中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)提分特訓(xùn)專(zhuān)題09 三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題（解析版）

專(zhuān)題09三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題一、【知識(shí)回顧】【三點(diǎn)共線(xiàn)模型】①函數(shù)模型：構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，求出三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，其中兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)建一次函數(shù)模型，判斷第三個(gè)點(diǎn)是否在函數(shù)圖像上，滿(mǎn)足則共線(xiàn)②平角模型如圖，要證明A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)，可以選擇一條過(guò)B點(diǎn)的直線(xiàn)PBQ，并連接AB、CB，證明∠ABP與∠CBP互為鄰補(bǔ)角，即∠ABP+∠CBP=180°③平行線(xiàn)模型如圖，要證明A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)，先證明AB∥DE，在證明BC∥DE④垂線(xiàn)模型如圖，要證明A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)，先證明AC⊥MN，在證明A⊥MN【三線(xiàn)共點(diǎn)模型】①證明兩條線(xiàn)的交點(diǎn)，在第三條直線(xiàn)上②證明三條線(xiàn)中兩條線(xiàn)的交點(diǎn)和另外兩條線(xiàn)的交點(diǎn)是同一個(gè)二、【考點(diǎn)類(lèi)型】考點(diǎn)1：三點(diǎn)共線(xiàn)典例1：（2022秋·福建泉州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在線(xiàn)段SKIPIF1<0上時(shí)，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的平分線(xiàn)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)F，連接SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的長(zhǎng)；(2)求證：C、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)見(jiàn)解析【分析】（1）將SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而可求SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0即可得答案；（2）連接SKIPIF1<0，先證SKIPIF1<0，再用SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，從而證明SKIPIF1<0即可．【詳解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0將SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0；（2）連接SKIPIF1<0，如圖：由（1）知：SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點(diǎn)共線(xiàn)．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形性質(zhì)及應(yīng)用，涉及勾股定理、旋轉(zhuǎn)變換、等腰三角形性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握定理：直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半．【變式1】（2022春·福建泉州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．(1)如圖SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0恰好在SKIPIF1<0上時(shí)，求SKIPIF1<0的大?。?2)如圖SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，判斷四邊形SKIPIF1<0的形狀，并證明你的結(jié)論．(3)如圖SKIPIF1<0，若點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0求證：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點(diǎn)共線(xiàn)．SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的最大值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，詳見(jiàn)解析(3)①詳見(jiàn)解析；②4【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由等腰三角形的性質(zhì)可求SKIPIF1<0，即可求解；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由“SKIPIF1<0”可證SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即可求解；（3）SKIPIF1<0通過(guò)證明點(diǎn)SKIPIF1<0、點(diǎn)SKIPIF1<0、點(diǎn)SKIPIF1<0、點(diǎn)SKIPIF1<0四點(diǎn)共圓，點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0四點(diǎn)共圓，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得結(jié)論；SKIPIF1<0由直角三角形的性質(zhì)可求SKIPIF1<0，由圓中直徑最大可求解．【詳解】（1）解：SKIPIF1<0將SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）解：四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，理由如下：SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形；（3）SKIPIF1<0證明：如圖SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0將SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0、點(diǎn)SKIPIF1<0、點(diǎn)SKIPIF1<0、點(diǎn)SKIPIF1<0四點(diǎn)共圓，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0四點(diǎn)共圓，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0三點(diǎn)共線(xiàn)；SKIPIF1<0解：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0、點(diǎn)SKIPIF1<0、點(diǎn)SKIPIF1<0、點(diǎn)SKIPIF1<0四點(diǎn)共圓，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直徑，SKIPIF1<0最大值為SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圓的有關(guān)知識(shí)，平行四邊形的判定，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2021春·福建廈門(mén)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）拋物線(xiàn)C1：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3的頂點(diǎn)為A，拋物線(xiàn)C2：y＝﹣（x+m+4）2﹣m﹣1的頂點(diǎn)為B，其中m≠﹣2，拋物線(xiàn)C1與C2相交于點(diǎn)P．(1)當(dāng)m＝1時(shí)，求拋物線(xiàn)C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)已知點(diǎn)C（﹣2，1），求證：點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)；(3)設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為q，求q的取值范圍．【答案】(1)拋物線(xiàn)C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）(2)見(jiàn)解析(3)SKIPIF1<0【分析】（1）將m＝1代入拋物線(xiàn)C1：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3，先按照x＝﹣SKIPIF1<0求得拋物線(xiàn)C1的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)，再將橫坐標(biāo)代入解析式求得縱坐標(biāo)即可；（2）先得出A（m，m+3），B（﹣m﹣4，﹣m﹣1），再用待定系數(shù)法求得直線(xiàn)AB的解析式，然后將點(diǎn)C的橫坐標(biāo)代入直線(xiàn)AB的解析式，計(jì)算得出y值等于點(diǎn)C的縱坐標(biāo)即可證得結(jié)論；（3）聯(lián)立SKIPIF1<0，求得方程組的解，從而可用含m的式子表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，將點(diǎn)P的縱坐標(biāo)配方，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．（1）解：當(dāng)m＝1時(shí)，拋物線(xiàn)C1：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3可化為：y＝﹣x2+2x+3，∴其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為：x＝﹣SKIPIF1<0＝1，將x＝1代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝﹣1+2+3＝4，∴當(dāng)m＝1時(shí)，拋物線(xiàn)C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）；（2）證明：∵拋物線(xiàn)C1：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3＝﹣（x﹣m）2+m+3，∴A（m，m+3）；∵拋物線(xiàn)C2：y＝﹣（x+m+4）2﹣m﹣1的頂點(diǎn)為B，∴B（﹣m﹣4，﹣m﹣1），設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y＝kx+b（k≠0），將A（m，m+3），B（﹣m﹣4，﹣m﹣1）代入，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴直線(xiàn)AB的解析式為y＝x+3，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝x+3＝﹣2+3＝1，∴點(diǎn)C（﹣2，1）在直線(xiàn)AB上，∴點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)；（3）解：聯(lián)立SKIPIF1<0，把①代入②，得：﹣x2+2mx﹣m2+m+3＝﹣（x+m+4）2﹣m﹣1，解得x＝﹣SKIPIF1<0，把x＝﹣SKIPIF1<0代入①，得：y＝﹣SKIPIF1<0+2m×（﹣SKIPIF1<0）﹣m2+m+3＝﹣m2﹣4m﹣SKIPIF1<0，∴方程組的解為：SKIPIF1<0，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣SKIPIF1<0，﹣m2﹣4m﹣SKIPIF1<0），∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)q＝﹣m2﹣4m﹣SKIPIF1<0＝﹣（m+2）2+SKIPIF1<0，∵m≠﹣2，-1＜0，∴q的取值范圍是q＜SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、三點(diǎn)共線(xiàn)的證明及二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握待定系數(shù)法及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022秋·福建福州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知矩形ABCD中，SKIPIF1<0于點(diǎn)E，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求CE的長(zhǎng)；(2)設(shè)點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為F，求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及等角的余角相等可得SKIPIF1<0，進(jìn)而可得SKIPIF1<0，列出比例式代入數(shù)值，即可求得SKIPIF1<0；（2）根據(jù)題意點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為F，由（1）可得SKIPIF1<0，根據(jù)對(duì)稱(chēng)可得C，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)，進(jìn)而根據(jù)矩形的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，即可證明SKIPIF1<0，即B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn).(1)∵四邊形ABCD是矩形，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.(2)由（1）得SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.∵點(diǎn)C與點(diǎn)F關(guān)于AD對(duì)稱(chēng)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，∴C，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)．SKIPIF1<0．∵四邊形ABCD是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn).【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2：三線(xiàn)共點(diǎn)典例2：（2021·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知線(xiàn)段SKIPIF1<0，垂足為a．（1）求作四邊形SKIPIF1<0，使得點(diǎn)B，D分別在射線(xiàn)SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2）設(shè)P，Q分別為（1）中四邊形SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求證：直線(xiàn)SKIPIF1<0相交于同一點(diǎn)．【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)SKIPIF1<0，點(diǎn)B在射線(xiàn)SKIPIF1<0上，過(guò)點(diǎn)A作SKIPIF1<0；根據(jù)等邊三角形性質(zhì)，得SKIPIF1<0，分別過(guò)點(diǎn)A、B，SKIPIF1<0為半徑畫(huà)圓弧，交點(diǎn)即為點(diǎn)C；再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)作CD，即可得到答案；（2）設(shè)直線(xiàn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點(diǎn)S、直線(xiàn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，根據(jù)平行線(xiàn)和相似三角形的性質(zhì)，得SKIPIF1<0，從而得SKIPIF1<0，即可完成證明．【詳解】（1）作圖如下：四邊形SKIPIF1<0是所求作的四邊形；（2）設(shè)直線(xiàn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點(diǎn)S，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0設(shè)直線(xiàn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0．∵P，Q分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴點(diǎn)S與SKIPIF1<0重合，即三條直線(xiàn)SKIPIF1<0相交于同一點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖、等邊三角形、直角三角形、平行線(xiàn)、相似三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握推理能力、空間觀念、化歸與轉(zhuǎn)化思想，從而完成求解．【變式1】（2020·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，SKIPIF1<0為線(xiàn)段SKIPIF1<0外一點(diǎn)．（1）求作四邊形SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0；（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析【分析】（1）按要求進(jìn)行尺規(guī)作圖即可；(2)通過(guò)證明角度之間的大小關(guān)系，得到SKIPIF1<0，即可說(shuō)明SKIPIF1<0三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上．【詳解】解：（1）則四邊形SKIPIF1<0就是所求作的四邊形．（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖、平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力、空間觀念與幾何直觀，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．鞏固訓(xùn)練、單選題1．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，正方形ABCD中，AB＝4，延長(zhǎng)DC到點(diǎn)F（0＜CF＜4），在線(xiàn)段CB上截取點(diǎn)P，使得CP＝CF，連接BF、DP，再將△DCP沿直線(xiàn)DP折疊得到△DEP．下列結(jié)論：①若延長(zhǎng)DP，則DP⊥FB；②若連接CE，則SKIPIF1<0；③連接PF，當(dāng)E、P、F三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，CF＝4SKIPIF1<0﹣4；④連接AE、AF、EF，若△AEF是等腰三角形，則CF＝4SKIPIF1<0﹣4；其中正確有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】C【分析】證明△DCP≌△BCF，利用全等三角形的性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和定理可判斷①，證明DP⊥EC，結(jié)合BF⊥DP，可判斷②，當(dāng)E，P，F(xiàn)共線(xiàn)時(shí)，求解∠DPC＝∠DPE＝SKIPIF1<0．在CD上取一點(diǎn)J，使得CJ＝CP，則∠CJP＝∠CPJ＝SKIPIF1<0，DJ＝JP，設(shè)CJ＝CP＝x，則DJ＝JP＝SKIPIF1<0x，可得SKIPIF1<0x+x＝4，解方程可判斷③，連接CE，BD．由③可知，當(dāng)CF＝4SKIPIF1<0﹣4時(shí)，∠CDP＝∠EDP＝SKIPIF1<0，證明點(diǎn)E在DB上，EA＝EC，可得∠ECF＞∠EFC，EF＞EC，可判斷④，從而可得答案．【詳解】解：①如圖1中，延長(zhǎng)DP交BF于點(diǎn)H．∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCP＝∠BCF＝90°，在△DCP和△BCF中，SKIPIF1<0，∴△DCP≌△BCF（SAS），∴∠CDP＝∠CBF，∵∠CPD＝∠BPH，∴∠DCP＝∠BHP＝90°，∴DP⊥BF，故①正確．②∵C，E關(guān)于DP對(duì)稱(chēng)，∴DP⊥EC，∵BF⊥DP，∴SKIPIF1<0，故②正確．③如圖2中，當(dāng)E，P，F(xiàn)共線(xiàn)時(shí)，∠DPC＝∠DPE＝SKIPIF1<0．在CD上取一點(diǎn)J，使得CJ＝CP，則∠CJP＝∠CPJ＝SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴∠JDP＝∠JPD＝SKIPIF1<0，∴DJ＝JP，設(shè)CJ＝CP＝x，則DJ＝JP＝SKIPIF1<0x，∴SKIPIF1<0x+x＝4，∴x＝4SKIPIF1<0﹣4，∴CF＝4SKIPIF1<0﹣4，故③錯(cuò)誤，④如圖3中，連接CE，BD．由③可知，當(dāng)CF＝4SKIPIF1<0﹣4時(shí)，∠CDP＝∠EDP＝SKIPIF1<0，∴∠CDE＝SKIPIF1<0，∴點(diǎn)E在DB上，∵A，C關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)，∴EA＝EC，∵∠ECF＞∠EFC，∴EF＞EC，∴EF＞EA，∴此時(shí)△AEF不是等腰三角形，故④錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，二次根式的除法運(yùn)算，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，熟練的應(yīng)用以上知識(shí)解題是關(guān)鍵．2．（2023·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，ADSKIPIF1<0BC，ABSKIPIF1<0CD，E在AD上．AD＝m，AE＝n（m＞n＞0）．將長(zhǎng)方形沿著B(niǎo)E折疊，A落在A′處，A'E交BC于點(diǎn)G，再將∠A′ED對(duì)折，點(diǎn)D落在直線(xiàn)A′E上的D′處，C落在C′處，折痕EF，F(xiàn)在BC上，若D、F、D′三點(diǎn)共線(xiàn)，則BF＝（）A．m+SKIPIF1<0n B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．m﹣n【答案】D【分析】連接DD′，證明∠EFD是直角，然后證明△BEF和△EFE全等即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接DD′，∵D、F、D′三點(diǎn)共線(xiàn)，四邊形EFC′D′是由四邊形EFCD翻折得到，∴△EFD≌△EFD′，∠DEF＝∠D′EF，∴∠EFD＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，∵∠AEB＝∠NEB，∴∠BEF＝90°，在△BEF和△DFE中，SKIPIF1<0，∴△BEF≌△DFE（ASA），∴EF＝ED，∵AD＝m，AE＝n，∴EF＝ED＝m﹣n．故選：D．【點(diǎn)睛】本題結(jié)合矩形考查了折疊變換，熟知折疊的性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．3．（2022秋·貴州黔西·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，⊙O的半徑為2SKIPIF1<0，PA，PB，CD分別切⊙O于點(diǎn)A，B，E，CD分別交PA，PB于點(diǎn)C，D，且P，E，O三點(diǎn)共線(xiàn)．若∠P＝60°，則CD的長(zhǎng)為（）A．4 B．2SKIPIF1<0 C．3SKIPIF1<0 D．6【答案】A【分析】SKIPIF1<0，先證明SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，利用勾股定理求出SKIPIF1<0，即可求解．【詳解】解：連接SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0PA，PB，分別切⊙O于點(diǎn)A，B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，如下圖根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線(xiàn)，三角形全等、等腰三角形、勾股定理，解題的關(guān)鍵是添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)，掌握切線(xiàn)的性質(zhì)來(lái)求解．4．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=6，將Rt△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到Rt△A’B’C．當(dāng)A’、B’、A三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AA’=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得BC的長(zhǎng)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得A′B′的長(zhǎng)，B′C的長(zhǎng)，∠A′、∠A′B′C，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義，可得∠AB′C的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的判定，可得AB′，根據(jù)線(xiàn)段的和差，可得答案．【詳解】解：由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=6，得∠BAC=30°，BC=3．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得A′B′=AB=6，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，AC=A′C．由等腰三角形的性質(zhì)，得∠CAB′=∠A′=30°．由鄰補(bǔ)角的定義，得∠AB′C=180°-∠A′B′C=120°．由三角形的內(nèi)角和定理，得∠ACB′=180°-∠AB′C-∠B′AC=30°．∴∠B′AC=∠B′CA=30°，AB′=B′C=BC=3．A′A=A′B′+AB′=6+3=9，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，利用等腰三角形的判定得出AB′=B′C是解題關(guān)鍵．5．（2022秋·山東日照·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等邊三角形，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點(diǎn)共線(xiàn)．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0．以下五個(gè)結(jié)論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0是等邊三角形；⑤SKIPIF1<0．其中正確結(jié)論的有（

）個(gè)A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)對(duì)各結(jié)論逐項(xiàng)分析即可判定．【詳解】解：①∵△ABC和△CDE為等邊三角形。∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°∴∠ACD=∠BCE在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，則①正確；②∵∠ACB=∠DCE=60°∴∠BCD=60°∴△DCE是等邊三角形∴∠EDC=60°=∠BCD∴BC//DE∴∠CBE=∠DEO，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，②正確；③∵∠DCP=60°=∠ECQ在△CDP和△CEQ中，∠ADC=∠BEC，CD=CE，∠DCP=∠ECQ∴△CDP≌△CEQ（ASA）∴CР=CQ∴∠CPQ=∠CQP=60°，∴△PC2是等邊三角形，③正確；④∠CPQ=∠CQP=60°∴∠QPC=∠BCA∴PQ//AE，④正確；⑤同④得△ACP≌△BCQ（ASA）∴AP=BQ，⑤正確．故答案為A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2023秋·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形SKIPIF1<0中，點(diǎn)E在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中點(diǎn)F，過(guò)F作SKIPIF1<0且使得SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0并延長(zhǎng)，將SKIPIF1<0繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)共線(xiàn)且SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0【分析】解：如圖，過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，求解SKIPIF1<0，求解SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，求解SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，再解直角三角形可得答案．【詳解】解：如圖，過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0中點(diǎn)為F，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，∵正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由輔助線(xiàn)可得：四邊形SKIPIF1<0為矩形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，同理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，由旋轉(zhuǎn)可得：SKIPIF1<0，∴設(shè)SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，本題難度很大，計(jì)算量大，對(duì)學(xué)生要求高，細(xì)心的計(jì)算是解本題的關(guān)鍵．7．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的平分線(xiàn)相交于H，過(guò)點(diǎn)H作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于E，交SKIPIF1<0于F，SKIPIF1<0于D，以下四個(gè)結(jié)論①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③點(diǎn)H到SKIPIF1<0各邊的距離相等；④若B，H，D三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，SKIPIF1<0一定為等腰三角形．其中正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)____．【答案】②③④【分析】①利用三角形的內(nèi)角和定理和角平分線(xiàn)平分角，進(jìn)行求解；②證明SKIPIF1<0為等腰三角形，即可得證；③利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)，即可得證；④證明SKIPIF1<0，即可得證．【詳解】解，①∵SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的平分線(xiàn)相交于H，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故①錯(cuò)誤；②∵SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的平分線(xiàn)相交于H，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故②正確；③過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的平分線(xiàn)相交于H，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴點(diǎn)H到△ABC各邊的距離相等，故③正確；④若B，H，D三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0一定為等腰三角形，故④正確．故答案為：②③④；【點(diǎn)睛】本題考查角平分線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的判斷和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握角平分線(xiàn)平分角，角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，是解題的關(guān)鍵．8．（2022春·福建龍巖·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知矩形ABCD中，AB=8，BC=10，將△ABE沿BE對(duì)折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0C，當(dāng)E、SKIPIF1<0、C恰好三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AE的值為_(kāi)___________【答案】4【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)可得BA=BA′=CD=8，∠AEB=∠A′EB，然后根據(jù)四邊形ABCD是矩形，利用勾股定理即可解決問(wèn)題．【詳解】解：根據(jù)翻折的性質(zhì)可知：BA=BA′=CD=8，∠AEB=∠A′EB，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∴∠CEB=∠CBE，∴CE=CB=10，在Rt△DEC中，根據(jù)勾股定理得：SKIPIF1<0，∴AE=AD-DE=10-6=4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．9．（2022春·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在SKIPIF1<0中，E點(diǎn)是BD的中點(diǎn)，MN經(jīng)過(guò)E點(diǎn)分別與AD、BC相交于點(diǎn)M、N．下列四個(gè)結(jié)論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③A、C、E三點(diǎn)共線(xiàn)；④若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．其中正確的結(jié)論有____．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①③④【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)可判斷①；結(jié)合圖形可判斷②；利用平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)可判斷③；利用平行四邊形的性質(zhì)及三角形的面積公式可判斷④．【詳解】解：∵平行四邊形ABCD中，E是BD的中點(diǎn)，∴BE=DE，AD∥BC，AD=BC，∴∠MDE=∠NBE，∠DME=∠BNE，∴?DME??BNE，∴DM=BN，∴AM=CN，故①正確；由圖可得：BM>AB≠AD=BC，故②錯(cuò)誤；連接AE、CE，四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵平行四邊形ABCD中，E是BD的中點(diǎn)，∴BE=DE，∴?ADE??CBE，∴AE=CE，∠AED=∠CEB，點(diǎn)A、E、C三點(diǎn)共線(xiàn)，故③正確；如圖所示：過(guò)點(diǎn)D、E兩點(diǎn)向BC作垂線(xiàn)分別為Q和P點(diǎn)，∵E是BD的中點(diǎn)，且點(diǎn)E為平行四邊形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，∴DQ=2EP，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故④正確；故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】題目主要考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等，理解題意綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．10．（2022·福建·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0都在反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，且SKIPIF1<0．現(xiàn)給出以下說(shuō)法：①若A，O，B三點(diǎn)共線(xiàn)，則SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，則A，O，B三點(diǎn)共線(xiàn)；③線(xiàn)段OA長(zhǎng)度的最小值是SKIPIF1<0；④以A，O，B為頂點(diǎn)的三角形不可能是直角三角形．其中正確的是__________．（寫(xiě)出所有正確說(shuō)法的序號(hào)）【答案】③【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)及兩點(diǎn)間的距離公式逐個(gè)分析求解即可．【詳解】解：對(duì)于①：直線(xiàn)AO的解析式為SKIPIF1<0，當(dāng)A，O，B三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，點(diǎn)SKIPIF1<0在直線(xiàn)AO上，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，整理得到：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，此時(shí)A、B兩點(diǎn)重合，而已知前提是A，O，B三點(diǎn)共線(xiàn)，即A點(diǎn)與B點(diǎn)不重合，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，整理得到：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，而A，O，B三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，由①中可知SKIPIF1<0，∴由SKIPIF1<0推不出A，O，B三點(diǎn)共線(xiàn)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故③正確；對(duì)于④：當(dāng)以SKIPIF1<0為直角三角形的直角頂點(diǎn)時(shí)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，整理得到：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴只需要滿(mǎn)足：SKIPIF1<0，此時(shí)△ABO必定是以A為直角的直角三角形，故④錯(cuò)誤；故答案為：③．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖像及性質(zhì)、兩點(diǎn)之間距離公式及完全平方式的變形，熟練掌握?qǐng)D形的性質(zhì)，計(jì)算過(guò)程中細(xì)心即可．三、解答題11．（2022秋·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)試說(shuō)明SKIPIF1<0與SKIPIF1<0滿(mǎn)足什么等量關(guān)系時(shí)，點(diǎn)D、點(diǎn)C、點(diǎn)E三點(diǎn)共線(xiàn)．(2)連接SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于F點(diǎn)，若點(diǎn)F恰好是線(xiàn)段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)見(jiàn)解析【分析】（1）由題意易證SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由同角的余角可知SKIPIF1<0，由三角形的內(nèi)角和可得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，即可證明結(jié)論；（2）如圖，作輔助線(xiàn)，構(gòu)建全等三角形，證明SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再證明SKIPIF1<0，可得結(jié)論．【詳解】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，點(diǎn)D、點(diǎn)C、點(diǎn)E三點(diǎn)共線(xiàn)．理由如下：在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，點(diǎn)D、點(diǎn)C、點(diǎn)E三點(diǎn)共線(xiàn)；（2）證明：如圖，過(guò)A作SKIPIF1<0于M，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，．∵F是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和判定解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．12．（2023秋·河北邯鄲·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0從點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)，沿SKIPIF1<0以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)SKIPIF1<0運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，將線(xiàn)段SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為SKIPIF1<0秒SKIPIF1<0．(1)線(xiàn)段SKIPIF1<0的長(zhǎng)為_(kāi)_________，線(xiàn)段SKIPIF1<0的長(zhǎng)為_(kāi)_________（用含SKIPIF1<0的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0重合時(shí)，求SKIPIF1<0的值；(3)當(dāng)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，求SKIPIF1<0的值；(4)當(dāng)SKIPIF1<0為鈍角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)5t；3t(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)路程SKIPIF1<0速度SKIPIF1<0時(shí)間即可求出SKIPIF1<0；再由勾股定理求得SKIPIF1<0，然后證SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0，（2）當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0重合時(shí)，則SKIPIF1<0即可；（3）當(dāng)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，可得SKIPIF1<0，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得出關(guān)于SKIPIF1<0的方程；（4）過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0左邊時(shí)，SKIPIF1<0都為鈍角，求出點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上時(shí)，SKIPIF1<0的值，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0邊上時(shí)，SKIPIF1<0，若點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0外，則SKIPIF1<0為鈍角，再利用相似求出點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上時(shí)的SKIPIF1<0，從而解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：SKIPIF1<0