5.1.2數(shù)據(jù)的數(shù)字特征（原卷版）

5.1.2數(shù)據(jù)的數(shù)字特征TOC\o"13"\h\z\u題型1平均數(shù)相關(guān)考點(diǎn) 4題型2眾數(shù)相關(guān)考點(diǎn) 5題型3中位數(shù)百分位數(shù) 6題型4極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差 7◆類(lèi)型1極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義 7◆類(lèi)型2極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算 8◆類(lèi)型3極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì) 9◆類(lèi)型4極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的作用 10題型5最值相關(guān)考點(diǎn) 12知識(shí)點(diǎn)一.最值1.最值的定義∶一組數(shù)據(jù)的最值指的是其中的最大值與最小值。2.最值的特征∶最值反應(yīng)的是這組數(shù)最極端的情況。3.最值的表示∶一般地，最大值用max表示，最小值用min表示。知識(shí)點(diǎn)二.平均數(shù)1.平均數(shù)的定義∶如果給定的一組數(shù)是x1，x2，…，xn，則這組數(shù)的平均數(shù)為x=2.平均數(shù)的特征∶平均數(shù)用來(lái)刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)的平均水平（或中心位置）。3.平均數(shù)的表示∶x=x1+x2+...+xnn=i=1nxin,其中的符號(hào)""4.性質(zhì)：如果x1，x2，…，xn，的平均數(shù)為x，且a，b為常數(shù)，則ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均數(shù)為ax+b.注意：平均數(shù)會(huì)受每一個(gè)數(shù)的影響，尤其是最大值、最小值．很多情況下，為了避免過(guò)于極端的值對(duì)結(jié)果影響太大等，會(huì)去掉最小值與最大值后再計(jì)算平均數(shù).知識(shí)點(diǎn)三.中位數(shù)定義：如果一組數(shù)有奇數(shù)個(gè)數(shù)，且按照從小到大排列后為x1，x2，…，xn，則稱xn+1為這組數(shù)的中位數(shù)；如果一組數(shù)有偶數(shù)個(gè)數(shù)，且按照從小到大排列后為x1，x2，…，x2n，則稱xn+注意∶優(yōu)點(diǎn)∶①不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)的影響。②易計(jì)算，便于利用中間數(shù)據(jù)的信息。缺點(diǎn)：對(duì)極端值不敏感。知識(shí)點(diǎn)四.百分位數(shù)1.定義：一組數(shù)的p%（p∈（0，100））分位數(shù)指的是滿足下列條件的一個(gè)數(shù)值∶至少有p%的數(shù)據(jù)不大于該值，且至少有（100p）%的數(shù)據(jù)不小于該值.直觀來(lái)說(shuō)，一組數(shù)的p%分位數(shù)指的是，將這組數(shù)按照從小到大的順序排列后，處于p%位置的數(shù).2.步驟：設(shè)一組數(shù)按照從小到大排列后為x1，x2，…，xn，計(jì)算i=np%的值，如果i不是整數(shù)，設(shè)i0為大于i的最小整數(shù)，取Xi0為p%分位數(shù)；如果i是整數(shù)，取xi+xi+12為p%分位數(shù).特別地，規(guī)定∶0分位數(shù)是x（即最小值），100%注意：(1)中位數(shù)就是一個(gè)50%分位數(shù).(2)按照定義可知，p%分位數(shù)可能不唯一，也正因?yàn)槿绱耍鞣N統(tǒng)計(jì)軟件所得出的p%分位數(shù)可能會(huì)有差異.（3）實(shí)際應(yīng)用中，除了中位數(shù)外，經(jīng)常使用的是25%分位數(shù)（簡(jiǎn)稱為第一四分位數(shù)）與75%分位數(shù)（簡(jiǎn)稱為第三四分位數(shù)）.知識(shí)點(diǎn)五.頻數(shù)與眾數(shù)：1.頻數(shù)的概念∶一組數(shù)據(jù)中，某個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)稱為這個(gè)數(shù)據(jù)的頻數(shù)。2.眾數(shù)的概念∶一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。注意：若有兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)據(jù)出現(xiàn)得最多，且出現(xiàn)的次數(shù)一樣，則這些數(shù)據(jù)都稱為眾數(shù)；若一組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，則沒(méi)有眾數(shù)。注意：(1)眾數(shù)不唯一，可以有一個(gè)，也可以有多個(gè)，還可以沒(méi)有.如果有兩個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)相同，并且比其他數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都多，那么這兩個(gè)數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).(2)眾數(shù)一定是原數(shù)據(jù)中的數(shù)，百分位數(shù)和中位數(shù)都不一定是原數(shù)據(jù)中的數(shù).知識(shí)點(diǎn)六.極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差1.極差一組數(shù)的極差指的是這組數(shù)的最大值減去最小值所得的差.極差反映了一組數(shù)的變化范圍.不難看出，極差反映了一組數(shù)的變化范圍，描述了這組數(shù)的離散程度.注意：(1)極差反映了一組數(shù)據(jù)變化的最大幅度，它對(duì)一組數(shù)據(jù)中的極端值非常敏感.一般情況下，極差大，則數(shù)據(jù)較分散，數(shù)據(jù)的波動(dòng)性大；極差小，則數(shù)據(jù)相對(duì)集中，數(shù)據(jù)的波動(dòng)性小，極差的計(jì)算非常簡(jiǎn)單，但極差只考慮了兩個(gè)極端值，而沒(méi)有考慮中間的數(shù)據(jù)，因此很多時(shí)候，極差作為數(shù)據(jù)的離散程度的統(tǒng)計(jì)量，可靠性較差.(2)極差的取值范圍是[0，+∞）.2.方差（1）定義∶如果x1，x2，…，xn，的平均數(shù)為x，則方差可用求和符號(hào)表示為s（2）性質(zhì)∶如果a，b為常數(shù)（a=0），則ax1+b，ax2+b，...,axn+b的方差為a2s2.3.標(biāo)準(zhǔn)差（1）定義∶方差的算術(shù)平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差.一般用s表示，即樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，的標(biāo)準(zhǔn)差為s=（2）性質(zhì)∶如果a，b為常數(shù)，則ax1+b，ax2+b，...,axn+b的標(biāo)準(zhǔn)差為|a|s（3）如果一組數(shù)中，各數(shù)據(jù)值都相等，則標(biāo)準(zhǔn)差為0，表明數(shù)據(jù)沒(méi)有波動(dòng)，數(shù)據(jù)沒(méi)有離散性;若各數(shù)的值與平均數(shù)的差的絕對(duì)值較大，則標(biāo)準(zhǔn)差也較大，表明數(shù)據(jù)的波動(dòng)幅度也較大，數(shù)據(jù)的離散程度較高，因此標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）描述了數(shù)據(jù)相對(duì)于平均數(shù)的離散程度.題型1平均數(shù)相關(guān)考點(diǎn)【方法總結(jié)】平均數(shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)都有關(guān)，受個(gè)別極端數(shù)據(jù)（比其他數(shù)據(jù)大很多或小很多的數(shù)據(jù)）的影響較大，因此若在數(shù)據(jù)中存在少量極端數(shù)據(jù)，平均數(shù)對(duì)總體估計(jì)的可靠性較差，這時(shí)往往用眾數(shù)或中位數(shù)去估計(jì)總體，有時(shí)也采用剔除最大值與最小值后所得的平均數(shù)去估計(jì)總體.【例題1】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）一組5個(gè)數(shù)據(jù)中，前4個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是20，全部5個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是19，則第5個(gè)數(shù)據(jù)是______．【變式11】1．（多選）（2023下·四川樂(lè)山·高一期末）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)1，1，2，3，4，4的眾數(shù)是1，4B．?dāng)?shù)據(jù)2，3，4，5，6，7的中位數(shù)是4，5C．一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)可能是同一數(shù)D．3個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是5，另外4個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是4，則這7個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3×5+4×4【變式11】2．（2022·廣東·）已知一組數(shù)x1,x【變式11】3．（2021·遼寧大連·）已知一組數(shù)x1,x【變式11】4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）一般地，若取值為x1,x題型2眾數(shù)相關(guān)考點(diǎn)【方法總結(jié)】確定眾數(shù)的關(guān)鍵是統(tǒng)計(jì)各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)，頻數(shù)最大的數(shù)據(jù)就是眾數(shù)，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，眾數(shù)往往更能反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).【例題2】（2023上·云南紅河·高一?？奸_(kāi)學(xué)考試）空氣質(zhì)量指數(shù)簡(jiǎn)稱AQI，是定量描述空氣質(zhì)量狀況的無(wú)量綱指數(shù).某市4月30日22時(shí)至5月1日5時(shí)的空氣質(zhì)量指數(shù)的整點(diǎn)報(bào)告為70,71,69,70,72,70,68,72，這一時(shí)段整點(diǎn)空氣質(zhì)量指數(shù)的眾數(shù)是（

）A．69 B．70 C．71 D．72【變式21】1．（2023下·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）惠州市某工廠10名工人某天生產(chǎn)同一類(lèi)型零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，記這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則（

）A．a(chǎn)>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a【變式21】2．（2022上·高一校考單元測(cè)試）一組樣本數(shù)據(jù)為：19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（

）A．14，14 B．12，14 C．14，15.5 D．12，15.5【變式21】3．（2023下·河北衡水·高一河北武強(qiáng)中學(xué)校考期末）七位評(píng)委為某跳水運(yùn)動(dòng)員打出的分?jǐn)?shù)如下：84,79,86,87,84,93,84，則這組分?jǐn)?shù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（

）A．84，85 B．84，84 C．85，84 D．85，85【變式21】4．（2022·全國(guó)·）2022年6月6日是第27個(gè)“全國(guó)愛(ài)眼日”，為普及科學(xué)用眼知識(shí)，提高群眾健康水平，預(yù)防眼疾，某區(qū)殘聯(lián)在殘疾人綜合服務(wù)中心開(kāi)展“全國(guó)愛(ài)眼日”有獎(jiǎng)答題競(jìng)賽活動(dòng).已知5位評(píng)委老師按百分制（只打整數(shù)分）分別給出某參賽小隊(duì)評(píng)分，可以判斷出一定有評(píng)委打滿分的是（

）A．平均數(shù)為98，中位數(shù)為98 B．中位數(shù)為96，眾數(shù)為99C．中位數(shù)為97，極差為9 D．平均數(shù)為98，極差為6題型3中位數(shù)百分位數(shù)【方法總結(jié)】計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．第2步，計(jì)算i＝n×p%.第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．【例題3】（2024上·遼寧朝陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）抽樣統(tǒng)計(jì)某位學(xué)生10次的數(shù)學(xué)成績(jī)分別為86,84,88,86,89,89,90,87,85,92，則該學(xué)生這10次成績(jī)的40%A．86.5 B．87.5 C．91 D．89【變式31】1．（2023上·河南南陽(yáng)·高一社旗縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）學(xué)校組織秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)，在一項(xiàng)比賽中，學(xué)生甲進(jìn)行了8組投籃，得分（單位：分）分別為10，8，a，8，7，9，6，8，如果學(xué)生甲的平均得分為8分，那么這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為.【變式31】2．（2023下·河南省直轄縣級(jí)單位·高一河南省濟(jì)源第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）高一某班舉行黨史知識(shí)競(jìng)賽，其中12名學(xué)生的成績(jī)分別是：82、74、76、90、94、82、87、73、61、67、97、98，則該小組12名學(xué)生成績(jī)的75%【變式31】3.下表記錄了一個(gè)家庭6月份每天在食品上面的消費(fèi)金額：（單位：元）第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天第9天第10天31292632342834313434第11天第12天第13天第14天第15天第16天第17天第18天第19天第20天35262735342828303228第21天第22天第23天第24天第25天第26天第27天第28天第29天第30天32263534353028343129求該家庭6月份每天在食品上面的消費(fèi)金額的5％，25％，50％，75％，95％分位數(shù).【變式31】4.（多選）（2023下·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知10個(gè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是31，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．這10個(gè)數(shù)據(jù)中至少有8個(gè)數(shù)小于或等于31B．把這10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，第8個(gè)數(shù)據(jù)是31C．把這10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，第7個(gè)與第8個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是31D．把這10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，第6個(gè)與第7個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是31題型4極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差【方法總結(jié)】標(biāo)準(zhǔn)差與方差的統(tǒng)計(jì)意義（1）標(biāo)準(zhǔn)差（方差）的取值范圍是[0，+oo）（標(biāo)準(zhǔn)差的大小不會(huì)超過(guò)極差）.（2）標(biāo)準(zhǔn)差（方差）描述了一組數(shù)據(jù)相對(duì)于平均數(shù)離散程度的大小.◆類(lèi)型1極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義【例題41】（2022上·高一單元測(cè)試）為了判斷甲乙兩名同學(xué)本學(xué)期幾次數(shù)學(xué)考試成績(jī)哪個(gè)較穩(wěn)定，通常需要知道這兩人的（

）A．平均數(shù) B．眾數(shù) C．方差 D．頻率分布【變式41】1．（2023上·遼寧朝陽(yáng)·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）下列統(tǒng)計(jì)量中，能更好地度量樣本x1，x2，…，A．樣本x1，x2，…，xn的眾數(shù) B．樣本x1，C．樣本x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差 D．樣本x1，【變式41】2．(多選)（2023下·湖北·高一安陸第一高中校聯(lián)考期末）學(xué)?！拔磥?lái)杯”足球比賽中，甲班每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是1.9，失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.3；乙班每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是1.3，失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.2，你認(rèn)為下列說(shuō)法中正確的是（

）A．平均來(lái)說(shuō)乙班比甲班防守技術(shù)好B．乙班比甲班防守技術(shù)更穩(wěn)定C．乙班在防守中有時(shí)表現(xiàn)非常好，有時(shí)表現(xiàn)比較差D．甲班很少不失球【變式41】3．（多選）（2023下·陜西寶雞·高一寶雞中學(xué)校考階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．抽樣調(diào)查具有花費(fèi)少、效率高的特點(diǎn)B．?dāng)?shù)據(jù)2，3，9，5，3，9的中位數(shù)為7，眾數(shù)為3和9C．極差和標(biāo)準(zhǔn)差都能描述一組數(shù)據(jù)的離散程度D．?dāng)?shù)據(jù)a1,a2,???,a【變式41】4．（2022下·福建福州·高一?？计谀┫铝忻}中是真命題的有（）A．有A，B，C三種個(gè)體按3:1:2的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的A個(gè)體數(shù)為9，則樣本容量為30B．一組數(shù)據(jù)1,3,3,4,5的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)相同C．若甲組數(shù)據(jù)的方差為5，乙組數(shù)據(jù)為5,6,9,10,5，則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是甲D．一組數(shù)6,5,4,3,3,3,2,2,2,1的85%分位數(shù)為5◆類(lèi)型2極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算【例題42】（2023下·天津武清·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)樣本數(shù)據(jù)1，3，a，2的平均數(shù)為5，則樣本的方差為（）A．5 B．27.5 C．27 D．110【變式42】1．（2023上·云南保山·高一校考開(kāi)學(xué)考試）若一組數(shù)據(jù)a1，a2，a3的平均數(shù)為4，方差為3，那么數(shù)據(jù)a1+2A．4，3 B．6，3 C．3，4 D．6，5【變式42】2．（2023上·北京·高一首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知一組數(shù)據(jù)9.92,9.96,9.97,9.98,10,10.02,10.03,10.04,10.08的平均數(shù)為X，方差為s2，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)X=；若新增3個(gè)均為10的數(shù)據(jù)，方差記為s'2，那么s'2s2【變式42】3．（2023·全國(guó)·）已知6個(gè)正整數(shù)，它們的平均數(shù)是5，中位數(shù)是4，唯一的眾數(shù)是3，則這6個(gè)數(shù)的極差最大時(shí)，方差的值是__________.【變式42】4．（2020·廣西·平果二中）在某次測(cè)量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下17，25，11，27，18，19，31，27，41，16，若，B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)都減2后所得數(shù)據(jù)，則A，B兩樣本的下列數(shù)字特征對(duì)應(yīng)相同的是（

）A．平均數(shù) B．眾數(shù) C．方差 D．中位數(shù)◆類(lèi)型3極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)【方法總結(jié)】一般地，設(shè)樣本數(shù)據(jù)為x1,x2,（1）數(shù)據(jù)x1+b,x（2）數(shù)據(jù)ax1,ax（3）數(shù)據(jù)ax1+b,【例題43】（2023上·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知一組數(shù)x1，x2，x3，x4的平均數(shù)是x=2，方差s2=2，則數(shù)據(jù)2A．3，4 B．2，8 C．2，4 D．5，8【變式43】1．（2023下·云南玉溪·高一統(tǒng)考期末）若數(shù)據(jù)x1,xA．5，5 B．15，15 C．19，19 D．19，45【變式43】2．（2023下·廣西南寧·高一校聯(lián)考期末）設(shè)一組數(shù)據(jù)x1,xA．3 B．5 C．9 D．13【變式43】3．（2023下·安徽淮南·高一淮南第三中學(xué)?？计谀┮阎唤M數(shù)據(jù)x1,xA．6 B．10 C．18 D．22【變式43】4.（多選）（2023下·福建福州·高一校聯(lián)考期末）設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，???，xn的平均數(shù)為2，方差為0.01，則數(shù)據(jù)2x1+3，A．平均數(shù)為5 B．平均數(shù)為7 C．標(biāo)準(zhǔn)差為0.2 D．標(biāo)準(zhǔn)差為0.1◆類(lèi)型4極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的作用【例題44】（2022上·遼寧阜新·高一?？计谀┘住⒁覂蓹C(jī)床同時(shí)加工直徑為100mm甲9910098100100103乙9910010299100100分別計(jì)算甲乙的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差，根據(jù)計(jì)算說(shuō)明哪臺(tái)機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．【變式44】1．（2023下·陜西西安·高一?？茧A段練習(xí)）某工廠甲、乙兩名工人參加操作技能培訓(xùn).現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次測(cè)試成績(jī)中隨機(jī)抽取8次，數(shù)據(jù)如下（單位：分）：甲9582888193798478乙8375808090859295(1)請(qǐng)你計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)；(2)請(qǐng)你計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的方差，現(xiàn)要從中選派一人參加操作技能比賽，從平均數(shù)、中位數(shù)和方差的角度考慮，你認(rèn)為選派哪名工人參加合適？請(qǐng)說(shuō)明理由（言之有理即可）.【變式44】2．（2023下·云南·高一?？计谀┠嘲?0位女同學(xué)平均分為甲、乙兩組，她們的勞動(dòng)技術(shù)課考試成績(jī)（單位：分）如下：甲組60，90，85，75，65，70，80，90，95，80乙組85，95，75，70，85，80，85，65，90，85(1)試分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差；(2)判斷哪一組的成績(jī)較穩(wěn)定？【變式44】3．（2023下·廣西南寧·高一校聯(lián)考期末）某旅游網(wǎng)考察景區(qū)酒店A，B，依據(jù)服務(wù)質(zhì)量給酒店綜合評(píng)分，下表是考察組給出酒店A，B的評(píng)分（滿分100分），記A，B兩個(gè)酒店得分的平均數(shù)分別為x和y，方差分別為s12和A（單位