西藏自治區(qū)拉薩市拉薩中學高三第一次月考數(shù)學（理）試題

理科數(shù)學試題一、選擇題（每題5分，共60分）1.已知復數(shù)滿足，則的共軛復數(shù)在復平面內對應的點在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】，，的共軛復數(shù)在復平面內對應點坐標為，的共軛復數(shù)在復平面內對應的點在第四象限，故選D.2.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式化簡集合，再進行交集運算，即可得答案；【詳解】，故，故選：A.【點睛】本題考查集合的交運算，考查運算求解能力，屬于基礎題.3.正項等差數(shù)列的前和為，已知，則=（）A.35 B.36 C.45 D.【答案】C【解析】【分析】由等差數(shù)列通項公式得，求出，再利用等差數(shù)列前項和公式能求出.【詳解】正項等差數(shù)列的前項和，，，解得或（舍），，故選C.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質與求和公式，屬于中檔題.解等差數(shù)列問題要注意應用等差數(shù)列的性質（）與前項和的關系.4.已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當x>0時，＝x2＋，則等于（）A.－2 B.0C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)解析式求的值，結合奇函數(shù)有即可求得【詳解】∵x>0時，＝x2＋∴＝1＋1＝2又為奇函數(shù)∴故選：A【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性，結合解析式及函數(shù)的奇偶性，求目標函數(shù)值5.已知命題，命題，則下列判斷正確的是（）A.是假命題 B.是真命題C.是假命題 D.是真命題【答案】D【解析】試題分析：，所以命題為真；，當且僅當時取等號，所以命題為假；因此是真命題，是假命題，是真命題，是真命題，選D,考點：命題真假【名師點睛】若要判斷一個含有邏輯聯(lián)結詞的命題的真假，需先判斷構成這個命題的每個簡單命題的真假，再依據(jù)“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判斷即可.以命題真假為依據(jù)求參數(shù)的取值范圍時，首先要對兩個簡單命題進行化簡，然后依據(jù)“p∨q”“p∧q”“非p”形式命題的真假，列出含有參數(shù)的不等式(組)求解即可.6.已知向量、的夾角為，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積和定義計算出，可得出結果.【詳解】向量、的夾角為，，，則．故選：B．【點睛】本題考查利用平面向量的數(shù)量積來計算平面向量的模，在計算時，一般將模進行平方，利用平面向量數(shù)量積的定義和運算律進行計算，考查計算能力，屬于中等題.7.已知函數(shù)（其中A，，為常數(shù)，且，，）的部分圖象如圖所示，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖象可得，，，進而得到，由，結合誘導公式，即可得答案；【詳解】由函數(shù)圖象可知：，函數(shù)的最小正周期：，則，當時，，，令可得，函數(shù)的解析式：.由可得：，，則：.故選：B.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的圖象求解析式及誘導公式的應用，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.8.在長方體中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】在長方體中，根據(jù)，則即為異面直線與所成角，然后在中，利用余弦函數(shù)的定義求解.【詳解】如圖所示：在長方體中，因為，所以即為異面直線與所成角，因為，，，所以，在中，.故選：A【點睛】本題主要考查異面直線所成的角的求法，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.9.已知定義域為的奇函數(shù)的導函數(shù)為，當時，，若，，，則，，的大小關系正確的是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)式子得出F（x）=xf（x）為R上的偶函數(shù)，利用f′（x）+<0．當x＞0時，x?f′（x）+f（x）＜0，當x＜0時，x?f′（x）+f（x）＞0，判斷單調性即可證明a，b，c的大?。驹斀狻慷x域為R的奇函數(shù)y=f（x），設F（x）=xf（x），∴F（x）為R上的偶函數(shù)，∴F′（x）=f（x）+xf′（x）∵當x≠0時，f′（x）+<0．∴當x＞0時，x?f′（x）+f（x）<0，當x＜0時，x?f′（x）+f（x）>0，即F（x）在（0，+∞）單調遞減，在（﹣∞，0）單調遞增．F（）=a=f（）=F（ln），F(xiàn)（﹣3）=b=﹣3f（﹣3）=F（3），F(xiàn)（ln）=c=（ln）f（ln）=F（ln3），∵ln＜ln3＜3，∴F（ln）>F（ln3）>F（3）．即b＜c＜a，故選B．【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，需要構造函數(shù)，一般：（1）條件含有，就構造,（2）若，就構造，（3），就構造，（4）就構造，等便于給出導數(shù)時聯(lián)想構造函數(shù).10.設為坐標原點，是以為焦點的拋物線上任意一點，是線段上的點，且,則直線的斜率的最大值為()A. B. C. D.1【答案】C【解析】試題分析：設，由題意，顯然時不符合題意，故，則，可得：，當且僅當時取等號，故選C．考點：1．拋物線的簡單幾何性質；2．均值不等式．【方法點晴】本題主要考查的是向量在解析幾何中的應用及拋物線標準方程方程，均值不等式的靈活運用，屬于中檔題．解題時一定要注意分析條件，根據(jù)條件，利用向量的運算可知，寫出直線的斜率，注意均值不等式的使用，特別是要分析等號是否成立，否則易出問題．11.已知是定義是上的奇函數(shù)，滿足，當時，，則函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)是（）A.3 B.5 C.7 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)是定義是上的奇函數(shù)，滿足，可得函數(shù)的周期為3，再由奇函數(shù)的性質結合已知可得，利用周期性可得函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)．【詳解】∵是定義是上的奇函數(shù)，滿足，，可得，

函數(shù)的周期為3，

∵當時，，

令，則，解得或1，

又∵函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，

∴在區(qū)間上，有．

由，取，得，得，

∴．

又∵函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，

∴方程=0在區(qū)間上的解有共9個，

故選D．【點睛】本題考查根存在性及根的個數(shù)判斷，考查抽象函數(shù)周期性的應用，考查邏輯思維能力與推理論證能力，屬于中檔題．12.已知，分別是雙曲線（，）的左、右焦點，若在雙曲線的右支上存在一點M，使得（其中O為坐標原點），且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先證明，再分析得到，即得解.【詳解】因為，所以，即，所以，在中，邊上的中線等于的一半，可得.因為，所以，，所以根據(jù)雙曲線定義得，所以雙曲線的離心率.故選：D.【點睛】本題主要考查雙曲線的離心率的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.二、填空題、（每小題5分，共60分）13.若x，y滿足約束條件，則的最小值為______．【答案】11【解析】【分析】畫出可行域如圖,平移動直線根據(jù)縱截距的變化情況得到最小值.【詳解】畫出可行域如圖所示，可知目標函數(shù)過點時取得最小值，．故答案為11【點睛】求目標函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標函數(shù)對應的最優(yōu)解對應點（在可行域內平移變形后的目標函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標代入目標函數(shù)求出最值.14.如果的展開式中各項系數(shù)之和為256，則展開式中的系數(shù)是__________．【答案】252【解析】【分析】令x＝1可得各項系數(shù)之和，再根據(jù)各項系數(shù)之和為256，求得n的值，再根據(jù)二項式展開式的通項公式，求得展開式中的系數(shù)．【詳解】的展開式中，令x＝1可得各項系數(shù)之和為（3﹣1）n＝256，求得n＝8，則＝的通項是??，??，令，解得故展開式中的系數(shù)是?故答案為252．【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數(shù)的性質，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于基礎題．15.在中，角的對邊分別為，且，的面積為，則的值為__________．【答案】【解析】由正弦定理，原等式可化為，進一步化為，則，即．在三角形中．由面積公式，可知，由余弦定理，代入可得．故本題應填．點睛：本題主要考查正余弦定理.在利用正,余弦定理解三角形的過程中,當所給的等式中既有正弦又有余弦時,常利用正弦定理將邊的關系轉化為角的關系;如果出現(xiàn)邊的平方或者兩邊長的乘積時可考慮使用余弦定理判斷三角形的形狀.解三角形問題時,要注意正,余弦定理的變形應用,解題思路有兩個:一個是角化為邊,二是邊化為角.選擇余弦定理和面積時，要以已知角的為主．16.已知函數(shù)，若互不相等，且，則的取值范圍是______．【答案】【解析】畫出函數(shù)的圖象（如圖所示）．不妨令，則由已知和圖象，得，且，則，則，因在恒成立，所以在單調遞減，所以，三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.命題關于的不等式的解集為；命題函數(shù)為增函數(shù)．分別求出下列條件的實數(shù)的取值范圍．(1)中至少有一個是真命題；(2)“”是真命題，且“”是假命題．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)根據(jù)一元二次不等式恒成立化簡命題，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性化簡命題，求并集即可得結果；（2）由為真命題，為假命題，可得一真一假，分兩種情況討論，對于真假以及假真分別列不等式組，分別解不等式組，然后求并集即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】關于的不等式的解集為，等價于恒成立，所以p為真命題時，，解得或.①q為真命題時，，解得或.②(1)若p，q中至少有一個是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是．(2)“”是真命題，且“”是假命題，有兩種情況：p為真命題，q為假命題時，；p為假命題，q為真命題時，.故“”是真命題，且“”是假命題時，a的取徝范圍為．【點睛】本題通過判斷復合的真假，綜合考查函數(shù)的單調性以及不等式恒成立問題，屬于中檔題.解答非命題、且命題與或命題真假有關的題型時，應注意：（1）原命題與其非命題真假相反；（2）或命題“一真則真”；（3）且命題“一假則假”.18.已知正項等比數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由題意得，解出基本量即可得到數(shù)列的通項公式；（2）由（1）知，，利用裂項相消法求和.【詳解】（1）設數(shù)列的公比為，由已知，由題意得，所以．解得，.因此數(shù)列的通項公式為；（2）由（1）知，，∴．【點睛】裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結構特點，常見的裂項技巧：（1）；（2）；（3）；（4）.此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤.19.某小區(qū)為了調查居民生活水平，隨機從小區(qū)住戶中抽取個家庭，得到數(shù)據(jù)如下：家庭編號123456月收入x（千元）203035404855月支出y（千元）4568811參考公式：回歸直線的方程是：，其中，.（1）據(jù)題中數(shù)據(jù)，求月支出（千元）關于月收入（千元）的線性回歸方程（保留一位小數(shù)）；（2）從這個家庭中隨機抽取個，記月支出超過千家庭個數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）先求再利用公式求即可；（2）由超幾何分布列分布列求期望即可【詳解】（1）所以月支出關于月收入的線性回歸方程是：（2）的可能取值為故的分布列為：0123P數(shù)學期望.【點睛】本題考查線性回歸方程，考查超幾何分布的分布列及期望，考查古典概型，準確計算是關鍵，是基礎題20.設圓的圓心為A，直線l過點B（1,0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.（I）證明為定值，并寫出點E的軌跡方程；（II）設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M,N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ).【解析】試題分析：（Ⅰ）利用橢圓定義求方程；（Ⅱ）把面積表示為關于斜率k的函數(shù)，再求最值．試題解析：（Ⅰ）因為，，故，所以，故.又圓的標準方程為，從而，所以.由題設得，，，由橢圓定義可得點的軌跡方程為：（）.（Ⅱ）當與軸不垂直時，設的方程為，，.由得.則，.所以.過點且與垂直直線：，到的距離為，所以.故四邊形的面積.可得當與軸不垂直時，四邊形面積的取值范圍為.當與軸垂直時，其方程為，，，四邊形的面積為12.綜上，四邊形面積的取值范圍為.【考點】圓錐曲線綜合問題【名師點睛】高考解析幾何解答題大多考查直線與圓錐曲線的位置關系,直線與圓錐曲線的位置關系是一個很寬泛的考試內容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求參數(shù)取值范圍等幾部分組成.其中考查較多的圓錐曲線是橢圓與拋物線,解決這類問題要重視方程思想、函數(shù)思想及化歸思想的應用.21.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的圖像在點處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個極值點，，且，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義，求解出切線的斜率，然后利用斜率和切點即可求解出切線方程；（2）先根據(jù)有兩個極值點分析出的取值范圍，然后根據(jù)單調性和極值點判斷出與的關系，即可完成證明.【詳解】（1）由已知條件，，當時，，，當時，，所以所求切線方程為（2）由已知條件可得有兩個相異正實根，，令，則，①若，則，單調遞增，不可能有兩根；②若，令得，可知在上單調遞增，在上單調進減，令解得，由有，由有，從而時函數(shù)有兩個極值點當x變化時，，的變化情況如下表x00單調遞減單調遞增單調遞減因為，所以，在區(qū)間上單調遞增，.另解：由己知可得，則，令，則，可知函數(shù)在單調遞增，在單調遞減，若有兩個根，則可得，當時，，，所以在區(qū)間上單調遞增所以.【點睛】本題考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應用，其中涉及到導數(shù)的幾何意義、用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值點，難度較難.（1）利用導數(shù)求解曲線的切線方程，注意利用導數(shù)的幾何意義以及直線的點斜式方程進行求解；（2）函數(shù)的極值點