湖南省長沙市國防科大附屬中學高二數(shù)學理測試題含解析

湖南省長沙市國防科大附屬中學高二數(shù)學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，Sn為其前n項和，若a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝6，則S12＝A．15

B．30

C．45

D．60參考答案：C2.從12個同類產(chǎn)品（其中有10個正品，2個次品）中任意抽取3個，下列事件是必然事件的是

A.3個都是正品

B.至少有一個是次品

C.3個都是次品

D.至少有一個是正品

參考答案：

D3.右圖是正方體平面展開圖，在這個正方體中k*s*5uk*s*5u①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線；③CN與BM成60o角；④DM與BN垂直..

以上四個命題中，正確命題的序號是

（

）（A）①②③

（B）②④

（C）③④

（D）②③④

參考答案：C略4.已知正六邊形，在下列表達式①；②；③；④中，與等價的有（

）

A．個

B．個

C．個

D．個參考答案：D5.已知，函數(shù),則（

）A. B. C. D.參考答案：A略6.已知雙曲線C的兩焦點為F1，F(xiàn)2，離心率為，拋物線y2=16x的準線過雙曲線C的一個焦點，若以線段F1F2為直徑的圓與雙曲線交于四個點Pi（i=1，2，3，4），|PiF1|?|PiF2|=（）A．0 B．7 C．14 D．21參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】求出雙曲線、圓的方程，聯(lián)立求出|y|=，利用面積關(guān)系，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，c=4，a=3，b=，雙曲線的方程為=1，與圓x2+y2=16，可得|y|=，∴|PiF1|?|PiF2|==14，故選C．7.已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)增加，則滿足＜的取值范圍是（

）A.（，） B.［，） C.（，） D.［，）參考答案：A8.已知隨機變量ξ，η滿足ξ+η=8，且ξ服從二項分布ξ～B（10，0.6），則E（η）和D（η）的值分別是（）A．6和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6參考答案：B【考點】二項分布與n次獨立重復試驗的模型．【分析】根據(jù)變量ξ～B（10，0.6）可以根據(jù)方差的公式做出這組變量的方差，隨機變量ξ+η=8，知道變量η也符合二項分布，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵ξ～B（10，0.6），∴Eξ=10×0.6=6，Dξ=10×0.6×0.4=2.4，∵ξ+η=8，∴η=8﹣ξ∴Eη=E（8﹣ξ）=8﹣6=2，∴Dη=D（8﹣ξ）=2.4．故選：B．9.滿足條件的正整數(shù)n的個數(shù)是（）A.10 B.9 C.4 D.3參考答案：C【分析】根據(jù)組合數(shù)的計算公式化簡不等式，解一元二次不等式求得的取值范圍，由此得出正確選項.【詳解】解：∵，∴∴∴解得由題意，可取的值是6，7，8，9，共四個故選：C．【點睛】本小題主要考查組合數(shù)的計算公式，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.10.已知點，則點關(guān)于軸對稱的點的坐標為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設函數(shù)，若，則

．參考答案：12.已知且滿足,則的最小值為

.參考答案：1813.若對任意的正數(shù)x使（x－a）≥1成立，則a的取值范圍是____________參考答案：a－114.函數(shù)的定義域是

。參考答案：15.若a,b,c成等比數(shù)列,則函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的個數(shù)為.

參考答案：0略16.已知長方體從同一頂點出發(fā)的三條棱的長分別為、、，則這個長方體的外接球的表面積為

.參考答案：因長方體對角線長為，所以其外接球的表面積17.若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍___.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此作了四次試驗，得到的數(shù)據(jù)如下：零件的個數(shù)x(個)2345加工的時間y(小時)2.5344.5(1)在給定的坐標系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖；(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程＝bx＋a，并在坐標系中畫出回歸直線；(3)試預測加工10個零件需要多少時間？參考答案：解:(1)散點圖如上圖．……………

2分(2)由表中數(shù)據(jù)得iyi＝52.5，＝3.5，＝3.5，＝54，……

4分∴b＝0.7.∴a＝1.05.∴＝0.7x＋1.05.回歸直線如圖所示．……

1分(3)將x＝10代入回歸直線方程得，y＝0.7×10＋1.05＝8.05(小時)，∴預測加工10個零件需要8.05小時．……………

2分

略19.如圖，已知多面體PABCDE的底面ABCD是邊長為2的菱形，PA⊥底面ABCD，，且．（1）證明：直線BD∥平面PCE；（2）證明：平面PAC⊥平面PCE；（3）若直線PC與平面ABCD所成的角為45°，求二面角的余弦值．參考答案：（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）連接，交于，設中點為，連接，通過證明四邊形是平行四邊形，證得，由此證得平面.（2）通過證明，證得平面，由此證得平面，進而有平面平面.（3）以點或者點建立空間直角坐標系，通過平面和平面的法向量，計算二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：連接BD，交AC于點O，設PC中點為F，連接OF，EF.因為O，F(xiàn)分別為AC，PC的中點，所以，且，因，且，所以，且，所以四邊形OFED為平行四邊形，所以，即，又平面，面，所以面；（2）因為平面，平面，所以.因為是菱形，所以.因為，所以平面，因為，所以平面，因為平面，所以平面平面

；（3）解法1：因為直線與平面所成角為，所以，所以，所以，故△為等邊三角形.設BC的中點為M，連接AM，則.以A為原點，AM，AD，AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系（如圖）.則，，設平面PCE的法向量為，則,即，令則所以

，設平面CDE的法向量為，則即，令則所以

，設二面角的大小為，由于為鈍角，所以．所以二面角的余弦值為．解法2：因為直線與平面所成角為，且平面，所以，所以．因為，所以為等邊三角形．因為平面，由（1）知，所以平面．因為平面，平面，所以且．在菱形中，．以點為原點，分別為軸，建立空間直角坐標系（如圖）．則，則，設平面的法向量為，則即，令，則，則法向量．設平面的法向量為，則，即，令，則則法向量．設二面角的大小為，由于為鈍角，則．所以二面角的余弦值為．【點睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，考查利用空間向量法求二面角的余弦值，考查運算求解能力，屬于中檔題.

20.某兒童節(jié)在“六一”兒童節(jié)推出了一項趣味活動．參加活動的兒童需轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，記錄指針所指區(qū)域中的數(shù)．記兩次記錄的數(shù)分別為x、y．獎勵規(guī)則如下：①若xy≤3，則獎勵玩具一個；②若xy≥8，則獎勵水杯一個；③其余情況獎勵飲料一瓶．假設轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個區(qū)域劃分均勻，小亮準備參加此項活動．（1）求小亮獲得玩具的概率；（2）請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由．參考答案：（1）兩次記錄的數(shù)為（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16個，----------------------------2分滿足xy≤3，有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共5個，----------4分∴小亮獲得玩具的概率為；-------------------------------------------------------6分（2）滿足xy≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），（3，3），（4，4）共6個，----8分∴小亮獲得水杯的概率為；--------------------------------------------------------9分小亮獲得飲料的概率為，----------------------------------------------11分∴小亮獲得水杯大于獲得飲料的概率．-------------------------------------------------12分21.設函數(shù)f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|（1）解不等式f（x）≥3（2）若不等式|a+b|+|a﹣b|≥af（x）（a≠0，a，b∈R）恒成立，求實數(shù)x的范圍．參考答案：【考點】絕對值三角不等式；絕對值不等式的解法．【分析】（1）由已知條件根據(jù)x≤1，1＜x＜2，x≥2三種情況分類討論，能求出不等式f（x）≥3的解集．（2）由不等式|a+b|+|a﹣b|≥af（x），得≥f（x），從而得到2≥|x﹣1|+|x﹣2|，由此利用分類討論思想能求出實數(shù)x的范圍．【解答】解：（1）當x≤1時，f（x）=1﹣x+2﹣x=3﹣2x，∴由f（x）≥3得3﹣2x≥3，解得x≤0，即此時f（x）≥3的解為x≤0；當1＜x＜2時，f（x）=x﹣1+2﹣x=1，∴f（x）≥3不成立；當x≥2時，f（x）=x﹣1+x﹣2=2x﹣3，∴由f（x）≥3得2x﹣3≥3，解得x≥3，即此時不等式f（x）≥3的解為x≥3，∴綜上不等式f（x）≥3的解集為{x|x≤0或x≥3}．（2）由不等式|a+b|+|a﹣b|≥af（x），得≥f（x），又∵≥=2，∴2≥f（x），即