2024年湖北省武漢市江夏區(qū)光谷實(shí)驗(yàn)中學(xué)中考數(shù)學(xué)一模試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2024年湖北省武漢市江夏區(qū)光谷實(shí)驗(yàn)中學(xué)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）的相反數(shù)是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．2．（3分）下列是幾個(gè)著名汽車(chē)品牌標(biāo)志，其中既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，下列事件是隨機(jī)事件的是（）A．點(diǎn)數(shù)的和為1 B．點(diǎn)數(shù)的和為6 C．點(diǎn)數(shù)的和大于12 D．點(diǎn)數(shù)的和小于134．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．（﹣3a2）3＝﹣9a6 B．（﹣a）2?a3＝a5 C．（2x﹣y）2＝4x2﹣y2 D．a(chǎn)2+4a2＝5a45．（3分）從甲、乙、丙三人中任選兩人參加青年志愿者活動(dòng)，甲被選中的概率是（）A． B． C． D．6．（3分）如圖，兩個(gè)反比例函數(shù)y＝和y＝1和C2，設(shè)點(diǎn)P在C1上，PA⊥x軸于點(diǎn)A，交C2于B，則△POB的面積為（）A．1 B．2 C．3 D．47．（3分）如果x2+2x﹣2＝0，那么代數(shù)式?﹣的值為（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．28．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線，交AB于點(diǎn)E；若半徑為3，且sin∠CFD＝（）A． B．5 C． D．9．（3分）3月23日早晨，“母親河畔的奔跑﹣2013重慶國(guó)際馬拉松賽”在南濱公園門(mén)口鳴槍開(kāi)跑，甲、乙兩選手的行程y（千米）（時(shí)）變化的圖象（全程）如圖所示．有下列說(shuō)法：其中，錯(cuò)誤的說(shuō)法是（）A．起跑后1小時(shí)內(nèi)，甲在乙的前面 B．第1小時(shí)兩人都跑了21千米 C．甲比乙先到達(dá)終點(diǎn) D．兩人都跑了42.195千米10．（3分）如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，AE⊥EF．有下列結(jié)論：①∠BAE＝30°；②射線FE是∠AFC的角平分線；③（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．②④二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）計(jì)算的結(jié)果是．12．（3分）世界文化遺產(chǎn)長(zhǎng)城總長(zhǎng)約21000千米，數(shù)21000用科學(xué)記數(shù)法表示為．13．（3分）如圖是某商場(chǎng)營(yíng)業(yè)大廳自動(dòng)扶梯的示意圖．自動(dòng)扶梯AB的傾斜角為37°，大廳兩層之間的距離BC為6米，則自動(dòng)扶梯AB的長(zhǎng)約為．（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）14．（3分）如圖，小紅同學(xué)用儀器測(cè)量一棵大樹(shù)AB的高度，在C處測(cè)得∠ADG＝30°，CE＝8米，儀器高度CD＝1.5米米．15．（3分）如圖，已知開(kāi)口向下的拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)（﹣1，0），對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1．下列四個(gè)結(jié)論：①abc＞0；②2a+b＝02+bx+c的最大值為﹣4a；④若關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝a+1無(wú)實(shí)數(shù)根，則﹣＜a＜0．其中正確的是（填寫(xiě)序號(hào)）．16．（3分）如圖，矩形ABCD中，AB＝8，且DE＝4，CE的垂直平分線交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接EF交AB于點(diǎn)G．若G是AB的中點(diǎn)，則BC的長(zhǎng)是．三、解答題（共6小題，共52分）17．（8分）解不等式組請(qǐng)結(jié)合題意填空，完成本題的解答．（1）解不等式①，得；（2）解不等式②，得；（3）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)；（4）原不等式組的解集為．18．（8分）已知：如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是三角形ABC的邊BC，AB上的點(diǎn)，DF∥CA；（1）求證：DE∥BA．（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度數(shù)．19．（8分）某工廠進(jìn)行廠長(zhǎng)選拔，從中抽出一部分人進(jìn)行篩選，其中有“優(yōu)秀”，“合格”，“不合格”．（1）本次抽查總?cè)藬?shù)為，“合格”人數(shù)的百分比為；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“不合格人數(shù)”的度數(shù)為；（4）在“優(yōu)秀”中有甲乙丙三人，現(xiàn)從中抽出兩人，則剛好抽中甲乙兩人的概率為．20．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D是弦AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，交DE于點(diǎn)F．（1）求證：FC＝FD；（2）若E是OB的中點(diǎn)，sinD＝，OA＝221．（10分）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在等腰直角△ABC中，點(diǎn)D是斜邊BC上任意一點(diǎn)，使∠DAE＝90°，AD＝AE，則∠ABC和∠ACE的數(shù)量關(guān)系為；【拓展延伸】（2）如圖2，在等腰△ABC中，AB＝BC（不與點(diǎn)B，C重合），在AD的右側(cè)作等腰△ADE，使AD＝DE，連接CE，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立；【歸納應(yīng)用】（3）在（2）的條件下，若AB＝BC＝6，點(diǎn)D是射線BC上任意一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)CD＝3時(shí)CE的長(zhǎng)．22．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝﹣且經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)（1）求拋物線解析式．（2）拋物線上是否存在點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN垂直x軸于點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）的相反數(shù)是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．【解答】解：的相反數(shù)是，故選：C．2．（3分）下列是幾個(gè)著名汽車(chē)品牌標(biāo)志，其中既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、該圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、該圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、該圖形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形；D、該圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．3．（3分）擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，下列事件是隨機(jī)事件的是（）A．點(diǎn)數(shù)的和為1 B．點(diǎn)數(shù)的和為6 C．點(diǎn)數(shù)的和大于12 D．點(diǎn)數(shù)的和小于13【解答】解：A、兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)的和為1，故不符合題意；B、兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6，故符合題意；C、點(diǎn)數(shù)的和大于12，故不符合題意；D、點(diǎn)數(shù)的和小于13，故不符合題意；故選：B．4．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．（﹣3a2）3＝﹣9a6 B．（﹣a）2?a3＝a5 C．（2x﹣y）2＝4x2﹣y2 D．a(chǎn)2+4a2＝5a4【解答】解：選項(xiàng)A：（﹣3a2）6＝﹣27a6，所以不符合題意；選項(xiàng)B：（﹣a）2?a7＝a2?a3＝a3，所以符合題意；選項(xiàng)C：（2x﹣y）2＝2x2﹣4xy+y4，所以不符合題意；選項(xiàng)D：a2+4a3＝5a2，所以不符合題意；故選：B．5．（3分）從甲、乙、丙三人中任選兩人參加青年志愿者活動(dòng)，甲被選中的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)題意畫(huà)圖如下：共有6種等可能的結(jié)果數(shù)，其中甲被選中的結(jié)果有4種，則甲被選中的概率為．故選：C．6．（3分）如圖，兩個(gè)反比例函數(shù)y＝和y＝1和C2，設(shè)點(diǎn)P在C1上，PA⊥x軸于點(diǎn)A，交C2于B，則△POB的面積為（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵PA⊥x軸于點(diǎn)A，交C2于點(diǎn)B，∴S△POA＝×4＝2，S△BOA＝×2＝6，∴S△POB＝2﹣1＝5．故選：A．7．（3分）如果x2+2x﹣2＝0，那么代數(shù)式?﹣的值為（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：原式＝?﹣＝﹣＝﹣＝﹣，∵x2+2x﹣3＝0，∴x2+6x＝2，則原式＝﹣＝﹣2，故選：A．8．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線，交AB于點(diǎn)E；若半徑為3，且sin∠CFD＝（）A． B．5 C． D．【解答】解：連接OD，如圖，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∵DF為切線，∴OD⊥DF，∴AE⊥EF，在Rt△ODF中，∵sin∠CFD＝＝，∴OF＝7，在Rt△AEF中，∵sin∠F＝＝，∴AE＝（3+2）＝．故選：A．9．（3分）3月23日早晨，“母親河畔的奔跑﹣2013重慶國(guó)際馬拉松賽”在南濱公園門(mén)口鳴槍開(kāi)跑，甲、乙兩選手的行程y（千米）（時(shí)）變化的圖象（全程）如圖所示．有下列說(shuō)法：其中，錯(cuò)誤的說(shuō)法是（）A．起跑后1小時(shí)內(nèi)，甲在乙的前面 B．第1小時(shí)兩人都跑了21千米 C．甲比乙先到達(dá)終點(diǎn) D．兩人都跑了42.195千米【解答】解：根據(jù)圖象得：起跑后1小時(shí)內(nèi)，甲在乙的前面，不符合題意；在跑了1小時(shí)時(shí)，甲追上乙，故選項(xiàng)B正確；乙比甲先到達(dá)終點(diǎn)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；兩人都跑了42.195千米，故選項(xiàng)D正確．故選：C．10．（3分）如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，AE⊥EF．有下列結(jié)論：①∠BAE＝30°；②射線FE是∠AFC的角平分線；③（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．②④【解答】解：∵在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，∴AB＝BC，BE＝，∴tanA＝＝，∵tan30°＝，∴∠BAE≠30°，故①錯(cuò)誤；∵∠B＝∠C＝90°，AE⊥EF，∴∠BAE+∠BEA＝90°，∠BEA+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE∽△ECF，∵AB＝2BE＝2CE，∴EC＝7CF，設(shè)CF＝a，則EC＝BE＝2a，∴AE＝a，EF＝a，∴tan∠AFE＝＝2，∴∠AFE＝∠CFE，即射線FE是∠AFC的角平分線，故②正確；∵BC＝CD，BC＝6CE＝4CF，∴CF＝CD；作EG⊥AF于點(diǎn)G，∵FE平分∠AFC，∠C＝90°，∴EG＝EC，∴EG＝EB，∵∠B＝∠AGE＝90°，在Rt△ABE和Rt△AGE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），∴AB＝AG，又∵CF＝GF，AF＝AG+GF，∴AF＝AB+CF，故④正確，由上可得，②④正確，故選：D．二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）計(jì)算的結(jié)果是6．【解答】解：＝2．故答案為：6．12．（3分）世界文化遺產(chǎn)長(zhǎng)城總長(zhǎng)約21000千米，數(shù)21000用科學(xué)記數(shù)法表示為2.1×104．【解答】解：數(shù)21000用科學(xué)記數(shù)法表示為2.1×105．故答案為：2.1×108．13．（3分）如圖是某商場(chǎng)營(yíng)業(yè)大廳自動(dòng)扶梯的示意圖．自動(dòng)扶梯AB的傾斜角為37°，大廳兩層之間的距離BC為6米，則自動(dòng)扶梯AB的長(zhǎng)約為10米．（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）【解答】解：根據(jù)題意得：∠BAC＝37°，∠ACB＝90°，∵，∴，解得：AB≈10米，即自動(dòng)扶梯AB的長(zhǎng)約為10米．故答案為：10米．14．（3分）如圖，小紅同學(xué)用儀器測(cè)量一棵大樹(shù)AB的高度，在C處測(cè)得∠ADG＝30°，CE＝8米，儀器高度CD＝1.5米（1.5+4）米．【解答】解：由題意，四邊形CDFE、四邊形CDBG均為矩形，△ADG、△AFG均為直角三角形，所以CD＝BG＝1.5米，CE＝DF＝5米．在Rt△ADG中，∵tan∠ADG＝，即DG＝＝AG，在Rt△AFG中，∵tan∠AFG＝，即FG＝＝AG，又∵DG﹣FG＝DF＝8，∴AG﹣即AG＝8∴AG＝2∴AB＝AG+GB＝1.4+4（米）故答案為：6.5+415．（3分）如圖，已知開(kāi)口向下的拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)（﹣1，0），對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1．下列四個(gè)結(jié)論：①abc＞0；②2a+b＝02+bx+c的最大值為﹣4a；④若關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝a+1無(wú)實(shí)數(shù)根，則﹣＜a＜0．其中正確的是②③④（填寫(xiě)序號(hào)）．【解答】解：∵拋物線開(kāi)口向下，∴a＜0，∵拋物線交y軸于正半軸，∴c＞0，∵﹣＞0，∴b＞0，∴abc＜6，故①錯(cuò)誤．∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝1，∴﹣＝3，∴2a+b＝0，故②正確．∵拋物線y＝ax8+bx+c與x軸交于點(diǎn)（﹣1，0），∴拋物線交x軸于另一點(diǎn)（7，0），∴可以假設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣7），當(dāng)x＝1時(shí)，y的值最大，故③正確．∵ax2+bx+c＝a+8無(wú)實(shí)數(shù)根，∴a（x+1）（x﹣3）＝a+5無(wú)實(shí)數(shù)根，∴ax2﹣2ax﹣7a﹣1＝0，Δ＜7，∴4a2﹣5a（﹣4a﹣1）＜7，∴a（5a+1）＜5，∴﹣＜a＜8，故答案為：②③④．16．（3分）如圖，矩形ABCD中，AB＝8，且DE＝4，CE的垂直平分線交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接EF交AB于點(diǎn)G．若G是AB的中點(diǎn)，則BC的長(zhǎng)是7．【解答】解：∵矩形ABCD中，G是AB的中點(diǎn)，∴AG＝BG＝×8＝4，在△AEG和△BFG中，，∴△AEG≌△BFG（ASA），∴AE＝BF，EG＝FG，設(shè)AE＝x，則CF＝BC+BF＝AD+BF＝2+x+x＝4+2x，在Rt△AEG中，EG＝＝，∴EF＝3，∵FH垂直平分CE，∴CF＝EF，∴4+6x＝2，解得：x＝8，∴AD＝AE+DE＝4+3＝3，∴BC＝AD＝7．故答案為：7．三、解答題（共6小題，共52分）17．（8分）解不等式組請(qǐng)結(jié)合題意填空，完成本題的解答．（1）解不等式①，得x≥﹣1；（2）解不等式②，得x≤2；（3）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)；（4）原不等式組的解集為﹣1≤x≤2．【解答】解：（1）解不等式①，得x≥﹣1；（2）解不等式②，得x≤2；（3）把把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)：（4）所以原不等式組的解集為﹣2≤x≤2．故答案為：（1）x≥﹣1；（2）x≤2；（4）﹣1≤x≤2．18．（8分）已知：如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是三角形ABC的邊BC，AB上的點(diǎn)，DF∥CA；（1）求證：DE∥BA．（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度數(shù)．【解答】解：（1）證明：∵DF∥CA，∴∠DFB＝∠A，又∵∠FDE＝∠A，∴∠DFB＝∠FDE，∴DE∥AB；（2）設(shè)∠EDC＝x°，∵∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，∴∠BFD＝∠BDF＝2x°，由（1）可知DE∥BA，∴∠DFB＝∠FDE＝5x°，∴∠BDF+∠EDF+∠EDC＝2x°+2x°+x°＝180°，∴x＝36，又∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝36°．19．（8分）某工廠進(jìn)行廠長(zhǎng)選拔，從中抽出一部分人進(jìn)行篩選，其中有“優(yōu)秀”，“合格”，“不合格”．（1）本次抽查總?cè)藬?shù)為50人，“合格”人數(shù)的百分比為40%；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“不合格人數(shù)”的度數(shù)為115.2°；（4）在“優(yōu)秀”中有甲乙丙三人，現(xiàn)從中抽出兩人，則剛好抽中甲乙兩人的概率為．【解答】解：（1）本次抽查的總?cè)藬?shù)為8÷16%＝50（人），“合格”人數(shù)的百分比為1﹣（32%+16%+12%）＝40%，故答案為：50人，40%；（2）補(bǔ)全圖形如下：（3）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“不合格”人數(shù)的度數(shù)為360°×32%＝115.5°，故答案為：115.2°；（4）列表如下：甲乙丙甲（乙，甲）（丙，甲）乙（甲，乙）（丙，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）由表知，共有6種等可能結(jié)果，所以剛好抽中甲乙兩人的概率為＝．故答案為：．20．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D是弦AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，交DE于點(diǎn)F．（1）求證：FC＝FD；（2）若E是OB的中點(diǎn)，sinD＝，OA＝2【解答】（1）證明：連接OC，如圖，∵CF為⊙O的切線，∴OC⊥CF，∴∠OCF＝90°，∴∠FCD+∠ACO＝90°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A，∴∠FCD+∠A＝90°，∵DE⊥AB，∴∠D+∠A＝90°，∴∠D＝∠FCD，∴FC＝FD；（2）解：連接BC，過(guò)F點(diǎn)作FH⊥CD于H，∵E是OB的中點(diǎn)，OA＝2，∴OE＝1，∴AE＝5，在Rt△ADE中，∵sinD＝＝，∴AD＝×3＝6，∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∵∠D+∠A＝90°，∴∠ABC＝∠D，在Rt△ABC中，∵sin∠ABC＝sinD＝＝，∴AC＝×4＝，∴CD＝AD﹣AC＝5﹣＝，∵FC＝FD，F(xiàn)H⊥CD，∴DH＝CH＝CD＝，在Rt△DFH中，∵sinD＝＝，∴設(shè)FH＝3x，DF＝6x，∴DH＝4x，即4x＝，解得x＝，∴DF＝4×＝．21．（10分）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在等腰直角△ABC中，點(diǎn)D是斜邊BC上任意一點(diǎn)，使∠DAE＝90°，AD＝AE，則∠ABC和∠ACE的數(shù)量關(guān)系為相等；【拓展延伸】（2）如圖2，在等腰△ABC中，AB＝BC（不與點(diǎn)B，C重合），在AD的右側(cè)作等腰△ADE，使AD＝DE，連接CE，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立；【歸納應(yīng)用】（3）在（2）的條件下，若AB＝BC＝6，點(diǎn)D是射線BC上任意一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)CD＝3時(shí)CE的長(zhǎng)．【解答】解：（1）相等，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABC＝∠ACE，故答案為：相等；（2）成立，理由：∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝（180°﹣∠ABC），∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE），∵∠ABC＝∠ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，△ABC∽△ADE，∴，∴△ABD∽△ACE，∴∠ABC＝∠ACE；（3）如圖2，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝（180°﹣∠ABC），∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE），∵∠ABC＝∠ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，△ABC∽△ADE，∴，∴△