湖北省荊州市江陵第一中學高二數學理下學期摸底試題含解析

湖北省荊州市江陵第一中學高二數學理下學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知等比數列{an}滿足，，則A.21

B．42

C．63

D．84參考答案：B2.設，是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是(

)A．若，，則

B．若，，則C．若，，則

D．若，，則參考答案：B3.拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，記事件A={兩次的點數均為奇數}，B={兩次的點數之和小于7}，則P（B|A）=（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】CM：條件概率與獨立事件．【分析】此是一個條件概率模型的題，可以求出事件A包含的基本事件數，與在A發(fā)生的條件下，事件B包含的基本事件數，再用公式求出概率．【解答】解：由題意事件記A={兩次的點數均為奇數}，包含的基本事件數是（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），（5，5）共9個基本事件，在A發(fā)生的條件下，B={兩次的點數之和小于7}，包含的基本事件數是（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（5，1）共6個基本事件．∴P（B|A）=故選：D．【點評】本題考查條件概率，考查古典概型概率的計算，解題的關鍵是正確理解與運用條件概率公式．屬于基礎題．4.過拋物線y2=4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，O為坐標原點．若|AF|=3，則△AOB的面積為（）A． B． C． D．2參考答案：C【考點】直線與圓錐曲線的關系；拋物線的簡單性質．【專題】壓軸題．【分析】設直線AB的傾斜角為θ，利用|AF|=3，可得點A到準線l：x=﹣1的距離為3，從而cosθ=，進而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面積．【解答】解：設直線AB的傾斜角為θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，∵|AF|=3，∴點A到準線l：x=﹣1的距離為3∴2+3cosθ=3∴cosθ=∵m=2+mcos（π﹣θ）∴∴△AOB的面積為S==故選C．【點評】本題考查拋物線的定義，考查三角形的面積的計算，確定拋物線的弦長是解題的關鍵．5.拋物線y2=4x上一點M到準線的距離為3，則點M的橫坐標x為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點】拋物線的簡單性質．【分析】首先求出p，準線方程，然后根據，直接求出結果．【解答】解：設M（x，y）則2P=4，P=2，準線方程為x==﹣1，解得x=2．選B．6.由一組數據得到的回歸直線方程，那么下面說法不正確的是（

）A．直線必經過點；B．直線至少經過點中的一個點；C．直線與各點距離差平方的總和是該坐標平面上所有直線與這些點的距離差平方的總和中最小的直線；D．直線的斜率為參考答案：B7.已知拋物線，直線與該拋物線交于A，B兩點，則弦AB的長為（）A．24

B．20

C.16

D．12參考答案：B由，得：；設,;則∴；故選：B

8.如圖是歌手大獎賽中，七位評委給甲、乙兩名選手打出的分數的莖葉圖(其中m為0～9中的一個正整數)，現將甲、乙所得的一個最高分和一個最低分均去掉后，甲、乙兩名選手得分的平均數分別為,中位數分別為,則有(

)A．

,

，

B．

,

C．

,

，

D．與大小均不能確定參考答案：B將甲、乙所得的一個最高分和一個最低分均去掉后，甲的分數為85，84，85，85，81；乙的分數為84，84，86，84，87．則

；

．

9.復數的共軛復數為A

B．

C.

D.參考答案：C10.

參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，則=________參考答案：【分析】首先根據誘導公式化簡，再由即可得【詳解】∵，則，【點睛】本題主要考查了誘導公式以及同角三角函數基本關系，屬于基礎題。12.曲線在點處的切線的一般式方程為__________．參考答案：13.復數滿足是虛數單位)，則的最大值為

▲

.參考答案：6略14.三棱錐的四個頂點均在同一球面上，其中△為等邊三角形，，，則該球的體積是

．參考答案：15.若x，y滿足約束條件，則z=x﹣2y的最大值為

．參考答案：2【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優(yōu)解，聯立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，化目標函數z=x﹣2y為，由圖可知，當直線過A（0，﹣1）時，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為2．故答案為：2．16.如圖，在三棱錐D﹣ABC中，已知BC⊥AD，BC=2，AD=6，AB+BD=AC+CD=10，則三棱錐D﹣ABC的體積的最大值是．參考答案：考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積．分析：過BC作與AD垂直的平面，交AD于E，過E作BC的垂線，垂足為F，則V=S△BCE×AD，進而可分析出當BE取最大值時，EF取最大值時，三棱錐D﹣ABC的體積也取最大值，利用橢圓的幾何意義及勾股定理，求出EF的最大值，可得答案．解答：解：過BC作與AD垂直的平面，交AD于E過E作BC的垂線，垂足為F，如圖所示：∵BC=2，AD=6，則三棱錐D﹣ABC體積V=S△BCE×（AE+DE）=V=S△BCE×AD=×?BC?EF×AD=2EF故EF取最大值時，三棱錐D﹣ABC的體積也取最大值即BE取最大值時，三棱錐D﹣ABC的體積也取最大值在△ABD中，動點B到A，D兩點的距離和為10，故B在以AD為焦點的橢圓上，此時a=5，c=3，故BE的最大值為b==4此時EF==故三棱錐D一ABC的體積的最大值是故答案為：點評：本題考查的知識點是棱錐的體積，其中將求棱錐體積的最大值，轉化為求橢圓上動點到長軸的距離最遠是解答的關鍵．17.若，則x的值為

．參考答案：4或9由組合數公式的性質，，可得或，解得x=4或x=9.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題共10分）設集合，．（1）若，求a的值；（2）若，求a的值．參考答案：由題知：．（1），．①當時，，解得；②當或時，，解得，此時，，滿足；③當時，綜上所述，實數a的取值范圍是或．（2），，故．即，解得．略19.設橢圓E1的長半軸長為a1、短半軸長為b1，橢圓E2的長半軸長為a2、短半軸長為b2，若=，則我們稱橢圓E1與橢圓E2是相似橢圓．已知橢圓E：+y2=1，其左頂點為A、右頂點為B．（1）設橢圓E與橢圓F：+=1是“相似橢圓”，求常數s的值；（2）設橢圓G：+y2=λ（0＜λ＜1），過A作斜率為k1的直線l1與橢圓G僅有一個公共點，過橢圓E的上頂點為D作斜率為k2的直線l2與橢圓G僅有一個公共點，當λ為何值時|k1|+|k2|取得最小值，并求其最小值；（3）已知橢圓E與橢圓H：+=1（t＞2）是相似橢圓．橢圓H上異于A、B的任意一點C（x0，y0），求證：△ABC的垂心M在橢圓E上．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】（1）運用“相似橢圓”的定義，討論s＞2，0＜s＜2，列出等式，解方程可得s；（2）求得A，D的坐標，可得直線l1與直線l2的方程，代入橢圓G的方程，運用判別式為0，求得|k1|，|k2|，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得橢圓H的方程，設出橢圓H上的任意一點C（x0，y0），代入橢圓H的方程；設△ABC的垂心M的坐標為（xM，yM），運用垂心的定義，結合兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，化簡整理，可得M的坐標，代入橢圓E的方程即可得證．【解答】解：（1）顯然橢圓E的方程為=1，由橢圓E與F相似易得：當s＞2時?s=4；當0＜s＜2時?s=1．則s=4或1；（2）易得，可得l1、l2的方程分別為、y=k2x+1，依題意聯立：?（1+2k12）x2+4k12x+4k12﹣2λ=0，又直線l1與橢圓G相切，則△1=0（又0＜λ＜1），即32k14﹣4（1+2k12）（4k12﹣2λ）=0，即|k1|=，依題意再聯立：?（1+2k22）x2+4k2x+2﹣2λ=0，又直線l2與橢圓G相切則△2=0（又0＜λ＜1），即16k22﹣4（1+2k22）（2﹣2λ）=0，即|k2|=，故|k1k2|=，即|k1|+|k2|≥2，當且僅當|k1|=|k2|時取到等號，此時λ=，所以當λ=時|k1|+|k2|取得最小值；

（3）證明：顯然橢圓E：=1，由=，可得t=4，即有橢圓H：=1．由橢圓H上的任意一點C（x0，y0），于是=1①設△ABC的垂心M的坐標為（xM，yM），由CM⊥AB得xM=x0，又AM⊥BC?=﹣1，將xM=x0代入=﹣1，得x02=2﹣y0yM②由①②得y0=2yM．又x0=xM代入（1）得2=1，即△ABC的垂心M在橢圓E上．20.已知拋物線的焦點為橢圓C：的右焦點F，點B為此拋物線與橢圓C在第一象限的交點，且.（1）求橢圓C的方程；（2）過點F作兩條互相垂直的直線，，直線與橢圓C交于P，Q兩點，直線與直線交于點T，求的取值范圍.參考答案：（1）由已知，可得的焦點坐標為，設，則，解得，所以.由點在橢圓上，得，即.又，解得，，所以橢圓的方程為.（2）當直線的斜率不存在時，與直線無交點，故直線的斜率不為.設直線的方程為，，，由，得，則，，，所以.當時，直線的方程為，由，得，，即，所以.所以.設，則，則，由于在區(qū)間內為增函數，所以，則.當時，