高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1測評3-1-4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示

第三章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運(yùn)算3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示課后篇鞏固提升1.設(shè)向量a,b,c不共面,則下列可作為空間的一個(gè)基底的是()A.{a+b,ba,a} B.{a+b,ba,b}C.{a+b,ba,c} D.{a+b+c,a+b,c}解析由已知及向量共面定理,易得a+b,ba,c不共面,故可作為空間的一個(gè)基底.答案C2.已知向量{a,b,c}是空間的一個(gè)單位正交基底,向量{a+b,ab,c}是空間的另一個(gè)基底,若向量p在基底{a,b,c}下的坐標(biāo)為(3,2,1),則它在{a+b,ab,c}下的坐標(biāo)為()A.12,5C.52,1解析設(shè)向量p在基底{a+b,ab,c}下的坐標(biāo)為(x,y,z),則p=3a+2b+c=x(a+b)+y(ab)+zc=(x+y)a+(xy)b+zc,所以x+y=3,x-y=2,z=1,解得x=52,y答案C3.在四面體OABC中,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一點(diǎn),且OG=3GG1,若OG=xOA+yOB+zOC,則(x,y,z)為()A.14,1C.13,1解析如圖所示,連接AG1交BC于點(diǎn)E,則E為BC中點(diǎn),AE=12(AB+AC)=12因?yàn)镺G=3GG1=3(OG1-OG),則OG=34O答案A4.如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=4,BC=1,AA1=3,已知向量a在基底{AB,AD,AA1}下的坐標(biāo)為(2,1,3).若分別以DA,DC,DD1的方向?yàn)閤A.(2,1,3) B.(1,2,3)C.(1,8,9) D.(1,8,9)解析a=2AB+AD3AA1=2DC-DA3DD1=8j答案D5.在正方體ABCDA1B1C1D1中,設(shè)AB=a,AD=b,AA1=c,A1C1與B1D1的交點(diǎn)為E,則BE=解析如圖,BE==AA1+12(AD-AB)答案12a+12b6.如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,點(diǎn)O為空間任一點(diǎn),設(shè)OA=a,OB=b,OC=c,則向量OD用a,b,c表示為.

答案12a12b7.下列關(guān)于空間向量的說法中,正確的有.

①若向量a,b與空間任意向量都不能構(gòu)成基底,則a∥b;②若非零向量a,b,c滿足a⊥b,b⊥c,則有a∥c;③若{OA,OB,OC}是空間的一個(gè)基底,且OD=13OA+13④若向量{a+b,b+c,c+a}是空間的一個(gè)基底,則{a,b,c}也是空間的一個(gè)基底.解析對于①,若向量a,b與空間任意向量都不能構(gòu)成基底,則a,b為共線向量,即a∥b,故①正確;對于②,若非零向量a,b,c滿足a⊥b,b⊥c,則a與c不一定共線,故②錯(cuò)誤;對于③,若{OA,OB,OC}是空間的一個(gè)基底,且OD=13OA+1可得到A,B,C,D四點(diǎn)共面,故③正確;對于④,若向量{a+b,b+c,c+a}是空間的一個(gè)基底,則空間任意一個(gè)向量d,存在唯一實(shí)數(shù)組(x,y,z),使得d=x(a+b)+y(b+c)+z(c+a)=(x+z)a+(x+y)b+(y+z)c,由x,y,z的唯一性,得x+z,x+y,y+z也是唯一的.故{a,b,c}也是空間的一個(gè)基底,故④正確.答案①③④8.如圖所示,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,MA=13AC,ND=13A1D,設(shè)AB=a,AD=b,AA1解連接AN,則MN=由已知可得四邊形ABCD是平行四邊形,從而可得AC=AB+AD=MA=13AC=13(a又A1D=AD故AN=AD+DN=AD-ND=AD-13A1D=b13(bc),所以MN=MA+AN=139.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分別是AB,PC的中點(diǎn),并且PA=AD=1,如圖所示,設(shè)DA=e1,AB=e2,AP=e3,以{e1,e2,e3}為單位正交基