2023屆高考二輪總復習試題數(shù)學（文）練習8立體幾何中的證明與計算含解析

考點突破練8立體幾何中的證明與計算

L（2022?青海西寧一模）如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,48=4。=2,8=4,48〃67）,4。_1平面CDP,E為PC

的中點.

⑴證明:8E〃平面PAD-

（2）若CP_L平面PAo,CP=2√I,求三棱錐O-PBE的體積.

2.如圖,在四棱錐P-ABCD中/8〃CZ),且/8AP=NCD尸=90°.

⑴證明:平面PAB_L平面PAD-,

⑵若PA=PC=AB=CC,∕APD=90°,且四棱錐P-ABCD的體積為*求該四棱錐的高及四棱錐的側面積.

3.（2022?四川成都一中練習）如圖所示,在五面體ABCDE中,Z?4BC是邊長為2的等邊三角形,四邊形BCDE

為直角梯形QE〃BC,NBCD=9Q°,CD=DE=1√4D=√5.

(1)若平面Aofn平面ABC=/,求證:￡>￡〃/;

⑵尸為線段BE上一點,若三棱錐RAcD的體積為景試確定點尸的位置,并說明理由.

4.（2022?甘肅蘭州模擬預測）如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,點E為棱PC上一點（與P,C

不重合）,點MN分別在棱Pr>,PB上,平面EMN〃平面ABCD.

（1）求證:B?！ㄆ矫鍭MM

（2）若點E為PC的中點,改=皿=8￡>=2,/尸0=》尸（7,8。,求點A到平面EBD的距離.

5.（2022?陜西二模）如圖所示,在直三棱柱ABC-A,B∣Cl中,點M,N分別是線段AιB,AC∣的中點.

⑴求證:

（2）在線段BG上是否存在一點P使得平面MNP〃平面ABC?若存在,指出點P的具體位置;若不存在,請說

明理由.

6.(2022?寧夏銀川一中二模)如圖所示,已知平行四邊形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直4B=1,AO=2,

∕4E>C=60°,4F=1,M是線段EF的中點.

(1)求證:4(7_18尸；

(2)設點尸為一動點,若點尸從M出發(fā),沿棱按照MTE-C的路線運動到點C,求這一過程中形成的三棱錐

P-BZ)/的體積的最小值.

考點突破練8立體幾何中的證明與計算

L⑴證明取PO的中點￡連接EFAF,

則EF//CD,3.EF=^CD,

^AB∕∕CD,S.AB=^CD,

：.EF//AB,SLEF=AB,

四邊形ABEF是平行四邊形，

：.BE//AF,

又BEa平面PAZXA尸U平面PAD,

.?.8E〃平面PAD.

(2)解?.*CPJ"平面PAO,PDu平面PAD,

：.CP±PD,

又CP=2√5,CZ)=4,，PD=7CD2-CP2=√16-12=2,又A8〃CE平面CDP,

故V二校卷O-PBE=VZ-?wB-PDE=VtsaA-poε=^5?poc?AD=?×i×2×√3×2=^^.

2.(1)證明由已知/區(qū)42=/。。p=90°,得4?_LARC。_LPD由于A8〃Cr),故A8_LPZ),從而AB_L平面

PAD又ABu平面PAB,所以平面PAe_L平面PAD.

⑵解在平面PAD內作PELAO,垂足為E.

由(1)知,ABJ_平面PAD,故ABJ_PE,可得PEJ_平面ABCo,所以PE為四棱錐P-ABC。的高.

設A3=x,則由已知可得AD=必,PE若X.

故四棱錐P-A8CO的體積VP.ABCD=^ABADPE=^.

由題設得#=|,解得x=2.故四棱錐P-ABC。的高PE=√Σ,從而PA=PD=2,AD=BC=2√2,PB=PC=2√2.

可得四棱錐P-ABeO的側面積為/A?PD+gPA?A8+/E>?力C+；BC2sin60°=6+2√3.

3.(1)證明,,,DE∕∕BC,

而DEC平面A8C,8Cu平面ABC,

.?.DE〃平面ABC,

又平面A。En平面ABC=/,OEU平面ADE,

:,DE//I.

(2)解點尸是線段BE的中點.

理由如下:取8C的中點0,連接Ao,E0.

,.?CDr+CA1=AD1,：.CDlAC,

又CD_LBC,ACCBC=C,

,CO,平面ABC

'：CO//DE,CO=DE,

：.四邊形COED是平行四邊形.

...EO〃CO,；.EO_L平面ABC.

：.EOVAO.

又A0"L8C,BCHEO=O,;.AOJ"平面BCDE,

<?*V三校錯F-ACD=VA-FCD--,

V棱錐A-PCO=；SaQCF?AO=gSADC"?V^=

?*?5ΔDCF=∣.

設點尸到直線。。的距離為h,

SADCFw1DC?h3=3?30

242

O

在直角梯形BCDE中,DE=1,8C=2,〃\,

故點F是線段的中點.

4.(1)證明因為平面EMN〃平面A3C。,平面EMNn平面PBD=MN,平面ABCf>C平面PBD=BD,

所以MN//BD,

因為MNU平面AAfN,6。仁平面AMN,

所以80〃平面AMN.

⑵解因為PC=BC=BD=2,ZPBC=^,

所以NP8C=NBPC=;,

所以/PC8苫,所以PCLCB,

因為PCLBD,CBCBD=B,所以PC，平面ABCD,

因為CQU平面ABCD,所以PCLCD.

設點A到平面EBZ)的距離為d,

因為點E為PC的中點,PC=2,所以EC=ipC=l.

因為四邊形ABCD為菱形,8C=BO=2,

所以Co=2,4ABO,ACBO為全等的等邊三角形，

所以DE=BE=722+M=相所以SAEBD=JBE2-(與了=i×2×√54=2,

因為V滋錠￡ABz)二V三楨錐4?EBO,

所以gSAABD?EC=^SAEBD.d,

:xfx4xl=；x2d,解得d=f,

3432

所以點A到平面ES。的距離為當

5.(1)證明連接AC,因為在直三棱柱ABC-A向G中,四邊形44∣GC為平行四邊形，

a'_____-.C,

B

故AlC和AG相交,交點為它們的中點.由于點N是線段AC的中點,故點N也為AlC的中點.

因為點M為A歸的中點，

所以MN為4A∣8C的中位線，

所以MN//BC.

因為AA」平面A8C,8Cu平面A8C,所以AA」BC,

所以A44MN,

即MN±AAi.

(2)解存在,當點P為8G的中點時,平面MNP〃平面ABC.

證明:連接PN,PM,

因為N為AG的中點,P為BC｝的中點,所以PN//AB,

又PNC平面ABeABU平面ABC,

所以PN〃平面ABC,

又由⑴知MN〃BC,8Cu平面ABCMNe平面ABC,故MN〃平面ABC,

又MNCPN=N,MN,PNu平面MNP,

所以平面MNP〃平面ABC.

6.(1)證明在平行四邊形ABCz)中,NADC=60°,CD=A8=1,AO=2,

由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2AD?CDCOSZADC=3,ΛAC=√3,

VBC^AD=2,/.AB2+AC2=BC2,ΛN8AC=90°,

：.ABlAC,

；四邊形ACEF為矩形,則AF±AC,

'：ABΠAF=A,:.AClABF,

：8FU平面ABF,.,.AClBF.

E

(2)解設AC與BO相交于點N,連接FN,CM,

；四邊形ABCD為平行四邊形,且ACCBD=N,

.?.N為AC的中點，

：AC〃EF且AC=EF,M