專題10三角函數(shù)的性質(zhì)（選填題10種考法）

專題10三角函數(shù)的性質(zhì)與正余弦定理（選填題10種考法）考法一扇形的弧長與面積【例11】（2023·甘肅定西·統(tǒng)考一模）古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字作畫，題字作畫的部分多為扇環(huán)，如圖在長為50，寬為20的矩形白紙中做一個扇環(huán)形扇面，扇面的外環(huán)弧線長為45，內(nèi)弧線長為15cm，連接外弧與內(nèi)弧的兩端的線段均為14（外環(huán)半徑與內(nèi)環(huán)半徑之差），若從矩形中任意取一點，則該點落在扇面中的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)小扇形的半徑為，則大扇形的半徑為，則有，解得，所以扇環(huán)面積為，所以若從矩形中任意取一點，則該點落在扇面中的概率為.故選：C.【例12】（2023·全國·模擬預(yù)測）萊洛三角形是定寬曲線所能構(gòu)成的面積最小的圖形，他是由德國機械學(xué)家萊洛首先發(fā)現(xiàn)的，故而得名．它是分別以正三角形ABC的頂點為圓心，以正三角形邊長為半徑作三段圓弧組成的一條封閉曲線，如圖所示．現(xiàn)在我們要制作一個高為10的柱形幾何體，其側(cè)面與底面垂直，底面為一萊洛三角形ABC，且正三角形ABC邊長為2，則該幾何體的體積為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為為等邊三角形，所以，則萊洛三角形ABC的面積，則該柱形幾何體的體積，故選：D.【變式】1．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）車木是我國一種古老的民間手工工藝，指的是用刀去削旋轉(zhuǎn)著的木頭，可用來制作家具和工藝品，隨著生產(chǎn)力的進步，現(xiàn)在常借助車床實施加工．現(xiàn)要加工一根正四棱柱形的條木，底面邊長為，高為．將條木兩端夾住，兩底面中心連線為旋轉(zhuǎn)軸，將它旋轉(zhuǎn)起來，操作工的刀頭逐步靠近，最后置于離旋轉(zhuǎn)軸處，沿著旋轉(zhuǎn)軸平移，對整塊條木進行加工，則加工后木塊的體積為（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】加工后木塊的橫截面的形狀如圖所示，其中O為橫截面的中心，,，，計算可得,:,所以加工后木塊的體積為.故選：B.2．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖甲），圖乙是一個圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧，所在圓的半徑分別是3和6，且，則關(guān)于該圓臺下列說法錯誤的是（

）A．高為 B．體積為C．表面積為 D．內(nèi)切球的半徑為【答案】B【解析】設(shè)圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，則，即；，即；又圓臺的母線長，所以圓臺的高，A正確；圓臺的體積，B錯誤；圓臺的表面積，C正確；由于圓臺的母線長等于上下底面半徑和，所以圓臺的高即為內(nèi)切球的直徑，所以內(nèi)切球的半徑為，D正確.故選：B.3．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面積分別為和，體積分別為和.若，則兩圓錐側(cè)面展開圖的圓心角之和為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)甲、乙兩個圓錐的底面半徑分別為和，母線長為，則甲、乙兩個圓錐的高和，由題意可得：，解得，設(shè)甲、乙兩個圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角分別為和，則，解得，所以兩圓錐側(cè)面展開圖的圓心角之和.故選：C.4．（2023·陜西漢中·統(tǒng)考二模）蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān).如圖為某校數(shù)學(xué)社團用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”.畫法如下：在水平直線上取長度為1的線段AB，作一個等邊三角形ABC，然后以點B為圓心，AB為半徑逆時針畫圓弧交線段CB的延長線于點D（第一段圓弧），再以點C為圓心，CD為半徑逆時針畫圓弧交線段AC的延長線于點E，再以點A為圓心，AE為半徑逆時針畫圓弧…….以此類推，當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?1段圓弧時，“蚊香”的長度為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知：每段圓弧的圓心角為，設(shè)第段圓弧的半徑為，則可得，故數(shù)列是以首項，公差的等差數(shù)列，則，則“蚊香”的長度為.故選：D.考法二三角函數(shù)的定義【例21】（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上有兩個點，，且，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】由已知可得，，又，，，即，聯(lián)立得，解得或，，故選：C.【例22】（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由時，可知，，即，故選：A【變式】1.（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知為角終邊上一點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知為角終邊上一點，則，故，故，故選：A2（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學(xué)?？家荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵校阎c為角終邊上一點，若，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意得：，，，因為，所以，因為，所以，故，所以.故選：B3（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，銳角的大小如圖所示，則（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【解析】因為點是角終邊的一點，所以，所以，由可知，，所以.故選：B4．（2023·河南信陽·信陽高中校考模擬預(yù)測）（多選）已知，為坐標原點，終邊上有一點.則（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】，故，又，，故是第一象限角，又，故，故A正確；對于B，，故，故B正確；對于C，因為在上單調(diào)遞增，且，所以，故C錯誤；對于D，因為在上單調(diào)遞減，，所以，故D錯誤.故選：AB.考法三同角三角函數(shù)【例31】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，而為銳角，解得：．故選：D．【例32】（2023·陜西咸陽·咸陽彩虹學(xué)校校考模擬預(yù)測）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，由得，所以分子分母同除以得，即，所以.故選：D.【例33】（2023·浙江杭州·校考模擬預(yù)測）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】將平方得，所以，則．所以，從而．聯(lián)立，得．所以，．故．故選：D【變式】1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為可得：當(dāng)時，，充分性成立；當(dāng)時，，必要性不成立；所以當(dāng)，是的充分不必要條件.故選：A.2．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，則（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】因為，所以，因為，所以，所以，則.故選：C.3．（2023·河北滄州·?？既＃┮阎瑒t（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，，∴，故選：D.4．（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，則，所以，故.故選：D5．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？寄M預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知條件得，，故選：A.考法四恒等變化【例41】（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中校考模擬預(yù)測）（多選）下列化簡正確的是（

）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】對于A，，故A錯誤．對于B，由，故B正確；對于C，∵設(shè)，則，而，故即，故C正確．對于D，，所以D正確.故選：BCD.【例42】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，而，因此，則，所以.故選：B【例43】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以．故選：A．【變化】1．（2023·浙江·模擬預(yù)測）（多選）下列化簡正確的是（

）A．B．C．D．【答案】CD【解析】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確.故選：CD.2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故選：C[方法二]：特殊值排除法解法一:設(shè)β=0則sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0則sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；選C.[方法三]：三角恒等變換所以即故選：C.3．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，化簡并整理得，又因為，所以，所以，所以.故選：B.4．（2023·河南·模擬預(yù)測）（多選）已知，且，，，則（

）A．的取值范圍為 B．存在，，使得C．當(dāng)時， D．t的取值范圍為【答案】AD【解析】因為，所以，即，若，則，又，所以不能同時成立，所以，故A正確；由A可知，所以，又，所以，所以，故B錯誤；當(dāng)時，整理，得所以，又，對上式整理得，所以，解得（舍去負根），故C錯誤；因為，且，所以隨著的增大而增大，所以隨著的增大而增大，又，所以，，即D正確．故選：AD．考法五角的拼湊【例51】（2023·貴州遵義·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得：.故選：C.【例52】（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由二倍角公式有，又已知，代入即得，由誘導(dǎo)公式有，因此.故選：D.【變式】1．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，即，所以．故選：D2．（2023·安徽·池州市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由得，，而，故，故選：B3．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，則.【答案】【解析】，所以，.故答案為：4．（2023·四川綿陽·鹽亭中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知?，則?．【答案】/0.28【解析】由題意，，，解得：，∴，，故答案為：.考法六三角函數(shù)的性質(zhì)【例61】（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法：①的最小正周期為；②在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時，的取值范圍為；④的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到．以上四個說法中，正確的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以的最小正周期為，①不正確；令，而在上遞增，所以在上單調(diào)遞增，②正確；因為，，所以，③不正確；由于，所以的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到，④不正確．故選：A．【變式】1．（2023·陜西西安·?？家荒＃┖瘮?shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點是的對稱中心B．直線是的對稱軸C．的圖象向右平移個單位得的圖象D．在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】D【解析】由題意可知，,,解得，所以，解得，將代入中，得，解得，,因為，所以，當(dāng)時，，所以的解析式為.對于A，，所以點不是的對稱中心，故A錯誤；對于B，，所以直線不是的對稱軸，故B錯誤；對于C，的圖象向右平移個單位得的圖象，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D正確.故選：D.2．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话?，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，然后向上平移1個單位長度得到函數(shù)的圖象，則（

）A．B．在上單調(diào)遞增C．的圖象關(guān)于點中心對稱D．在上的值域為【答案】D【解析】由題意，平移后函數(shù)為：，故A不正確;B中，，可知，∴先增后減，即在上單調(diào)遞增不正確，故B不正確；C中，∵，∴函數(shù)不關(guān)于對稱，故C不正確；D中，，則，∴，∴，故D正確.故選：D.3．（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測）將函數(shù)的圖象向右平移a個單位長度（a為常數(shù)，且），得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到，又，所以，所以．當(dāng)時，，又，故；當(dāng)時，a隨x的變化而變化，不可能為常數(shù)，不合題意，所以．對于，令，解得，當(dāng)時，令，則；對于，令，解得，當(dāng)時，令，則，所以當(dāng)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減時，n的最大值為，m的最小值為，所以的最大值為．故選：C．考法七正余弦定理【例71】（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以由正弦定理得，即，則，故，又，所以.故選：B.【例72】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則．【答案】【解析】如圖所示：記，方法一：由余弦定理可得，，因為，解得：，由可得，，解得：．故答案為：．方法二：由余弦定理可得，，因為，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因為，所以，，又，所以，即．故答案為：．【例73】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知中，點D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時，．【答案】/【解析】[方法一]：余弦定理設(shè)，則在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以當(dāng)取最小值時，.故答案為：.[方法二]：建系法令BD=t，以D為原點，OC為x軸，建立平面直角坐標系.則C（2t,0），A（1，），B（t,0）[方法三]：余弦定理設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.[方法四]：判別式法設(shè)，則在中，，在中，，所以，記，則由方程有解得：即，解得：所以，此時所以當(dāng)取最小值時，，即.【變式】1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在中，內(nèi)角的對邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意結(jié)合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，據(jù)此可得，則.故選：C.2．（2023·浙江·模擬預(yù)測）在中，角所對的邊分別為.若，且該三角形有兩解，則的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由正弦定理得，所以,因為該三角形有兩解，故,故，即，故選：B3．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，則的周長的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，由正弦定理得，，由于，所以，所以，由于，所以，所以，所以，則，函數(shù)的開口向上，對稱軸為，所以.故選：A4．（2023·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)?？既＃ǘ噙x）中，角所對的邊分別為.以下結(jié)論中正確的有（

）A．若，則必有兩解B．若，則一定為等腰三角形C．若，則一定為直角三角形D．若，且該三角形有兩解，則的范圍是【答案】AC【解析】對于A，若，則，又，所以必有兩解，故A正確；對于B，若，則或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；對于C，由正弦定理得：，即，而，故，所以一定為直角三角形，故C正確；對于D，若，且該三角形有兩解，所以，即，也即，故D錯誤.綜上所述，只有AC正確，故選：AC.考法八w的求法【例81】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知：曲線為，又關(guān)于軸對稱，則，解得，又，故當(dāng)時，的最小值為.故選：C.【例82】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意可得，因為，所以，要使函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，又，的圖象如下所示：則，解得，即．故選：C．【變式】1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點，則的取值范圍是．【答案】【解析】因為，所以，令，則有3個根，令，則有3個根，其中，結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，故答案為：.2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點，則的最小值為．【答案】【解析】因為，（，）所以最小正周期，因為，又，所以，即，又為的零點，所以，解得，因為，所以當(dāng)時；故答案為：3．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上恰有三個極值點和三個零點，則的取值范圍是.【答案】【解析】，，，設(shè)，，有三個極值點和三個零點，由的性質(zhì)可得，，.故答案為：.4．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，給出下列4個結(jié)論：①的最小值是；②若，則在區(qū)間上單調(diào)遞增；③若，則將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再向下平移1個單位長度，可得函數(shù)的圖象；④若存在互不相同的，使得，則.其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②【答案】A【解析】當(dāng)時，，①正確；若時，此時，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，②正確；若時，此時，而函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，再向下平移1個單位長度，可得，③錯誤；存在互不相同的，使得，且在上至少有3個最大值點，而當(dāng)時，，所以，解得，④正確.綜上所述：所有正確結(jié)論的序號是①②④.故選：A.考法九實際應(yīng)用【例91】（2023·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預(yù)測）中國最早的天文觀測儀器叫“圭表”，最早裝置圭表的觀測臺是西周初年在陽城建立的周公測景（影）臺．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的桿子，太陽光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了周代，使用圭表有了規(guī)范，桿子（表）規(guī)定為八尺長．用圭表測量太陽照射在竹竿上的影長，可以判斷季節(jié)的變化，也能用于丈量土地．同一日子內(nèi)，南北兩地的日影長短倘使差一寸，它們的距離就相差一千里，所謂“影差一寸，地差一尺”（1尺＝10寸）．記“表”的頂部為A，太陽光線通過頂部A投影到“圭”上的點為B．同一日子內(nèi)，甲地日影長是乙地日影子長的兩倍，記甲地中直線AB與地面所成的角為，且．則甲、乙兩地之間的距離約為（

）A．15千里 B．14千里 C．13千里 D．12千里【答案】A【解析】由題意可知甲地的日影子長為尺，從而得到乙地的日影子長為1.5尺，則甲、乙兩地之間的距離約為千里．故選：A【例92】（2023·四川綿陽·綿陽中學(xué)校考模擬預(yù)測）月牙泉，古稱沙井，俗名藥泉，自漢朝起即為“敦煌八景”之一，得名“月泉曉澈”，因其形酷似一彎新月而得名．如圖所示，某月牙泉模型的邊緣都可以看作是圓弧，兩段圓弧可以看成是的外接圓和以AB為直徑的圓的一部分，若，AB的長約為，則該月牙泉模型的面積約為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)外接圓圓心為，如圖，半徑為，則，，因此，中弓形面積為，從而陰影部分面積為．故選：A．【變式】1.（2023·四川南充·四川省南部中學(xué)?？寄M預(yù)測）一艘海輪從處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿東偏南方向直線航行，30分鐘后到達B處．在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是東偏南，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東，那么B、C兩點間的距離是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】A【解析】依題意，如圖，在中，，則，由正弦定理得，即，因此（海里），所以兩點間的距離是海里．故選：A2.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）“不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相互垂直的長短兩條直尺構(gòu)成的方尺，是古人用來測量?畫圓和方形圖案的工具.敦煌壁畫就有伏羲女媧手執(zhí)規(guī)矩的記載（如圖（1））.今有一塊圓形木板，以“矩”量之，如圖（2）.若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個內(nèi)角滿足，則這塊四邊形木板周長的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題圖（2）得，圓形木板的直徑為.設(shè)截得的四邊形木板為，設(shè)，，，，，，如下圖所示.由且可得，在中，由正弦定理得，解得.在中，由余弦定理，得，所以，，即，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.在中，，由余弦定理可得，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，因此，這塊四邊形木板周長的最大值為.故選：D.考法十與其他知識的綜合運用【例101】（2023·全國·模擬預(yù)測）（多選）已知函數(shù)在上恰有三個零點，則（

）A．的最小值為 B．在上只有一個極小值點C．在上恰有兩個極大值點 D．在上單調(diào)遞增【答案】BD【解析】對于A選項，因為，當(dāng)時，，由函數(shù)在上恰有三個零點，所以，，解得，所以，的最小值為，A錯；對于B選項，由A選項知，，則當(dāng)，即時，函數(shù)取得極小值，即在上只有一個極小值點，B對；對于C選項，當(dāng)時，函數(shù)在上只有一個極大值點，C錯；對于D選項，當(dāng)時，，因為，所以，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，D對.故選：BD.【例102】（2023·四川南充·四川省南部中學(xué)?？寄M預(yù)測）若分別是與的等差中項和等比中項，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意可得，，且，所以，即，解得又因為，所以，所以故選:A【例103】（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意如圖建立平面直角坐標系，則，，，因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因為，所以，即；故選：D【變式】1．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列中，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在等差數(shù)列中，，可得，因此，.故選：A.2．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測）的展開式中的系數(shù)為12，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】的展開式中的系數(shù)可以看成：6個因式中選取5個因式提供，余下一個因式中提供或者6個因式中選取4個因式提供，余下兩個因式中均提供，故的系數(shù)為，∴，∴，故選：C3．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)有且只有一個零點，則實數(shù)a的值為______．【答案】【解析】，，的圖象關(guān)于直線對稱，若函數(shù)有且只有一個零點，即的圖象與軸有且只有一個交點，則只能是，即，解得，此時，，當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號,當(dāng)時,，又，，當(dāng)時,，當(dāng)時，函數(shù)有且只有一個零點.故答案為：.一、單選題1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】D【解析】因為，所以把函數(shù)圖象上的所有點向右平移個單位長度即可得到函數(shù)的圖象．故選：D.2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點中心對稱，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】A【解析】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因為函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，所以，且，所以，所以，，所以.故選：A3．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，所以，即．又，，所以，即或，即（舍去）．故選：4．（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)?？家荒＃┤?，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，所以，則.故選：D5．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知角，終邊上有一點，則（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】，故，．又，，故在第三象限，故，．故選:C．6．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，且，則，，當(dāng)時，取得最小值，則，，則，，不妨取，則，則，故選：D.7．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的一條對稱軸為直線，一個周期為4，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由函數(shù)的解析式考查函數(shù)的最小周期性：A選項中，B選項中，C選項中，D選項中，排除選項CD，對于A選項，當(dāng)時，函數(shù)值，故是函數(shù)的一個對稱中心，排除選項A，對于B選項，當(dāng)時，函數(shù)值，故是函數(shù)的一條對稱軸，故選：B.8．（2023·陜西商洛·陜西省丹鳳中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，設(shè)，①，又②，所以聯(lián)立①②，解得，故．故選：D9．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）角的頂點在坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊不在坐標軸上，終邊所在的直線與圓相交于、兩點，當(dāng)面積最大時（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，故當(dāng)時，的面積取最大值，則，所以，圓心到直線的距離為，由題意可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，其中，圓的圓心為，則，解得，即，顯然，因此，.故選：D.10．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個不同的解，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個不同的解，即（，取為銳角）在內(nèi)有兩個不同的解，即方程在內(nèi)有兩個不同的解．不妨令，由，則，所以，所以．則，即，所以．故選：D．11．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵,∴，∴，∴或，又，∴，，故選：C．12．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，則的圖象與直線的交點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因為向左平移個單位所得函數(shù)為，所以，而顯然過與兩點，作出與的部分大致圖像如下，考慮，即處與的大小關(guān)系，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；所以由圖可知，與的交點個數(shù)為.故選：C.13．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)甲：，乙：，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時，例如但，即推不出；當(dāng)時，，即能推出.綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.故選：B14．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】方法一：因為，即，可得圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，因為，則，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，連接，可得，則，因為且，則，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以；方法三：圓的圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點的距離，不合題意；若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即，則，整理得，且設(shè)兩切線斜率分別為，則，可得，所以，即，可得，則，且，則，解得.故選：B.15．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在中，，，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由正弦定理得，因為，，，所以，故，則，因為，所以，，故，故.故選：D16．（2023·河北唐山·模擬預(yù)測）設(shè)．當(dāng)取得最大值時，滿足（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令所以，使得，因為在上遞減，所以在上，此時遞增；在上，此時遞減；所以的最大值為，因為所以恒成立對于選項A：，，所以，，故A錯誤；對于選項B：，，所以，，故B錯誤；對于選項C：，，所以，，故C正確；對于選項D：，，所以，，故D錯誤；故選：C17．（2023·江蘇南京·南京航空航天大學(xué)附屬高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則參數(shù)的一個可能值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】是奇函數(shù)，并在時有意義，，對于A項，，故A項錯誤；對于B項，，故B項錯誤；對于C項，，又，即，所以，即，所以是奇函數(shù)，故C項正確；對于D項，，故D項錯誤.故選：C.18．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞增【答案】D【解析】依題意可知，，記，則，對于A選項，因為，所以，則在上不單調(diào)，則在上不單調(diào)，故A錯誤；對于B選項，因為，所以，則在上不單調(diào)，則在上不單調(diào)，故B錯誤；對于C選項，因為，所以，則在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，故C錯誤；對于D選項，因為，所以，則在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D.19．（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)?？既＃┑牟糠謭D象如圖中實線所示，圖中圓與的圖象交于兩點，且在軸上，則下說法正確的是（

）A．若圓的半徑為，則；B．函數(shù)在上單調(diào)遞減；C．函數(shù)的圖象向左平移個單位后關(guān)于對稱；D．函數(shù)的最小正周期是.【答案】A【解析】由函數(shù)圖象，可得點的橫坐標為，所以函數(shù)的最小正周期為，所以D不正確；又由，且，即，根據(jù)五點作圖法且，可得，解得，因為，可得，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在是先減后增的函數(shù)，所以B錯誤；將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，得到，可得對稱軸的方程為，即，所以不是函數(shù)的對稱軸，所以C錯誤；當(dāng)時，可得，即,若圓的半徑為，則滿足，即，解得，所以的解析式為，所以A正確.故選：A.20．（2023·陜西延安·?？家荒＃┮阎瘮?shù)，若函數(shù)的部分圖象如圖所示，則關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C．函數(shù)在區(qū)間上的減區(qū)間為D．函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到【答案】D【解析】由圖可知，∴，∴，又∵，，∴，∴，對于A，其圖象對稱軸為，，當(dāng)時，，∴A項正確；對于B，∵，，，∴的圖象關(guān)于點對稱，∴B項正確；對于C，∵函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，∴，，∴當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，∴C項正確；對于D，∵∴D項錯誤.故選：D21．（2023·全國·河南省實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知三角形中，，角的平分線交于點，若，則三角形面積的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】在中，在中，故，，因為，故，又角的平分線交于點，則，故.故.以為坐標原點建立如圖平面直角坐標系，則因為，，故，，設(shè)，則，即，故，化簡可得，即，故點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓（除去）.故當(dāng)縱坐標最大，即時面積取最大值為.故選：C22．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知是正整數(shù)，函數(shù)在內(nèi)恰好有4個零點，其導(dǎo)函數(shù)為，則的最大值為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【解析】因為在內(nèi)恰好有4個零點，所以，即，所以，又，所以，所以，，所以，其中．故選：B23．（2023·全國·河南省實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)的周期為，且滿足，若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】已知，令，解得則函數(shù)對稱軸方程為函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，，解得，又由，且，得，故僅當(dāng)時，滿足題意.故選：C.24．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像，若的圖像關(guān)于直線對稱，則在上的極值點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】

將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后可得，，且，則，，得，．又，所以，所以，設(shè)，則當(dāng)時，，故由函數(shù)的圖像可知在上的極值點個數(shù)為3個．故選：C．25．（2023·寧夏銀川·寧夏育才中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)，若函數(shù)在區(qū)間上有且只有兩個零點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，所以，由在區(qū)間上有且只有兩個零點可得：因為，當(dāng)時，，所以時，有且只有兩個零點，只能是，，所以，，解得：，所以的取值范圍為，故選：B.26．（2023·四川瀘州·瀘州老窖天府中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，．若函數(shù)在區(qū)間上有10個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得是一個周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時，，因此，因為是奇函數(shù)，所以，，且的周期為，且，，，，求的零點，即是與的交點，如圖：為與在區(qū)間的交點圖形，因為與均為周期為2的周期函數(shù)，因此交點也呈周期出現(xiàn)，由圖可知的零點周期為，若在區(qū)間上有10個零點，則第10個零點坐標為，第11個零點坐標為，因此.故選：A27．（2023·河南·校聯(lián)考二模）若不等式在時恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意知，，結(jié)合，知，不等式轉(zhuǎn)化為，須.設(shè)，由，知，設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，因此實數(shù)的取值范圍是.故選：A28．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，若在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，時，，要想在區(qū)間內(nèi)無零點，則要滿足，解得，要想不等式組有解，則要，解得，故或0，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，解得，則的取值范圍是.故選：D29．（2023·四川·校聯(lián)考一模）將函數(shù)的圖象先向左平移個單位長度，再把所得函數(shù)圖象的橫、縱坐標都變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到，再把所得函數(shù)圖象的橫、縱坐標都變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖象，即，因為函數(shù)在上沒有零點，則，即，即，則，由，得，得，若函數(shù)在上有零點，則，，即，又，則.當(dāng)時，解得.當(dāng)時，解得.當(dāng)時，解得，與矛盾.綜上，若函數(shù)在上有零點，則或，則若沒有零點，則或.故選：C.30．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)，其中，若在區(qū)間內(nèi)恰好有4個零點，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由函數(shù)，其中，當(dāng)時，對任意，函數(shù)在內(nèi)最多有1個零點，不符題意，所以，當(dāng)時，，由可得或，則在上，有一個零點，所以在內(nèi)有3個零點，即在內(nèi)有3個零點，因為，所以，，所以，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.故選：C.二、多選題31．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱，則（

）A．在區(qū)間單調(diào)遞減B．在區(qū)間有兩個極值點C．直線是曲線的對稱軸D．直線是曲線的切線【答案】AD【解析】由題意得：，所以，，即，又，所以時，，故．對A，當(dāng)時，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；對B，當(dāng)時，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個極值點，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點；對C，當(dāng)時，，，直線不是對稱軸；對D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點處的切線斜率為，切線方程為：即．故選：AD．32．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，若是偶函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為B．點是圖像的一個對稱中心C．在的值域為D．函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】BC【解析】由題意得，，解得，因為，所以只有當(dāng)，滿足題意，A選項，，故最小正周期，A錯誤；B選項，，故，故點是圖像的一個對稱中心，B正確；C選項，，則，故，C正確；D選項，，則，由于在上不單調(diào)，故在上不單調(diào)遞增，D錯誤.故選：BC33．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（

）A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱C．函數(shù)在的值域為D．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個單位【答案】ACD【解析】如圖所示：由圖可知，又，所以，所以，又函數(shù)圖象最高點為，所以，即，所以，解得，由題意，所以只能，故A選項正確；由A選項分析可知，而是的對稱中心當(dāng)且僅當(dāng)，但，從而函數(shù)的圖象不關(guān)于對稱，故B選項錯誤；當(dāng)時，，，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，所以函數(shù)在的值域為，故C選項正確；若將函數(shù)的圖象向左平移個單位，則得到的新的函數(shù)解析式為，故D選項正確.故選：ACD.34．（2023·貴州六盤水·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，將圖象上所有的點向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（

）A．B．在區(qū)間上有6個零點C．直線是圖象的一條對稱軸D．若對任意的恒成立，則【答案】ABD【解析】將圖象上所有的點向右平移個單位長度，得，故A錯誤；令，得，所以，又，所以，即在區(qū)間上有6個零點，故B正確；因為，所以直線不是圖象的一條對稱軸，故C錯誤；對任意的恒成立，即對任意的恒成立，由，得，所以，所以，故D正確.故選：ABD.35．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，其中，且，若邊上的中點為，則（

）A． B．的最大值為C．的最小值為 D．的最小值為【答案】ABD【解析】對于A：，由正弦定理得，即，，因為，所以，所以，，，故A正確；對于B：由余弦定理知，，因為，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，因為，所以的最大值為，故B正確；對于C：由B知，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最大值為，故C錯；對于D：因為為邊上的中線，所以，，得，因為，所以的最小值為，故D正確；故選：ABD.36．（2023·廣東廣州·廣州市培正中學(xué)?？寄M預(yù)測）在銳角中，角所對的邊為，若，且，則的可能取值為（

）A． B．2 C． D．【答案】ACD【解析】在銳角中，由余弦定理及三角形面積定理得：，即有，而，則，又，由正弦定理、余弦定理得，，化簡得：，由正弦定理有：，即，，又是銳角三角形且，有，，解得，因此，由得：，，所以，結(jié)合選項，的可能取值為，，.故選：ACD37．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知三