舊教材適用2023高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第六章數(shù)列第3講等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和

第3講等比數(shù)列及其前A項(xiàng)和

--------第礎(chǔ)知以檎Fl

□知識梳理

1.等比數(shù)列的有關(guān)概念

(1)定義

如果一個(gè)數(shù)列從第畫2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于畫同一常數(shù)(不為零),那么

這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的畫公比,通常用字母q表示，定義的表

達(dá)式為畫芻望=G

一包—

(2)等比中項(xiàng)

如果a,G,6成等比數(shù)列，那么EIC叫做a與/)的等比中項(xiàng),即G是a與6的等比中項(xiàng)

<≠?a,G,6成等比數(shù)列=?囪4=a6(a6≠0).

2.等比數(shù)列的有關(guān)公式

(1)通項(xiàng)公式：a,-?2?

(2)前〃項(xiàng)和公式

知識拓展

(1)通項(xiàng)公式的推廣：a.=ad~飛n,ΛZ∈N*).

2

(2)若/〃+〃=P+q=2A(卬，n9p,S4∈N*),則為

⑶若數(shù)列｛4｝,｛&,｝(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則｛∕la,,｝,出，圖，Ee｝,t1(1≠0)

仍然是等比數(shù)列.

(4)在等比數(shù)列｛a｝中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即a”a,,+k,an+2k,an+

3,,…為等比數(shù)列,公比為"(〃，?∈N*).

(5)?a2ai????,a^?aa+2???a2s,,ai?+ιa2?+2...........a3w,…成等比數(shù)列(加CN*).

(6)若等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2∕J(∕7GN*),公比為S奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，偶數(shù)項(xiàng)之和為S95,

(7)公比不為一1的等比數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和為S,,W∣JS,,SZLS,,,SLS“仍成等比數(shù)列,

其公比為

[a>0,[sι<O,&>0,aι<0,

(8)等比數(shù)列｛a｝滿足ι或“八時(shí),｛a｝是遞增數(shù)列；滿足或j時(shí),

[g>lLO<ρ<l0<q<l。》1

｛&J是遞減數(shù)列.

□雙基自測

1.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝的前4項(xiàng)和為15,且呆=3勿+4"，則全=()

A.16B.8C.4D.2

答案C

句>0,(7>0,

解析由題意知<&+&°+打/+動/=15,

Wι∕=3a∕+4a,

解得《.?a3=a↑q^=4.故選C.

Ig=2,

2.(2020?全國I卷)設(shè)｛a｝是等比數(shù)列，旦@+/+/=1,4+念+a=2,則雜+4+

會=()

A.12B.24C.30D.32

答案D

解析設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為S則^ι+a2+a=aι(l+7+^)=1,

a?q+a?q=a↑q(?-?-q+7)=q=2,因此，劣+田+a=囪/+aM+dιq'=dM(l+q+/)=q=

32.故選D.

3.(2。22.廣西柳州模擬)設(shè)等比數(shù)列｛4｝中，公比尸2,前〃項(xiàng)和為S,陪的值為()

答案A

a(]_?tX

解析Si=^''=15&,8,z-cl?Q—?cl?f

1一。

.?.'=￥故選A.

&4

4.設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,若S÷∣,S,S+2成等差數(shù)列，且全=-2,則2=()

A.16B.32C.64D.128

答案C

解析由題意得S+Z+STM=2S,得a"+2+a?+ι+azι+ι=0,即a〃+2=—2azι÷ι,｛a,,｝從第2

項(xiàng)起是公比為一2的等比數(shù)列，.?.a7=a4=64.故選C.

5.(2021?全國甲卷)記S,為等比數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和.若￡=4,S=6,則W=()

Λ.7B.8C.9D.10

答案A

解析解法一：因?yàn)镾=4,S=6,且易知公比*±1,所以由等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公

式，得

f7?(i-√)

\&=l-<7—a?(l+g)=4,

c?(l-√)

?l-=&(l+g)ɑ+])=6,

II1-Q

5ι=4(2—Λ∕2),卜ι=4(2+ΛJ2),6

兩式相除,得。2=。2,所b以=、τ歷或b=-、T歷所以&J(「…)

—7.故選A.

解法二：易知S,6一星，&-S構(gòu)成等比數(shù)列，由等比中項(xiàng)得S(W-S)=(SLS尸,

BP4(5-6)=22,所以&=7.故選A.

6.設(shè)S,為等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.若以=＜，a：=a6,則&=.

O

答案f

∣×(1-35)

121

解析由&=a,得(aN)-'=aM,整理得q=2=3.=W=—匚W—

核心，向交破I

考向一等比數(shù)列的基本運(yùn)算

例1⑴在等比數(shù)列EJ中，若&=8a∣且&,檢+1,凝成等差數(shù)列，則其前5項(xiàng)和為()

A.30B.32C.62D.64

答案C

解析由題意,得a∕=8a,又a≠0,?，?g=2.又a,&+1,8成等差數(shù)列，,2(a+

2×(1—25)

1)=a?+ai?,即2(2a+l)=a+4a.解得a=2,...S=------;----------=62.故選C.

(2)(2021?河南焦作模擬)等比數(shù)列｛4｝中，al=l9選=4級

①求｛4｝的通項(xiàng)公式；

②記S為｛4｝的前刀項(xiàng)和.若￡=63,求加

解①設(shè)｛&｝的公比為6由題意，得a=/?

由己知，得"=4/,又g≠o,所以°=—2或g=2.故a=(-2)"f或a=2''T.

②若金=(-2)〃一】，則s=2_

由2=63得（-2）"=-188,此方程沒有正整數(shù)解.

若&=2"τ,則￡=2"一L

由￡=63得2*,=64,解得∕z∕=6.

綜上，加=6.

觸類旁通J解決等比數(shù)列有關(guān)問題的常用思想方法

（1）方程的思想：等比數(shù)列中有五個(gè)量n,q,a”S,一般可以“知三求二”，通過

列方程（組）求關(guān)鍵量2和g,問題可迎刃而解.

（2）分類討論的思想：等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式涉及對公比O的分類討論，當(dāng)。=1時(shí)，

）

數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和Sn=na、；當(dāng)＜7W1時(shí)，數(shù)歹1]｛a｝的前〃項(xiàng)和S=竺（I二J=Fig

即時(shí)訓(xùn)練L（2022?廣州天河區(qū)高三上綜合測試（一））等比數(shù)列｛&｝的前n項(xiàng)和為

S”若?S=15,a3=5,則公比0的值為（）

1

--

2B.

C.-5或1D.5或1

答案C

解析由題設(shè)知，￡=劭+4+&3=15,又為=5,故國+/=10,.?.aι(l+g)=10,≡a?q

=5,即l+0=2∕,解得〃=一；或1.故選C.

2.(2020?全國。卷)數(shù)列｛4｝中,aι=2,&‰若如ι+a什2T-----∣-a?+ιo=215-25,

則k=()

A.2B.3C.4D.5

答案C

解析在等式中，令加=1,可得&+i=a新=24,???也1=2,.?.數(shù)列｛a｝是以

Hn

/1__rj?ɑ\

2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，.?.a"=2X2"T=2"..-++???+a什'——=

1—Z

2〃+1(1_p??)

—————=2*+'?(2'0-l)-25(2l0-l),Λ2Λ+'=25,則A+l=5,解得4=4.故選C.

1-N

3

3.記S為等比數(shù)列｛品｝的前〃項(xiàng)和，若句=1,W=4，則Sl=.

R

答案i

3

解析設(shè)等比數(shù)列的公比為g,又a=l,則為=aq"T=gi.?.?&=3.?.a+全+a=1

315

+q+q--,即4∕+4g+l=0,'.q---,.?S=

8,

精準(zhǔn)設(shè)計(jì)考向，多角度探究突破

考向二等比數(shù)列的性質(zhì)

角度1等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)

例2(1)(2021?陜西省高三教學(xué)質(zhì)量檢測(四))已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛a,,｝中，z?a?+a跳=

8,貝IJlog2a+log24H-----Flog2預(yù)=()

A.10B.9C.8D.7

答案B

22

解?.'a2由+aa=8,Λ2a5=8,Λa5=2,，?與=82&=必&=&&=線,?'?l0g2a+log2a

9

H------Flog2^)=Iog2(aι^???<?)=Iog2a=91og22=9,故選B.

(2)在等比數(shù)列｛a｝中,公比q>L囪+&=17,—產(chǎn)16,且前卯項(xiàng)和S=31,則項(xiàng)數(shù)

答案5

解析由等比數(shù)列的性質(zhì)知劭&=@24~1=16,又因?yàn)楣?&=17,q>l,所以51=1,am

=16,SJ=曳"?~~《2-=丹_汕」16q=3],解得2,a=句d7=21=16.所以R=5.

1-(71—(71—q

在等比數(shù)列的基本運(yùn)算問題中，一般是利用通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式，建

立方程組求解，但如果靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)“若m+n=p+q(m,/?,p,q∈N),則有aa

=&&”，則可減少運(yùn)算量，解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形.

即時(shí)訓(xùn)練4.(2021?河南中原名校質(zhì)量考評)已知數(shù)列｛&J為正項(xiàng)等比數(shù)列，旦a曲

+2曲金+次2=4,則念+麴=()

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析Vaιa3+2a^5+a5^7=4,由等比數(shù)列的性質(zhì)知a2+2^a+a?=4,即(念+,y=4.

又&〉0,，/+,=2.故選B.

5.在等比數(shù)列｛&｝中，備,團(tuán)5是方程f+6x+2=0的兩根，則竺曳的值為()

-2+啦

B.-y∣2

2

C.√2D.一點(diǎn)或鏡

答案B

解析設(shè)等比數(shù)列｛a｝的公比為q,因?yàn)閍s,如是方程V+6x+2=0的根，所以為05=

2

?=2,a3+aι5=-6,所以a?<0,a5<0,則09=一地，所以且，=E=&=一短.故選B.

角度2等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)

例3(1)已知各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列｛aj,S為其前"項(xiàng)和，且&=10,W=70,那

么512=()

A.150B.-200

C.150或一200D.400或50

答案A

解析解法一：由等比數(shù)列的性質(zhì)知S,$一$,$2-5，是等比數(shù)列，.?.(W-IO)Z

2

=10(70一$),解得&=30或&=—20(舍去),又(。一&)?=(W—W)(SLS),即40=20(5i2

-70),解得Sz=150.故選A.

?A(1-<7)=70,

解法二：設(shè)等比數(shù)列的前"項(xiàng)和為$=/一｛∕αwo),則,八兩式相除得

[A(1—√)=10,

l+√i+√'=7,解得q=2或/=—3(舍去)，，4=-10..?.S2=∕(1-d?)=-1Ox(1—2')=

150.故選A.

(2)已知等比數(shù)列｛&｝的前10項(xiàng)中，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為85；,所有偶數(shù)項(xiàng)之和為170∣,

則S=&+ae+&+a∣2的值為

答案585

解析設(shè)公比為S

"佻9

W=g=2,

J奇

由《r八一

d[1—(q)」

3奇=j"

Il-t7

63

ΛS=a3+a?+59+a12=a?(1÷Q+^+(7)=aι^(l+ζr)(l+7)=585.

觸類旁通

(D等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)主要是若Sr0,貝Us,S.-S,必一甌仍成等比數(shù)列.

⑵注意等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式的變形.當(dāng)衿時(shí)，Sjm?=τ?r含Y

即Sn=A-Aq"(q≠l,A≠0).

(3)利用等比數(shù)列的性質(zhì)可以減少運(yùn)算量，提高解題速度.解題時(shí)，根據(jù)題目條件，分析

具體的變化特征，即可找到解決問題的突破口.

即時(shí)訓(xùn)練6.(2022-云南玉溪模擬)等比數(shù)列｛a,,｝中，公比q=2,a+a1+a7+???+?

=11,則數(shù)列｛a｝的前99項(xiàng)和?S9=()

A.99B.88C.77D.66

答案C

解析解法一：由等比數(shù)列的性質(zhì)知國，今,a,…，而是等比數(shù)列且其公比為d=8,

.?(1-833).,χ_.a(?-g")

??,-11,??.31(1299)—77,??$c9—，一77.故選C.

1—8o1—ρ

解法二：令S=aι+a+a?+…+a?7=ll,S'=a?+as+?+???+as>S"=a+a+1?+…

+則.由數(shù)列EJ為等比數(shù)列，q=2易知S,S',S"成等比數(shù)列且公比為2,則S'=2S

=22,S"=2S'=44,所以S,=S+S'+S”=11+22+44=77.故選C.

7.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和為S,,若S,=2,S,=14,則SS等于()

A.80B.30C.26D.16

答案B

解析由題意知公比大于0,由等比數(shù)列的性質(zhì)知Sn,SLS”,Si-S1,.,S〃一S”,…仍

為等比數(shù)列.設(shè)S,,=x,則2,不一2,14-X成等比數(shù)列，則(χ-2)Z=2X(14-χ),解得X

=6或x=—4(舍去)..?.S”Sill-Sl,,Ss,,-Si,,,Sin-Ss,l,…是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.又

S”=14,.?.S"=14+2X23=30.故選B.

考向三等比數(shù)列的判定與證明

例4(1)已知數(shù)列｛a∕滿足&=1,nan+↑-1｛n+?)a?,設(shè)?1=*.

n

①求bι,bi,bs,?

②判斷數(shù)列｛4｝是否為等比數(shù)列，并說明理由；

③求｛a｝的通項(xiàng)公式.

解①由條件可得&+,=2

將〃=1代入，得α=4a,而a=l,所以4=4.將〃=2代入，得&=3的所以a=12.

從而?=1,bz=2,及=4.

②數(shù)列｛A｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.理由如下：

由題設(shè)條件可得*=徑，即bm=2b,,,

n+1n

又4=1,所以數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.

③由②可得^=2"τ,所以a,,=n?2n^'.

⑵(2021?吉林長春高三監(jiān)測(三))已知數(shù)列｛aj的前〃項(xiàng)和為Sn,a+=2(W+l),al

=k>0.證明：

①｛S+1｝是等比數(shù)歹U;

?(什1)2

②S+?=7&-1.

K

證明①由“I=A(S+1)可得S+i—S=A(S+1),則S+I=S("+1)+hS+ι+l=(4

+1)(S/+1),

由S=a=A>O,則S+l≠0,所以S+1W0,

所以法F=a+1≠°?

》十1

因此｛S+1｝是以A+1為首項(xiàng)，A+1為公比的等比數(shù)列.

②由①可得S+1=(4+1)",則S=(〃+1)"—1,

因此，當(dāng)〃22時(shí)，aπ=s?—Sn-1=k(k+1),^?,

當(dāng)〃=1時(shí)，a=〃滿足&=A(A+I)"，

因此ari=k(k+a)所以:?kl=/■4(4+1)1_]=(4+1)__1

kk

觸類旁通J判定一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列的常用方法

(1)定義法：若Hi=g(<7是常數(shù))，則數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列.

Sn

(2)等比中項(xiàng)法：若a\i=&a.+2(〃GN*),則數(shù)列｛a｝是等比數(shù)列.

(3)通項(xiàng)公式法：若a,,=//",q為常數(shù))，則數(shù)列｛a｝是等比數(shù)列.

即時(shí)訓(xùn)練8.(2022?甘肅張掖檢測)設(shè)數(shù)列｛a,,｝,｛4｝是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)歹∣J,

數(shù)列｛cn｝滿足a=a,+b,?Λ∈N*.

(1)若&=2",4=3",是否存在常數(shù)上使得數(shù)列｛c,,+I—為等比數(shù)列？若存在，求出

A的值；若不存在，說明理由；

(2)證明：｛c,,｝不是等比數(shù)列.

解(1)假設(shè)存在常數(shù)k,使得數(shù)列｛以+1—Aj為等比數(shù)列，

則有(￠+LACM=(Cn+2—??C"+∣)(c√—4以7),Λ?:2,將C"=2"+3"代入上式，得

[2n+1+3n+'-A(2,,+3θ]2=[2H^2+3"+2-?(2Λ+,+3^+1)][2"+3"-A?(2n-'+3"-1)],

BP[(2-k)2n+(3-Jd3n]2=[(2-A)2,,+'+(3-?)3^+'∏(2-Λ)2,,^'+(3-?)3n^'],

整理得12一4)(3一出?2"?3"=0,

6

解得4=2或3.

(2)證明：設(shè)｛a｝,｛4｝的公比分別為0，q,p≠q,a=a。+bn,

要證｛c〃｝不是等比數(shù)列只需證K≠C9,

222

2

因?yàn)镃2=(a↑p+bιq)=a↑p+blQ+2a↑bψq,

22,

ClC3=（&+力）（囪〃'+5/）=a｛p+bl?f+a?b?｛p~?-q）,由于p≠Q(mào)f則p+q>2pq9

又囪，隊(duì)不為零，因此6≠GQ,

故｛。）不是等比數(shù)列.

課時(shí)作業(yè)I

2

1.若等比數(shù)列｛a｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，a2=3,4包=@2,則a等于（）

3「3

aa?4B-8

C.12D.24

答案D

2

解析因?yàn)閿?shù)列EJ是等比數(shù)列，各項(xiàng)均為正數(shù)，4a；=a.=a：,所以成=§=4,所以0

=2.所以會=//=3X2^=24,故選D.

2.（2022?貴陽調(diào)研）設(shè)等比數(shù)列｛8｝的前〃項(xiàng)和為S”若功=3,劭=24,則&=（）

A.93B.189C.99D.195

答案B

解析?.?&=&/=3/=24,

a?（1—（7）LL

Λ7=2,???戈=—:~--=189.故選B.

l—q

3.（2021?山西太原模擬）等比數(shù)列｛4｝的前刀項(xiàng)和為S,若句+a+?+包=1,&+含

+a7+a8=2,￡=15,則7為（）

A.12B.14C.15D.16

答案D

解析'111小=Q'=2,由@+2+8+&1=1,得8?~~~=1,.?Si=Q-I9又

a十/十&+al—q

S）=15,即1?一夕）-=[5,.?.g"=16,V√=2,.?.s=16.故選D.

4.設(shè)等比數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和為S”若S,=2^+'+4,則/=（）

A.-2B.-1C.1D.2

答案A

解析依題意，得曰=S=4+4,a2=W-S=4,-S=8,因?yàn)椋鸻j是等比數(shù)列，

所以日；=&&,所以8（4+4）=4、解得4=-2.故選A.

5.（2022?昆明一中模考）已知數(shù)列｛4｝是遞減的等比數(shù)列，S是｛a｝的前〃項(xiàng)和，若切

+a,=18,我a=32,則S的值是（）

A.62B.48C.36D.31

答案A

解析由愚+a=18,&3@=選卷=32,得/=16,&=2或4=2,比=16(不符合題意，

32X

L

舍去).設(shè)數(shù)列｛a｝的公比為0,則a∣=32,<7=∣,所以W=-?=62,故選A.

1~2

6.(2021?山西臨汾模擬)設(shè)&=2,數(shù)列｛l+2a,,｝是公比為2的等比數(shù)列，則a=()

A.31.5B.160C.79.5D.159.5

答案C

5?2"T-I]

,,2

解析由題意，得l+2a,,=(l+2a,)-21=5?2匕則3n≈-~~--=5?2^--

a=5X2"—T=5X16—3=80=79.5.

7.中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有如下問題.今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟

五斗，羊主曰：“我羊食半馬."馬主曰：“我馬食半牛.”今欲衰償之，問各出幾何？此

問題的譯文如下：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說：

“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算

按此比例償還，他們各應(yīng)償還多少？該問題中，1斗為10升，則馬主人應(yīng)償還的粟（單位：

升）為（）

2550C50100

A.-B.-C.-D.^γ^

OOiI

答案D

解析5斗=50升.設(shè)羊、馬、牛的主人應(yīng)償還粟的量分別為a”a”as,由題意可知

女,疑構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，且W=50,則覆?一：）=50,解得&=紋，所以馬主

1—z7

人應(yīng)償還粟的量為az=2a∣=半，故選D.

3511

8.（2021?江西九校聯(lián)考）在等比數(shù)列｛a｝中，若外續(xù)=—彳，a+a?+aι+a=7,則一十一

42543233

+'+'=（）

a

354

A.1B.--C.—~D.~

ziO?

答案c

解析因?yàn)閿?shù)列｛&｝是等比數(shù)列，a2a5=-7=^ι,&+a+&+&=*所以,+^^+'+

44切功國

5

-L=~+a=3=—*故選C?

3s&a83&O3

-4

9.（2022?吉林遼源模擬）設(shè)S為等比數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和，S2=75.,則告=（）

?l

11

二

B-或-C3

332D.3或一2

A.答

案C

解析解法一：不妨設(shè)S=I,則S2=7,TS,&一&,52-友成等比數(shù)列，.二（S-A

=7—Si,解得&=3或一2,又W=（I+∕）S>0,；.W=3,,^=3.故選C.

u>l

解法二：由題意率=UlZW上=l+∕+g'=7,即成+/—6=0,.?.（∕'=2或一3（舍

?iOi

去），.?.fl∕S=]+==3,故選C.

10.設(shè)等比數(shù)列EJ的前〃項(xiàng)和為S,,若a=2a,,S=4,則W的值為（）

A.4B.8C.10D.12

答案D

解析設(shè)等比數(shù)列｛&｝的公比為q,由題意知gWl.因?yàn)?=2at,S=4,所以

陷=2,

.'解得g'=2,a_所以S=a（1-J）=-4（1—：）（1—2?）

&（i-√）1一。1

Il-σ=4,一。

=12.故選D.

11.記等比數(shù)列｛a｝的前"項(xiàng)積為方5∈N*）,已知*舊日一2a=0,且為門=128,則小

的值為（）

A.4B.7C.10D.12

答案A

解析因?yàn)椋鸻｝是等比數(shù)列，所以aia?+i=a：又aι?r+∣-2a”=0,則a：—2a“=0,所以

2?—1C.

&=2,a=0（舍去）.由等比數(shù)列的性質(zhì)可知前2kl項(xiàng)積％1=2,即221=128,故勿=

4.故選A.

CC

12.（2021?四川宜賓二診）已知數(shù)列｛a,,｝的前力項(xiàng)和為S,且滿足2S+a〃=3,則」+，

a32

A.543B.546C.1013D.1022

答案A

解析V2S,÷az-3,Λ2S,-ι+az,-ι=3(τ7≥2),兩式相減得，2a〃+a〃-a〃—i=O,即2=/

e

an-?i∕7≥2,又當(dāng)〃=1時(shí)，有2S+a=3,可得囪=1,1?數(shù)列｛區(qū)｝是首項(xiàng)為1,公比為1的等

O

1

??

比數(shù)列，.佛…+*+》=4X(3+32+33H-----F3β)—?x6=<

「22’a`32as汰乙N/

3×(1-36)“3

×^P3一一3=543,故選A.

13.等比數(shù)列｛aj的前〃項(xiàng)和為S,若W+3S=0,則公比g=.

答案一2

解析S+3S=O,UPaι÷a2÷a3÷3(?÷a2)=0,即4a∣+4a2+as=0,BP4?÷4?<∕+a∣<7^

=0,即q"+4g+4=0,所以q=-2.

14.(2021?江西南昌模擬)已知等比數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列，且4=團(tuán)。，2(a,+a(÷2)=5a,,

+”則數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式為an=.

答案2"

解析設(shè)等比數(shù)列｛a,J的公比為g.'?W=aκ∣,（aM）2=aι/,.?.aι=g,...a.=".；2（%

,2

+a,+2）=5a∏-ι,..2a,,（l÷9）=5a,,q,；.2（1+/）=5g,解得。=2或q=:（舍去）.；.a,,=2".

15.（2022?廣州天河區(qū)高三綜合測試（一））復(fù)印紙幅面規(guī)格采用A系列，其幅面規(guī)格為:

①A,,A2,A3,…，Ag所有規(guī)格的紙張的幅寬（以X表示）和長度（以y表示）的比例關(guān)系都為X：

7=1r√2;②將Al紙張沿長度方向?qū)﹂_成兩等分，便成為兒規(guī)格；Az紙張沿長度方向?qū)﹂_成

兩等分，便成為A3規(guī)格；……；如此對開至刖規(guī)格，現(xiàn)有A.,A2,A3,…，Ag紙各一張，若

As紙的幅寬為2dm,則Al紙的面積為dm2,這9張紙的面積之和為dm2.

答案64√22詈

解析由題意知，若Al長寬（*a,a）,&長寬（a,啕，A,長寬（華，∣j,A,長寬

用As長寬凈為

.?j=2,可得a=8,則AI長寬（8，L8）,故其面積為64√2dm3.

由上知，9張紙的面積構(gòu)成首項(xiàng)為64√2,公比為3的等比數(shù)列，.?.9張紙的面積之和為

511啦

dm；

14

1一5

16.已知等比數(shù)列｛a｝中，&>戊=1,則使不等式（力一^^+（勿一—十）H------F

a,,-?^θ成立的最大自然數(shù)n的值是.

答案5

i

解析設(shè)公比為q,由?>a=l知0〈41,an=q~,二不等式的左端二.一?一.）一

1-g

2zI__〃、1_n

I:/（Iv）NO,..?0<<7<l,.?."W5....使題中不等式成立的最大自

然數(shù)〃的值是5.

17.（2021?江蘇南通四模）已知等比數(shù)列｛a｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a=2,a,+a=12.

（D求數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式;

⑵設(shè)4=&京&…甌τ,〃∈N*,求數(shù)列｛二的最大項(xiàng).

解（1）設(shè)等比數(shù)列｛a｝的公比為g（q>O）,

Hl）=2,

由<?=2,a∣+?=12,yf導(dǎo)'

a?q+eq'=12,

aι=64,a?=-486,

解得彳1或<1（舍去）,

°=5

∕1√^1

.*.a∏=64×lτ∣=2'

（2）第=熱既灰…劭LI

=26×24×22×???×28^2Π

=2”（6+8-2〃）=2-/+7/=2-（〃-3.5）2+12.25,

2

二當(dāng)〃取3或4時(shí)，力取得最大項(xiàng)2：

18.（2021?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)預(yù)測（一））設(shè)數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和為S”在①$=旅利（礴0）,

②S=Xa,,一/③2a〃-a∣=SS,這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.

問題：已知數(shù)列｛a｝滿足a=1,,若數(shù)列｛a｝是等比數(shù)列，求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)