點￡,由題意可得，取的長度

為圓上任意一點到正方形邊上任意一點距離的最小值，求解即可.

【詳解】解：設正方形四個頂點分別為4B、C、D、連接3并延長，交。。于點E,過點。作OF1/8,

如下圖：

則EA的長度為圓上任意一點到正方形邊上任意一點距離的最小值，

由題意可得：OE=AB=4,AF=OF=-AB=2

2

由勾股定理可得：0A=\IOF2+AF2=2A/2，

AE=4-2近，

故選：D.

【點睛】此題考查了圓與正多邊形的性質，勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握圓與正多邊形的性質，確定

出圓上任意一點到正方形邊上任意一點距離的最小值的位置.

11.（2023?山東棗莊?統(tǒng)考中考真題）如圖，在。。中，弦4B,CD相交于點P,若4=48。，AAPD=80°,

則的度數為（）

【答案】A

【分析】根據圓周角定理，可以得到/。的度數,再根據三角形外角的性質，可以求出N3的度數.

【詳解】解：?：4=印4=48。，

ZZ)=48°,

'：AAPD=SO°,AAPD=ZB+ND,

ZB=2APD-4D=80°-48°=32°,

故選：A.

【點睛】本題考查圓周角定理、三角形外角的性質，解答本題的關鍵是求出NQ的度數.

12.（2023?四川內江?統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形Z8CDEF內接于。。，點P在標上，。是西的中點,

則NCP。的度數為（）

A.30°B.36°C.45°D.60°

【答案】C

【分析】先計算正六邊形的中心角，再利用同圓或等圓中，等弧對的圓心角相等，圓周角定理計算即可.

【詳解】如圖，連接。。,。。,。。,。后，

,，正六邊形ABCDEF,。是玩的中點，

36001

NCOD=匕DOE==60°,4DOQ=NEOQ=-乙DOE=30°.

Z.COQ=Z.COD+ADOQ=90°,

NCPQ=；NCOQ=45。,

故選：C.

【點睛】本期考查了正多邊形與圓，圓周角定理，熟練掌握正多邊形中心角計算，圓周角定理是解題的關

鍵.

13.（2023?湖北十堰?統(tǒng)考中考真題）如圖，0。是D8C的外接圓，弦8。交/C于點E,AE=DE,BC=CE,

過點。作。尸1/C于點兒延長尸。交SE于點G,若DE=3,EG=2,則Z8的長為（）

C.8D.475

【答案】B

【分析】作8M1/C于點M,由題意可得出V/E8WOEC,從而可得出A￡8C為等邊三角形，從而得到

NGEF=60。,NEG尸=30。，再由已知得出E尸，8c的長，進而得出CW,BM的長，再求出4〃的長，再

由勾股定理求出N8的長.

【詳解】解：作8Mlzc于點"，

在AAEB和△DEC中,

/A=/D

AE=ED

/AEB=4DEC

^AEB^DEC(ASA),

/.EB—EC,

又..BC=CE,

BE=CE=BC,

「.△EBC為等邊三角形,

ZGEF=60°,BC=EC

/.NEG產=30。，

「EG=2,OF1AC,NEG/=30。

EF」EG=1,

2

又AE=ED=3,OF1AC

CF=AF=AE+EF=4、

AC=2AF=8fEC=EF+CF=5,

BC=EC=5,

'：ABCM=60°,

.*.ZA/5C=30°,

CM=|,BM=ylBC2-CM2=,

AM=AC-CM=—,

2

AB=ylAM2+BM2=7.

故選：B.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、三角形的外接圓與外心、勾股定

理等知識點，綜合性較強，掌握基本圖形的性質，熟練運用勾股定理是解題關鍵.

14.（2023?山西?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內接于OO,4C,8D為對角線，8。經過圓心O.若

N8/C=40。，則/。皮?的度數為（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】B

［分析］由同弧所對圓周角相等及直角三角形的性質即可求解.

［詳解］-BC=BC）

Z.BDC=Z.BAC=40°,

8。為圓的營徑，

Z5C￡>=90°,

2DBC=90°-ABDC=50°；

故選：B.

【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，同圓中同弧所對的圓周角相等，直角三角形兩銳角互余,

掌握它們是關鍵.

15.（2023?湖北宜昌?統(tǒng)考中考真題）如圖，OA,OB,OC都是。。的半徑，AC,OB交于點D.若

AD=CD=8,OD=6,則BD的長為（）.

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

［分析］根據等腰三角形的性質得出OD1/C,根據勾股定理求出OC=10,進一步可求出8。的長.

【詳解】解：?二/。=8=8,

.?.點。為/C的中點，

-.AO=CO,

OD］.AC,

由勾股定理得，OC=yjCD2+OD2=V62+82=10,

OB=10,

BD=OB-OD=\0-6=4,

故選：B.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，勾股定理以及圓的有關性質，正確掌握相關性質是解答本題

的關鍵

16.（2023?河北?統(tǒng)考中考真題）如圖，點邛?兄是0。的八等分點.若APFQ,四邊形的周長分別

為明人則下列正確的是（）

P:P,

Ps

A.a<bB.a=bC.a>bD.a,b大小無法比較

【答案】A

【分析】連接42,66,依題意得62=26=4巴=6舄，R兄=耳6,的周長為。=+

四邊形巴勺不鳥的周長為6=62+兄6+66+66，故人一〃=4￡+￡6-46,根據的三邊關系即可

得解.

【詳解】連接8,88，

2

,.?點々?4是。。的八等分點，即即=筋=麗=航=版=朋=麗=“

二利=16=利=秣舄，前=欽+熊=“8+筋=銅

:PR-PR

又：△胞A的周長為4=4巴+4A+Q舄,

四邊形PFF6Pl的周長為6=《舄+月《+累￡+66，

.??—。=（6￡+￡4+弓￡+《與一（46+46+6周=（<鳥+<4+呂月+4￡）-（，4+4舄+月4）

=利+期-他

在△平^中有利+改>3

/.b-a=PR+P2P3-P[P3>0

故選：A.

【點睛】本題考查等弧所對的弦相等，三角形的三邊關系等知識，利用作差比較法比較周長大小是解題的

關鍵.

17.（2023?浙江杭州,統(tǒng)考中考真題）如圖，在。。中，半徑OB互相垂直,點C在劣弧AB上.若NABC=19°,

A.23°B.24°C.25°D.26°

【答案】D

【分析】根據OAQB互相垂直可得ADB所對的圓心角為270°，根據圓周角定理可得NACB=1x270P=135。，

再根據三角形內角和定理即可求解.

...半徑04,08互相垂直，

/.4403=90。，

???就所對的圓心角為270。，

???癡所對的圓周角//四=；、270°=135。，

又：48c=19°,

/.NB/C=180°-N/CB-N/8C=26°,

故選：D.

【點睛】本題考查圓周角定理、三角形內角和定理，解題的關鍵是掌握：同圓或等圓中，同弧所對的圓周

角等于圓心角的一半.

18.（2023糊北黃岡?統(tǒng)考中考真題）如圖，在。。中，直徑與弦相交于點P,連接/C,AD,BD,

若NC=20。，ABPC=70°,則4OC=（）

cB

D

A.70°B.60°C.50°D.40°

【答案】D

【分析】先根據圓周角定理得出N8=NC=20。，再由三角形外角和定理可知

NBDP=NBPC-NB=70。-20°=50°,再根據直徑所對的圓周角是直角，即乙〃）8=90。，然后利用

NADB=ZADC+乙BDP進而可求出N/OC.

【詳解】解：?.NC=20。，

ZS=20°,

Z.BPC=70°,

Z.BDP=Z.BPC-ZS=70°-20°=50°,

又；4B為直徑,即ZADB=90°,

AADC=ZADB-ABDP=90°-50°=40°,

故選：D.

【點睛】此題主要考查了圓周角定理，三角形外角和定理等知識，解題關鍵是熟知圓周角定理的相關知識.

19.（2023?廣西?統(tǒng)考中考真題）趙州橋是當今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋.如

圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為37m,拱高約為7m,則趙州橋主橋拱半徑火約為（）

A.20mB.28m

【答案】B

【分析】由題意可知，/8=37m,8=7m,主橋拱半徑R,根據垂徑定理，得到4D=：m,再利用勾股

定理列方程求解，即可得到答案.

【詳解】解：如圖，由題意可知，AB=37m,C￡>=7m,主橋拱半徑對

:.OD=OC-CD=(R-7)m,

TOC是半徑,且0cl48,

］37

AD=BD=-AB=—m

22

在RtLADO中，AD"+OD2=OA2,

37I+(R_7『=R2,

解得：R=§^"28m,

56

故選：B.

【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解題關鍵.

20.（2023?四川?統(tǒng)考中考真題）如圖，是。。的直徑，點C,。在。。上，連接8,OD,AC,若

4B0D=124°,則NACD的度數是（）

A.56°B.33°C.28°D.23°

【答案】C

［分析］根據圓周角定理計算即可.

【詳解】解：.?400=124。,

二040。=180°-124°=56°,

NACD=L/AOD=28°,

2

故選：C.

【點睛】此題考查圓周角定理，熟知同弧所對的圓周角是圓心角的一半是解題的關鍵.

21.（2023?山東聊城?統(tǒng)考中考真題）如圖，點。是“3C外接圓的圓心，點/是AJBC的內心,連接。3,

IA.若NCR/=35。，則NO8C的度數為（）

17.5°C.20°D.25°

【答案】C

【分析】根據三角形內心的定義可得NA4c的度數，然后由圓周角定理求出N8OC,再根據三角形內角和

定理以及等腰三角形的性質得出答案.

【詳解】解：連接OC,

丁點/是&48C的內心，Z.CAI=35°,

/.BAC=2Z.CA1=70°,

/.N8OC=2/84。=140。,

.OB=OC,

180°-Z^OC180°-140°

4OBC=40cB==20°,

22

故選：C.

【點睛】本題主要考查了三角形內心的定義和圓周角定理，熟知三角形的內心是三角形三個內角平分線的

交點是解題的關鍵.

22.（2023?福建?統(tǒng)考中考真題）我國魏晉時期數學家劉徽在《九章算術注》中提到了著名的“割圓術”，即

利用圓的內接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細，所失彌少.割之又割，以至于不可割，

則與圓周合體，而無所失矣”.“割圓術”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率〃的近似值為

3.1416.如圖，。。的半徑為1,運用“割圓術”，以圓內接正六邊形面積近似估計。。的面積，可得〃的估

計值為地，若用圓內接正十二邊形作近似估計，可得n的估計值為（）

2

A.石B.2V2C.3D.26

【答案】C

［分析］根據圓內接正多邊形的性質可得408=30。,根據30度的作對的直角邊是斜邊的一半可得8C=g,

根據三角形的面積公式即可求得正十二邊形的面積，即可求解.

【詳解】解：圓的內接正卜二邊形的面積可以看成12個全等的等腰三角形組成，故等腰三角形的頂角為30。，

設圓的半徑為1.如圖為其中一個等腰H角形。48,過點8作8cl04交。4于點于點C,

?/408=30。，

BC=-OB=-,

22

則％.=3吟="

故正十二邊形的面積為12邑以8=12x；=3,

圓的面積為〃xlxl=3,

用圓內接正卜二邊形面積近似估計。。的面積可得〃=3,

故選：C.

【點睛】本題考查了圓內接正多邊形的性質，30度的作對的直角邊是斜邊的一半，三角形的面積公式，圓

的面積公式等，正確求出正十二邊形的面積是解題的關鍵.

23.(2023?廣東?統(tǒng)考中考真題)如圖，是。。的直徑，N8ZC=50。，則ZD=()

c

C.50°D.80°

【答案】B

［分析］根據圓周角定理可進行求解.

【詳解】解：15是。。的直徑，

4cB=90。,

ZBAC=50°,

N/8C=90°-N8/C=40°,

-AC=AC'

：.ND=48C=40°；

故選：B.

【點睛】本題主要考查圓周角的相關性質，熟練掌握直徑所對圓周角為直角是解題的關鍵.

24.（2023?河南?統(tǒng)考中考真題）如圖，點4,B,C在OO上，若NC=55。，則/ZO8的度數為（）

B

A.95°B.100°C.105°D,110°

【答案】D

【分析】直接根據圓周角定理即可得.

【詳解】解:.4=55°,

二由圓周角定理得：LAOB=2LC=WO0,

故選：D.

【點睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題關鍵.

25.（2023?全國?統(tǒng)考中考真題）如圖，AB,4C是。。的弦，OB,OC是。。的半徑，點P為上任意

一點（點P不與點B重合），連接CP.若NR4C=70。，則/8PC的度數可能是（）

A

B

A.700B.1050C.125°D.155°

【答案】D

［分析］根據圓周角定理得出ZBOC=2NB4C=140。,進而根據三角形的外角的性質即可求解.

【詳解】解：..灰=藍，^BAC=1CP,

^BOC=2^BAC=\40°,

2BPC=Z.BOC+NPCO>140°,

NBPC的度數可能是155。

故選：D.

【點睛】本題考查了圓周角定理，三角形的外角的性質，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵.

26.（2023?內蒙古赤峰?統(tǒng)考中考真題）如圖，圓內接四邊形Z8C。中，NBCD=105。,連接OB,OC,OD,

BD,NBOC=2NCOD.則NC8。的度數是（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

【答案】A

【分析】根據圓內接四邊形對角互補得出4=180°-105°=75°,根據圓周角定理得出NBOD=24=150°,

根據已知條件得出NCOD=gN8OO=5（P,進而根據圓周角定理即可求解.

【詳解】解：?圓內接四邊形N8C。中，Z5C￡>=105°,

Z^=180°-105°=75°

ZB。。=24=150。

?「4BOC=24COD

：./COD=L/BOD=50P,

3

<?------■?■<*------X

CD=CD

：,4CBD=-ACOD=-x50°=25c,

22

故選：A.

【點睛】本題考查了圓內接四邊形對角互補，圓周角定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

27.(2023?甘肅蘭州?統(tǒng)考中考真題)我國古代天文學確定方向的方法中蘊藏了平行線的作圖法.如《淮南

子天文訓》中記載：“正朝夕：先樹一表東方；操一表卻去前表十步，以參望日始出北廉.日直人，又樹一

表于東方，因西方之表，以參望日方人北康.則定東方兩表之中與西方之表，則東西也.”如圖，用幾何語

言敘述作圖方法：已知直線。和直線外一定點O,過點。作直線與。平行.(1)以。為圓心，單位長為半

徑作圓，交直線a于點A/,N;(2)分別在的延長線及CW上取點Z,B,使OA=OB;(3)連接,

取其中點C,過O,C兩點確定直線6,則直線。〃從按以上作圖順序，若NMNO=35。，則4OC=()

【答案】A

【分析】證明NNMO=NMNO=35。，可得//。8=2*35。=70。，結合。4=08,C為N8的中點，可得

ZAOC=ZBOC=35°.

【詳解】解：［NMVO=35。，MO=NO,

NNMO=ZMNO=35°,

408=2x350=70。，

.OA=OB,C為N8的中點，

^AOC=￡BOC=35°,

故選A.

【點睛】本題考查的是圓的基本性質，等腰三角形的性質，平行線的判定，三角形的外角的性質，熟記等

腰三角形的性質是解本題的關鍵.

二、填空題

28.（2023?四川南充?統(tǒng)考中考真題）如圖，48是。。的直徑，點Q,"分別是弦4C,弧/C的中點,

AC=12,BC=5,則的長是.

【分析】根據圓周角定理得出N/C8=90。，再由勾股定理確定48=13.半徑為三13，利用垂徑定理確定

OMJ./C,且/D=CD=6,再由勾股定理求解即可.

【詳解】解：?.?48是0。的直徑，

-4c8=90。，

AC=12,BC=5,

AB=13.

AO=-AB=—,

22

?.,點M分別是弦/C,弧NC的中點，

OM1AC,S.AD=CD=6,

OD=>]AO2-AD2=-,

2

MD=OM-OD=AO-OD=4,

故答案為：4.

【點睛】題目主要考查圓周角定理、垂徑定理及勾股定理解三角形，理解題意，綜合運用這些知識點是解

題關鍵.

29.（2023?浙江金華?統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，AB=AC=6cm,^BAC=50°,以N8為直徑作半

圓，交5c于點。，交4C于點E,貝IJ弧。E的長為cm.

【分析】連接OD.0E,根據等腰三角形三線合一性質，圓周角定理，中位線定理，弧長公式計算

即可.

【詳解】解：如圖，連接4D,OD,0E,

為直徑,

AD1AB.

-：AB=AC=6cm,ZJBAC=50°,

..BD=CD,NB4D=NCAD='NBAC=25。.

2

NDOE=2NB4D=50°,OD=-AB=-AC=3cm,

22

,,,,50x/rx35〃/、

.?.3弧nTOE的長為———=—(cw),

故答案為：cm.

【點睛】本題考查了等腰三角形三線合一性質，中位線定理，弧長公式，熟練掌握三線合一性質，弧長公

式，圓周角定理是解題的關鍵.

30.(2023?四川廣安?統(tǒng)考中考真題)如圖，/8C內接于。。，圓的半徑為7,ZB/C=60。，則弦5c的長

【答案】76

【分析】連接O8,OC,過點。作OD1BC于點、D，先根據圓周角定理可得/80。=22847=120。，再根

據等腰三角形的三線合一可得N8O￡＞=60。，BC=2BD,然后解直角三角形可得8。的長，由此即可得.

【詳解】解：如圖，連接。民。。，過點。作。。1BC尸點O,

Z5OC=2Z5/4C=120°,

Q0B=0CQD1BC,

NBOD=-NBOC=60°,BC=2BD,

2

,圓的半徑為7,

OB=7,

BD=OBsin60°=-43,

2

BC=2BD=1后，

故答案為：7百.

【點睛】本題考查了圓周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三線合一，熟練掌握圓周角定理和解直角

三角形的方法是解題關鍵.

31.（2023?甘肅武威?統(tǒng)考中考真題）如圖，＞8C內接于。0,4B是。。的直徑，點。是。。上一點,

【答案】35

［分析］由同弧所對的圓周角相等，得乙＜=/88=55。,再根據直徑所對的圓周角為直角，得4c5=90。,

然后由直角三角形的性質即可得出結果.

【詳解】解：Q4,NC￡>8是前所對的圓周角，

ZJ=ZCDB=55°,

,:48是。。的直徑，

,.'Z^C5=90°,

在RtZ\/C8中，ZJ5C=90°-ZJ=90o-55o=35°,

故答案為:35.

【點睛】本題考查了圓周角定理，以及直角三角形的性質，利用了轉化的思想，熟練掌握圓周角定理是解

本題的關鍵.

32.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD內接于圓。，若〃=100°,則NB的度數是.

【答案】80°

【分析】根據圓內接四邊形的性質：對角互補，即可解答.

【詳解）解：???四邊形ABCD內接于。。，

牙11）=180,

4）=100。，

ZB=180°-ZD=80°.

故答案為:80°.

【點睛】本題主要考查了圓內接四邊形的性質，掌握圓內接四邊形的對角互補是解答本題的關鍵.

33.（2023?山東煙臺?統(tǒng)考中考真題）如圖，將一個量角器與一把無刻度直尺水平擺放，直尺的長邊與量角

器的外弧分別交于點4B,C,D,連接N8,則/8ZO的度數為.

［答案］52.5°

【分析】方法一：如圖：連接OA,OB,OC,OD,AD,AB,由題意可得：OA=OB=OC=OD,

ZAOB=50°-25°=25°,然后再根據等腰三角形的性質求得NCM8=65。、ZOAD=25°.最后根據角的和

差即可解答.

方法二：連接由題意可得：NBAD=105。,然后根據圓周角定理即可求解.

【詳解】方法一：解：如圖：連接

由題意可得：OA=OB=OC=OD、//08=50。-25。=25。，40。=155。一25。=130。，

NOZ8=；（180。-408）=77.5。,NO/。==25°,

/BAD=NOAB-NOAD=525°.

方法二：解：連接08。。，

由題意可得：/849=155。-50。=105。，

根據圓周角定理，知/BAD=-^BOD=-xl050=52.5°.

22

故答案為：52.5°.

【點睛】本題主要考查了角的度量、圓周角定理等知識點，掌握圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度

數的一半是解答本題的關鍵.

34.（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）如圖，用若干個全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3個正五

邊形的位置.要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個數是個.

【答案】10

【分析】先求出正五邊形的外角為72。，則N1=N2=72。，進而得出乙408=36。，即可求解.

【詳解】解：根據題意可得：

???正五邊形的一個外角=等=72。,

：.Zl=Z2=72°,

N力=180°-72°x2=36°,

「?共需要正五邊形的個數=翳=10（個），

故答案為：10.

【點睛】本題主要考查了圓的基本性質，正多邊形的外角，解題的關鍵是掌握正多邊形的外角的求法.

35.（2023?湖南永州?統(tǒng)考中考真題）如圖，。。是一個盛有水的容器的橫截面，。。的半徑為10cm.水的

最深處到水面N8的距離為4cm,則水面的寬度為cm.

AB

【答案】16

【分析】過點。作001/8于點。，交。。于點￡,則=依題意，得出OD=6,進而在

RtA/OD中.勾股定理即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點。作。。1/8于點。，交。。于點E,則/。=O8=g/8,

水的最深處到水面AB的距離為4cm,Q0的半徑為10cm.

.-.00=10-4=6cm,

在RUAOD中，AD=\IAO2-OD2=V102-62=8cm

AB=2AD=16cm

故答案為：16.

【點睛】本題考查了垂徑定理的應用，勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關鍵.

36.（2023?湖北隨州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在。。中，OA1BC,ZAOB=6（F,則乙M>C的度數為

［分析］根據垂徑定理得到勃=祀，根據圓周角定理解答即可.

【詳解】解：??0/18C,

..初=祀，

ZADC=-^AOB=30P,

2

故答案為：30°.

【點睛】本題考查的是垂徑定理和圓周角定理，掌握同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的

圓心角的一半是解題的關鍵.

37.（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）如圖所示，點/、B、C是。。上不同的三點，點。在418c的內部，連接

BO、CO,并延長線段8。交線段/C于點D若乙4=60。,ZCCD=40°,則NODC=度.

【答案】80

【分析】先根據圓周角定理求出/8。。的度數，再根據三角形的外角定理即可得出結果.

【詳解】解：在。。中，

Q4OC=24=2x60。=120。,

NODC=ZBOC-4OCD=120°-40°=80°

故答案為：80.

【點睛】本題考查了圓周角定理，三角形的外角定理，熟練掌握圓周角定理是本題的關鍵.

38.（2023?湖南郴州?統(tǒng)考中考真題）如圖，某博覽會上有一圓形展示區(qū)，在其圓形邊緣的點P處安裝了一

臺監(jiān)視器，它的監(jiān)控角度是55。，為了監(jiān)控整個展區(qū)，最少需要在圓形邊緣上共安裝這樣的監(jiān)視器

___________臺.

【答案】4

【分析】圓周角定理求出/P對應的圓心角的度數，利用360。:圓心角的度數即可得解.

【詳解】解：1匕=55。，

小尸對應的圓心角的度數為110。，

-.-360°4-110°=3.27,

.?.最少需要在圓形邊緣上共安裝這樣的監(jiān)視器4臺；

故答案為：4

【點睛】本題考查圓周角定理，熟練掌握同弧所對的圓周角是圓心角的一半，是解題的關鍵.

39.（2023?浙江杭州?統(tǒng)考中考真題）如圖，六邊形/8COE/是。。的內接正六邊形，設正六邊形4BCDEF

的面積為E，△ZC￡的面積為邑，則寸=.

【答案】2

［分析］連接O4OCOE,首先證明出ZUCE是。。的內接正三角形，然后證明蝴A8/C/AO/C（ASA）,

得到S/BAC=S.*FE=S.CDE，$血C==$?℃￡，進而求解即可.

【詳解】如圖所示，連接O4OCOE,

?.,六邊形ABCDEF是。。的內接正六邊形,

/.AC=AE—CE,

△ACE是。。的內接正三角形，

.../〃=120。，AB=BC,

ABAC=ZBCA=80?！狽8）=30。，

ZG4E=60°,

NOZC=NONE=30。，

ZBAC=ZOAC=30°,

同理可得，N8C/=NOCZ=30。,

又?.?AC=AC,

^BAC^OAC(ASA),

S〉BAC=S.o/c,

由圓和正六邊形的性質可得，S.c=S."￡=S,CDE、

由圓和正三角形的性質可得'S&OAC=S4OAE=S4OCE，

+=

S|=S.BAC+S“FE+S.CDE+S.OAC+S?OAE^^OCE2(S^QAC+S.OAE+S.OCE)=2s2,

?縣=2

?邑-

故答案為：2.

【點睛】此題考查了圓內接正多邊形的性質，正六邊形和正三角形的性質，全等三角形的性質和判定等知

識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點.

40.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）如圖，在。。中，48為直徑,C為圓上一點，/歷1C的角平分線與。。

交于點D,若N4DC=20。,則=°.

【答案】35

【分析】由題意易得入1C8=9O。，N/OC=N48C=20。，則有NB4C=70°,然后問題可求解.

【詳解】解：1?48是。。的直徑，

ZACB=90°,

"=/C，N皿=20°，

/.ADC=AABC=20°,

NBAC=1曾,

ZD平分N8ZC,

ABAD=-ABAC=350■

2

故答案為：35.

【點睛】本題主要考查圓周角的性質，熟練掌握直徑所對圓周角為直角是解題的關鍵.

41.（2023?山東東營?統(tǒng)考中考真題）“圓材埋壁”是我國古代數學名著《九章算術》中的一個問題：“今有圓

材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺.問：徑幾何？用現在的幾何語言表達即：

如圖，CO為。。的直徑，弦/81CD,垂足為點E,CE=1寸，/8=10寸，則直徑CD的長度是

寸.

【答案】26

【分析】連接。/構成直角三角形，先根據垂徑定理，由。E垂直NB得到點E為N5的中點，由刖=6可求

出4E的長，再設出圓的半徑04為x,表示出OE,根據勾股定理建立關于x的方程，求解方程可得2x的

值，即為圓的直徑.

【詳解】解：連接。4,

-：ABLCD,且48=10寸，

/.4E=BE=5寸,

設圓O的半徑OZ的長為X,則OC=OD=X,

QC￡=1,

OE=x-l,

在直角三角形NOE中，根據勾股定理得：

X2-(X-1)2=52,化簡得：A-2-x2+2r-l=25,

即2x=26,

.-.CD=26(寸).

故答案為：26.

【點睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，解題的關鍵是正確作出輔助線構造直角三角形.

三、解答題

42.(2023?浙江金華?統(tǒng)考中考真題)如圖，點A在第一象限內，?！迸cx軸相切于點B,與V軸相交于點

C,D.連接48,過點A作/，18于點

⑴求證：四邊形為矩形.

(2)已知。/的半徑為4,08=77,求弦C。的長.

【答案】⑴見解析

(2)6

【分析】(1)根據切線的性質及有三個角是直角的四邊形是矩形判定即可.

(2)根據矩形的性質、垂徑定理及圓的性質計算即可.

【詳解】(1)證明：：與x軸相切于點B,

AB1x軸.

AHiCD,HO1OB,

/.ZAHO=4HOB=NOBA=90°,

四邊形力是矩形.

(2)如圖,連接/C.

:四邊形是矩形，

AH=0B=5.

在Rt""C中，CH?=AC2-AH2,

.?.CH=j4，-（近了=3.

二點A為圓心，AHLCD,

:.CD=2CH=6.

【點睛】本題考查了矩形的判定，垂徑定理，圓的性質，熟練掌握矩形的判定和垂徑定理是解題的關鍵.

43.（2023?甘肅武威?統(tǒng)考中考真題）1672年，丹麥數學家莫爾在他的著作《歐幾里得作圖》中指出：只用

圓規(guī)可以完成一切尺規(guī)作圖.1797年，意大利數學家馬斯凱羅尼又獨立發(fā)現此結論，并寫在他的著作《圓

規(guī)的幾何學》中.請你利用數學家們發(fā)現的結論，完成下面的作圖題：

如圖，已知。。，A是。。上一點，只用圓規(guī)將。。的圓周四等分.（按如下步驟完成，保留作圖痕跡）

①以點A為圓心，0/長為半徑，自點A起，在。。上逆時針方向順次截取前二余二方；

②分別以點A,點。為圓心，/C長為半徑作弧，兩弧交于。。上方點E;

③以點A為圓心，OE長為半徑作弧交。。于G,〃兩點.即點A,G,D,n將。。的圓周四等分.

［答案】見解析

【分析】根據作圖提示逐步完成作圖即可.再根據圖形基本性質進行證明即可.

【詳解】解：如圖，

即點A,G、D,“把。。的圓周四等分.

理由如下：

如圖，連接OB,OC,AG,AE,DE,AC,DC,OEQH,OG,AH,

由作圖可得：泰=前=0),且。4=OB=4B、

tAOB為等邊三角形,ZAOB=60°,

同理可得：ZBOC=Z.COD=60°,

ZAOB+Z.BOC+Z.COD=180°,

：.A,O,。三點共線，49為直徑，

ZACD=90°,

設CD=x，而ND/C=30。，

AD=2x,AC=&,

由作圖可得：DE=AE=AC=>/3x,而O/=OO=x,

EOLAD,OE=y/DE2-OD2=41x，

由作圖可得AG=AH=Vlr,

而O/=OH=x,

OA2+OH1=2x2=AH2,

乙40H=90。,

同理ZLAOG=90°=ADOG=乙DOH,

.,.點A,G,D,H把。。的圓周四等分.

【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質，圓弧與圓心角之間的關系，等邊三角形的判定與性質，勾股定

理與勾股定理的逆定理的應用，圓周角定理的應用，熟練掌握圖形的基本性質并靈活應用于作圖是解本題

的關鍵.

44.(2023?上海?統(tǒng)考中考真題)如圖，在。。中，弦48的長為8,點C在50延長線上，且

(1)求0。的半徑;

(2)求NBAC的正切值.

【答案】(1)5

⑵:

【分析】(1)延長3C,交。。于點。，連接力。,先根據圓周角定理可得/氏〃)=90。，再解直角三角形可

得50=10,由此即可得;

9

(2)過點。作