歷年高考數(shù)學(xué)（理）知識(shí)清單-專(zhuān)題15 橢圓、雙曲線、拋物線（考點(diǎn)解讀）（原卷+解析版）

1專(zhuān)題15橢圓、雙曲線、拋物線考情解讀1.以客觀題形式考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓錐曲線的定義、離心率、焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問(wèn)題、雙曲線的漸近線等，可能會(huì)與數(shù)列、三角函數(shù)、平面向量、不等式結(jié)合命題，若與立體幾何結(jié)合，會(huì)在定值、最值、定義角度命題.2.每年必考一個(gè)大題，相對(duì)較難，且往往為壓軸題，具有較高的區(qū)分度．平面向量的介入，增加了本部分高考命題的廣度與深度，成為近幾年高考命題的一大亮點(diǎn)，備受命題者的青睞，本部分還經(jīng)常結(jié)合函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、三角等知識(shí)結(jié)合進(jìn)行綜合考查.重點(diǎn)知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一、橢圓、雙曲線、拋物線的定義及幾何性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線定義＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)定點(diǎn)F和定直線l，點(diǎn)F不在=d標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上＋＝1(a>b>0)焦點(diǎn)在x軸上－＝1(a>0，b>0)焦點(diǎn)在x軸正半軸上y2=2px(p>0)幾何性質(zhì)范圍|x|≤a，|y|≤b|x|≥a，y∈Rx≥0，y∈R頂點(diǎn)(±a,0)，(0，±b)(±a,0)(0,0)對(duì)稱(chēng)性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)焦點(diǎn)(±c,0)軸長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b實(shí)軸長(zhǎng)2a，虛軸長(zhǎng)2b2幾何性質(zhì)離心率e＝c=ae＝c=ae＝1準(zhǔn)線x通徑漸近線y=±x二、誤區(qū)警示1．求橢圓、雙曲線方程時(shí)，注意橢圓中c2＝a2＋b2，雙曲線中c2＝a2－b2的區(qū)別.2．注意焦點(diǎn)在x軸上與y軸上的雙曲線的漸近線方程的區(qū)別.3．平行于雙曲線漸近線的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；平行于拋物線的軸的直線與拋物線有且僅有一個(gè)交點(diǎn).高頻者點(diǎn)突破高頻考點(diǎn)一橢圓的定義及其方程【變式探究】(2017·北京卷)已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(－2，0)，B(2，0)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，過(guò)D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證：△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.【變式探究】已知橢圓C1：+y2=1(m>1)與雙曲線C2：–y2=1(n>0)的焦點(diǎn)重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則() A．m>n且e1e2>1B．m>n且e1e2<1C．m<n且e1e2>1D．m<n且e1e2<1 【變式探究】已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3，0)，過(guò)點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，A.＋＝1C.＋＝1-1)，則E的方程為()B.＋＝1D.1高頻考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)例2．【2019年高考北京卷】已知橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，則A．a(chǎn)2=2b2B．3a2=4b2C．a(chǎn)=2bD．3a=4b【變式探究】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)，A,B分別為C的左，右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn)，且PFx軸.過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn)，則C的離心率為（.）（ABC）34【變式探究】已知橢圓C1(a＞b＞0)的離心率為，點(diǎn)P(0，1)和點(diǎn)A(m，n)(m≠0)都在橢圓C上，直線PA交x軸于點(diǎn)M.(1)求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用m，n表示)；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，直線PB交x軸于點(diǎn)N.問(wèn)：y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.高頻考點(diǎn)三雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程例3．(2018·天津卷)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為()－＝－＝BD【變式探究】(2017·全國(guó)卷Ⅱ)若雙曲線C1(a＞0，b＞0)的一條漸近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長(zhǎng)為2，則C的離心率為()BDC.x24【變式探究】x242D.23=1（b>0以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A、B、C、D四點(diǎn)，四邊形的ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為()A=1C=1x242x434y2=13=1【變式探究】若雙曲線E：－＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于()高頻考點(diǎn)四雙曲線的幾何性質(zhì)y2b2x2a2y2b2x2a2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P，Q兩點(diǎn)．若PQ=OF，則C的離心率為【變式探究】已知方程_=1表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范【變式探究】已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，△則E的離心率為()A.B．2C.D.高頻考點(diǎn)五拋物線的定義及方程例5．【2019年全國(guó)Ⅱ卷】若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓+=1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=C．4【變式探究】(2017·全國(guó)卷Ⅱ)過(guò)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F，且斜率為的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方)，l為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在l上且MN⊥l，則M到直線NF的距離為()【變式探究】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且PM=2MF,則直線OM的斜率的最大值為()（ABCD）1【變式探究】過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|AF|＝3，則△AOB的面積為()高頻考點(diǎn)六拋物線的幾何性質(zhì)例6．已知拋物線C：y2＝2x，過(guò)點(diǎn)(2，0)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓.(1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；(2)設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)P(42)，求直線l與圓M的方程.【變式探究】以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A、B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D、E兩點(diǎn).已知|AB|=4,|DE|=2,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(A)2(B)4(C)6(D)8【變式探究】已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線過(guò)點(diǎn)(2，)，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為()－＝－＝真題感悟1.【2019年全國(guó)Ⅲ卷】設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C:+=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為.2.【2019年全國(guó)Ⅲ卷】雙曲線C：-=1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若PO=PF，則△PFO的面積為()423．【2019年浙江卷】漸近線方程為x±y=0的雙曲線的離心率是 24．【2019年江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線x2-=1(b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是▲.5.（2019·全國(guó)高考）若拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)是橢圓+=1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=()7A．21．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)(－2,0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則·=()2．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知雙曲線Cy2＝1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M，N.若△OMN為直角三角形，則|MN|＝()A.B.33．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則其漸近線方程為()A．y=±xC．y=±xB．y=±xD．y=±x4．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．過(guò)F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|＝|OP|，則C的離心率為()C.D.5．(2018·天津卷)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為()－＝－＝6．(2018·浙江卷)雙曲線－y2＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(－，0)，(，0)B．(－2,0)，(2,0)C．(0)，(0，)D．(02)，(0,2)7．(2018·北京卷)若雙曲線1(a＞0)的離心率為，則a＝.8．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知橢圓C1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0)，則C的離心率為()8A.B.C.D. 9．(2018·天津卷)設(shè)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為，|AB|= .(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線l：y＝kx(k＜0)與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，l與直線AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值.10．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)已知斜率為k的直線l與橢圓C1交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為Mm)(m＞0).(1)證明：k＜－；(2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且0.證明：||，||，||成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差.11.(2018·天津卷)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為()－＝－＝1.【2017課標(biāo)1，理10】已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為A．16B．14C．122．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為()33.【2017浙江，2】橢圓+=1的離心率是 94.【2017天津，理5】已知雙曲線22xy _a2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為.若經(jīng)過(guò)F和P(0,4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為（A）_=1（B）_=1（C）_=1（D）_=15.【2017北京，理9】若雙曲線x2_=1的離心率為，則實(shí)數(shù)m=.6.【2017課標(biāo)1，理】已知雙曲線C：_=1（a>0，b>0）的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn).若∠MAN=60°,則C的離心率為.7.【2017課標(biāo)3，理5】已知雙曲線C：_=1(a＞0,b＞0)的一條漸近線方程為y=x,且與1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為8.【2017山東，理14】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線xy _a2b2=1(a>0,b>0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2=2px(p>0)交于A,B兩點(diǎn)，若AF+BF=4OF，則該雙曲線的漸近線方程為.9.【2017課標(biāo)1，理20】已知橢圓C：+=1（a>b>0四點(diǎn)P1（1,1P2（0,1P3（–1P4（1中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.（1）求C的方程；（2）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過(guò)定點(diǎn). 10.【2017山東，理21】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：+=1(a>b>0)的離心率為，焦距為2.(Ⅰ)求橢圓E的方程；(Ⅱ)如圖，動(dòng)直線l：y=k1x一交橢圓E于A,B兩點(diǎn)，C是橢圓E上一點(diǎn)，直線OC的斜率為k2，且k1k2=，M是線段OC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且MC:AB=2:3，。M的半徑為MC，OS,OT是。M的兩條切線，切點(diǎn)分別為S,T.求經(jīng)SOT的最大值，并求取得最大值時(shí)直線l的斜率.11.【2017北京，理18】已知拋物線C：y2=2px過(guò)點(diǎn)P（1，1）.過(guò)點(diǎn)（0，）作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn).(Ⅰ)求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(Ⅱ)求證：A為線段BM的中點(diǎn).A是拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線l的距離為.（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；（II）設(shè)l上兩點(diǎn)P，Q關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，直線AP與橢圓相交于點(diǎn)B（B異于點(diǎn)A直線BQ與x軸相交于點(diǎn)D.若△APD的面積為66213.【2017江蘇，8】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線2x2 y3=1的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點(diǎn)P,Q,其焦點(diǎn)是F1,F2,則四邊形F1PF2Q的面積是▲.14.【2017江蘇，17】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓E:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別 12為F1,F2 12,兩準(zhǔn)線之間的距離為8.點(diǎn)P在橢-圓E上，且位于第一象限，過(guò)點(diǎn)F1作直線PF1的垂線l1,過(guò)點(diǎn)F2作直線PF2的垂線l2.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線E的交點(diǎn)Q在橢圓E上,求點(diǎn)P的坐標(biāo).專(zhuān)題15橢圓、雙曲線、拋物線考情解讀1.以客觀題形式考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓錐曲線的定義、離心率、焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問(wèn)題、雙曲線的漸近線等，可能會(huì)與數(shù)列、三角函數(shù)、平面向量、不等式結(jié)合命題，若與立體幾何結(jié)合，會(huì)在定值、最值、定義角度命題.2.每年必考一個(gè)大題，相對(duì)較難，且往往為壓軸題，具有較高的區(qū)分度．平面向量的介入，增加了本部分高考命題的廣度與深度，成為近幾年高考命題的一大亮點(diǎn)，備受命題者的青睞，本部分還經(jīng)常結(jié)合函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、三角等知識(shí)結(jié)合進(jìn)行綜合考查.知識(shí)點(diǎn)一、橢圓、雙曲線、拋物線的定義及幾何性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線定義＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)定點(diǎn)F和定直線l，點(diǎn)F不在=d標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上＋＝1(a>b>0)焦點(diǎn)在x軸上－＝1(a>0，b>0)焦點(diǎn)在x軸正半軸上y2=2px(p>0)幾何性質(zhì)范圍|x|≤a，|y|≤b|x|≥a，y∈Rx≥0，y∈R頂點(diǎn)(±a,0)，(0，±b)(±a,0)(0,0)對(duì)稱(chēng)性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)焦點(diǎn)(±c,0)軸長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b實(shí)軸長(zhǎng)2a，虛軸長(zhǎng)2b離心率e＝c=ae＝c=ae＝1準(zhǔn)線x通徑漸近線y=±x二、誤區(qū)警示1．求橢圓、雙曲線方程時(shí)，注意橢圓中c2＝a2＋b2，雙曲線中c2＝a2－b2的區(qū)別.2．注意焦點(diǎn)在x軸上與y軸上的雙曲線的漸近線方程的區(qū)別.3．平行于雙曲線漸近線的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；平行于拋物線的軸的直線與拋物線有且僅有一個(gè)交點(diǎn).高頻者點(diǎn)突破高頻考點(diǎn)一橢圓的定義及其方程x221x2【答案】BFB=nAF=2nFB=nAF=2nBF=AB=3n由橢圓的定義有BF1BF+BF2BFAF1AF.4n2 在中，由余弦定理推論得在在△AF1F2中，由余弦定理得3在.33FB=nAF=2nBFFB=nAF=2nBF=AB=3n2222 22c2x2程為32，故選B.【變式探究】(2017·北京卷)已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(－2，0)，B(2，0)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為.2(1)求橢圓C的方程；(2)點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，過(guò)D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證：△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.(1)解：設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，a＝2， =由題意得c解得c =所以橢圓C的方程為＋y2＝1.(2)設(shè)M(m，n)，則D(m，0)，N(m，－n)，由題設(shè)知m≠±2，且n≠0.直線AM的斜率kAM故直線DE的斜率kDE所以直線DE的方程為y(x－m)，直線BN的方程為y＝(x－2).nn（4－m2）ym＋nn（4－m2）聯(lián)立n解得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)yE＝－.y＝2－m（x－24－m2＋n2由點(diǎn)M在橢圓C上，得4－m2＝4n2，所以yE＝－n.S△BDN＝|BD|·|n|，所以△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.【變式探究】已知橢圓C1：+y2=1(m>1)與雙曲線C2：–y2=1(n>0)的焦點(diǎn)重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則()A．m>n且e1e2>1B．m>n且e1e2<1C．m<n且e1e2>1D．m<n且e1e2<1【答案】A222e2選A.【變式探究】已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3，0)，過(guò)點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，A.＋＝1C.＋＝1-1)，則E的方程為()B.＋＝1D.1【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在橢圓上，＋＝＋＝①-②,得＋＝即b2y1＋y2y1－y2a2（x1＋x2x1－x2）∵AB的中點(diǎn)為(11)，1∴橢圓E的方程為1，故選D.【答案】D高頻考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)例2．【2019年高考北京卷】已知橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，則A．a(chǎn)2=2b2B．3a2=4b2C．a(chǎn)=2bD．3a=4b【答案】B【變式探究】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)，A,B分別為C的左，右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn)，且PF」x軸.過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn)，則C的離心率為()（ABC）【答案】A【解析】由題意設(shè)直線l的方程為y=k(x+a)3434ka(a-c)a=2ka+c|OE|=ka.設(shè)OE的中點(diǎn)為N，則△OBN∽△FBM，則|ka(a-c)a=2ka+c 理，得=，所以橢圓C的離心率e=，故選A. 【變式探究】已知橢圓C1(a＞b＞0)的離心率為，點(diǎn)P(0，1)和點(diǎn)A(m，n)(m≠0)都在橢圓C上，直線PA交x軸于點(diǎn)M.(1)求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用m，n表示)；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，直線PB交x軸于點(diǎn)N.問(wèn)：y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.b＝1，a2＝b2＋c2【解析】(1)由題意得b＝1，a2＝b2＋c2故橢圓C的方程為＋y2＝1.設(shè)M(xM，0).因?yàn)閙≠0，所以－1＜n＜1.直線PA的方程為y－1＝x.mm，0所以xM＝1－n，即M1－mm，0(2)因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以B(m，－n).設(shè)N(xN，0)，則xN＝.“存在點(diǎn)Q(0，yQ)使得∠OQM=∠ONQ”，等價(jià)于“存在點(diǎn)Q(0，yQ)使得||||＝”，即yQ滿足y＝|xM||xN|.因?yàn)閤MxNn2＝1.所以y＝|xM||xN|2.所以yQ＝或yQ.故在y軸上存在點(diǎn)Q，使得∠OQM=∠ONQ，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0，)或(0).高頻考點(diǎn)三雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程例3．(2018·天津卷)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為()－＝－＝【答案】C【解析】因?yàn)橹本€AB經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且垂直于x軸，所以不妨取A(c，)，Bc取雙曲線的一條漸近線為直線bx－ay＝0，由點(diǎn)到直線的距離公式可得d1d2＋＝=4，即＝4，解得a2＝3，所以雙曲線的方程為1，故選C.【變式探究】(2017·全國(guó)卷Ⅱ)若雙曲線C1(a＞0，b＞0)的一條漸近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長(zhǎng)為2，則C的離心率為()C.2D.23【解析】取漸近線y＝x，化成一般式bx－ay＝0，圓心(2，0)到直線的距離為【答案】A【變式探究】已知雙曲線-=1（b>0以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A、B、C、D四點(diǎn)，四邊形的ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為()A-=1B-=1【答案】D2【變式探究】若雙曲線E：－＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于()=9，故選B.【答案】B高頻考點(diǎn)四雙曲線的幾何性質(zhì)22xy a2b2為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P，Q兩點(diǎn)．若PQ=OF，則C的離心率為【答案】A【解析】設(shè)PQ與x軸交于點(diǎn)A，由對(duì)稱(chēng)性可知PQ」x軸，:PA為以O(shè)F為直徑的圓的半徑，∴|OA|=，:P,，又P點(diǎn)在圓x2+y2=a2上，:+=a2，即=a2,:e2==2.:e=，故選A.【變式探究】已知方程22表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范 x-m22-n【答案】A【解析】由題意知：雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以m2+n+3m2-n=4，解得m2=1，因?yàn)榉匠?-1,3)，故選A.【變式探究】已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，△則E的離心率為()A.B．2C.D.【解析】如圖，設(shè)雙曲線E的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，則|AB|＝2a，由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，可設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)在第一象限內(nèi)，過(guò)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N(x1，0)，∵△ABM為等腰三角形，且∠ABM＝120°,∴|BM|=|AB|＝2a，∠MBN＝60°,∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin60°=a，x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos60°=2a.將點(diǎn)M(x1，y1)的坐標(biāo)代入1，可得a2＝b2，∴e選D.【答案】D高頻考點(diǎn)五拋物線的定義及方程例5．【2019年全國(guó)Ⅱ卷】若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓+=1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=C．4【答案】D【解析】因?yàn)閽佄锞€y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)(,0)是橢圓3p-p=()2，解得p=8，故選D.【變式探究】(2017·全國(guó)卷Ⅱ)過(guò)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F，且斜率為的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方)，l為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在l上且MN⊥l，則M到直線NF的距離為()【解析】由題知MF：y＝(x－1)，與拋物線y2＝4x聯(lián)立得3x2－10x＋3＝0，解得x1x2＝3，所以M(3，2).因?yàn)镸N⊥l，所以N(－1，2).又F(1，0)，所以直線NF的方程為y(x－1).故點(diǎn)M到直線NF的距離是＝2.【答案】C【變式探究】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且PM=2MF,則直線OM的斜率的最大值為()（ABCD）1【答案】C【解析】設(shè)P(2pt2,2pt),M(x,y)（不妨設(shè)t>0則=(|2pt2- FP3) FP3),,,12|2pt|2pt(p2p2p,:|x-2=3t-,:(2p2p:: 1,2,:kOM= 1,2 ，2故選C.【變式探究】過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|AF|＝3，則△AOB的面積為()A.B.C.【解析】設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＝3及拋物線定義可得，x1＋1＝3，∴x1＝2.∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2)，則直線AB的斜率k2.∴直線AB的方程為y＝2(x－1)，即為2x－y－2＝0，則點(diǎn)O到該直線的距離為d＝.y2＝4x，y＝2（x－1消去y得，2x2－5x＋2＝0，=××=.【答案】C高頻考點(diǎn)六拋物線的幾何性質(zhì)例6．已知拋物線C：y2＝2x，過(guò)點(diǎn)(2，0)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓.(1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；(2)設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)P(42)，求直線l與圓M的方程.(1)證明：設(shè)l：x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，y2＝2x，聯(lián)立得y2＝2x，Δ=4m2＋16恒大于0，y1＋y2＝2m，y1y24.1x2＋y1y2=(my1＋2)(my2＋2)＋y1y2=(m2＋1)y1y2＋2m(y1＋y2)＋4=-4(m2＋1)＋2m·2m＋4＝0，(2)解：由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4.故圓心M的坐標(biāo)為(m2＋2，m)，圓M的半徑rm2＋2）2＋m2.－4)·(x2－4)＋(y1＋2)·(y2＋2)＝0，即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.由(1)可得y1y24，x1x2＝4，所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m.當(dāng)m＝1時(shí)，直線l的方程為x－y－2＝0，圓心M的坐標(biāo)為(3，1)，圓M的半徑為，圓M的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝10. 當(dāng)m時(shí)，直線l的方程為2x＋y－4＝0，圓心M的坐標(biāo)為4 圓M的半徑為4，圓M的方程為4＋2＝16. 圓M的半徑為4，圓M的方程為4＋2＝16.【變式探究】以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A、B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D、E兩點(diǎn).已知|AB|=4,|DE|=2,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B【解析】如圖,設(shè)拋物線方程為y2=2px,AB,DE交x軸于C,F點(diǎn),則AC=2,即A點(diǎn)縱坐標(biāo)為2,則A點(diǎn)橫坐標(biāo)為,即OC=,由勾股定理知DF2+OF2=DO2=r2,AC2+OC2=AO2=r2,即()2+()2=(2)2+()2,解得p=4,即C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4,故選B.【變式探究】已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線過(guò)點(diǎn)(2，)，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為()－＝－＝【解析】雙曲線1的漸近線方程為y=±x，又漸近線過(guò)點(diǎn)(2，)，所以即2b＝a，①拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為x＝－，由已知，得＝，即a2＋b2＝7②,聯(lián)立①②解得a2＝4，b2＝3，所求雙曲線的方程為－＝1，選D.【答案】D真題感悟1.【2019年全國(guó)Ⅲ卷】設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C:+=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為.=FF又S△MF1F2=x4x8222=4,：4y0=4，解得y0=，：0+2：0+22.【2019年全國(guó)Ⅲ卷】雙曲線C：一=1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若PO=PF，則△PFO的面積為()【答案】A PO=PF：x,P2又P在C的一條漸近線上，不妨設(shè)為在y=x上，則yP=.xP=x=，△PFO3．【2019年浙江卷】漸近線方程為x±y=0的雙曲線的離心率是【答案】C【解析】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為x土y=0，所以a=b，則c==a，4．【2019年江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線x2一=1(b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是▲.5.（2019·全國(guó)高考）若拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)是橢圓xy +3pp=1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=()【答案】D【解析】因?yàn)閽佄锞€y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)(,0)是橢圓3p-p=()2，解得p=8，故選D.1．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)(－2,0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，【答案】Dy2＝4x，【解析】由題意知直線MN的方程為y2＝4x，消去y并整理，得x2－5x+4＝0.解得xN＝1，xM＝4.所以yN＝2，yM＝4.又拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，所以＝(3,4)(0,2)．所以FM·FN＝3×0＋2×4＝8.故選D.2．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知雙曲線Cy2＝1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M，N.若△OMN為直角三角形，則|MN|＝()A.B.3【答案】B【解析】由已知得雙曲線的兩條漸近線方程為y=±x.設(shè)兩條漸近線的夾角為2α,則有tanα=所以α=30°.所以∠MON＝2α=60°.又△OMN為直角三角形，由于雙曲線具有對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)MN⊥ON，如圖所示．在Rt△ONF中，|OF|＝2，則|ON|＝.在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan2α=·tan60°=3.故選B.3．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則其漸近線方程為()A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x【答案】A【解析】因?yàn)樗裕?，所以所以漸近線方程為y=±x.故選A.4．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．過(guò)F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|＝|OP|，則C的離心率為()C.D.【答案】C【解析】設(shè)雙曲線C的一條漸近線的方程為bx－ay＝0，則直線PF2的方程為ax＋by－ac＝0.由可得Pc，c.由F1(－c,0)及|PF1|＝|OP|，得c2＋c2＝×c2＋c2，ax可得Pc，c.由F1(－c,0)及|PF1|＝|OP|，得c2＋c2＝×c2＋c2，bx－ay＝05．(2018·天津卷)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為()－＝－＝【答案】A ，－【解析】如圖，不妨設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方，則Aa，Ba.其中的一條漸近線為bx－ay＝0，則d1＋d22b＝6，所以b＝3.又由e2知a2＋b2＝4a2，所以a＝.所以雙曲線的方程為1. ，－6．(2018·浙江卷)雙曲線－y2＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(－，0)，(，0)B．(－2,0)，(2,0)C．(0)，(0，)D．(02)，(0,2)【答案】B【解析】因?yàn)閍2＝3，b2＝1，所以c2＝4，所以c＝2，又焦點(diǎn)在x軸上，所以B項(xiàng)正確．故選B.7．(2018·北京卷)若雙曲線1(a＞0)的離心率為，則a＝.【答案】4【解析】設(shè)焦距為2c，則即c2＝a2.由c2＝a2＋4得a2＝a2＋4，所以a2＝16，所以a＝4.8．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知橢圓C1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0)，則C的離心率為()A.B.C.D.【答案】C【解析】因?yàn)閍2＝b2＋c2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以e. 9．(2018·天津卷)設(shè)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為，|AB|= .(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線l：y＝kx(k＜0)與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，l與直線AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值.【解析】(1)設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知得又由a2＝b2＋c2可得2a＝3b.由|AB|從而a＝3，b＝2，所以橢圓方程為1.(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1，y1)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x2，y2)，由題意，x2＞x1＞0，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－x1y1)．由△BPM的面積是△BPQ面積的2倍可得|PM|＝2|PQ|，從而x2－x1＝2[x1－(－x1)]，即x2＝5x1.易知直線AB的y＝kx方程為y＝kx消去y可得x2＝.由方程組＝1，消去y可得x1=.由x2＝5x1可得＝5(3k＋2)，兩邊平方整理得18k2＋25k＋8＝0，解得k或k.當(dāng)k時(shí)，x29＜0，不合題意，舍去；當(dāng)k時(shí)，x2＝12，x1符合題意，所以k的值為－.10．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)已知斜率為k的直線l與橢圓C1交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為Mm)(m＞0).(1)證明：k＜－；數(shù)列的公差.【解析】(1)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，兩式相減，并由＝k得x1x2＋y1y2·k＝0.于是k.①由題設(shè)得0＜m故k.(2)由題意得F(1,0)．設(shè)P(x3，y3)，則(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0,0).由(1)及題設(shè)得x3＝3－(x1＋x2)＝1，y3(y1＋y2)2m＜0.又點(diǎn)P在C上，所以m于是|F|＝.x1－12＋y=..x1－12＋3=2－.=|x1－x2|=.②將m＝代入①得k1，所以l的方程為yx代入C的方程，并整理得7x2－14x0.代入②解得|d|＝.所以該數(shù)列的公差為或－.11.(2018·天津卷)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為()－＝－＝【答案】C【解析】因?yàn)橹本€AB經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且垂直于x軸，所以不妨取A(c，)，Bc，－，取雙曲線的一條漸近線為直線bx－ay＝0，由點(diǎn)到直線的距離公式可得d1d2＋＝kk=4，即＝4，解得a2＝3，所以雙曲線的方程為1，故選C.kk1.【2017課標(biāo)1，理10】已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為A．16B．14C．12【答案】A【解析】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4)，直線l1的方程為y=k1(x-1)，聯(lián)立方程-2k-4kk2p=k4 +4 +kkk k2．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為()3【答案】A【解析】以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝a2，該圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，3.【2017浙江，2】橢圓+=1的離心率是 【答案】B4.【2017天津，理5】已知雙曲線22xy -a2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為.若經(jīng)過(guò)F和P(0,4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為【答案】B5.【2017北京，理9】若雙曲線x2-=1的離心率為，則實(shí)數(shù)m=.【答案】26.【2017課標(biāo)1，理】已知雙曲線C：-=1（a>0，b>0）的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn).若∠MAN=60°,則C的離心率為.【答案】【解析】如圖所示，作AP」MN，因?yàn)閳AA與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)，則MN為雙曲線的漸近線y=x上的點(diǎn)，且A(a,0)，而AP」MN，所以ZPAN=30。，AM=b22aAN=b，,PA PA a3b3a3b37.【2017課標(biāo)3，理5】已知雙曲線C：-=1(a＞0,b＞0)的一條漸近線方程為y==1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為x,且與【答案】B【解析】雙曲線C：-=1=3,:c2=a2-b2=9,c=345故選B.8.【2017山東，理14】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線拋物線x2=2px(p>0)交于A,B兩點(diǎn)，若AF+BFOF,則該雙曲線的漸近線方程為.【答案】【解析】p+2p+2AF+BF=yA牽yA+yB=p，因?yàn)閧2-2pb22牽a2y2-2pb2y+a2b2=0牽，所以yA+y2pb22a9.【2017課標(biāo)1，理20】已知橢圓C：+=1（a>b>0四點(diǎn)P1P4（1中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.（1）求C的方程；（2）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過(guò)定點(diǎn).【解析】（1）由于P3，P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故由題設(shè)11，解得{.a24b2（2）設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，如果l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)知t子0，且t<2，可得A，B的坐標(biāo)分別為（t，（t，-）.44-t22.設(shè)A（x1，y1B（x2，y2則x1+x2=一，x1x2=.22)=.x 10.【2017山東，理21】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：+=1(a>b>0)的離心率為，焦距為2.(Ⅰ)求橢圓E的方程；(Ⅱ)如圖，動(dòng)直線l：y=k1x一交橢圓E于A,B兩點(diǎn)，C是橢圓E上一點(diǎn)，直線OC的斜率為k2，且k1k2=，M是線段OC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且MC:AB=2:3，。M的半徑為MC，OS,OT是。M的兩條切線，切點(diǎn)分別為S,T.求經(jīng)SOT的最大值，并求取得最大值時(shí)直線l的斜率.x22x22【解析】（I）由題意知e==，因此橢圓E的方程為+y2=1.聯(lián)立方程{2y=k1x-,x22k1，所以AB=x1-x2=.由題意可知圓M的半徑r為r= 因此直線OC的方程為y=x.2x2 x2 聯(lián)立方程{2y=4k1x,得x2=,y2=，x22x2r