湖北省荊州市江陵第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析

湖北省荊州市江陵第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知等比數(shù)列{an}滿足，，則A.21

B．42

C．63

D．84參考答案：B2.設(shè)，是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題正確的是(

)A．若，，則

B．若，，則C．若，，則

D．若，，則參考答案：B3.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記事件A={兩次的點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)}，B={兩次的點(diǎn)數(shù)之和小于7}，則P（B|A）=（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】CM：條件概率與獨(dú)立事件．【分析】此是一個(gè)條件概率模型的題，可以求出事件A包含的基本事件數(shù)，與在A發(fā)生的條件下，事件B包含的基本事件數(shù)，再用公式求出概率．【解答】解：由題意事件記A={兩次的點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)}，包含的基本事件數(shù)是（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），（5，5）共9個(gè)基本事件，在A發(fā)生的條件下，B={兩次的點(diǎn)數(shù)之和小于7}，包含的基本事件數(shù)是（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（5，1）共6個(gè)基本事件．∴P（B|A）=故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率，考查古典概型概率的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是正確理解與運(yùn)用條件概率公式．屬于基礎(chǔ)題．4.過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|AF|=3，則△AOB的面積為（）A． B． C． D．2參考答案：C【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】設(shè)直線AB的傾斜角為θ，利用|AF|=3，可得點(diǎn)A到準(zhǔn)線l：x=﹣1的距離為3，從而cosθ=，進(jìn)而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面積．【解答】解：設(shè)直線AB的傾斜角為θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，∵|AF|=3，∴點(diǎn)A到準(zhǔn)線l：x=﹣1的距離為3∴2+3cosθ=3∴cosθ=∵m=2+mcos（π﹣θ）∴∴△AOB的面積為S==故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的定義，考查三角形的面積的計(jì)算，確定拋物線的弦長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．5.拋物線y2=4x上一點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為3，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】首先求出p，準(zhǔn)線方程，然后根據(jù)，直接求出結(jié)果．【解答】解：設(shè)M（x，y）則2P=4，P=2，準(zhǔn)線方程為x==﹣1，解得x=2．選B．6.由一組數(shù)據(jù)得到的回歸直線方程，那么下面說法不正確的是（

）A．直線必經(jīng)過點(diǎn)；B．直線至少經(jīng)過點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)；C．直線與各點(diǎn)距離差平方的總和是該坐標(biāo)平面上所有直線與這些點(diǎn)的距離差平方的總和中最小的直線；D．直線的斜率為參考答案：B7.已知拋物線，直線與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)為（）A．24

B．20

C.16

D．12參考答案：B由，得：；設(shè),;則∴；故選：B

8.如圖是歌手大獎(jiǎng)賽中，七位評(píng)委給甲、乙兩名選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖(其中m為0～9中的一個(gè)正整數(shù))，現(xiàn)將甲、乙所得的一個(gè)最高分和一個(gè)最低分均去掉后，甲、乙兩名選手得分的平均數(shù)分別為,中位數(shù)分別為,則有(

)A．

,

，

B．

,

C．

,

，

D．與大小均不能確定參考答案：B將甲、乙所得的一個(gè)最高分和一個(gè)最低分均去掉后，甲的分?jǐn)?shù)為85，84，85，85，81；乙的分?jǐn)?shù)為84，84，86，84，87．則

；

．

9.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為A

B．

C.

D.參考答案：C10.

參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，則=________參考答案：【分析】首先根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再由即可得【詳解】∵，則，【點(diǎn)睛】本題主要考查了誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題。12.曲線在點(diǎn)處的切線的一般式方程為__________．參考答案：13.復(fù)數(shù)滿足是虛數(shù)單位)，則的最大值為

▲

.參考答案：6略14.三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，其中△為等邊三角形，，，則該球的體積是

．參考答案：15.若x，y滿足約束條件，則z=x﹣2y的最大值為

．參考答案：2【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，化目標(biāo)函數(shù)z=x﹣2y為，由圖可知，當(dāng)直線過A（0，﹣1）時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為2．故答案為：2．16.如圖，在三棱錐D﹣ABC中，已知BC⊥AD，BC=2，AD=6，AB+BD=AC+CD=10，則三棱錐D﹣ABC的體積的最大值是．參考答案：考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．分析：過BC作與AD垂直的平面，交AD于E，過E作BC的垂線，垂足為F，則V=S△BCE×AD，進(jìn)而可分析出當(dāng)BE取最大值時(shí)，EF取最大值時(shí)，三棱錐D﹣ABC的體積也取最大值，利用橢圓的幾何意義及勾股定理，求出EF的最大值，可得答案．解答：解：過BC作與AD垂直的平面，交AD于E過E作BC的垂線，垂足為F，如圖所示：∵BC=2，AD=6，則三棱錐D﹣ABC體積V=S△BCE×（AE+DE）=V=S△BCE×AD=×?BC?EF×AD=2EF故EF取最大值時(shí)，三棱錐D﹣ABC的體積也取最大值即BE取最大值時(shí)，三棱錐D﹣ABC的體積也取最大值在△ABD中，動(dòng)點(diǎn)B到A，D兩點(diǎn)的距離和為10，故B在以AD為焦點(diǎn)的橢圓上，此時(shí)a=5，c=3，故BE的最大值為b==4此時(shí)EF==故三棱錐D一ABC的體積的最大值是故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的體積，其中將求棱錐體積的最大值，轉(zhuǎn)化為求橢圓上動(dòng)點(diǎn)到長(zhǎng)軸的距離最遠(yuǎn)是解答的關(guān)鍵．17.若，則x的值為

．參考答案：4或9由組合數(shù)公式的性質(zhì)，，可得或，解得x=4或x=9.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題共10分）設(shè)集合，．（1）若，求a的值；（2）若，求a的值．參考答案：由題知：．（1），．①當(dāng)時(shí)，，解得；②當(dāng)或時(shí)，，解得，此時(shí)，，滿足；③當(dāng)時(shí)，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是或．（2），，故．即，解得．略19.設(shè)橢圓E1的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1、短半軸長(zhǎng)為b1，橢圓E2的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a2、短半軸長(zhǎng)為b2，若=，則我們稱橢圓E1與橢圓E2是相似橢圓．已知橢圓E：+y2=1，其左頂點(diǎn)為A、右頂點(diǎn)為B．（1）設(shè)橢圓E與橢圓F：+=1是“相似橢圓”，求常數(shù)s的值；（2）設(shè)橢圓G：+y2=λ（0＜λ＜1），過A作斜率為k1的直線l1與橢圓G僅有一個(gè)公共點(diǎn)，過橢圓E的上頂點(diǎn)為D作斜率為k2的直線l2與橢圓G僅有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)λ為何值時(shí)|k1|+|k2|取得最小值，并求其最小值；（3）已知橢圓E與橢圓H：+=1（t＞2）是相似橢圓．橢圓H上異于A、B的任意一點(diǎn)C（x0，y0），求證：△ABC的垂心M在橢圓E上．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）運(yùn)用“相似橢圓”的定義，討論s＞2，0＜s＜2，列出等式，解方程可得s；（2）求得A，D的坐標(biāo)，可得直線l1與直線l2的方程，代入橢圓G的方程，運(yùn)用判別式為0，求得|k1|，|k2|，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得橢圓H的方程，設(shè)出橢圓H上的任意一點(diǎn)C（x0，y0），代入橢圓H的方程；設(shè)△ABC的垂心M的坐標(biāo)為（xM，yM），運(yùn)用垂心的定義，結(jié)合兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，化簡(jiǎn)整理，可得M的坐標(biāo)，代入橢圓E的方程即可得證．【解答】解：（1）顯然橢圓E的方程為=1，由橢圓E與F相似易得：當(dāng)s＞2時(shí)?s=4；當(dāng)0＜s＜2時(shí)?s=1．則s=4或1；（2）易得，可得l1、l2的方程分別為、y=k2x+1，依題意聯(lián)立：?（1+2k12）x2+4k12x+4k12﹣2λ=0，又直線l1與橢圓G相切，則△1=0（又0＜λ＜1），即32k14﹣4（1+2k12）（4k12﹣2λ）=0，即|k1|=，依題意再聯(lián)立：?（1+2k22）x2+4k2x+2﹣2λ=0，又直線l2與橢圓G相切則△2=0（又0＜λ＜1），即16k22﹣4（1+2k22）（2﹣2λ）=0，即|k2|=，故|k1k2|=，即|k1|+|k2|≥2，當(dāng)且僅當(dāng)|k1|=|k2|時(shí)取到等號(hào)，此時(shí)λ=，所以當(dāng)λ=時(shí)|k1|+|k2|取得最小值；

（3）證明：顯然橢圓E：=1，由=，可得t=4，即有橢圓H：=1．由橢圓H上的任意一點(diǎn)C（x0，y0），于是=1①設(shè)△ABC的垂心M的坐標(biāo)為（xM，yM），由CM⊥AB得xM=x0，又AM⊥BC?=﹣1，將xM=x0代入=﹣1，得x02=2﹣y0yM②由①②得y0=2yM．又x0=xM代入（1）得2=1，即△ABC的垂心M在橢圓E上．20.已知拋物線的焦點(diǎn)為橢圓C：的右焦點(diǎn)F，點(diǎn)B為此拋物線與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)，且.（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線，，直線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)T，求的取值范圍.參考答案：（1）由已知，可得的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，則，解得，所以.由點(diǎn)在橢圓上，得，即.又，解得，，所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，與直線無交點(diǎn)，故直線的斜率不為.設(shè)直線的方程為，，，由，得，則，，，所以.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，由，得，，即，所以.所以.設(shè)，則，則，由于在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，所以，則.當(dāng)時(shí)，