中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點提分特訓(xùn)專題07 五大最值問題模型（原卷版）

專題07五大最值問題模型一、【知識回顧】（1）將軍飲馬模型：①一定兩動②一定兩動③兩定兩動（2）費馬點模型：（如圖：求PA+PB+PC最小值，圖3CD為所求最小值）（3）阿氏圓模型：（4）胡不歸模型：（5）隱圓最值模型：①四點共圓：②動點到定點等定長：③直角所對的是直徑：④定弦對定角：二、【考點類型】考點1：將軍飲馬模型典例1：（2022春·全國·九年級期末）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，弦AD平分∠BAC，過點D作射線AC的垂線，垂足為M，點E為線段AB上的動點．(1)求證：MD是⊙O的切線；(2)若∠B＝30°，AB＝8，在點E運動過程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，說明理由；(3)若點E恰好運動到∠ACB的角平分線上，連接CE并延長，交⊙O于點F，交AD于點P，連接AF，CP＝3，EF＝4，求AF的長．【變式1】（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，在等邊SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．點SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0上的兩個定點且SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上一動點，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為______SKIPIF1<0．【變式2】（2023春·山東青島·九年級專題練習(xí)）如圖，點P是SKIPIF1<0內(nèi)任意一點，SKIPIF1<0，點M和點N分別是射線SKIPIF1<0和射線SKIPIF1<0上的動點，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0周長的最小值是______．【變式3】（2022春·貴州銅仁·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知一次函數(shù)y＝kx＋b的圖像經(jīng)過A（1，4），B（4，1）兩點，并且交x軸于點C，交y軸于點D．(1)求該一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若y軸存在一點P使PA＋PB的值最小，求此時點P的坐標(biāo)及PA＋PB的最小值；(3)在x軸上是否存在一點M，使△MOA的面積等于△AOB的面積；若存在請直接寫出點M的坐標(biāo)，若不存在請說明理由．考點2：費馬點模型典例2：（2021秋·四川成都·九年級成都實外?？茧A段練習(xí)）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，P是SKIPIF1<0內(nèi)一點，求SKIPIF1<0的最小值為______．【變式1】（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）在正方形ABCD中，點E為對角線AC（不含點A）上任意一點，AB=SKIPIF1<0；（1）如圖1，將△ADE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，連接EF；①把圖形補充完整（無需寫畫法）；

②求SKIPIF1<0的取值范圍；(2)如圖2，求BE+AE+DE的最小值．【變式2】（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，正方形SKIPIF1<0的邊長為4，點SKIPIF1<0是正方形內(nèi)部一點，求SKIPIF1<0的最小值．【變式3】（2022春·江蘇·九年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點B的坐標(biāo)為(0，2)，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸的正半軸上，SKIPIF1<0，OE為△BOD的中線，過B、SKIPIF1<0兩點的拋物線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點（SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的左側(cè)）.（1）求拋物線的解析式；（2）等邊△SKIPIF1<0的頂點M、N在線段AE上，求AE及SKIPIF1<0的長；（3）點SKIPIF1<0為△SKIPIF1<0內(nèi)的一個動點，設(shè)SKIPIF1<0，請直接寫出SKIPIF1<0的最小值,以及SKIPIF1<0取得最小值時，線段SKIPIF1<0的長.考點3：阿氏圓模型典例3：（2023春·江蘇·九年級校考階段練習(xí)）如圖，正方形SKIPIF1<0的邊長為4，SKIPIF1<0的半徑為2，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的動點，則SKIPIF1<0的最大值是______．【變式1】（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動點，則SKIPIF1<0PA＋PB的最小值為________．【變式2】（2023秋·重慶九龍坡·九年級重慶市育才中學(xué)校考期末）已知SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有公共頂點C，SKIPIF1<0為等邊三角形，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．(1)如圖1，當(dāng)點E與點B重合時，連接AD，已知四邊形ABDC的面積為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)如圖2，SKIPIF1<0，A、E、D三點共線，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中點M，連接SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；(3)如圖3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0以C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，取SKIPIF1<0中點F，當(dāng)SKIPIF1<0的值最小時，求SKIPIF1<0的值．【變式3】（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圓C的半徑為2，點P為圓上一動點，連接AP，BP，求：①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0，④SKIPIF1<0的最小值．考點4：胡不歸模型典例4：（2023秋·四川樂山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若D是SKIPIF1<0邊上的動點，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【變式1】（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B（0，﹣3），若P是x軸上一動點，點D（0，1）在y軸上，連接PD，則SKIPIF1<0PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2SKIPIF1<0 C．2SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（2022·湖北武漢·校聯(lián)考一模）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0的SKIPIF1<0經(jīng)過點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0的切線，且圓的直徑SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，設(shè)點SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上任意一點SKIPIF1<0不含端點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為______．【變式3】（2022秋·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，則AM+SKIPIF1<0BM的最小值為_____．考點5：隱圓最值模型典例5：（2023秋·浙江金華·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形SKIPIF1<0的邊長為4，點E是正方形SKIPIF1<0內(nèi)的動點，點P是SKIPIF1<0邊上的動點，且SKIPIF1<0．連結(jié)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式1】（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．點P是線段SKIPIF1<0上一動點，點M為線段SKIPIF1<0上一點．SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（2023秋·廣東廣州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是四邊形SKIPIF1<0內(nèi)的一個動點，滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面積的最小值為______．【變式3】（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中點，E為AB上一動點，點B關(guān)于DE的對稱點SKIPIF1<0在△ABC內(nèi)（不含△ABC的邊上），則BE長的范圍為______．鞏固訓(xùn)練一、單選題1．（2022秋·安徽池州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點P為AC邊上的動點，過點P作SKIPIF1<0于點D，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．5 D．SKIPIF1<02．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級重慶市鳳鳴山中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，SKIPIF1<0為正方形SKIPIF1<0邊SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為對角線SKIPIF1<0上一個動點，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．5 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．103．（2022秋·浙江杭州·九年級杭州外國語學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)SKIPIF1<0的圖像與x軸交于A、C兩點，與x軸交于點SKIPIF1<0，若P是x軸上一動點，點D的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，連接PD，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．4 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·河南·校聯(lián)考三模）如圖1，正方形SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，點SKIPIF1<0是對角線SKIPIF1<0上的一個動點，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)點SKIPIF1<0從SKIPIF1<0向點SKIPIF1<0運動時，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，其中點SKIPIF1<0是函數(shù)圖象的最低點，則點SKIPIF1<0的坐標(biāo)是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022秋·河北邢臺·九年級統(tǒng)考期末）如圖，SKIPIF1<0的半徑是SKIPIF1<0，P是SKIPIF1<0上一動點，A是SKIPIF1<0內(nèi)部一點，且SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）①PA的最小值為SKIPIF1<0；②PA的最大值為SKIPIF1<0；③當(dāng)SKIPIF1<0時，△PAO是等腰直角三角形；④△PAO面積最大為SKIPIF1<0．A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④7．（2022秋·北京海淀·九年級?？计谥校┤鐖D，如圖，SKIPIF1<0的半徑為2，圓心SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的任意一點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與x軸分別交于A，B兩點，若點A、點B關(guān)于原點O對稱，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．68．（2023春·九年級課時練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動點，連接AP、BP，則SKIPIF1<0AP＋BP的最小值為（

）A．7 B．5SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（2022·福建廈門·福建省廈門集美中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線SKIPIF1<0分別與x軸、y軸相交于點A、B，點E、F分別是正方形OACD的邊OD、AC上的動點，且SKIPIF1<0，過原點O作SKIPIF1<0，垂足為H，連接HA、HB，則SKIPIF1<0面積的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．12 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上的動點，則SKIPIF1<0的最小值（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題11．（2022秋·山東菏澤·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在周長為SKIPIF1<0的菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為對角線SKIPIF1<0上一動點，則SKIPIF1<0的最小值為______．12．（2023秋·山東東營·九年級校考期末）如圖，SKIPIF1<0是⊙O的弦，點C在⊙O內(nèi)，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，若⊙O的半徑是4，則SKIPIF1<0長的最小值為______．13．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一點，且CD＝3，E是BC邊上一點，將△DCE沿DE折疊，使點C落在點F處，連接BF，則BF的最小值為_______．14．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l分別交x、y軸于B、C兩點，點A、C的坐標(biāo)分別為(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，點P是直線l上一動點，連接AP，則SKIPIF1<0的最小值是______．15．（2022秋·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，直線y＝x﹣3分別交x軸、y軸于B、A兩點，點C（0，1）在y軸上，點P在x軸上運動，則SKIPIF1<0PC＋PB的最小值為___．三、解答題16．（2023秋·江西宜春·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0邊的垂直平分線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點D，若SKIPIF1<0，(1)求SKIPIF1<0的長；(2)若點P是直線SKIPIF1<0上的動點，直接寫出SKIPIF1<0的最小值為_________．17．（2022秋·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0延長線上一點，點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的垂直平分線的交點，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)如圖1，當(dāng)SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0______°；(2)當(dāng)SKIPIF1<0時，①如圖2，連接SKIPIF1<0，判斷SKIPIF1<0的形狀，并證明；②如圖3，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0．SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上一動點．當(dāng)SKIPIF1<0的值最大時，用等式表示SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系為______，并證明．18．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0經(jīng)過SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上運動，求SKIPIF1<0最小值．19．（2021春·江蘇蘇州·八年級校考期中）定義：既相等又垂直的兩條線段稱為“等垂線段”，如圖1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別在邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點，且連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．(1)觀察猜想線段SKIPIF1<0與SKIPIF1<0______填（“是”或“不是”）“等垂線段”．(2)SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，試判斷SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是否為“等垂線段”，并說明理由．(3)拓展延伸把SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，請直接寫出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的積的最大值．20．（2022秋·山東濟南·九年級山東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)