第四章可控制性和可觀性

第四章可控制性和可觀性2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院1第1頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院2§4-1問題的提出§4-1問題的提出經(jīng)典控制理論中用傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的輸入—輸出特性輸出量即被控量，只要系統(tǒng)是因果系統(tǒng)并且是穩(wěn)定的，輸出量便可以受控，輸出量總是可以被測量的，因而不需要提出可控性和可觀性的概念?，F(xiàn)代控制理論是建立在用狀態(tài)空間法描述系統(tǒng)的基礎(chǔ)上的。狀態(tài)方程描述輸入u(t)引起狀態(tài)x(t)的變化過程；輸出方程描述由狀態(tài)變化所引起的輸出y(t)的變化?？煽匦院涂捎^性正是定性地分別描述輸入u(t)對狀態(tài)x(t)的控制能力，輸出y(t)對狀態(tài)x(t)的反映能力。它們分別回答：“輸入能否控制狀態(tài)的變化”——可控性“狀態(tài)的變化能否由輸出反映出來”——可觀性第2頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院3§4-1問題的提出可控性和可觀性是卡爾曼（Kalman）在1960年首先提出來的?？煽匦院涂捎^性的概念在現(xiàn)代控制理論中無論是理論上還是實(shí)踐上都是非常重要的。例如：在最優(yōu)控制問題中，其任務(wù)是尋找輸入u(t)，使?fàn)顟B(tài)達(dá)到預(yù)期的軌線。就定常系統(tǒng)而言，如果系統(tǒng)的狀態(tài)不受控于輸入u(t)，當(dāng)然就無法實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制。另外，為了改善系統(tǒng)的品質(zhì)，在工程上常用狀態(tài)變量作為反饋信息。可是狀態(tài)x(t)的值通常是難以測取的，往往需要從測量到的中估計(jì)出狀態(tài)x(t)；如果輸出y(t)不能完全反映系統(tǒng)的狀態(tài)x(t)，那么就無法實(shí)現(xiàn)對狀態(tài)的估計(jì)。狀態(tài)空間表達(dá)式是對系統(tǒng)的一種完全的描述。判別系統(tǒng)的可控性和可觀性的主要依據(jù)就是狀態(tài)空間表達(dá)式。第3頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院4§4-1問題的提出【例如】（1）分析：上述動(dòng)態(tài)方程寫成方程組形式：從狀態(tài)方程來看，輸入u不能控制狀態(tài)變量，所以狀態(tài)變量是不可控的；從輸出方程看，輸出y不能反映狀態(tài)變量，所以狀態(tài)變量是不能觀測的。即狀態(tài)變量不可控、可觀測；狀態(tài)變量可控、不可觀測。22u第4頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院5§4-1問題的提出（2）分析：上述動(dòng)態(tài)方程寫成方程組形式：由于狀態(tài)變量x1，x2都受控于輸入u，所以系統(tǒng)是可控的；輸出y能反映狀態(tài)變量x1，又能反映狀態(tài)變量x2的變化，所以系統(tǒng)是可觀測的。即狀態(tài)變量x1可控、可觀測；狀態(tài)變量x2可控、可觀測。2u第5頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院6§4-1問題的提出（3）

分析：上述動(dòng)態(tài)方程寫成方程組形式：從狀態(tài)方程看，輸入u能對狀態(tài)變量x1，x2施加影響，似乎該系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量都是可控的；從輸出方程看，輸出y能反映狀態(tài)變量x1，x2的變化，似乎系統(tǒng)是可觀測的。實(shí)際上，這個(gè)系統(tǒng)的兩個(gè)狀態(tài)變量既不是完全可控的，也不是完全可觀測的。要解釋和說明這一情況，就必須首先弄清楚可控性和可觀性的嚴(yán)格定義及判別方法。第6頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院7§4-2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性§4-2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性定義4.1（狀態(tài)可控性定義）：對于線性定常系統(tǒng)，如果存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入u(t)，能在[t0,tf]有限時(shí)間間隔內(nèi)，使得系統(tǒng)從某一初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到指定的任一終端狀態(tài)x(tf),，則稱此狀態(tài)是可控的。若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是可控的，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的，簡稱系統(tǒng)是可控的。

一、線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)可控性的定義（1）上述定義可以在二階系統(tǒng)的相平面上來說明。假如相平面中的P點(diǎn)能在輸入的作用下轉(zhuǎn)移到任一指定狀態(tài)P1,P2,…,Pn,那么相平面上的P點(diǎn)是可控狀態(tài)。假如可控狀態(tài)“充滿”整個(gè)狀態(tài)空間，即對于任意初始狀態(tài)都能找到相應(yīng)的控制輸入u(t),使得在有限時(shí)間間隔內(nèi)，將此狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間中的任一指定狀態(tài)，則該系統(tǒng)稱為狀態(tài)完全可控。關(guān)于可控性定義的說明：第7頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院8§4-2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性PP3P1P2PnP40x1x2可控狀態(tài)的圖形說明（2）在可控性定義中，把系統(tǒng)的初始狀態(tài)取為狀態(tài)空間中的任意有限點(diǎn)x(t0),而終端狀態(tài)也規(guī)定為狀態(tài)空間中的任意點(diǎn)x(tf),這種定義方式不便于寫成解析形式。為了便于數(shù)學(xué)處理，而又不失一般性，我們把上面的可控性定義分兩種情況敘述：①把系統(tǒng)的初始狀態(tài)規(guī)定為狀態(tài)空間中的任意非零點(diǎn)，而終端目標(biāo)規(guī)定為狀態(tài)空間中的原點(diǎn)。于是原可控性定義可表述為：對于給定的線性定常系統(tǒng)

第8頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院9§4-2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性如果存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入u(t),，能在[t0,tf]有限時(shí)間間隔內(nèi)，將系統(tǒng)由任意非零初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)x(tf)

，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的，簡稱系統(tǒng)是可控的。②把系統(tǒng)的初始狀態(tài)規(guī)定為狀態(tài)空間的原點(diǎn)，即，終端狀態(tài)規(guī)定為任意非零有限點(diǎn)，則可達(dá)定義表述如下：如果存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入u(t),，能在[t0,tf]有限時(shí)間間隔內(nèi)，將系統(tǒng)由零初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到任一指定的非零終端狀態(tài)x(tf)

，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全可達(dá)的，簡稱系統(tǒng)是可達(dá)的（能達(dá)的）。對于給定的線性定常系統(tǒng)

第9頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院10§4-2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性對于線性定常系統(tǒng)，可控性和可達(dá)性是等價(jià)的；在以后對可控性的討論中，均規(guī)定目標(biāo)狀態(tài)為狀態(tài)空間中的原點(diǎn)；并且我們所關(guān)心的，只是是否存在某個(gè)分段連續(xù)的輸入u(t)，能否把任意初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，并不要求算出具體的輸入和狀態(tài)軌線。第10頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院11§4-2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性定理4.1：（可控性秩判據(jù)）其系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充分必要條件是：由A、B構(gòu)成的可控性判別矩陣滿秩，即其中，n為該系統(tǒng)的維數(shù)。

二、可控性的判別準(zhǔn)則對于n階線性定常系統(tǒng)【例4.2.1】判別下列狀態(tài)方程的可控性。（2）（3）（4）（1）第11頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院12§4-2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性（1）解：∴系統(tǒng)不可控

（2）∴系統(tǒng)不可控。

解：（3）解：∴系統(tǒng)可控。

（4）解：∴系統(tǒng)不可控。

第12頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院13§4-2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性設(shè)線性定常系統(tǒng)具有互不相同的實(shí)特征值，則其狀態(tài)完全可控的充分必要條件是：系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的對角標(biāo)準(zhǔn)型其中，陣不存在全零行。定理4.2：非奇異線性變換的不變特性：（1）線性變換后，可控性不變；（2）線性變換后，可觀性不變。第13頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院14§4-2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性【例4.2.2】判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)可控性。（2）（3）（4）解：（1）狀態(tài)方程為對角標(biāo)準(zhǔn)型，B陣中不含有元素全為零的行，故系統(tǒng)是可控的。（2）狀態(tài)方程為對角標(biāo)準(zhǔn)型，B陣中含有元素全為零的行，故系統(tǒng)是不可控的。（3）系統(tǒng)可控。（4）系統(tǒng)不可控。（1）第14頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院15§4-2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性【例4.2.3】判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)可控性。解：在應(yīng)用定理4.2這個(gè)判別準(zhǔn)則時(shí)，應(yīng)注意到“特征值互不相同”這個(gè)條件，如果特征值不是互不相同的，即對角陣中含有相同元素時(shí)，上述判據(jù)不適用。應(yīng)根據(jù)定理4.1的秩判據(jù)來判斷。對于本題：

即系統(tǒng)是不可控的。第15頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院16§4-2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性若線性定常系統(tǒng)具有重實(shí)特征值，且每一個(gè)重特征值只對應(yīng)一個(gè)獨(dú)立特征向量，則系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充分必要條件是：系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型中，每個(gè)約當(dāng)小塊最后一行所對應(yīng)的陣中的各行元素不全為零。

定理4.3：第16頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院17§4-2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性【例4.2.4】判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)可控性。（2）（3）（4）（5）（6）解：（1）系統(tǒng)是可控的；（2）系統(tǒng)是不可控的；（3）系統(tǒng)是可控的；（4）系統(tǒng)是不可控的；（5）系統(tǒng)是不可控的；（1）（6）系統(tǒng)不可控

即系統(tǒng)是不可控的。第17頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院18§4-2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性關(guān)于定理4.3的小結(jié)：（1）輸入矩陣中與約當(dāng)塊最后一行所對應(yīng)的行不存在全零行。（2）陣中與互異特征值所對應(yīng)的行不存在全零行。（3）當(dāng)A陣的相同特征值分布在陣的兩個(gè)或更多的約當(dāng)塊時(shí)，如，以上判據(jù)不適用，可根據(jù)定理4.1秩判據(jù)來判別。第18頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院19§4-4可控標(biāo)準(zhǔn)型及輸出可控性§4-4可控標(biāo)準(zhǔn)型及輸出可控性1、可控標(biāo)準(zhǔn)型我們稱如下SISO系統(tǒng)或MIMO系統(tǒng)的狀態(tài)方程為可控標(biāo)準(zhǔn)型。

原因是與此狀態(tài)方程相對應(yīng)的可控性判別矩陣所以系統(tǒng)是可控的

一、可控標(biāo)準(zhǔn)型問題第19頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院20§4-4可控標(biāo)準(zhǔn)型及輸出可控性%ExampleforMATLABA=sym('[0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1;-a0,-a1,-a2,-a3]');b=sym('[0;0;0;1]');Qc=simplify([b,A*b,A^2*b,A^3*b])運(yùn)行結(jié)果：[0,0,0,1][0,0,1,-a3][0,1,-a3,-a2+a3^2][1,-a3,-a2+a3^2,-a1+2*a3*a2-a3^3]2、如何將可控系統(tǒng)的狀態(tài)方程化為可控標(biāo)準(zhǔn)型一個(gè)可控系統(tǒng)，當(dāng)A，b不具有可控標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，可以選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q化為可控標(biāo)準(zhǔn)型。設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：進(jìn)行非奇異變換：，變換為：第20頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院21§4-4可控標(biāo)準(zhǔn)型及輸出可控性其中：

第21頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院22§4-4可控標(biāo)準(zhǔn)型及輸出可控性可控標(biāo)準(zhǔn)型變換陣P的確定方法：（1）計(jì)算可控性判別矩陣：（2）計(jì)算，并設(shè)的一般形式為：

（3）取的最后一行，構(gòu)成

（4）按下列方式構(gòu)造陣

（5）便是化可控標(biāo)準(zhǔn)型的非奇異變換陣。第22頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院23§4-4可控標(biāo)準(zhǔn)型及輸出可控性【例4.4.1】已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試判別狀態(tài)可控性，如可控將狀態(tài)方程化為可控標(biāo)準(zhǔn)型。解：（1）首先判別可控性故系統(tǒng)是可控的。②③（2）化可控標(biāo)準(zhǔn)型①④⑤第23頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院24§4-4可控標(biāo)準(zhǔn)型及輸出可控性

即有可控標(biāo)準(zhǔn)%Example4.4.1forMATLABprogramA=[1,0;0,2];b=[1;1];Qc=[b,A*b]x=rank(Qc);ifx==2'該系統(tǒng)狀態(tài)完全可控'invQc=inv(Qc);invp1=invQc(length(Qc),:);invp=[invp1;invp1*A];p=inv(invp)AA=invp*A*pbb=invp*belse'該系統(tǒng)狀態(tài)不可控'end第24頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院25§4-4可控標(biāo)準(zhǔn)型及輸出可控性二、輸出可控性定義4.3（輸出可控性定義）：如果存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入u(t),，能在[t0,tf]有限時(shí)間間隔內(nèi)，使得系統(tǒng)從任意初始輸出y(t0)轉(zhuǎn)移到指定的任意最終輸出y(tf)，則稱該系統(tǒng)是輸出完全可控的，簡稱系統(tǒng)輸出可控。對于線性定常系統(tǒng)

第25頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院26定理4.5：（系統(tǒng)輸出可控性判據(jù)）其輸出可控的充分必要條件是：由A、B、C、D構(gòu)成的輸出可控性判別矩陣的秩等于輸出變量的維數(shù)q，即設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)說明：一般而言，系統(tǒng)輸出可控性和狀態(tài)可控性之間沒有什么必然的聯(lián)系。即輸出可控不一定狀態(tài)可控，狀態(tài)可控不一定輸出可控。§4-4可控標(biāo)準(zhǔn)型及輸出可控性第26頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院27§4-4可控標(biāo)準(zhǔn)型及輸出可控性【例4.4.2】判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)、輸出可控性。解：（1）狀態(tài)可控性判別矩陣（2）輸出可控性判別矩陣，所以系統(tǒng)輸出可控。，故狀態(tài)不可控。第27頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院28§4-4可控標(biāo)準(zhǔn)型及輸出可控性三、連續(xù)狀態(tài)方程離散化后的可控性

1、原連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)可控，離散化后，如果采樣周期選擇不當(dāng)，便不能保持原連續(xù)系統(tǒng)的可控性。2、當(dāng)連續(xù)系統(tǒng)不可控時(shí)，不管采樣周期T如何選擇，離散化后的系統(tǒng)一定是不可控的。第28頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院29§4-5線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性定義4.4（可觀測性定義）：如果對于任一給定的輸入u(t)，存在一有限觀測時(shí)間tf>t0

，使得在[t0,tf]期間測量到的y(t)，能唯一地確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(t0)

，則稱此狀態(tài)是可觀測的。若系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)都是可觀測的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全可觀測的，簡稱系統(tǒng)是可觀測的。設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為說明：在定義中之所以把可觀測性規(guī)定為對初始狀態(tài)的確定，這是因?yàn)橐坏┐_定了初始狀態(tài)，便可根據(jù)給定輸入，利用狀態(tài)方程的解就可以求出各個(gè)瞬間狀態(tài)。第29頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院30§4-5線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性定理4.6：（可觀測性判別準(zhǔn)則Ⅰ）其狀態(tài)完全可觀測的充分必要條件是：由A、C構(gòu)成的可觀測性判別矩滿秩，即二、線性定常連續(xù)系統(tǒng)可觀測性的判別準(zhǔn)則線性定常連續(xù)系統(tǒng)第30頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院31【例4.5.1】判別可觀測性（1）（2）（3）§4-5線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性第31頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院32§4-5線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性解：（1）故系統(tǒng)是不可觀測的。故系統(tǒng)是可觀測的。故系統(tǒng)是不可觀測的。（2）（3）第32頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院33§4-5線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性定理4.7：（可觀測性判別準(zhǔn)則Ⅱ）A陣具有互不相同的特征值，則其狀態(tài)完全可觀測的充分必要條件是系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的對角標(biāo)準(zhǔn)型中的矩陣中不含元素全為零的列。設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)第33頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院34【例4.5.2】判別可觀測性（1）解：系統(tǒng)可觀測。解：系統(tǒng)不可觀測。（2）特別說明：當(dāng)為對角陣但含有相同元素時(shí)，上述判據(jù)不適用，可根據(jù)可觀測性判別矩陣的秩來判別?！?-5線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性第34頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院35§4-5線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性定理4.8：（可觀測性判別準(zhǔn)則Ⅲ）A陣具有重特征值，且每一個(gè)特征值只對應(yīng)一個(gè)獨(dú)立特征向量，則系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀測的充分必要條件是系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型中的矩陣中與每個(gè)約當(dāng)小塊首列相對應(yīng)的那些列的元素不全為零。

設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)

第35頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院36§4-5線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性【例4.5.3】判別可觀測性

（1）解：（1）系統(tǒng)狀態(tài)可觀測。解：（2）系統(tǒng)狀態(tài)不可觀測。解：（3）可觀測。解：（4）可觀測。（2）（3）（4）第36頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院37§4-5線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性一個(gè)可觀測系統(tǒng)，當(dāng)A、C陣不具有可觀測標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，可選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q化為可觀測標(biāo)準(zhǔn)型。動(dòng)態(tài)方程中，A、C陣具有如下形式，稱為可觀測標(biāo)準(zhǔn)型。三、可觀測標(biāo)準(zhǔn)型第37頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院38§4-8線性系統(tǒng)可控性與可觀測性的對偶關(guān)系線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性不是兩個(gè)相互獨(dú)立的概念，它們之間存在著一種內(nèi)在的聯(lián)系。

§4-8線性系統(tǒng)可控性與可觀測性的對偶關(guān)系定義4.6（線性定常系統(tǒng)的對偶關(guān)系）

若滿足下列關(guān)系：則稱∑1和∑1是互為對偶的。對于線性定常系統(tǒng)∑1和∑1，其狀態(tài)空間表達(dá)式為：第38頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院39§4-8線性系統(tǒng)可控性與可觀測性的對偶關(guān)系定理4.10（對偶原理）：設(shè)∑1(A,B,C)和∑2(A*,B*,C*)是互為對偶的兩個(gè)系統(tǒng)，則∑1的可控性等價(jià)于∑2的可觀測性?；蛘哒f，若∑1是狀態(tài)完全可控的（完全可觀測的），則∑2是狀態(tài)完全可觀測的（完全可控的）。利用對偶原理，可以把可觀測的SISO系統(tǒng)化為可觀測標(biāo)準(zhǔn)型的問題轉(zhuǎn)化為將其對偶系統(tǒng)化為可控標(biāo)準(zhǔn)型的問題。若一個(gè)系統(tǒng)∑1(A,B,C)可觀測，但A、C不是可觀測標(biāo)準(zhǔn)型，其對偶系統(tǒng)∑2(A*,B*,C*)一定可控，但不具有可控標(biāo)準(zhǔn)型?？衫靡阎幕癁榭煽貥?biāo)準(zhǔn)型的原理和步驟，先將∑2化為可控標(biāo)準(zhǔn)型，再根據(jù)對偶原理，便可獲得∑1的可觀測標(biāo)準(zhǔn)型。具體步驟如下：

第39頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院40（1）寫出對偶系統(tǒng)的可控性判別矩陣

（2）求，設(shè)一般形式為（3）取的最后一行，構(gòu)成，并構(gòu)造第40頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院41§4-8線性系統(tǒng)可控性與可觀測性的對偶關(guān)系（4）求的逆陣。陣便是把化為可控標(biāo)準(zhǔn)型的變換陣。（5）對再利用對偶原理，便可將化為可觀測標(biāo)準(zhǔn)型。第41頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院42§4-8線性系統(tǒng)可控性與可觀測性的對偶關(guān)系【例4.8.1】已知線性定常系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為試判別可觀測性。如可觀測，寫出可觀測標(biāo)準(zhǔn)型。解：（1）（2）求可觀測標(biāo)準(zhǔn)型①列寫其對偶系統(tǒng)的可控性判別矩陣

，故系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀測。第42頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院43§4-8線性系統(tǒng)可控性與可觀測性的對偶關(guān)系②求③構(gòu)造④求

⑤可觀測標(biāo)準(zhǔn)型為

其中：即

第43頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院44§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系

一、傳遞函數(shù)矩陣定義4.7（傳遞函數(shù)矩陣的定義）：在初始條件為零時(shí)，輸出向量的拉氏變換式Y(jié)(s)與輸入向量的拉氏變換式U(s)之間的傳遞關(guān)系，稱為傳遞函數(shù)矩陣，簡稱傳遞矩陣?！嘣O(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為第44頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院45§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系【例4.9.1】已知線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程中各矩陣如下，試求傳遞函數(shù)矩陣。解：第45頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院46§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系MIMO系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖1、開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣：輸入向量至反饋向量之間的傳遞函數(shù)矩陣。2、閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣：輸入向量至輸出向量之間的傳遞函數(shù)矩陣。3、偏差傳遞函數(shù)矩陣：輸入向量至偏差向量之間的傳遞函數(shù)矩陣。二、MIMO系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣和閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣其中：U、E、Y、Z分別為輸入向量、偏差向量、輸出向量和反饋向量。第46頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院47§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系定義4.8（傳遞矩陣的實(shí)現(xiàn)）使成立，則稱此狀態(tài)空間表達(dá)式∑(A,B,C,D)為傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。給定一傳遞函數(shù)矩陣G(s),若有一狀態(tài)空間表達(dá)式∑(A,B,C,D)第47頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院48§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系說明：（1）并不是任意一個(gè)傳遞函數(shù)矩陣G(s)都可以找到其實(shí)現(xiàn)，通常它必須滿足物理可實(shí)現(xiàn)條件。即：傳遞函數(shù)矩陣G(s)中的每一個(gè)元Gik(s)（i=1,2,…，m,k=1,2,…,r)）的分子分母多項(xiàng)式系數(shù)均為實(shí)常數(shù)。傳遞函數(shù)矩陣G(s)中的每一個(gè)元Gik(s)均為s的有理真分式函數(shù)。（2）對應(yīng)某一傳遞函數(shù)矩陣的實(shí)現(xiàn)是不唯一的。由于傳遞函數(shù)矩陣只能反映系統(tǒng)中可控且可觀測的子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，因而，對于某一傳遞函數(shù)矩陣有任意維數(shù)的狀態(tài)空間表達(dá)式與之對應(yīng)。由于狀態(tài)變量選擇的非唯一性，選擇不同的狀態(tài)變量時(shí)，其狀態(tài)空間表達(dá)式也隨之不同。第48頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院49§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系1、SISO系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)和可觀測標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)★可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)：★可觀測標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)：并且有

第49頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院50§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系【例4.9.2】已知線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試寫出系統(tǒng)可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)和可觀測標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)。解：可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)可觀測標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)第50頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院51§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系2、MIMO系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)和可觀測標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)設(shè)MIMO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為mxr維，并有如下形式：式中：均為mxr維實(shí)數(shù)矩陣，分母多項(xiàng)式為該傳遞函數(shù)矩陣的特征多項(xiàng)式。

（m—輸出變量的維數(shù)；r—輸入變量的維數(shù)）★可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)式中：和分別表示階零矩陣和單位矩陣，n為分母多項(xiàng)式的階數(shù)。第51頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院52§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系★可觀測標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)式中：和分別表示注意：MIMO系統(tǒng)的可觀測標(biāo)準(zhǔn)型并不是可控標(biāo)準(zhǔn)型的簡單的轉(zhuǎn)置。階零矩陣和單位矩陣?！纠?.9.3】試求的可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)和可觀測標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)。解：首先將G(s)化成嚴(yán)格有理真分式第52頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院53§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系比較有然后將寫成標(biāo)準(zhǔn)格式：第53頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院54§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系

與公式對照：所以有如下MIMO系統(tǒng)可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)：第54頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院55§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系同理MIMO可觀測標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)為：第55頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院56§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系3、最小實(shí)現(xiàn)定義4.9（最小實(shí)現(xiàn)定義）：傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)稱為最小實(shí)現(xiàn)。如果G(s)中不存在其它實(shí)現(xiàn)使的維數(shù)小于x的維數(shù)。定理4.11：傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)∑(A,B,C)為最小實(shí)現(xiàn)的充分必要條件是∑(A,B,C)既是可控的又是可觀測的。

第56頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院57§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系說明：設(shè)傳遞函數(shù)矩陣為G(s)mxr，在求其最小實(shí)現(xiàn)時(shí)，先初選一種實(shí)現(xiàn)（可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)或可觀測標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)）。r為輸入變量的維數(shù)，m為輸出變量的維數(shù)。初選規(guī)則是：（1）r>m時(shí)，先初選可觀測標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)。（2）r<m時(shí)，先初選可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)。第57頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院58【例4.9.4】試求如下傳遞函數(shù)矩陣的最小實(shí)現(xiàn)。

解：（1）

即

第58頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院59§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系由故先選可觀測標(biāo)準(zhǔn)型。（2）檢驗(yàn)可觀測標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)是否可控。故可控可觀測，為最小實(shí)現(xiàn)。第59頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院60§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系定理4.12：SISO系統(tǒng)可控且可觀測的充分必要條件是：由動(dòng)態(tài)方程導(dǎo)出的傳遞函數(shù)不存在零極點(diǎn)對消（即傳遞函數(shù)不可約）。SISO系統(tǒng)可控的充分必要條件是：不存在零極點(diǎn)對消。SISO系統(tǒng)可觀測的充分必要條件是：不存在零極點(diǎn)對消。第60頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院61§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系解：三個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)均為顯然存在零極點(diǎn)對消?！纠?.9.5】試分析下列系統(tǒng)的可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)的關(guān)系。（1）（2）（3）（1）A,b為可控標(biāo)準(zhǔn)型，故此系統(tǒng)可控不可觀測。（2）A,c為可觀測標(biāo)準(zhǔn)型，故此系統(tǒng)可觀測不可控。（3）系統(tǒng)不可控、不可觀測。第61頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院62§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系-_uyx1x2【例4.9.6】設(shè)二階系統(tǒng)如下圖。試用狀態(tài)空間及傳遞函數(shù)描述判別系統(tǒng)的可控性和可觀測性，并說明傳遞函數(shù)描述的不完全性。解：由結(jié)構(gòu)圖有整理后，有：

顯然，都出現(xiàn)零極點(diǎn)對消，故系統(tǒng)不可控、不可觀測。

第62頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院63分析：系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為二階系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式應(yīng)是二次多項(xiàng)式，但對消的結(jié)果是使二階系統(tǒng)降為一階。

原系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，含有一個(gè)右特征值但用對消后的傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)時(shí)，會(huì)誤認(rèn)為系統(tǒng)是穩(wěn)定的。因此說傳遞函數(shù)描述是不完全的。定理4.13：多輸入系統(tǒng)可控的充要條件是：多輸出系統(tǒng)可觀測的充要條件是：的n行線性無關(guān)。的n列線性無關(guān)?！?-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系第63頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院64【例4.9.7】試用傳遞函數(shù)矩陣判別下列MIMO系統(tǒng)的可控性、可觀測性。解：（1）判別可控性令§4-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系第64頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院65解此方程組，有，故三行線性無關(guān)，系統(tǒng)可控。

（2）判別可觀測性令解此方程組，有，故三列線性無關(guān)，系統(tǒng)可觀測?！?-9可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系第65頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院66§4-10線性定常系統(tǒng)的規(guī)范分解§4-10線性定常系統(tǒng)的規(guī)范分解系統(tǒng)中只要有一個(gè)狀態(tài)變量不可控便稱系統(tǒng)不可控，那么不可控系統(tǒng)便含有可控和不可控兩種狀態(tài)變量；只要有一個(gè)狀態(tài)變量不可觀測便稱系統(tǒng)不可觀測，那么不可觀測系統(tǒng)便含有可觀測和不可觀測兩種狀態(tài)變量。從可控性、可觀測性角度出發(fā)，狀態(tài)變量可分解成可控可觀測狀態(tài)變量可控不可觀測狀態(tài)變量不可控可觀測狀態(tài)變量不可控不可觀測狀態(tài)變量由相應(yīng)狀態(tài)變量作坐標(biāo)軸構(gòu)成的子空間也分成四類，并把系統(tǒng)也相應(yīng)分成四類子系統(tǒng)，稱為系統(tǒng)的規(guī)范分解。

第66頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院67§4-10線性定常系統(tǒng)的規(guī)范分解一、系統(tǒng)按可控性的結(jié)構(gòu)分解設(shè)不可控線性定常系統(tǒng)為其可控性判別矩陣的秩為r(r<n)即則存在非奇異變換將狀態(tài)空間表達(dá)式變換為：其中：第67頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院68§4-10線性定常系統(tǒng)的規(guī)范分解中的n個(gè)列向量可按如下方法構(gòu)造：是可控性判別矩陣中的r個(gè)線性無關(guān)的列；另外(n-r)個(gè)列向量在確保為非奇異的條件下任意選擇。將變換后的動(dòng)態(tài)方程展開，有

非奇異變換陣前r個(gè)列向量第68頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院69§4-10線性定常系統(tǒng)的規(guī)范分解即不可控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：可控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：可控部分不可控部分按可控性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解示意圖第69頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院70§4-10線性定常系統(tǒng)的規(guī)范分解【例4.10.1】設(shè)線性定常系統(tǒng)判別可控性。若系統(tǒng)不可控，將系統(tǒng)按可控性進(jìn)行規(guī)范分解。解：（1）判別可控性（2）構(gòu)造按可控性進(jìn)行規(guī)范分解的非奇異變換陣

故系統(tǒng)不完全可控。第70頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2009-08CAUC--空中交通管理學(xué)院71§4-10線性定常系統(tǒng)的規(guī)范分解故而變換后系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：式中：